第22章 向量自回归和误差 - 图文

第二十二章向量自回归和误差修正模型联立方程组的结构性方法是用经济理论来建立变量之间关系的模型。但是，经济理论通常并不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明。并且，内生变量既可以出现在等式的左端又可以出现在等式的右端使得估计和推断更加复杂。为解决这些问题产生了一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型，就是这一章所讲述的向量自回归模型（VectorAutoregression,VAR）以及向量误差修正模型（VectorErrorCorrection,VEC）的估计与分析。同时也给出一些检验几个非稳定变量之间协整关系的工具。1§22.1向量自回归理论向量自回归（VAR）常用于预测相互联系的时间序列系统以及分析随机扰动对变量系统的动态影响。VAR方法通过把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而回避了结构化模型的需要。一个VAR(p)模型的数学形式是：yt?A1yt?1?????Apyt?p?Bxt??t(22.1)这里yt是一个k维的内生变量，xt是一个d维的外生变量。A1,…,Ap和B是待估计的系数矩阵。?t是扰动向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关及不与等式右边的变量相关。2?y1t?1??y1t?2???1t??y1t??????????y2t?1??y2t?2???2t??y2t??A?A???BX???????12t???????????????y????????yy?kt??kt??kt?1??kt?2?由于仅仅内生变量的滞后值出现在等式的右边，所以不出现同期性问题，并且OLS能得到一致估计。即使扰动向量?t有同期相关，但OLS仍然是有效的，因为所有的方程有相同的回归量，所以其与GLS是等价的。注意，由于任何序列相关都可以通过增加更多的yt滞后项而被调整（absorbed），所以扰动项序列不相关的假设并不严格。3作为VAR的一个例子，假设工业产量（IP）和货币供应量（M1）联合地由一个双变量的VAR模型决定，并且让常数为唯一的外生变量。内生变量滞后二阶的VAR(2)模型是：IPt?a11IPt?1?a12M1t?1?b11IPt?2?b12M1t?2?C1??1,tM1t?a21IPt?1?a22M1t?1?b21IPt?2?b22M1t?2?C2??2,t其中，aij,bij,ci是待估计的参数。也可表示成：(22.2)?IPt??a11a12??IPt?1??b11b12??IPt?2??C1???1?????????????????????M1??b??M1??C?????M1??aab?t??2122??t?1??2122??t?2??2??2?4§22.2估计VAR模型及估计输出§22.2.1建立VAR模型为了详细说明一个向量自回归模型，必须创建一个VAR对象，选择Quick/EstimateVAR…或者选择Objects/Newobject/VAR或者在命令窗口中键入VAR。下面的对话框便会出现：5

在对话框内添入适当的信息。1.选择说明类型选择无约束向量自回归（UnrestrictedVAR）或者向量误差修正（VectorErrorCorrection）。前面例子中的VAR是无约束VAR，会在下面详细解释VEC模型。2.设置样本区间3. 设置变量在相应的编辑栏中输入适当的内生及外生变量。系统通常会自动给出常数c作为外生变量。如果所列的序列太长，我们可以先建立一个包含这些序列的组对象，然后直接输入组的名字。64.在相应的编辑框中输入滞后信息数字描述一个滞后区间。例如，滞后对：1 4这一信息将会告诉EViews哪个滞后变量应该被包括在每个等式的右端。这一信息应成对输入：每一对告诉EViews用系统中所有内生变量的一阶到四阶滞后变量作为等式右端的变量。可以添加代表滞后区间的任意数字，但都要成对输入。例如：2 4 6 9 12 12表示：用2 –4 阶，6 –9 阶及第12 阶滞后变量。前面例子对话框中的VAR模型。取IP、M1和TB3三个内生变量，这个模型用了1–2阶滞后变量并且仅仅常数是外生变量。其余两个菜单（Cointegration和Restrictions）仅与VEC模型有关，将在后面介绍。7§22.2.2 VAR估计的输出一旦设定了VAR，单击OK。EViews将会在VAR窗口显示估计结果(VAR01)：表中的每一列对应VAR中一个内生变量的方程。对方程右端每一个变量，EViews会给出系数估计值、估计系数的标准误差及t-统计量。例如在TB3方程中IP(-1)的系数是0.087563。(VAR02包含外生变量)8两类回归统计量出现在VAR估计输出的底部：输出的第一部分显示的是每个方程的标准OLS回归统计量。分别计算每个方程的结果（使用各自的残差项），并被显示在对应的列中。第二部分是9VAR系统的回归统计量。§22.3 VAR 视图和过程一旦估计一个VAR模型，EViews会提供关于被估计VAR模型的各种视图。这一部分仅讨论与VAR模型有关的特定的视图。其它的视图和过程可参考第21章：系统估计。§22.3.1 诊断视图在VAR窗口的View/Lag Structure和View/Residual Tests菜单下将提供一系列的诊断视图。这些将有利于检验被估计VAR模型的合适性。1、LagStructure(滞后结构)ARRootsTable/Graph(AR根的图表)如果被估计的VAR模型所有根的模小于1并且位于单位圆内，则其是稳定的。如果模型不稳定，某些结果将不是有效的（如：脉冲响应标准误差）。共有kp个根，其中k是内生变量的个数，p是最大滞后阶数。前面的例子中存在一个根大于1，所以模型是不稳定的(VAR01)。将IP、M1差分得到的VAR模型是稳定的(VAR03)。10

残差的协方差的行列式值由下式得出：?1???t??t????det???T?p??t??其中p是VAR每一方程的参数个数，(22.3)?t是k维残差向量。通过假定服从多元正态（高斯）分布计算对数似然值：TkT?l???1?log2???log?22两个信息准则由下面两式算出：(22.4)AIC??2lT?2nTSC??2lT?nlogTT(22.5)其中n=k(d+pk)是VAR中被估计的参数的总数，k是内生变量数，T是样本长度，这些信息准则可被用于模型的选择，例如决定VAR的滞后长度；信息准则的值越小模型越好。值得注意的是，一些参考文献通过不同的方法来定义AIC/SC，如在似然函数中忽略常数项或不除以T，请见附录F中关于各种信息准则的附加讨论。11原假设实际M1外生于实际利率实际GDP外生于实际利率实际M1、实际GDP同时外生于实际利率?2统计量3.789.0016.8自由度336336p-值0.286R方程0.0290.0100.4490.1100.0070.6840.4180.62512Log(M1)方程实际利率外生于实际M1实际GDP外生于实际M1实际利率、实际GDP同时外生于实际M12.656.0317.63Log(GDP)方程实际利率外生于实际GDP实际M1外生于实际GDP实际利率、实际M1同时外生于实际GDP1.492.844.383362、ResidualTests(残差检验)（1）Correlogram(相关图)显示VAR在指定的滞后数的条件下的被估计的残差交叉相关图（样本自相关）。交叉相关图能以三种形式显示：有两种表格形式，一种是以变量来显示（TabulatebyVariable），另一种是以滞后阶数来显示(TabulatebyLag)。曲线图（Graph）显示交叉相关图的矩阵形式。点线代表滞后的相关系数加减两倍的渐近标准误差的曲线图（以1计算）。T（2）PortmanteauAutocorrelationTest（混合的自相关检验）计算与指定阶数所产生的残差序列相关的多变量Q统计量。同时计算出Q统计量和调整后的Q统计量（即：小样本修正）。在原假设是滞后h期没有残差序列自相关的条件下，两个统计量都近似的服从自由度为k2(h?p)的?2统计量，其中p为VAR滞后阶数。13（3）AutocorrelationLMTest(自相关LM检验)计算与指定阶数所产生的残差序列相关的多变量LM检验统计量。滞后h阶数的检验统计量是通过关于原始右侧回归量残差ut和滞后残差ut-h的辅助回归运算计算得到的，这里ut-h缺少的前h个值被赋予0。参考Johansen(1995a.p.22)LM统计量的计算公式。在原假设是滞后h期没有序列相关的条件下，LM统计量渐近的服从自由度为k2的?2统计量。（4）NormalityTest(正态检验)计算残差的J-B正态检验，这种检验主要是比较残差的第三、第四阶残差矩与来自正态分布的那些矩。对于多变量检验，必须选择一k维残差分解因子，使其与其他的每一个残差都是正交的（参考脉冲相应函数对正交的详细讨论）。设P是如下的k?k因子分解矩阵：（22.7）14vt?Put~N(0,Ik)其中ut是不符合要求的残差序列。定义第三、第四阶矩向量为：m3??tvT??6Ik?m3?????N0,?m?3???0?4???平方求和可形成一个3tm4??tvT0????24Ik???4t则在原假设是服从正态分布的条件下，有：因为每一个组成部分之间是相互独立的，所以对任意的这些第三、第四阶矩?2统计量。EViews为每一个正交分量（标明残差1、残差2等等）和整体检验都提供检验统计量。对于单个分量，被估计的偏度(skewness)和峰度(kurtosis)被列出在前两块中，J-B统计量列在第三块。（5）WhiteHeteroskedasticityTest(White异方差检验)这些检验是针对系统方程的White’s检验的扩展。这个回归检验是通过残15差序列每一个回归量交叉项乘积的回归来实现的，并检验回归的显著性。

§22.7向量误差修正及协整理论很多宏观经济时间序列可能包含单位根，这一发现刺激了非平稳时间序列分析理论的发展。Engle和Granger（1987a）指出两个或多个非平稳时间序列的线性组合可能是平稳的。假如这样一种平稳的或I(0)的线性组合存在，这些非平稳（有单位根）时间序列之间被认为具有协整关系(Cointegration)。这种平稳的线性组合被称为协整方程且可被解释为变量之间的长期均衡关系。例如，消费和收入可能具有协整关系。假如它们不具有，那么长期消费就可能比收入高或低，于是消费者便会非理性地消费或累积储蓄。46§22.8协整检验协整检验从检验的对象上可以分为两种：一种是基于回归系数的协整检验，如下面将要介绍的Johansen协整检验。另一种是基于回归残差的协整检验，如CRDW(CointegrationRegressionDurbin-Watson)检验、DF检验、ADF检验。§22.8.1ADF协整检验考虑k个I(1)变量的时间序列y1t,y2t,?,ykt,k?1,t?1,2,?,T我们可以建立如下的三种协整回归方程：k，y1t???jyjt?utj?2(22.23)(22.24)y1t?a0???jyjt?utj?2k其中ut为扰动项。y1t?a0?a2t???jyjt?utj?2k(22.25)47?,??,?,??)???(?令yt?(y1t,y2t,?,ykt),b23k??)y，如果k=1，?t?y1t，就是单位根检验；那么残差uu?t?(1,?bt如果k>1，就是检验单个序列u?t的单整性或检验之间y1t,y2t,…,ykt的协整性，问题也就变成了判断u?t是否为I(1)。如果u?t为I(1)，则y1t是单整变量(k=1)或y1t,y2t,…,ykt之间没有协整关系(k>1)。反之，承认y1t,y2t,…,ykt之间存在协整关系。因此等价的原假设为备择假设为u?t是I(0)的。?t是I(1)的，u在EViews中执行ADF协整检验，须先从上述（22.23）～（22.25）中选择一种形式建立包含k个变量y1t,y2t,…,ykt的回归方程，然后计算残差u?t。48对?t进行单位根检验，从而确定y1t,y2t,…,ykt之间是否有协整关系。upEViews将DF，ADF检验都看成为ADF检验。ADF检验考虑如下三种回归形式：?t??u?t?1???i?u?t?i??t?ui?1?t?a0??u?t?1???i?u?t?i??t?ui?1p?t?a0??u?t?1?a2t???i?u?t?i??t?ui?1pH:??0扩展定义将检验?0??H1:??0对ADF检验，检验统计量是检验回归滞后因变量的t统计量，注意关于??0的统计检验是单边检验，当计算得到的t统计量的值小于临界值时拒绝原假设（即否定存在单位根）。49下面检验例1的5个变量是否协整：对方程Y5=0.095*Y4+0.2*Y3+0.23*Y2+0.12*Y1的残差进行ADF检验：检验结果是?t是平稳的，即u?t是I（0）的，从而y1t,y2t,…,y5t是协整的。u50

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