2018年江苏省十三市中考数学试卷压轴题及详细答案解析
更新时间:2023-03-15 23:42:01 阅读量: 教育文库 文档下载
2018年江苏省十三市中考数学试卷压轴题及详细答案解析
1.(2018年江苏省南京市第25题)小明从家出发,沿一条直道跑步,经过一段时间原路返回,刚好在第16min回到家中.设小明出发第t min时的速度为vm/min,离家的距离为s m,v与t之间的函数关系如图所示(图中的空心圈表示不包含这一点). (1)小明出发第2min时离家的距离为 200 m; (2)当2<t≤5时,求s与t之间的函数表达式; (3)画出s与t之间的函数图象.
【分析】(1)根据路程=速度×时间求出小明出发第2min时离家的距离即可;
(2)当2<t≤5时,离家的距离s=前面2min走的路程加上后面(t﹣2)min走过的路程列式即可;
(3)分类讨论:0≤t≤2、2<t≤5、5<t≤6.25和6.25<t≤16四种情况,画出各自的图形即可求解.
【解答】解:(1)100×2=200(m). 故小明出发第2min时离家的距离为200m;
(2)当2<t≤5时,s=100×2+160(t﹣2)=160t﹣120. 故s与t之间的函数表达式为160t﹣120;
(3)s与t之间的函数关系式为,
如图所示:
故答案为:200.
【点评】本题考查了一次函数的应用,主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系,读懂题目信息,从图中准确获取信息是解题的关键. 2.(2018年江苏省南京市第26题)如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,连接DE.过
点A作AF⊥DE,垂足为F,⊙O经过点C、D、F,与AD相交于点G. (1)求证:△AFG∽△DFC;
(2)若正方形ABCD的边长为4,AE=1,求⊙O的半径.
【分析】(1)欲证明△AFG∽△DFC,只要证明∠FAG=∠FDC,∠AGF=∠FCD; (2)首先证明CG是直径,求出CG即可解决问题; 【解答】(1)证明:在正方形ABCD中,∠ADC=90°, ∴∠CDF+∠ADF=90°, ∵AF⊥DE, ∴∠AFD=90°,
∴∠DAF+∠ADF=90°, ∴∠DAF=∠CDF,
∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形, ∴∠FCD+∠DGF=180°, ∵∠FGA+∠DGF=180°, ∴∠FGA=∠FCD, ∴△AFG∽△DFC.
(2)解:如图,连接CG.
∵∠EAD=∠AFD=90°,∠EDA=∠ADF, ∴△EDA∽△ADF, ∴
=
,即
=
,
∵△AFG∽△DFC, ∴∴
==
, ,
在正方形ABCD中,DA=DC,
∴AG=EA=1,DG=DA﹣AG=4﹣1=3, ∴CG=
=5,
∵∠CDG=90°,
∴CG是⊙O的直径, ∴⊙O的半径为.
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、圆周角定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,属于中考常考题型.
3.(2018年江苏省南京市第27题)结果如此巧合! 下面是小颖对一道题目的解答.
题目:如图,Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D,AD=3,BD=4, 求△ABC的面积.
解:设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F,CE的长为x. 根据切线长定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.
222
根据勾股定理,得(x+3)+(x+4)=(3+4).
2
整理,得x+7x=12. 所以S△ABC=AC?BC =(x+3)(x+4) =(x2+7x+12) =×(12+12) =12.
小颖发现12恰好就是3×4,即△ABC的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合吗? 请你帮她完成下面的探索.
已知:△ABC的内切圆与AB相切于点D,AD=m,BD=n. 可以一般化吗?
(1)若∠C=90°,求证:△ABC的面积等于mn. 倒过来思考呢?
(2)若AC?BC=2mn,求证∠C=90°. 改变一下条件……
(3)若∠C=60°,用m、n表示△ABC的面积.
【分析】(1)由切线长知AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x,根据勾股定理得(x+m)+(x+n)2
=(m+n)2,即x2+(m+n)x=mn,再利用三角形的面积公式计算可得;
2
(2)由由AC?BC=2mn得(x+m)(x+n)=2mn,即x+(m+n)x=mn,再利用勾股定理逆定理求证即可;
(3)作AG⊥BC,由三角函数得AG=AC?sin60°=
(x+m),CG=AC?cos60°=(x+m)、
2
BG=BC﹣CG=(x+n)﹣(x+m),在Rt△ABG中,根据勾股定理可得x2+(m+n)x=3mn,最后利用三角形的面积公式计算可得.
【解答】解:设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F,CE的长为x, 根据切线长定理,得:AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x, (1)如图1,
222
在Rt△ABC中,根据勾股定理,得:(x+m)+(x+n)=(m+n),
2
整理,得:x+(m+n)x=mn,
所以S△ABC=AC?BC =(x+m)(x+n) = [x2+(m+n)x+mn] =(mn+mn)
=mn,
(2)由AC?BC=2mn,得:(x+m)(x+n)=2mn,
2
整理,得:x+(m+n)x=mn,
2222
∴AC+BC=(x+m)+(x+n) =2[x2+(m+n)x]+m2+n2 =2mn+m2+n2 =(m+n)2 =AB2,
根据勾股定理逆定理可得∠C=90°;
(3)如图2,过点A作AG⊥BC于点G,
在Rt△ACG中,AG=AC?sin60°=(x+m),CG=AC?cos60°=(x+m),
∴BG=BC﹣CG=(x+n)﹣(x+m), 在Rt△ABG中,根据勾股定理可得:[
2
整理,得:x+(m+n)x=3mn,
222
(x+m)]+[(x+n)﹣(x+m)]=(m+n),
∴S△ABC=BC?AG =×(x+n)?===
2
(x+m)
[x+(m+n)x+mn] ×(3mn+mn)
mn.
【点评】本题主要考查圆的综合问题,解题的关键是掌握切线长定理的运用、三角函数的应用及勾股定理及其逆定理等知识点.
4.(2018年江苏省淮安市第26题)如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
(1)若△ABC是“准互余三角形”,∠C>90°,∠A=60°,则∠B= 15 °; (2)如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=5.若AD是∠BAC的平分线,不难证明△ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E(异于点D),使得△ABE也是“准互余三角形”?若存在,请求出BE的长;若不存在,请说明理由.
(3)如图②,在四边形ABCD中,AB=7,CD=12,BD⊥CD,∠ABD=2∠BCD,且△ABC是“准互余三角形”,求对角线AC的长.
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