微积分学（下）综合练习

软件学院2013级《高等数学》（下）综合练习

一、指出下列各题解题错误的原因，并给出正确的解法。 1、求z=x+(y-1)arctan?z?xx在点(0,1)的偏导数。 y错解：

x=0y=1轾11=犏1+(y-1) 犏1-x/y2x/y y犏臌不存在

x=0y=1?z

?yx=0y=1轾11x=犏arcsinx/y+(y-1)鬃(-)不存在 2犏y1-x/y2x/y yx=0犏臌y=1xy?0?1,2、求z?f(x,y)??，求fx'(0,0)。

?x?y,xy?0错解：因为x0?y0?0,所以应该用下面的表达式，即z=x+y ,

依照多元偏导就是一元导数的知识，有fx(0,0)?(x?y)x''(0,0)?1

3、设z=f(x,y)且dz=(x2+2xy-y2)dx+(x2-2xy-y2)dy，求f(x,y)。 错解：由题设知

抖zz=x2+2xy-y2,=x2-2xy-y2 抖xy 故f(x,y)=òx3fdx=+x2y-xy2+C和f(x,y)=3'xòy3fdy=xy-xy-+C 3'y22 又由于上式应恒等，所以

x3y32222+xy-xy+C=xy-xy-+C

33x3=+23y+ C 即x=-y，因此 f(x,y)y4、设L为x2?y2?1上点A(?2曲线积分

,?2)到B(2,2)的逆时针的一段弧，求2222xdy?ydx?Lx2?y2。

?yx?Q?P,Q??，则可以验证

x2?y2x2?y2?x?y错解：令P??22?x?t(??t?) 故曲线积分与路径无关。从A到B的直线方程为?y?t22??xdy?ydxxdy?ydxtdt?tdt???0 所以，?222??Lx2?y2x?y2tAB?22

1

225、判断

?n1nn的敛散性。

错解：因为p?nn?1(n>1时)，按p-级数的收敛结论可知，该级数收敛。 6、判断级数

?2n?1?1n?(?1)n的敛散性

解：记un?12n?(?1)n，则

(?1)n?n?1?(?1)n?1n?2mun?1121??4?22lim?lim?lim(?1)n?1?????1不存在

n??un??n??114n?2m?1222n???2?nn?(?1)21 由于极限不存在，所以极级数发散。 7、求幂级数

?2n?1?xnn?12nn的收敛域

an?12n?1nn111?limn?lim??0 错解：因为limn??an??2(n?1)n?1n??12n?1(1?)nnn 所以级数的收敛半径为+?，故收敛域为（-?，+?） 二、解下列微分方程 1、(ex+y-ex)dx+(ex+y+ey)dy=0

x+yx-y=sin （应用和角公式展开） 22y， 4、f(xy)ydx+g(xy)xdy=0（令u=xy） x2、y'+sin3、xy'=yln5、y'=1y12 （令x+y=u）， 6、（化为：） y'=x'-x=y23(x+y)x+yy21+x2dy=2xsin2y+e27、1+xsin2ydx8、yy\-（令u=sin2y）

y'2=y2lny

三、求解下列微分方程的应用问题

1、设f(x)在[1,+∞)上连续，若y=f(x)、x=1, x=t(>1)所围图形绕x轴旋转的体积为

V(t)=

p2[tf(t)-f(1)]，试求y=f(x)所应满足的微分方程，并求y(2)=2/9的解。 32

2、若某二阶常系数线性齐次方程的特征方程的一个根为3+2i，写出该方程并解方程 3、已知y1=xex+e2x,y2=xex+e-x,y3=xex+e2x-e-x为某二阶常系数线性

非齐次方程的三个解，求解该方程。

4、一质量为m的物体在粘性液体中由静止自由下落，若阻力与运动速度成反比（比例常数为k），求运动规律。

dsd2s提示：因(mg-k)=m2且s(0)=0,s'(0)=0

dtdt+ ìy\+4y'+4y=0?5、设y=y(x)满足?，求òy(x)dx í???y(0)=2,y'(0)=-406、已知y1(x)17、y=x为x2y2(x)均为y'+p(x)y=q(x)的解，求其通解。

y\-3xy'+3y=0的解，求x2y\-3xy'+3y=x3通解。

抖zz+x=0 抖xy四、求解下列偏导数（微分）问题

1、设z=f(x2-y2,y2-x2)，且f具有一阶连续偏导。证明：y2、设f(x,y)可微，且f(0,0)=0,fx'(0,0)=a,fy'(0,0)=b,g(t)=f(t,f(t,t))，求g'(0) 3、设z=f(x,y)由方程ex/2+ey/2=2e所确定。求zx, zy .

x4、设z=f(u)，而方程u=j(u)+òp(t)dt确定了u是x,y的函数，其中f(u),j(u)均可微，p(t)

y连续，且j'(u)11，求p(y)抖zz+p(x) 抖xy5、求函数z=ln(x+y)在点(1,2)处沿着抛物线y2=4x在该点切线方向上的方向导数。 6、设f,g连续可导，且u?f(x,xy),v?g(x?xy)，求ux,vx,uxy,vxy 7、设z?f(exsiny,x2?y2)，其中f二阶连偏，求zxy 8、设方程z?\''\\yx2?y2?z2?x3f()确定了隐函数z=g(x,y)。证明：曲面z=g(x,y)上任一

x2点M(x,y,z)处的切平面在oz轴上的截距与切点到原点的距离之比为定值。

9、求z?x?y?xy?x?y在闭区域D?{(x,y)|x?0,y?0,x?y??3}上的最值。 五、求解下列积分问题： 1、计算积分I=2蝌xydxdy，其中D={(x,y):0＃yD11y21,＃x213-y2}

dx2、设函数f(x)在[0,1]上连续，且òf(x)dx=A，求蝌00f(x)f(y)dy

x 3

3、求平面z=x-y,z=0与柱面x2+y2=ax所围成的体积(a>0)。 4、一曲顶柱体，以双曲抛物面z=xy为顶，以xOy坐标为底，在xOy面上的投影为{(x,y)| x2+y2≥1}和{(x,y)| x2+y2≤2x}在第一象限的公共部分。求柱体的体积。

5、计算曲面积分蝌dS，其中，S是球面x2+y2+z2=4在平面z=1上方的球冠。

S1z6、设L为正向的圆周x2+y2=9，求曲线积分ò(2xy-2y)dx+(x2-4x)dy

L7、求曲线y=最小。 8、求曲线y=tx的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x=0和x=2所围成的图形的面积

x+1与直线x=1,x=2,y=0所围图形分别绕x轴和y轴所成的体积。

tcosu9、求曲线x=蝌du, y=u11sinudu自原点（0，0）到它右边第一条垂直切线的切点间的u的孤长。（提示：分别求出原点和切点对应的参数t的值）。

10、（绝对值函数积分问题的处理）由z?x2?y2及z=1所围的空间体中分布有密度为

?(x,y)?|x|?|y|的质量，求总质量。

11、求I?222，其中D?{(x,y)|x?y?2ax?0} (x?y?2y)dxdy??D1112、（由积分限定积分区域）求dx0??xy1?y3dy

x213、求J?222222222?，其中是两球和的公共部分 x?y?z?ax?y?z?2azzdv????14、计算I?sinxy22x?1?1?y，其中D的左右边界分别为与（利用对dxdyx?y??xD称性和齐偶性）

解：D关于x轴对称，而被积函数关于y为奇函数，所以

sinxyI??dx?dy??dxx01?x?1x22x?x2sinxy?2xdy?0?0?0 2x?x11115、设f(x)在区间[0,1]上连续，并设

1?f(x)dx?A，求J=?dx?f(x)f(y)dy

00x 解：记F(x)??f(y)dy，则F'(x)??f(x),F(0)?A,F(1)?0，于是

x1112A21 J???f(x)F(x)dx???F(x)dF(x)??F(x)0?2200

4

16、若D?{(x,y2)x|?2y?2，f(x,y)r,?r0}为D上的连续函数，求

lim1r?0?r2??f(x,y)dxdy

D4217、计算dy1??Lylnxdx（交换积分次序） x2?118、计算

22222，其中L为球面与平面x+y+z=0之交线。 x?y?z?Rzds? （利用对称性，在计算积分问题时，对称性、奇偶性是首先要考虑的！）

19、求y2ds，其中L为摆线x?a(t?sint),y?a(1?cost),(0?t?2?) （纯定义法）

?L20、求

?Lz22x2?y2ds，其中L为柱面x2?y2?R2与平面z=y的交线。 (挖掘参数方程）

( L的参数方程为x=Rcost,y=Rsint,z=Rsint (0?t?2?) ) 21、计算(x?y)dx?(y?x)dy，其中L是：

L? （1）先沿直线从A(1,1)到B(1,2)，再沿直线到C(4,2)

（2）抛物线x=y2上从A(1,1)到C(4,2)

?x2?y2?122、计算?(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz，其中L是曲线?从z轴正向看

?x?y?z?2L去的顺时针方向。（曲线的参数方程）

(曲线L的参数方程为x?cost,y?sint,z?2?cost?sint,t:2??0) 23、求

3y3y222

，其中L为正向圆周曲线x+y=a. (Green公式) (yx?e)dx?(xy?xe?2y)dy?L24、求I?(x?y)dx?(x?y)dy，其中L为沿抛物线由点A(-1,0)到B(1,0)的弧。（凑Green22?x?yL公式，且注意避开暇点） 25、求I?12(L?xy?)eyocdxs(?其中L为由点A(-1,1)沿抛物线y=x2到O(0,0)，)y?xeydy，

再沿直线到B(2,0). （部分利用与路径无关）

注：I?12xydx?edx?(cosy?xe)dy?I1?I2，其中I2与路径无关。

LL222226、求球面x?y?z?a(a?0)被平面z???yyaa,z?所夹部分的面积。 4227、求28、求

22222，其中是球面x?y?z?a(a?0) zdS???????xyzdv，V由曲面xV2?y2?z2?1，z=0，y=0,x=0所围成

5

六、判断下列级数的敛散性 1、12?1?12?1??13?1?13?1?????1n?1?1n?1????。

提示：加括号

?1??1????n?1n?1??n?1?2发散 n2、

?n?1??13n2?1； 3、

??n?1??1nx1?x20（dx；

x1?x21/n?x而?0xdx?21收） 3n3/21???1?4、?1?cos?； 5、ln?1??

n??n?n?1?n?1?￥?骣e÷6、?n!?÷?÷ （比值法时极限为1，但是从大于1的一侧趋于1，故发散） ?桫nn=17、?n1!+2!+...+n!1!+2!+...+n!nn!n1<=<2） （比较法：

(n+3)!(n+3)!(n+3)(n+2)(n+1)n(n+3)!n=1?￥11n?1n?128、； 9、（由ln(1+x)

?1?an?1?1nn；（a>1时，(a?0)1?a?a有n1n11n1?a?2；时，有） ?()收?a?1a1+an1?an21xlnn111、

?xn?1?(x?0)（由xlnn?elnnlnx?nlnx有lnn11?1nlnx知，当lnx>1时收，当lnx<=1时散）

12、

?n?1n1?1n（n11?1n1111； 13、；（与相比） sin(a?0)~）aa?1nnnnn?1??p??1?n?11?e?14、； 15、?e??1???(p?0)；（与p相比，极限为??）

nn???2?n??n?1??n?12??????p(n!)2n!2nn!16、；（比值法） 17、；（比值法） 18、（比值法） n(2n)!(n?1)!n?1n?1n?1n???????b?2n2n19、（根值法） 20、??(其中an?0,n?1,2,???,liman?a?0,b?0)； x；

n??n?3an?1n?1?n?n??提示：根值法知极限为若

1?o(?n)则收 nb11；当a=b时,an?b??n(?n?0),若?n~则散；若?n?o()则散；ann 6

2nn!2n?n?21、?（根值法） ;（比值法） 23、?;（根值法） 22、nlnn2n?1?n?1?n?1nn?13???n????24、

?nn?1?enn!n（比值法）； 25、

?3n?1?1n[2?(?1)n]n（根值法）

26、

??1?1?（取f(x)?ln(1?)单增趋于0，且同负，条收） (?1)nln?1??；

x?n?n?1(?1)n127、；（取f(x)?单减趋于0，且同正，条收）

n?lnnx?lnxn?1??28、

?n?1(?1)n?1a2n?1(2n?1)!!1(2n?1)!!?1（单减）且0???0，条收） （因n?1?an2n?2(2n)!!(2n)!!2n?129、

?n?2??(?1)nn?(?1)n1np（无单调性,不能用莱布尼兹,用Sn,求出S2n+1及S2n=S2n+1+(2n)-1/2，条收）

30、

?n?1?(?1)n 讨论p>1(绝收)，0

31、

?(?1)(n?1nna?1)(a?0,a?1)；

提示：与1/n比较知不绝收；01时，单减趋0，均条收 32、

?n?1?sinn2?1 ?（sinn2?1??(?1)nsin(n2?1?n)??(?1)nsin?n?1?n2单减）

七、解答下列级数问题

1、用定义求级数的和（部分和、部分和子列） （1）求

?(n?1)!?1n 提示：：Sn?

(n?1)!(n?1)!n?1?1（2）； （3）(n?1?n)；

1?2?????nn?1n?1?????（4）

??11?111??? 提示：（3）? n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)n(n?1)(n?2)??n?1??11?22、已知?2?，求? 2(2n?1)n6n?1n?13、已知级数

?(?1)n?1?n?1an?2,?an?1?2n?1?5，证明级数

?an?1?n收敛，并求出和数。

7

提示：

?(an?1??2n?1?a2n)是?(?1)n?1??n?1an的一个加括号级数，已知

?an?1?n的奇数项级数收敛，从而

?a??(ann?1n?1?2n?1?a2n)??[2an?12n?1?(a2n?1?a2n)]?10?2?8

?4、设{xn}是正的单调递增数列，且有上界，判别级数

nn??xn??1??的敛散性。

xn?1?n?1?xx?x提示：(1?n)?n?1n?0且Sn?xn?1xn?1?i?1?xi?1?xi?xi?12an,??i?1xi?1?xixn?1?x1及{xn}有界 ?x1x12收敛。（提示：an??an,anan?1??an）

5、设正项级数

?an?1?n收敛，证明级数

??aan?1n?1nn?16、设{an}是正数列，且liman?a?0，证明级数

n???an?1?n?1?an与级数

?an?1?1?n?11有相同的an1敛散性。（提示：liman?1?1ann??|an?1?an|?lim1an?1ann???1a2）

7、设级数

?(un?1?n?un?1)收敛，级数

??n?1?n绝对收敛，证明级数

?uvn?1?nn绝对收敛。

提示：由Sn??(uk?1nk?uk?1)?un?u0收敛知un收敛，进而有界。故|unvn|?Mvn收

n?1?8、设正项数列{an}单调减少，且级数(?1)nan发散，证明级数??收敛。

a?1?n?1n?1?n????提示：（1）liman=a>0，（2）由根值法有limnun?八、求解下列幂级数问题

1、求下列幂级数的收敛半径和收敛域：

??n?n（1）???n?1???n?0?1?1收 a?1???x?（根值法可得R=e） （2） ??n?(?1)n?1?x?1?x?X，先??提示：令2n?11?x1?x??n?1?n(?1)nn1?x分析X的收敛范围为X?(?1,1]，再解不等式?1??1，得x?(??,0]

2n?11?xn?1??（3）

?(?1)n?0?n14?xn

8

?1?1?|x|?1un?1?1提示：因lim，而当|x|?1时,limun??0（发散），故收敛域为|x|?1 ??|x|4un?1, ?|x|?1?（4）

?n?1??(?1)n?1?2nn31nn|x|（比值法） （5）

n?n?0?2?(?1)n2nxn（根值法）

（6）

?2nxn?2?2n?3（根值法）

2、求幂级数的和函数及求数项级数的和值 （注意收敛域） （1）求

?n(n?2)x的和函数，并求?nn?1n(n?2)的和值 n?12n?1??2n?12n(n?1)2（2）求的和值 x的和函数，并求

n!n!n?0n?0?????2n?12nnn?n?1（3）求(?1)，并求(?1)的和值。 x的和函数（分x=0与≠0）n(2n?3)!2n?0n?0?n??n2?n?1??1??1? 提示：(?1)?n(n?1)??????? n22??n?0?2?n?0n?0??nn??n4n2?12n(?1)n(4n2?1)?2n（4）求幂级数(?1)的和。 x的收敛域及和函数，并求级数

(2n)!(2n!)n?0n?0??n??解：（i）求出收敛半径R=+∞

? （ii）因

4n2?12n2n(?1)n2nn2n(?1)x?(?1)x?x(2n)!(2n?1)!(2n)!n?0n?0n?0n??????xx?(?1)2n2n?1(?1)(2n?2)2n?1x?cosx??xx(2n?1)(2n?1)n?1n?0?n??n

?xf(x)?cosx而

?0x2n?1f(t)dt?x(?1)?xsinx

(2n?1)!n?0??n故S(x)= - x f’(x)-cosx= -x2cosx-cosx-xsinx

（iii）把x??代入S(x)即得级数的和值为1??2

3、将下列函数展开为相应的幂级数（注意收敛域）

1（1）将f(x)?2展开为(1)x的，以及(2)x-4 的幂级数

x?5x?6（2）设f(x)?arctan1?x（i），将f(x)展开成x的幂级数，并求收敛域；(ii)利用展开式求f(101)(0) 1?x11?x2?解：（i）因f'(x)??(?1)n?0?n2nx,(?1?x?1)，逐项积分，有

9

f(x)?f(0)??(?1)?nn?00?x(?1)n2n?1及f(0)=1其收敛域为x?[?1,1) xdx?x2n?1n?02n??（ii）由泰劳展式f(x)??n?0?f(n)(0)nx知第n=101项对应于级数的第n=50项 n!f(101)(0)(?1)50??f(101)(0)?100! 故：

101!101（3）f(x)?ln(1?x?x2?x3)展开成x的幂级数 ?1?x2arctanx,?（4）设f(x)??x?1,?x?0,x?0,试将f(x)展开成x的幂级数，并利用幂级数展开式求级

数

?n?1?(?1)n11?4n2的和。

x(i）(arctanx)'?11?x2??(?1)n?0?22nx有arctanx?arctan0??(?1)?nn?00?(?1)n2n?1xdx?x(|x|?1)

2n?1n?02n?? 而上述级数在x??1时也收敛，故收敛域为[-1,1].

(?1)n所以，当0?|x|?1时，f(x)?1?2x2n?2

(2n?1)(2n?3)n?0?? 又由于f(x)在x=0处连续，所以上式对一切|x|?1均成立。 (?1)n(?1)n?? (ii)因f(1)=，又由级数结果知f(1)?2，故?

2n?12n?142n?0n?0????(?1)n?11??1进而?????? 222n?12n?1??42n?11?4nn?1??(?1)n??x44、(利用级数求高阶导数)求函数f(x)?在x=0处的各阶导数 31?x???1f(n)(0)n3nn3n?4解：因?(?x)，有f(x)?(?1)x及f(x)?x 3n!1?xn?0n?0n?0???k?f(3n?4)(0)?(?1)(3k?4)!,n?3k?4n(n)因此 ?(?1)从而f(0)??(3n?4)!??0, n?3k?45、 用x的幂级数表示下列函数的满足F(0)=1的原函数： （1）f(x)?1?cosxln(1?x) （2）f(x)? xx解：有些函数的原函数不能用初等表达式给出，但可用级数的和函数来表示。

10

(?1)n2n(?1)n2n?1 （1）因cosx?1?，逐项积分，有 x，故f(x)??x(2n)!(2n)!n?1n?1????xF(x)?F(0)??0(?1)nx2n f(t)dt??2n(2n)!n?1??(?1)nxnxn?1n （2）因ln(1?x)? (?x)??, x?[?1,1)故x?0时，f(x)??nnnn?1n?1n?1?x??t???因x=0为f(x)的可去间断点，故f(x)在[-1,1)上可积，从而有 F(x)?F(0)??f(t)dt????0n?10?xn?1ndt???nn?1?xn2, x?[?1,1]

x2n6、设f(x)是幂级数1?(?1)在（-1，1）内的和函数，求f(x)的极值。

2nn?1??n1解：通过求和函数可得f(x)?1?ln(1?x2),x?(?1,1)

2再求驻点得x=0，再用f ”(0)的符号知：在x=0处有极大值f(0)=1

11 求级数

?(nn?2?12?1)2n的和。

解：求

?nn?2?12?1xn的和函数在x=1/2时的值。

求和函数时要利用

?43!1?11?????拆开分别求。 n2?12?n?1n?1???17、设xn???2??65!?2n?2(2n?1)!，求limxn

n???x2n?2解：（1）xn是级数的前n项和。（2）所求极限是级数在x=?处的值。

(2n?1)!n?1?x2n?1x2n' （3）设和函数S(x)?xS1(x)?x，则S1(x)?，

(2n)!(2n)!n?0n?0????1'(x)??ex，所以S1(x)?e2x?Ce?x 从而S1(x)?S12x2x?x?又因S1(0)?0，知C=-1/2,即故 S(x)?xS1(x)??e?e?

2? 11

(?1)n2n(?1)n2n?1 （1）因cosx?1?，逐项积分，有 x，故f(x)??x(2n)!(2n)!n?1n?1????xF(x)?F(0)??0(?1)nx2n f(t)dt??2n(2n)!n?1??(?1)nxnxn?1n （2）因ln(1?x)? (?x)??, x?[?1,1)故x?0时，f(x)??nnnn?1n?1n?1?x??t???因x=0为f(x)的可去间断点，故f(x)在[-1,1)上可积，从而有 F(x)?F(0)??f(t)dt????0n?10?xn?1ndt???nn?1?xn2, x?[?1,1]

x2n6、设f(x)是幂级数1?(?1)在（-1，1）内的和函数，求f(x)的极值。

2nn?1??n1解：通过求和函数可得f(x)?1?ln(1?x2),x?(?1,1)

2再求驻点得x=0，再用f ”(0)的符号知：在x=0处有极大值f(0)=1

11 求级数

?(nn?2?12?1)2n的和。

解：求

?nn?2?12?1xn的和函数在x=1/2时的值。

求和函数时要利用

?43!1?11?????拆开分别求。 n2?12?n?1n?1???17、设xn???2??65!?2n?2(2n?1)!，求limxn

n???x2n?2解：（1）xn是级数的前n项和。（2）所求极限是级数在x=?处的值。

(2n?1)!n?1?x2n?1x2n' （3）设和函数S(x)?xS1(x)?x，则S1(x)?，

(2n)!(2n)!n?0n?0????1'(x)??ex，所以S1(x)?e2x?Ce?x 从而S1(x)?S12x2x?x?又因S1(0)?0，知C=-1/2,即故 S(x)?xS1(x)??e?e?

2? 11

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