概率论与数理统计第一至第四章得重点题型 - 复习资料

第一章 随机事件与概率

一、填空题

1. 写出下列随机试验的样本空间。

（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分），则

W=镲睚i=0,1,?,100n；

（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数，则

禳i镲镲n镲铪?=xx?10,x为整数；

（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如

连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果，用0表示次品，1表示正品，则 ?=?00,100,010,1100,1010,0110,1110,1101,1011,0111,1111?；

（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标，则?=(x,y)x+y<1； （5）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和，则W=?3,4,?,18?； （6）将一尺之锤折成三段，观察各段长度，设x,y,z分别表示三段长度，则

??{22}?=??x,y,z?x?0,y?0,z?0,x?y?z?1?；

（7）在某十字路口，记录一小时内通过的机动车辆数，则?=?0,1,2,??； （8）记录某城市一天内的用电量，则?=xx?0。

2. 设A，B，C为三件事，用A，B，C的运算关系表示下列各事件。

（1）“A发生，B与C不发生”=ABC；（2）“A与B都发，而C不发生”=ABC； （3）“A，B，C中至少有一个发生”=A?B?C；(4)“A，B，C都发生”=ABC； （5）“A，B，C都不发生”=ABC；（6）“A，B，C中不多于一个发生”=AB?AC?BC； （7）“A，B，C中不多于两个发生”=A?B?C；（8）“A，B，C中至少有两个发生”=AB?BC?AC。

3. 在抛三枚硬币的试验中，1表示正面，0表示反面，试写出下列事件的集合表示。 （1）“至少出现一个正面”=?(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)?；（2）“最多出现一个正面”=?(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)?；

（3）“恰好出现一个正面”=?(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)?；（4）“出现三面相同”

??=?(0,0,0),(1,1,1)?。

4. 设W={x0＃x禳1镲2},A=镲x

??3??； ?2?????3??； ??2????1（3）AB?A?B?A?B??x?x???4??（4）AB?S?AB??x0?x????1或1?x?2? 2?5. 设A，B为两事件且P（A）=0.6，P（B）=0.7，则

（1）当 时，P（AB）取到最大值，最大值= ； （2）当 时，P（AB）取到最小值，最小值= 。

解：（1）观察上式，已知P(A)，P(B)均固定，当P?A?B?最小时，P(AB)最大。当

A?B?B，即A?B时，此时，P(AB)取到最大值，最大为P(AB)=P(A)=0.6。 P?A?B?最小，

（2）当P?A?B?最大时，P(AB)最小。当A?B?S时，P?A?B?取得最大值为1，此时，P(AB)取得最小值，最小值为P?AB??P?A??P?B??P?A?B?=0.6+0.7-1=0.3。 6. 设A，B，C为三件事，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,则A,B,C至少有一个发生的概率= 。

要点：用字母表示事件，是本课程入门的又一关键，由“至少”联想“?”，进而想到公式：

PA?B?C?PA?PB?PC?PAB?PBC?PAC?PABC

解：至少有一个发生：A?B?C

P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)11115????0?0??0?44488其中 P(ABC)?P(AB)?0?P(ABC)?0 7. 设P(A)=P(B)=P(C)== 。

解：事件A,B,C都不发生：ABC?A?B?C

11,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=,则事件A,B,C都不发生的概率46P(ABC)?P(A?B?C)?1?P(A?B?C)?1??P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)? ?11111?7?1?????????44466?12

8. 在电话号码簿中任取一个电话号码，则后面四个数全不相同的概率（设后面四个数中的每一个数都是等可能地取0，1，? ，9）= 。

4解：所有可能的种数为10×10×10×10种，后四个数全不相同的种数为P则所求概10，4P6310率为4?。

101259. 在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3个记录其纪念章的号码。则

（1）最小号码为5的概率= ；（2）最大号码为5的概率= 。

解 样本空间?的样本点总数为C10。

（1）最小号码为5是必须取到5号，而其余2人从6～10号中任取，故事件的样本点

2个数为C5，所求概率为p1?C5/C10?2331 122（2）最大号码为5，其余2人在1～4中选号，事件的样本点个数为C4，所求概率为

23p2?C4/C10?1 2010. 10个人随机地围一圆桌而坐，则甲、乙两人相邻而坐的概率= 。 要点：先假定某人已坐好，再考虑其他人相对该人的坐法

解：设甲已坐好，其余n?1个人相对甲的坐法有?n?1?!种，甲乙相邻，乙有两种坐法，其余n?2个人的坐法有?n?2?!种，故所求概率为

2(n?2)!2?。

(n?1)!n?110. 从0,1,2,?,9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位偶数的概率

C5441。 P(A)?1?P(A)?1?4?C104211. 有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，所取的3条线段能拼成三角形的概率P(A)?33?。 3C51012. 一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾。然后随机把六个头两两相接，六个尾两两相接，则放开手后六根草恰好连成一个环的概率= 。

要点：“六个尾两两相接”不会影响是否成环，所以只需考虑“六个头两两相接”可能出现的情况。

解：考虑头两两相接的先后次序，则“六个头两两相接”共有6!种不同结果。而要成

环则第一步从6个头中任取1个，此时余下的5个头中有一个不能相接，只可与余下的4个头中的任一个相接，第二步从未接的头中任取1个，与余下的2个头中的任一个相接，这总共有6?4?4?2?2?1种可能接法，故所求概率为

6?4?4?2?2?18?。

6!1513．在区间（0，1）中随机地取两个数，则两数之和小于6/5的概率= 。 解：设A?两数之和小于6/5，两数分别为x,y，由几何概率如图 A发生?0?x?1 0?y?1

y 6 51211?(1?)?S阴52?17 ? P(A)?25S正1 x?y?

10 16x?y? 5x 14. 设A,B为随机事件，且P(A)=0.5,P(B)=0.6,PBA=0.8,则P(A?B)= 。 解：P(AB)?P(BA)P(A)?0.8?0.5?0.4，所以

??P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.5?0.6?0.4?0.7

15. 设A,B为随机事件，且P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(A∪B)=0.6,则P(AB)= 。 解：P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?0.4?0.3?0.6?0.1，所以

P(AB)?P(A)?P(AB)?0.4?0.1?0.3。

16. 已知事件A，B满足P(AB)?P(A?B)，记P(A)?p，则P(B)= 。 解：P(AB)?P(AB)?PA?B?1?P?A?B??1?P(A)?P(B)?P(AB)，由此

???，所以0得 1?P(A)?P(B) P(B)?1?P(A)?1?p。

17. 已知P(A)?0.7,P(A?B)?0.3，则P(AB)= 。 解：因为0.3?P(A?B)?P(A)?P(AB)?0.7?P(AB)，所以

P(AB)?0.7?0.3?0.4， P(AB)?1?P(AB)?0.6

18. 已知P(A)?111,P(BA)?,P(AB)?，则P(A?B)= 。 43211解：P(A)??0，由乘法定理有：P(AB)?P(B)?P(BA)?

412又由P(AB)?P(AB)P(B)有：P(B)?P(AB)1/121??

P(AB)1/26P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?1111??? 46123

19. 三人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率= 。

要点：“至少”?对立事件。

解：三人能否译出相互独立，则三人都译不出的概率为(1－1/5)(1－1/3)(1－1/5)=0.4，至少一个译出的概率为1－0.4=0.6。

20. 设A,B,C两两独立的事件，且ABC??。若P(A)?P(B)?P(C)?1/2，且

P(A?B?C)?9/16，则P(A)= 。

9?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?(AC)?P(BC)?P(ABC) 162 ?3P(A)?3[P(A)]

解：P(A?B?C)? 16[P(A)]?16P(A)?3?0. P(A)?

21. 已知P(A)?0.4,P(A?B)?0.7,（1）若A和B不相容，则P(B)= ；（2）若A和B独立，则P(B)= ； （3）若A?B，则P(B)= 。 解：（1）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(B)

?P(A?B)?P(A)?P(AB)?0.7?0.4?0.3 （由已知AB??）

（2）P(B)?P(A?B)?P(A)?P(AB)?0.7?0.4?P(A)P(B)?0.3?0.4P(B) 0.6P(B)?0.3?P(B)? （3）P(B)?P(A?B)?0.7

23111 或 P(A)?，由 P(A)? ?P(A)?. 44241 222. 设在三次独立试验中，事件A出现的概率均相等且至少出现一次的概率为则在一次试验中事件A出现的概率= 。

00解：设所求概率为p，由题意有 1?C3p(1?p)3 =

19 ，27191 ，则p= 27323. 某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为

280，则此射手的命中率=。

381

24. 某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为__________，第三次才取得正品的概率为__________.

63?或 105P(A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)

6544654366453??????????? ? ?109810981098109854361AA)?????0. 1 P(A123109810解：设Ai?第i次取到正品，

i?1,2,3则P(A3)?25. 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个黑球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为__________；已知取出的球是白球，此球属于第一个箱子的概率为__________.

3B?取出的是一个白球 解：设Ai?取到第i箱 i?1,2,，

P(B)?113553 P(A)P(B|A)?(??)??ii3568120113?P(A2)P(B|A2)3620 P(A2|B)? ??53P(B)53120326. 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是_________.

解法1 样本点总数为P，则对立事件A=10，记A=“4只鞋子中至少有2只是一双”“4只鞋子均不成双”，故第一只鞋子是从5双（10只）中任取一只，有10种取法，第二只鞋子从剩下的4双（8只）中任取一只，有8种取法，第三只鞋子从再剩下的3双（6只）中任取一只，有6种取法，第四只鞋子有4种取法，故事件A所包含的样本点总数为10×8×6×4，得

4P(A)?1?P(A)?1?10?8?6?413?10?9?8?721

解法2 A中个数是从5双不同鞋子中任取4双，再从每双中任取一只的不同取法的种数，

4共有C5?24种取法，故

4P(A)?1?P(A)?1?C54?24/C10?13 2127. 设在一次试验中，事件A发生的概率为p. 现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为__________，而事件A至多发生一次的概率为_________.

解：设 B?A至少发生一次 P(B)?1?(1 ,?pn) C?A至多发生一次 P(C)?(1?pn)?np?(1pn?1 )二、计算题

1. 据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P{孩子得病}=0.6，P{母亲得病│孩子得病}=0.5，P{父亲得病│母亲及孩子得病}=0.4.求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。

解 ：设A=“孩子得病”，Ｂ＝“母亲得病”，Ｃ＝“父亲得病”，则所求概率为P(ABC)。已知P(A)=0.6,P(B│A)=0.5,P(C│AB)=0.4,则由乘法定理有

P?AB??P?BA?P?A??0.3

P?ABC??P?CAB?P?AB??0.12

由AB?ABC?ABC,?ABC?ABC??,有P?AB??P?ABC??PABC

????PABC?P?AB??P?ABC??0.3?0.12?0.18

2. . 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率：

（1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）第二次取出的是次品。

解法1：设A=“2正”，B=“2次”，C=“一正一次”，D=“第2次次”，基本事件=“取一只，不放回，再取一只”，S中个数=C10，可利用古典概型公式计算：P?A??2??A中个数

S中个数（1）Ａ中个数＝C28，于是

C8228P?A??2?

C10452C21P?B??2?

C104511C8C16P?C??22?

C1045（2）Ｂ中个数＝C22，于是

（3）Ｃ中个数＝CC1812，于是

（4）Ｄ＝“第一次取出正且第二次取出次”∪“第一次取出次且第二次取出次”

11111111C8C2C2C1C8C2/2?C2C1/21?Ｄ中个数＝，于是P?D??? 222C105解法２：设事件如解法１，又设A1=“第一次正”，A2=“第2次正”，则A1=“第1次次”，A2=“第2次次”，用乘法公式算

（1）P?A??P?A1A2??P?A1?PA2A1???875628??? 10990452121??? ????1099045（3）P?C??P?AA?AA??P?AA??P?AA??P??AA??AA??（2）P?B??PA1A2?PA1PA2A1?121212??121212

?P?A1?PA2A1?PA1PA2A1?0?12121?????（4）P?D??P?AA?AA??P?AA??P?AA??P??AA??AA???2121212822816???? 10910945

?P?A1?PA2A1?PA1PA2A1?0???????82211???? 1091095

3. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率，若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？

解法1 设Ai=“第i次接通电话”（i=1，2，3），A=“拨号不超过3次接通所需电话”，则A?A1?A1A2?A1A2A3，故所求概率

P?A??P?A1??PA1A2?PA1A2A3

?????1919813?????? 10109109810解法2 “拨号不超过3次就接通”的对立事件是“拨号3次都未接通”，于是

P?A??1?PA?1?PA1A2A3

?1?PA1PA2A1PA3A1A2

?1???????????9873??? 109810设B=“已知最后一个数字式奇数，不超过3次拨通”，则P?B??1?PB?1???4323??? 54354.（1） 设有甲、乙两袋，甲袋中装有n只白球，m只红漆；乙袋中装有N只白球、M只红球，今从甲袋中任意取一只放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球。问取到白球的概率是多少？

（2） 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一只盒子中任取2只球放入第二只盒子中去，然后从第二只盒子中任取一只球，求取到白球的概率。

要点：从题中“嗅出”划分，把“全”公式写出来，剩下就简单了。 解：（1）设B1=“从甲袋中取到白球”，B2=“从甲袋中取得红球”，则B1，B2构成一个划分，Ａ＝“从乙袋中取得白球”，由全概率公式

P?A??P?AB1?P?B1?P?AB2?P?B2??N?1nNm???

M?N?1n?mM?N?1n?m（2）设Bi=“从第一只盒中取到i只白球”，i=0，1，2，则B0，B1，B2构成一个划

分，设A=“从第二个盒中取得白球”，则由全概率公式知

P?A??P?AB0?P?B0??P?AB1?P?B1??P?AB2?P?B2?

112C47C45C526C553 ??2? ??2211C911C911C9995. 设一人群中有37.5%的人血型为A型，20.9%为Ｂ型，33.7%为O型，7.9%为AB型，

已知能允许输血的血型配对如下表，现在在人群中任选一人为输血者，再任选一人为需要输血者，问输血能成功的概率是多少？ 受血者 受血者 输血者 A型 B型 AB型 O型 A型 B型 AB型 O型 √ × √ × × √ √ × √ √ √ × √ √ √ √ √：允许输血 ×：不允许输血

解：设A1,A2,A3,A4分别为A，B，O，AB型输血，B1,B2,B3,B4分别为A，B，O，AB型受血，则

P?输血成功??P?A1?A2?A3?A4???B1?B2?B3?B4?

?P?A1B1???A1B4?A2B1???A2B4?A3B1???A3B4?A4B1???A4B4? ?P?A1B1??P?A1B3??P?A2B2??P?A2B3??P?A3B1??P?A3B2??P?A3B3??P?A4?

?P?A1?P?B1??P?A1?P?B3??P?A2?P?B2??P?A2?P?B3??P?A3?P?B1??P?A3?P?B2??P?A3?P?B3??P?A4??61.98%

6. 某种产品的商标为“MAXAM”，其中有2个字母脱落，有人捡起随意放回，求放回后仍为“MAXAM”的概率。

解 字母脱落2个共有五种情况，脱下“M，X”或“A，X”或“M，A”或“A，A”或“M，M”分别用A1,A2,A3,A4,A5表示，则Ai，i=1，2，?，5构成划分；设B=“放回结果正确”。

脱落的基本事件总数为C5?10。

2P?A1??P?A2??241,P?A3??,P?A4??P?A5?? 1010101P?BAi??,i?1,2,3,P?BAi??1,i?4,5

2由全概率公式 P?B???P?A?P?BA?

iii?15 ?1?224??11?3??????1????? 2?101010??1010?5

7. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

要点：“条件互倒”联想“贝”；公式右边=中转/全；抓住划分；死记贝叶斯公式不如掌握其推导过程。

解：设Ａ＝“色盲患者”，B＝“男性”，B＝“女性”，B与B为划分，由贝叶斯公式

P?BA??P?B?P?AB?P?B?P?AB??PBPAB?????0.5?0.0520?

0.5?0.5?0.5?0.0025218. 10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的装有也是一等品的概率。

解：设A?‘从箱中任取2件都是一等品’ Bi?‘丢失i等号’ i?1,2,3. 则 P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)?P(B3)P(A|B3)

21C43C521C522 ??2??2??2?；

2C910C95C99 所求概率为P(B1|A)?P(B1)P(A|B1)3?

P(A)8

9. 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格，则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格，则第二次及格的概率为p/2。(1)若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。(2)若已知他第二次及格，求他第一次及格的概率。

解 ：设Ai=“第i次及格”，i=1，2，则

P?A1??p,P?A2A1??p,PA2A1?(1)PA1A2?A1A2?A1A2

??p 2?? ?P?A1?PA2A1?PA1PA2A1?P?A1?PA2A1 ?p?p??1?p??????????p31?p?1?p??p?p2 222P?A1?P?A2A1?P?A1A2?(2)P?A1A2?? ?P?A2?P?A1?P?A2A1??PA1PA2A1???? ?p?pp?p??1?p?p2?2p p?1

其中 P?A2??P?A2S??PA2A1?A1??????P?AA?P?AA?

1212 ?P?A1?PA2A1?PA1PA2A1

10. 已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.

解：设A?‘任取一产品，经检验认为是合格品’， B?‘任取一产品确是合格品’ 则（1） P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B) ?0.9?0.95?0.1?0.02?0.857.

（2） P(B|A)??????P(AB)0.9?0.95??0.9977 P(A)0.85711. 将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收做B的概率为0.02，

而B被误收做A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2:1，若接受站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？

解 设B1=“发出信息A”，B2=“发出信息B”，A=“收到信息为A”，则

B1?B2?S,B1B2??，B1，B2为划分，由贝叶斯公式

P?B1A??P?AB1??P?B1?0.98??P?AB1??P?B1??P?AB2??P?B2?210.98??0.01?3323?196 19712. 设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，经顾客随机察看4只，若无残次品，则买此箱玻璃杯，否则不买。求：

（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；

（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没残次品的概率。

解：（1）设事件Ai={一箱的玻璃杯中含i个残次品}，i=0,1,2,且P(A0)=0.8, P(A1)=P(A2)=0.1,事件B={从一箱中任取四只杯子无残次品}，则由全概率公式可得：P(B)= P(A0)P(B|A0)+ P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)

444C20C19C18 = 0.8×4+0.1×4+0.1×4=0.94

C20C20C20（2）P(A0|B)=

P(A0B)0.8 =0.85 ?P(B)0.9413. 设考生的报名表来自三个地区，分别有10份，15份，25份，其中女生的分别为3

份，7份，5份。随机地从一地区，先后任取两份报名表，求： (1)先取的那份报名表是女生的概率p；

(2)已知后取到的报名表是男生的，而先取的那份报名表是女生的概率q。

解：(1) 设Ai={考生的报名表是第i个地区的}，i=1,2,3, B={取到的报名表是女生的}，由全概率公式知：

p=P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =?13171129?????

3103153590（2）设C={先取的那份报名表是女生的},D={后取到的报名表是男生的},则q=P(C|D)=

P(CD)P(CD)=

P(D)P(CD)?P(CD)其中P(CD)= P(A1)P(CD|A1)+ P(A2)P(CD|A2)+P(A3)P(CD|A3) =?13717811202???????? 3109315143524961 90P(CD)= P(A1)P(CD |A1)+ P(A2)P(CD |A2)+P(A3)P(CD |A3)=所以可计算得q=

20 6114. 设第一只盒子中装有3只篮球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有2只篮球，3只绿球，4只白球。独立地分别在两只盒子中各取一只球。

（1）求至少有一只篮球的概率；（2）求有一只篮球一只白球的概率； （3）已知至少有一只篮球，求有一只篮球一只白球的概率。

解：设A1,A2,A3分别表示在第一只盒子中取到篮球、绿球、白球；B1,B2,B3分别表示在第二只盒子中取到的篮球、绿球、白球。

?3/7?2/9?3/7?2/9?35/63?5/9 （1） P?A1?B1??P?A1??P?B1??P?A1B1??3/7?4/9?2/7?2/9?16/63 （2）P?A1B3?A3B1??P?A1B3??P?A3B1?P?A1B3?A3B1A1?B1??P?A1B3?A3B1?16/6316??

P?A1?B1?5/93515. 如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关

并联以改善可靠性，在Ｃ发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出，如果两个这样的开关并联联接，它们每一个具有0.96的可靠性（即在情况C发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少只开关并联？这里设各开关闭合与否都是相互独立的。

要点：独立?“积的概=概的积”

解：设Ai=“在情况C发生时，第i只开关闭合”，i=1，2，3，? ，n。当n=2时，系

统的可靠性为

p?P?A1?A2??P?A1??P?A2??P?A1A2?

?P?AP?A?A1??P2???1?P?2 A0. 9984?0.9? ?0.96?60.6?9?2也可以 p?1?PA1A2?1?PA1PA2

?1??1?0.96??1?0.96??0.9984 设n只开关并联，可保证系统的可靠性至少为0.9999，则 p?1?P?A1A2?An??0.9999

?4即 1??0.04??0.9999,?0.04??10

nn?????? n??4?2.86

lg0.04故至少需要3只开关并联，才能使系统的可靠性至少为0.9999。

16. 设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为1/3，击伤的概率为1/2，击不中的概率的概率为1/6。并设击伤两次也会导致潜水艇下沉。求释放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率。（提示：先求出击不沉的概率。）

解：设A=“释放4 枚炸弹，击沉潜水艇”，B=“释放4枚炸弹，均未击中潜水艇”，C=“释放4 枚炸弹，恰有一枚击伤潜水艇”，则A?B?C

1由独立性有P?B???1/6?,P?C??C4??1/2??1/6?

43 P?A??1?PA?1?P?B?C??1?P?B??P?C?

1 ?1??1/6??C4??1/2??1/6??1283/1296

43??

第二章 随机变量及其分布 一、填空题

1. 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只球，以X表示取出的3只球中的最大码，则随机变量X的分布律为 ??345?。 33?1?10105?2. 设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，则X的分布律为 。

123213

解： P{X=1}=C2·C13/C15=错误！未找到引用源。，P{X=2}=C2·C3/C15=错误！未找到

引用源。，P{X=0}=1－P{X=1}－P{X=2}=错误！未找到引用源。 分布律图形如图2-1所示。 X pk 0 22/35 1 12/35 2 1/35 3. 设随机变量X的分布律为P(X?k)?a为常数，则常数a=e???kk!，k=0，1，2，?；错误！未找到引用源。

。

4. 设X~P(?)，且P(X?1)?P(X?，2则P(X?1?)__________，

P(0?X2?3)?__________。

解：P(X?1)??11!e????22!e??????22???2(??0)

P(X?1)?1?P(X?0)?1??00!e???1?e?2

P(0?X2?3)?P(X?1)?2e?2

4. 设随机变量Y在区间[1，6]上服从均匀分布，则方程x?Yx?1?0有实根的概率为 0.8 。

解：方程x?Yx?1?0有实根当且仅当Δ≥0，即|Y|≥2,则P(|Y|≥2)=

22?621dx=0.8 55. 设随机变量X在区间[2，5]上服从均匀分布，求对X进行的三次独立观测中，至少有两次的观测值大于3的概率为 。 解：P(X＞3)=

?5312202?2??1?2?2?dx= , 则所求概率即为C3 ?????C3???3327?3??3??3?236. 设 X～f(x)???2x0?x?1 ，对X的三次独立重复观察中，事件{X≤0.5}出现

0?9 64的次数为随机变量Y,则P{Y =2}= 9/64 。

2解：P{X≤0.5}=0.25, Y服从B(3,0.25)分布,则P{Y=2}=C30.2520.75=

7. 设X~b(2,p),Y~b(3,p)，若P(X?1)?5/9，则P(Y?1)? 19/27 。 解：X~B(2,p)，则P(X?k)?C2p(1?p)kk2?kk?0,1,2

kkY~B(3,p)，则P(Y?k)?C3p(1?p)3?kk?0,1,2,3.

5 900P(X?1)?1?P(X?0)?1?C2p(1?p)2?1?(1?p)2?而(1?p)?2142，1?p?，p?，所以

393219P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?p)3?1?()3?.

327?Ax2e?2x,x?08. 设随机变量X的概率密度为f(x)??则A?__________，X的分

x?0,?0,布函数F(x)?__________。

??????1?2?2x??2?2xf(x)dx??Axedx?A(?)?xe??2xe?2xdx?解：?

?0??002????1??A???2xAA?2x?A(?)?xde??edx??e?2x??1

0202044所以 A?4.

?xf(x)dx?4xx2e?2xdx?4xu2e?2udu?1?(2x2?2x?1)e?2x,x?0??0?0F(x)???0

?x?0?0,9. 设随机变量X服从均值为10，均方差为0.02的正态分布，设Ф（x）为标准正态分布函数，已知Ф（2.5）=0.9938,则X 落在区间（9.95,10.05）内的概率为 0.9876 。

?1x?2e1?|x|10. 设随机变量X?f(x)=e,-∞＜x＜+∞,则X?F(x)??12?1?e?x?2解：当x＜0时，F(x)=

当x≥0时，F(x)=

x?0。

x?0??x??x??1t1edt?ex ??2201x11f(t)dt??etdt??e?tdt?1?e?x

??2022f(t)dt??x11. 设随机变量X的概率分布为P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,则其分布函数

x?1?0,?0.2,1?x?2?F(x) =?。

0.5,2?x?3??x?3?1,?x?0?0??12. 设X的分布函数F(x)??Asinx0?x??,则A= 1 ,P?|X|＜ ? = 1/2 。 26??1x??2?解：F(x)为连续函数，limF(x)?limF(x)?F()

x??2??x??2?21?Asin?2?A?1.

P(|X|??6)?P(??6?X?????1)?F()?F(?)?sin? 66662x??1?0?0.4?1?x?1?13. 设X的分布函数F(x)??，则X的概率分布列为

?0.81?x?3?x?3?113???1??。 0.40.40.2??14. 设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2, 则E(Z)= 4 。 15. 设X～N(2,?）且P{2

17. 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数且每次命中率为0.4,则EX= 18.4 。

解：X～B(10,0.4）,则EX?(E(X))?D(X)?2.4?16?18.4

22218. 设随机变量X的概率密度为

?e?x,x?0f?x???，则

?0,x?0?2X（1）E?2X?= 2 ；（2）Ee= 1/3 。

??19. 设X服从泊松分布. （1）若P(X?1)?1?e，则EX?__________；（2）若

?22EX2?12，则P(X?1)?__________。

解：P(X?K)??kk!e??k?0,1,2,? ??0

（1）P(X?1)?1?P(X?0)?1???0!DX???EX2?(EX)2?EX2??2， ?EX2????2?2?4?6

22e???1?e???1?e?2 ???2.

（2）EX?12????所以 P(X?1)?1?e???2???12?0(??4)(??3)?0,??3

?1?e?3

20. 设X~b(n,p)，且EX?2,DX?1，则P(X?1)?__________。 解：X~B(n,p)EX?np?2，DX?npq?1?q?121212p?11221211 16n?4

00413所以 P(X?1)?1?P(X?0)?P(X?1)?1?C4()()?C4()()?21. 设X~U[a,b]，且EX?2,DX?1/3，则a?______；b?______。 解：X~U[a,b]EX?2?a?b?a?b?4 21(b?a)2DX???(a?b)2?4?b?a?2

312?a?1b?3

22. 设一次试验成功的概率为p，现进行100次独立重复试验，当p?________时，成

功次数的标准差的值最大，其最大值为________。

解：DX?npq?100p(1?p)??100p?100p?(?100)(p?)?25

212p?1，DX有最大值为5. 223. 设X服从参数为?的指数分布，且P(X?1)?e?2，则EX2?_______。

?1?e??xx?0解：F(x)?? P(X?1)?1?P(X?1)?1?F(1)?e?2

x?0?01?(1?e??)?e?2???2. 1111111EX??,DX?2?，?EX2?DX?(EX)2???

?2?444224. 一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为

________，标准差为________。

解：设X表示所取产品的次品数，则X~B(5,0.1).

EX?np?5?0.1?0.5,DX?npq?0.45，DX?25. 设随机变量X的概率密度为

4535 ?10010a?x?b,?x,f(x)??0?a?b,

其他,?0,2且EX?2，则a?__________，b?___________.

??bx212f(x)dx??xdx??(b?a2)?b2?a2?2 ① 解：1????a22bbx414412222223EX??xf(x)dx??xdx??(b?a)?(b?a)(b?a)

aa4441?(a2?b2)?2?a2?b2?4 ② 2解（1）（2）联立方程有：a?1,b?3.

二、 计算题

1. 一汽车沿一街道行驶，要经过三个有信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿信号显示的时间相等，求此汽车首次遇到红灯前已通过的路口数X的概率分布。

i=1,2,3,则P(Ai)=0.5, 解： 设 Ai={第 i个路口遇到红灯}，X的所有取值为0,1,2,3,

其概率分布如下：P(X=0)=P(A1)=0.5 P(X=1)=P(A1A2)?P(A1)P(A2)=0.25

P(X=2)=P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)=0.125 P(X=3)= P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)=0.125

2. 一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率

为0.1，问在同一时刻

（1） 恰有2个设备被使用的概率是多少？ （2） 至少有3个设备被使用的概率是多少？ （3） 至多有3个设备被使用的概率是多少？ （4） 至少有1个设备被使用的概率是多少？

解：设对每个设备的观察为一次试验，则试验次数为5且每次试验相互 独立。于是X～b(5,0.1),分布律为

k5-k

P{X=k}=错误！未找到引用源。(0.1)(0.9)，k=0，1，2，3，4，5

（1） P{X=2}=错误！未找到引用源。·0.12·（1-0.1）3=0.0729 （2） P{X错误！未找到引用源。}=P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}

=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=0.00856

（3） P{X错误！未找到引用源。}=1-P{X=4}-P{X=5}

=错误！未找到引用源。=0.99954

（4） P{X错误！未找到引用源。}=1-P{X错误！未找到引用源。}=1-P{X=0}

=1-错误！未找到引用源。=0.40951

3. 设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号。（1）进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。

解：设A发生的次数为X，则X错误！未找到引用源。b(n,0.3)，设B为指示灯发出信号。

（1） n=5，则P(B)=P{X错误！未找到引用源。}=错误！未找到引用源。 或 P(B)=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

（2）n=7， 则P(B)=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 或 P(B)=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=0.353

0?x?1;?x,?4. 设随机变量X的密度函数为p(x)??2?x,1?x?2; 试求

?0,其他?（1）X的分布函数F(x)； （2）P??1?x?1.5? 。 解：当x?0时，F(x)?0；当x?2时，F(x)?1；

x2当0?x?1时，F(x)??p(u)du??udu?；

??02xx当1?x?2时，F(x)??x??p(u)du??udu??01x1x2(2?u)du???2x?1

2所以可的X的分布函数为

x?0;?0,?2?x,0?x?1;?2 F(x)??2??x?2x?1,1?x?2;?2?x?2.?1,1.527?2?1.5?1?. （2） P??1?x?1.5??F(1.5)?F(?1)??28??Acosx,x?;??25. 设随机变量X的密度函数为p(x)?? 试求

??0,x?.??2（1） 系数A； （2） X落在区间（0，?/4）的概率。 解：（1）因为 1??????p(x)dx?A?12?/2??/2cosxdx?Asinx?/40?/2??/2?2A 所以A?1/2

（2） 所求概率p???/401cosxdx?sinx2?2 4x?0,?0,?26. 设随机变量X的分布函数为F(x)??Ax,0?x?1, 试求

?1,x?1.?（1）系数A； （2） X落在区间（0.3，0.7）内的概率； （3） X的密度函数。 解：（1） 由F(x)的连续性，有1?F(1)?limF(x)?limAx?A，由此得A?1

x?1?0x?1?02（2） P(0.3?X?0.7)?F(0.7)?F(0.3)?0.72?0.32?0.4 （3） X的密度函数为p(x)?F?(x)???2x,0?x?1,

?0,其他.7. 对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩（按百分制计）近似服从正态分布，平均72分且96分以上的考生数占2.3%，求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。

解：设X表示考生的外语成绩，且X～N(72,?),则

224)=0.023, ?2424即? ()=0.977,查表得=2，则? =12，即且X～N(72,144)，

??X?72故P(60≤X≤84)=P(-1≤≤1)=2?(1)-1=0.682

12P(X＞96)=1-P(X≤96)=1-?(

8. 设测量误差X～N(0，100)，求在100次独立重复测量中至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并用Possion分布求其近似值（精确到0.01）。

解：由于X～N(0，100)，则P(|X|＞19.6)=1- P(|X|≤19.6)=2[1-?(1.96)]=0.05且显然Y～B(100,0.05),

2故P(Y≥3)=1- P(Y≤2)=1-0.95100?100?0.05?0.9599?C100?0.052?0.9598

设?=np=100×0.05=5，且Y?P(5),则 P(Y≥3)=1- P(Y≤2)=1-

1k?5255e?1?0.007(1?5?)=0.8705 ?2k?0k!29. 设X ~ N (3,22)，(1)求Ｐ{22},P{X >3};

（2）确定c使得P{X>c}=P{X≤c}, (3) 设d满足P{X>d}≥0.9，问d至多为多少？

要点： 本题及接下来的四道题要查表计算：一般正态化为标准正态，再查标准正态表，其理论根据：若X~N(?,?2),则

X???～Ｎ（０，１），例如，Ｘ～Ｎ（?，?2）,求P{x1

≤x2}=? 核心技术：让x1，X，ｘ2三方“同跳标准舞”，P{x1

x1???<

X??? ≤

x2???}=?（

x2???）－???x1????。反之，若这个知识点不透，后面的学习将会在黑???暗中摸索，因为在统计部分仍将反复使用这个知识点。可省去过程，直接使用公式： P{x1

x2???）－???x1????由于的图像关于远点对称，口诀：?????负??1???正? ???x????x??1????x??1??(x)

解：（１）P{2

?2??2??2?

0.5kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？ 解 设各零件的重量为

Xi,i?1,2...,5000总重量X??Xi，由定理四

i?15000X?5000?0.5近似~N(0,1)从而

5000?0.1?X?5000?0.52510?5000?0.5?P{X?2510}?1?P{X?2510}?1?P???

5000?0.1??5000?0.1)?0.0793 ?1??(1.41424. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现从这批木柱中随机地

取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？

“100次中，长度不小于3m的次数”解 抽一根，看做一次试验，X?，则

X~b(100,0.8),且E(X)?100?0.8?80,D(X)?100?0.2?0.8?16

利用棣莫佛-拉普拉斯定理可得(X)?近似~N(0,1)

5??X?80P{X?70}?P?????1??(2.5)?0.0062

2??45. 某单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每个电话分机是否使用外线通话

是相互独立的。设每时刻每个分机有5%的概率要使用外线通话。问总机需要多少外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用？

解 设总机需要安装N条外线X=“200架电话分机中使用外线的数目”，则X服从二项分布b?200,??5?5595利用棣?10,D(X)?200???9.5。?,E(X)?200?100?100100100莫佛-拉普拉斯中心极限定理，得P{X?N}?P??X?10?9.5??N?10?N?10???????? 9.5??9.5?由????N?10?N?10?1.28,解出N?1.289.5?10?13.95,故总，查表得??0.90?9.5?9.5?机需要安装14条外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。

6. (1)一复杂的系统由100个相互独立起作业的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10.为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率。

（2）一复杂的系统由n个相互独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性（即部件正常工作地概率）为0.90.且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多大才能使系统的可靠性不低于0.95。

解 （1）设Xi???1，第i个部件在整个运行期间正常，i?1,2,...,100，则

?0，第i个部件在整个运行期间损坏100且P{Xi?1}?0.90,P{Xi?0}?0.1，令X??Xi，则X1,X2,..X.1,0相互独立，0i?1X~b(100,0.9)，由棣莫佛-拉普拉斯定理知：

X?100?0.9100?0.9?0.1近似~N(0,1)

从而 P{X?85}?1?P{X?85}?1?P??X?100?0.9?100?0.9?0.1?85?100?0.9??

100?0.9?0.1? ?1?????5??5???????0.9525 ?3??3?即整个系统工作正常的概率为0.9525。

（2）设X=“n个部件中正常工作地部件的个数”，则X~b(n,0.90),E(X)?0.90n

D(X)?0.09n。当X?n?80%时，系统正常工作。由棣莫佛-拉普拉斯定理知

?n??0.8n?0.9n????0.95 P{X?0.80n}?1?P{X?0.80n}?1??????????0.09n???3?查表得

n?1.645?n?24.354，故n至少为25。 37. 某药厂断言，该厂生产地某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8。医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。（1）若实际上次药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上次药品对这种疾病的治愈率为0.7，问接受这一断言的概率是多少?

解 设随机变量X表示100个服用次药品的病人中治愈的人数，则X服从二项分布

b(100,p),从而E(X)?100p,D(X)?100p(1?p)。运用棣莫佛-拉普拉斯中心极限

定理。

（1）治愈率是0.8，

X~b(100,0.8),E(X)?100?0.8?80,D(X)?100?0.8?0.2?16。100人中多于

75人治愈，接受药厂断言的概率为

?X?8075?80?P{X?75}?P????1????1.25???(1.25)?0.8944

16??16（2）治愈率为0.7，

故X~b(100,0.7),而E(X)?100?0.7?70,D?X??100?0.7?0.3?21。

则接受断言的概率为P{X?75}?1?P{X?75}?1?P??X?70?21?75?70?? 21? ?1?P??X?70???1.09??1??(1.09) 21? ?1?0.8621?0.1379

8. 随机地选取两组学生，每组80人，分别在两个实验室里测量某种化合物的pH 值。各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为5， 方差为0.3，以X,Y分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均。（1）求

（2）求P{?0.1?X?Y?0.1P{4.9?X?5.1}；}。

X?E(X)近似解 以下将用到定理四： ~N(0,1)

D(X)n(1)P{4.9?X?5.1}???(5.1?5)????0.3?????(4.9?5)?80???0.3?? 80????0.1?2?

??0.3???1?2?(1.605)?1?0.8918 80??(2)由X,Y相互独立知，X?Y近似服从正态分布，将（X?Y）看做整体，可用定理 四。E(X?Y)?E(X)?E(Y)?0

D(X?Y)?D(X)?D(Y)?113?0.3??0.3? 8080400?X?Y??0~N(0,1)

近似3400????????0.1??0.1?P{?0.1?X?Y?0.1}???????2?(1.15)?1?0.7498

?3??3??????400??400?9. 某保险公司经多年的资料统计表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，在随意抽

查的100家索赔户中被盗的索赔户数为随机变量X。 （1）写出X的概率分布；

（2）利用棣莫佛—拉普拉斯定理，求被盗的索赔户数不少于14户且不多于30户的概率的近似值。 附表：

x00.511.522.53?(x)0.50.6920.8410.9330.9770.9940.999

解：（1）据题意，可知100家索赔户中被盗的索赔户数X服从二项分布，其参数

n?100,p?0.2，即

kX~B(100,0.2)，且P(X?k)?C100?0.2k?0.8100?k，k?1,2,?,100

（2）由np?100?0.2?20，np(1?p)?100?0.2?0.8?4 得P(14?X?30)?P(?1.5?X?20?2.5) 4

??(2.5)??(1.5)?1?0.994?0.933?1?0.92710. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于0.977.

(?(2)?0.977,其中?(x)是标准正态分布函数）。

解：设Xi(i?1,2,?n)是装运的第i箱的重量（单位：千克），可以将X1,X2,?Xn视为独立同分布随机变量，而n箱的总重量 Tn?X1?X2???Xn 是独立同分布随机变量之和。 由条件知E(Xi)?50,D(Xi)?5;E(Tn)?50n;D(Tn)?5n

根据列维-林德伯格中心极限定理，Tn近似服从N(50n,25n)分布，则每车的装箱数n决定于条件：

?T?50n5000?50n?P{Tn?5000}?P?n??5n?5n??1000?10n????????0.977??(2)n??

由此可见

1000?10nn?2，从而n<98.0199,即知每车最多可以装98箱。

11. 一家有500间客房的大旅馆的每间客房装有一台2kw的空调机。若开房率为

80%，需要多少kw的电力才能有99%的可能性保证足够的电力使用空调机。

解：令Xi???1,第i间客房开房

0,第i间客房未开房 ?k?799)?0.99 85则则Xi?b(1,0.8),由此Y?X1???X500。应用中心极限定理有?(解出k=841。

12. 某工厂每月生产10000台液晶投影机，但它的液晶片车间生产合格品率为80%。为了以99.7%的可能性保证出厂的台液晶投影机都能装上合格的液晶片，试问该液晶片车间每月至少应该生产多少片液晶片？

解：设每月至少应该生产n片液晶片，其中合格品数记为X，则有X~b(n,0.8)。下求n，使下述概率不等式成立

P(X?10000)?0.997,或P(X?10000)?0.003。

利用二项分布的正态近似，可得

10000.5?0.8n??2.75,

0.4n由此解得n?12655，即每月至少应该生产12655片液晶片。

13. 某产品的合格品率为99%。问包装箱中应该装多少此种产品，才能有95%的可能性使每箱中至少有100个合格产品。

解：设包装箱中装有n个产品，其中合格品数记为X，则有X~b(n,0.99)。下求n，使

P(X?100)?0.95,或P(X?100)?0.05

成立。利用二项分布的正态近似，可得

100.5?0.99n??1.645,

0.0995n解得n?103.19，即每箱中装有104个产品，能有95%的可能性使每箱中至少有100个合格产品。

14. 为确定某城市成年男子中吸烟者的比例p，任意调查n个成年男子，记其中的吸烟人数为m。问n至少为多大才能保证m/n与p的差异小于0.01的概率大于95%。

解：因为m~b(n,p)，所以E(m/n)?p,Var(m/n)?p(1?p)/n。根据题意有

?0.01n??m?0.95?P??p?0.01??2???1, ????n??p(1?p)?由此得

?0.01n?0.975???.

?p(1?p)????查表得

0.01n?1.96,或n?1962?p(1?p).

p(1?p)

P{－4

?2??2??2??2??2?P{丨X丨>2}=1－P{错误！未找到引用源。}=1－Φ(错误！未找到引用源。)+Φ(错误！未找到引用源。)=1－Φ(－错误！未找到引用源。)+Φ(－错误！未找到引用源。)

=1+Φ(错误！未找到引用源。)－Φ(错误！未找到引用源。)=0.6977

P{X错误！未找到引用源。}=1－P{X错误！未找到引用源。}=1－Φ(错误！未找到引用源。)=1－错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=0.5

（2）由P{X错误！未找到引用源。}=P{X错误！未找到引用源。}得：P{X错误！未找到

引用源。}=错误！未找到引用源。，P{X错误！未找到引用源。}=Φ(错误！未找到引用源。，则c=3

（3）P{X错误！未找到引用源。}=1－P{X错误！未找到引用源。}=1－P{错误！未找到引用源。}=1－Φ(错误！未找到引用源。)错误！未找到引用源。0.9错误！未找到引用源。Φ(错误！未找到引用源。)错误！未找到引用源。0.1查表

x?1cos,0?x??;?10. 设随机变量X的概率密度函数为p(x)??2对X独立重复观察2?其他.?0,2

4次，Y表示观察值大于?/3的次数，求Y的数学期望。

解： 因为随机变量X的概率密度函数为

x?1?cos,0?x??; p(x)??22?其他.?0,1xx1?1?cosdx?sin?所以p?P(X??/3)??，Y~b?4,?。因此?/3222?/32?2???E(Y)?E?Y2??Var(Y)??EY??1?22?5. 2V,a?r(。于是便可得Y)2?1?x,?1?x?0;?11. 设随机变量X的概率密度函数为p(x)??1?x,0?x?1试求Var(3X?2)。

?0,其他.?解：EX??????1??11??1xp(x)dx??x(1?x)dx??x(1?x)dx??x2?x3???x2?x3??0

?103??1?23?0?20101EX2??????1?1?1?1?1x2p(x)dx??x2(1?x)dx??x2(1?x)dx??x3?x4???x3?x4???104??1?34?06?30101所以 Var(X)?EX??EX??EX?22213， 于是得Var(3X?2)?9Var(X)?。 62?x12. 设随机变量X的概率密度 fX(x)=eX，x≥0，求Y=e的概率密度fY(y)。

X

解：因为Y?e的取值范围是(1,??)，且y?g(x)?ex是严增函数，其反函数为

x?h(y)?ln(y)，及h?(x)?1/y，所以Y的密度函数为

?1?p(lny)1y,y?1?X?2,y?1, pY(y)????y其他??0,?0,其他.?13．设随机变量X~N(0,?2)，求Y?X的分布。

解：因为Y?X的取值范围是(0,??)，所以当y?0时Y的密度函数为pY(y)?0。而当y?0时，Y的分布函数为

22FY(y)?P?X2?y??P?y?X?y?FX???y??F??y?，

X上式两边关于y求导得，当y?0时Y的密度函数为

pY(y)?pX?y?21y?p??y?21y?X1y1?y?exp??2?, 2???2??所以Y的密度函数为

?1?pY(y)??y?0,?1?y?exp??2?,2???2??y?0,其他.

14. 设随机变量X服从U(??/2,?/2)，求随机变量Y?cosX的密度函数。 解：X的密度函数为

?1/?,??/2?x??/2; pX(x)??其他.?0,由于X在(??/2,?/2)内取值，所以Y?cosX的取值范围是(0,1)。在Y的取值范围之外有pY(y)?0。而当0?y?1时，Y的分布函数为

FY(y)?P(Y?y)??上式两边关于y求导得

?arccosy??/2?1dx??2?/2arccosy?1dx

pY(y)?所以Y的密度函数为

1?1?y2?1?1?y2??1?y2,0?y?1.

2?,0?y?1?2pY(y)???1?y,

?0,其他.?

?2x?2,0?x??15. 设随机变量X的概率密度为f?x????，求Y?sinX的概率密度。

?0,其余?解 当x?(0,?)时，0?y?1，则当y?0或y?1时，

F?y??0Y或

F?y??1?f?y??0

YY当0?y?1时，

F?y??P?sinX?y??P?X?arcsiny??P?X???arcsiny?

Y ??arcsiny2x0??dx??2?2x??arcsiny?2?dx

则概率密度为

f1?2,0?y?1?2?? ?y???1?yY?0，其余??

三、 应用题

1. 有一大批产品，其验收方案如下。先作第一次检验：从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品。若产品的次品率为10％，求

（1） 这批产品经第一次检验就能接受的概率。 （2） 需做第二次检验的概率。

（3） 这批产品按第二次检验的标准被接受的概率。

（4） 这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过的概率。 这批产品被接受的概率。

解： 设X=“第一次检验的次品数”，Y=“第二次检验的次品数”，p=10％ =0.1，则X错误！未找到引用源。b(10,0.1), Y 错误！未找到引用源。b(5,0.1)

（1） P{X=0}=错误！未找到引用源。=0.910≈0.349

（2） P{1错误！未找到引用源。X错误！未找到引用源。2}=P{X=1}+P{X=2}=

错误！未找到引用源。≈0.581

（3） P{Y=0}=错误！未找到引用源。=0.95≈0.590

（4） P{Y=0,1错误！未找到引用源。X错误！未找到引用源。2}=P{Y=0}P{1

错误！未找到引用源。X错误！未找到引用源。2} 两事件相互独立

=0.59错误！未找到引用源。0.581≈0.343

（5） P（{X=0}错误！未找到引用源。{Y=0,1错误！未找到引用源。X错误！

未找到引用源。2}）=0.349+0.343=0.692

2. 有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯，如果从中挑 4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。

（1） 某人随机的去猜，问他试验成功一次的概率是多少？

（2） 某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验10次，成功3次， 试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）。 要点： 本题第（2）问为后面第八章假设检验作伏笔。

解： （1）为古典概型问题，基本事件总数为错误！未找到引用源。，则成功一次的概率为1/错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

（2）设成功次数为X，则X错误！未找到引用源。b(10,错误！未找到引用源。)，所以P{X=3}=错误！未找到引用源。≈3.163错误！未找到引用源。10-4 因为仅凭猜测，能成功3次的概率特别小，可认为他确有区分的能力。

3. 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001。在某天的改短时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2 的概率是多少？（利用泊松定理计算。） 解： 1000辆汽车中在一天的某段时间内发生事故的次数X服从二项分布b(1000,0.0001),所求概率为

P{X错误！未找到引用源。2}=错误！未找到引用源。 =1－错误！未找到引用源。 =1－错误！未找到引用源。

计算较麻烦，如果用泊松定理计算，将大大化简计算。即

错误！未找到引用源。≈错误！未找到引用源。，

其中错误！未找到引用源。np=1000错误！未找到引用源。0.0001=0.1，于是

P{X错误！未找到引用源。2}=1－P{X错误！未找到引用源。2}=1－P{X=0}－P{X=1}错误！未找到引用源。1－错误！未找到引用源。 =1－错误！未找到引用源。=0.00468

4. 某地区18岁的女青年的血压（收缩压，以mm-Hg计）服从N（110，122），在该地区任选一18岁的女青年，测量她的血压X；（1）求P{X错误！未找到引用源。}，P{100错误！未找到引用源。}；（2）确定最小的x，使P{X错误！未找到引用源。}错误！未找到引用源。0.05。

解（1）X错误！未找到引用源。 P{X错误！未找到引用源。}=Φ(错误！未找到引用源。)=Φ(－0.417)=1－Φ(0.417)=1－0.6628=0.3372

P{100错误！未找到引用源。}=Φ(错误！未找到引用源。)－Φ(错误！未找到引用源。)=Φ(0.83)－Φ(－0.83)

=2Φ(0.83)－1=0.5934

（2）要使P{X错误！未找到引用源。}错误！未找到引用源。0.05，只须1－P{X错误！未找到引用源。}错误！未找到引用源。0.05，即 P{X错误！未找到引用源。}错误！未找到引用源。1－0.05=0.095

亦即 Φ(错误！未找到引用源。)错误！未找到引用源。0.95，故 错误！未找到引用源。。

5. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为错误！未找到引用源。，某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求P{Y错误！未找到引用源。}。

要点： 5次错误！未找到引用源。5重错误！未找到引用源。Y错误！未找到引用源。b(n,p)=b(5,p)，p由X的分布求。

解： Y错误！未找到引用源。b(5,p)

p =P{X错误！未找到引用源。}=错误！未找到引用源。 Y的分布律为

P{Y=k}=错误！未找到引用源。，k=0，1，2，3，4，5

P{Y错误！未找到引用源。}=1－P{Y错误！未找到引用源。}=1－P{Y=0}=1－错误！未找到引用源。=0.5167

6. 由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数μ=10.05，σ=0.06的正态分布，规定长度在范围10.05错误！未找到引用源。0.12内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率。

解：记螺栓的长度为X，则螺栓为不合格品的概率为

p?1?P(10.05?0.12?X?10.05?0.12)?2?2?(0.12/0.06)?2?0.9772?0.0456

3. 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为μ=160，σ的正态分布，若要求P{错误！未找到引用源。}错误！未找到引用源。，允许σ最大为多少？

解： X错误！未找到引用源。

P{错误！未找到引用源。}=Φ错误！未找到引用源。Φ错误！未找到引用源。=2Φ错误！未找到引用源。

得Φ错误！未找到引用源。，查表知，Φ(1.28)=0.90，即Φ错误！未找到引用源。Φ(1.28)错误！未找到引用源。

所以σ最大为31.25。

7. 以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），X的分布函数是 FX(x)=错误！未找到引用源。，求下述概率：

（1） P{至多3分钟}； （2） P{至少4分钟}； （3） P{3分钟至4分钟之间； （4） P{至多3分钟或至少4分钟}； （5） P{恰好2.5分钟}。 要点： 由此题可体会由分布函数计算概率的简洁！ 解： （1）P{X错误！未找到引用源。}=FX(3)=1－错误！未找到引用源。=1－e-1.2=0.6988

（2） P{X错误！未找到引用源。}=1－P{X错误！未找到引用源。}=1－FX(4)=

错误！未找到引用源。=0.2019

（3） P{3错误！未找到引用源。X错误！未找到引用源。4}=P{X错误！未

找到引用源。}－P{X错误！未找到引用源。}

=FX(4)－FX(3)=1－错误！未找到引用源。=0.0993

（4） P{X错误！未找到引用源。}+P{X错误！未找到引用源。}=1－错误！

未找到引用源。=0.6988+0.2019=0.9007

P{X=2.5}=0

8. 某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量X（单位：吨）服从（300，500）上的均匀分布。每售出1吨该原料，公司可获利1.5（千元）；若积压1吨，公司损失0.5（千元）。问公司应该组织多少货源，可以使平均收益最大？

解：设公司组织该货源a吨，则应有300?a?500。又记Y为在a吨货源条件下的收益额（单位：千元），则收益额Y为需求量X的函数，有

X?a?1.5a,?1.5a,Y?g(X)????1.5X?0.5(a?X),X?a??2X?0.5a,所以

X?a,

X?a.E?Y???????g(x)pX(x)dx??500300g(x)a11?500dx?1.5adx?(2x?0.5a)dx?????300?200200?a1?(?a2?900a?3002),200

这是a的二次函数。当a=450吨时，E?Y?达到最大。故公司应该组织货源450吨。- 9. 某新产品在未来市场上的占有率X是仅在区间（0，1）上取值的随机变量，它的密

?4(1?x)3,0?x?1;度函数为p(x)?? 试求平均市场占有率。

其他.?0,解：求平均市场占有率即是去求E?X?，有

E?X???4x(1?x)3dx??(4x?12x2?12x3?4x4)dx?2?4?3?001141?. 55

第三章 多维随机变量及其分布

一、填空题

1. 设X的分布律为

为（ ）。

Xp01211且X与Y独立同分布，则随机变量Z=max{X,Y}的分布律2Z01413 ] 4,求边缘密度fX(x)，

[答案：

p?e?y2. 设(X,Y)的概率密度为f(x,y)= ??0P(X?Y?1)。

解：fX(x)?0?x?y其他?????f(x,y)dy??e?ydy?e?x

x??P(X?Y?1)=

0?x?y,x?y?1??f(x,y)dxdy??120dx?1?xxedy?1?e?2e?y?1?12

3．设X～N(-3，1），Y～N(2,1),且X与Y相互独立，若Z=X-2Y+7，则Z服从的分布是（ ）。

[答案 填：N(0,5）]

4. 设D是由曲线xy=1与直线y=0,x=1,x=e围成的平面区域,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘分布在x=2处的值为( )。 由SD?

e22 [答案 填：

1] 41?1xdx?2， 设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则：

1当(x,y)∈D时，f(x,y)= ； 当(x,y)∈D时，f(x,y)=0.

2∴当1≤x≤e时fX(x)?2?????f(x,y)dy??1x0111dy?，显然fX(x)在x=2处的值为.

422x5. 设随机变量X,Y相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则

P(X?Y?1/2)?__________.

??1x?[0,1]?1y?[0,1]解：fX(x)?? fY(y)??

0其它0其它????fXx(?)fY f(x,y)?1y(?)??00?x,y?1其它

y 1 11111P(X?Y?)???f(x,y)dxdy?S阴????

2S2228阴0 1 x?y?12x 6. 设两个随机变量X与Y相互独立且均服从分布N(0,

[答案 填：

1),则E|X-Y|=( ). 22?]

令U=X-Y,则U～N(0,1),从而 E|X-Y|=E|U|= =??????|u|??12??u22e?u22du??2?2??0??ue?u22du

22?

?2?20eu22d(?)??22??0etdt?7. 设X,Y是两个随机变量，且DX?1,DY?1/4,?XY?1/3，则

D(X?3Y?)__________.

解：D(X?3Y)?DX?D(3Y)?2cov(X,3Y)?DX?9DY?6cov(X,Y) ?1?8.

99119?6??XYDXDY?1??6??1??. 44324设EX?1,EY?2,DX?1,DY?4,?XY?0.62?Y__________. 1?)，则

E(2?Xcov(X,Y) DX?DY(Y,?)，0C常数 ?cov(X,Y)?0.6?1?2?1.2 covC 解：E(2X?Y?1)?2EX?EY?1?1，?XY?0.6? D(2X?Y?1)?D(2X?1)?DY?2cov[(2X?1),Y]

?4DX?DY?4cov(X,Y)?4?4?4?1.2?3.2 E(2X?Y?1)?D(2X?Y?1)?[E(2X?Y?1)]?3.2?1?4.2

9. 设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4，而相关系数为-0.5,则根据切比雪夫不等式有P{|X?Y|?6}?（ ）。

[答案 填：

2221] 12事实上，

E(X?Y)?EX?EY??2?2?0,D(X?Y)?DX?DY?2Cov(X,Y)?DX?DY?2?XYDXDY?3 ?P{|X?Y|?6}?P{|(X?Y)?E(X?Y)|?6}?D(X?Y)1?361210. 设X,Y是两个随机变量，且DX?1,DY?1/?4XY,?，1则

D(X?3Y?)__________.

解：D(X?3Y)?DX?D(3Y)?2cov(X,3Y)?DX?9DY?6cov(X,Y) ?1?11.

99119?6??XYDXDY?1??6??1??. 44324设EX?1,EY?2,DX?1,DY?4,?XY?0.6，则

E(2X?Y?1)2?__________.

cov(X,Y) DX?DY ?cov(X,Y)?0.6?1?2?1.2 covC(Y,?)，0C常数

解：E(2X?Y?1)?2EX?EY?1?1，?XY?0.6? D(2X?Y?1)?D(2X?1)?DY?2cov[(2X?1),Y]

?4DX?DY?4cov(X,Y)?4?4?4?1.2?3.2

E(2X?Y?1)2?D(2X?Y?1)?[E(2X?Y?1)]2?3.2?12?4.2

二、计算题

1. 设某班车起点站上客人数X服从参数为?（?＞0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率p(0＜p＜1),且中途下车与否相互独立。已Y表示在中途下车的人数,求： （1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率; （2）二维随机向量(X,Y)的概率分布.

mm解：（1）P{Y=m|X=n}=Cnp(1?p)n?m, m=0,1,2,?n.

（2）P{X=n,Y=m}=

?nn!mme??Cnp(1?p)n?m, m=0,1,2,?n; n=0,1,2, ?

?0,|Y|?1??0,|Y|?2的联合分布列. 2. 设随机变量Y~N(0,1),求X??, X??12??1,?|Y|?1?1,?|Y|?2解: (X1,X2) 的可能取值数对及相应的概率如下：

P(X1=0,X2=0) = P(|Y|≥1,|Y|≥2)= (|Y|≥2)=2?2Φ(2)=0.0455 P(X1=0,X2=1)=P(|Y|≥1,|Y|<2)=P(1≤|Y|<2)=2[Φ(2)?Φ(1)]=0.2719

P(X1=1,X2=0)=P(|Y|<1,|Y|≥2)=0，P(X1=1,X2=1)=P(|Y|<1,|Y|<2)=P(|Y|<1)=0.6826

?e?y3. 设(X,Y)的概率密度为f(x,y)= ??0P(X?Y?1)。

解：fX(x)?0?x?y其他 ,求边缘密度fX(x)，

?????f(x,y)dy??e?ydy?e?x

x120??P(X?Y?1)=

0?x?y,x?y?1??f(x,y)dxdy??dx?1?xxedy?1?e?2ex?0,y?0;其他.?y?1?12

?Ae?(2x?3y),4. 若(X,Y)~p(x,y)??0,?，试求：

（1） 常数 A； （2） P(X<2, Y<1); （3) P{(X, Y)?D}, 其中D为 2x+3y≤6.

解：（1）1???????????p(x,y)dxdy???0????0Ae?(2x?3y)dxdy?A?edx?e?3ydy

00???2x???1????1?3y???=A/6， 所以A?6 ?A??e?2x????e??2?0?3?0（2）P{ X<2, Y<1}?{x?2, y?1}??p(x,y)dxdy??dx?6e?(2x?3y)dy?6?e?2xdx?e?3ydy 21210000?1?2?1?1?4?3?6??e?2x????e?3y???1?e??1?e? ?2?0?3?0（3） P{(X,Y)?D}?2x?3y?6??p(x,y)dxdy??0dx?31(6?2x)306e?(2x?3y)dy

?6?e?2x??e?3y?03?1?3?(6?2x)/3dx?2??030(e?2x?e)dx?1?7e

?6?6?kx2y0?x?y?15. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)??，

其它?0(1)求常数k；(2)求概率P(X+Y≤1)。

????解：（1）

11??????f(x,y)dxdy?1，即

11111k?5 1??(?kxydy)dx??(kx2?kx4)dx?(kx3?kx5)10，由此得

226100x02?1?x?1552P(X?Y?1)?f(x,y)dxdy?15xydydx??（2） ??????19264x?y?10?x?12?Cx2y6. 设二维随机变(X,Y)量具有概率密度f(x,y)???0(2) 求概率P(X>Y)。

????1x2?y?1其它，(1)确定常数C；

解：（1） 1????????12?214f(x,y)dxdy????Cxydy?dx?，由此得c?。

??421?1?x2?1x?x2?y?x2123（2）积分区域为D1:?，所以P(X?Y)??dx? xydy?420?0?x?10x27. 设随机变量（X,Y）的概率密度为

?k?6?x?y?,0?x?2,2?y?4f?x,y???

0,其余?

（1）确定常数k； （2）求P?X?1,Y?3?; （3）求P?X?1.5?; （4）求. P?X?Y?4?。 要点： 1°确定常数，启动 2°用重要公式：P??????????f?x,y?dxdy?1；

G??X,Y??G????f?x,y?dxdy；

3°复习二重积分计算。 解： （1）由

??????????2f?x,y?dxdy?1可知

21k6?x?ydydx?1?k? ???0?481313（2）P?X?1,Y?3?????6?x?y?dydx?

028841.51276?x?y?dxdy?（3）P?X?1.5???? ?2083244?y126?x?y?dxdy? （4）P?X?Y?4??P?X?4?Y?????2083

8. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为

x??y??F(x,y)?A?B?arctan??C?arctan?，

2??2??其中A，B，C为常数，x∈(-∞,+∞)，y∈(-∞,+∞)

(1) 试确定A，B，C； (2)求X和Y的边缘分布函数； (3) 求P(X>2)

F(??,??)?limF(x,y)?A?B?解：由联合分布函数性质2可知：

x???y??????????C?????1，2??2?????????????F(??,??)?A?B???C???0，F(??,??)?A?B???C???0

2??2?2??2???解得A?1?2，B??2，C??2。故F(x,y)?1??x???y??arctan?arctan??? 2???22??22?（2）FX(x)?F(x,??)?1??x?11x，x?(??,??) ?arctan????arctan??2?222?2??FY(y)?F(??,y)?1??????y?11y，y?(??,??) ???arctan??arctan???2???22??22?2?2（3） 由X的分布函数可得：P(X?2)?1?P(X?2)?1?FX(2)?1???11??1???? ?2?4?4?48xy0?x?1,x3?y?x29. 设二维随机变量(X,Y)~f(x,y)??，求边缘密度函

其它?0数fX(x)和fY(y)

??x2解： 当0

x3?24(x5?x7)0?x?1时，fX(x)=0，所以fX(x)??；

0其它???3y当0

53y5??24(y3?y2)0?y?1所以fY(y)??

?0其它?10. 设二维随机变量（X,Y）的概率密度为

?y??e,0?x?yf?x,y??? ，求边缘概率密度。

??0,其余解： 由

fX?x???????xf?x,y?dy知：当x?0时，

fX?x??????xe?ydy?e；

?x当x?0时，由于f?x,y??0?fX?x??0。fY?y?????f?x,y?dx，当y?0时，

f?Y??0。

Yf?Y???eY0y?ydy?ye；当y?0时，

?y于是，边缘概率密度为

f?x??e,x?0，?x???X??0,其余f?x??ye,y?0 ?x???Y??0,其余11. 设二维随机变量（X,Y）的概率密度为

22??cxy,x?y?1f?x,y???，（1）试确定常数c；（2）求边缘概率密度。

0,其余??解： （1）由 （2）当 当

??????????f?x,y?dxdy?1???0X1y?ycxydxdy?1?c?1221 4x2?1时，即?1?x?1时，

f?x???x2122124ydy?1?2x 4x8x??x2?1时，

f?x??0

X当0?y?1时，

f?y???Yy?2127ydy?y4x2y52；其余，f?x,y??0?f?y??0

Y故X,Y的边缘概率密度为

f4?212?x1?x,?1?x?1 ?x???8X?0,其余???f?7?y???2?Y??y52,0?y?1

0,其余12． 设(X,Y)~f(x,y)???Cy(1?x),0?x?1,0?y?x.

其它.?0,(1)求C的值;(2)求关于X,关于Y的边缘概率密度;(3)判断X,Y的独立性.

解：

????1x(1)因为?1?????f(x,y)dxdy?1,可得??????f(x,y)dxdy??00?Cy(1?x)dydx?24y(1?x),0?x?1,0?y?x.x2C??C(1?x)dx??1，得C?24.故f(x,y)??0其它.224?0,（2） 当0?x?1时,fX(x)?????f(x,y)dy??24y(1?x)dy?12x2(1?x).

0x当x?0,或x?1时,fX(x)?0.于是 (X,Y)关于X 的边缘概率密度为

?12x2(1?x),0?x?1, fX(x)??其它.?0,当0?y?1时,fY(y)?????f(x,y)dx??24y(1?x)dx?12y(1?y)2.

y1?12y(1?y)2,0?y?1,于是 (X,Y)关于Y 的边缘概率密度为fX(x)??

其它.?0,13. 某电子仪器由两个部件构成，其寿命（单位：千小时）X与Y的联合分布函数为

?1?e?0.5x?e?0.5(x?y) x?0，y?0 F(x,y)??

0 其他 ?问：（1）X与Y是否独立？（2）两部件的寿命都超过100小时的概率。

?0.5(x?y)??(x,y)?0.25e解：（1）f(x,y)?FXY fx(x)? fY(y)?, x?0,y?0

???????f(x,y)dy??0.25e?0.5(x?y)dy?0.5e?0.5x, x?0

0?????f(x,y)dx??0.25e?0.5(x?y)dx?0.5e?0.5y, y?0

0??则恒有 f(x,y)?fx(x)fY(y), ???x, y???，从而X与Y独立 。

（2）P(X?0.1,Y?0.1)???0.1????0.1f(x,y)dxdy?e?0.1

15. 设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为

f?1,0?x?1 ，x????X0,其余?f?y??e,y?0 ?y???Y??0,其余求随机变量Z=X＋Y的概率密度。

解： X与Y相互独立，Z=X+Y的概率密度为

f?z???f?x?f?z?x?dx

Z??XYz0??当0?z?1时，fZ?z???1e??z?x?dx?1?e

?z?z当z?1时,f?z???e?Z0X?z?x?dx??e?1?e

Z当z<1时，由于f?z??0知，f?z??0

故

f?1??z,0?z?1e??z?z???e?1?e,z?1 ?Z?0,其余??16. 设二维随机变量(X,Y)在区域D?{(x,y)|x?0,y?0,x?y?1} 上服从均匀分

布. 求（1）(X,Y)关于X的边缘概率密度；（2）Z?X?Y的分布函数与概率密度. 解： y （1）(X,Y)的概率密度为 1 f(x,y)??x+y=1 ?0,D ?2,(x,y)?D

其它. 0 z 1 x fX(x)?x+y=z （2）利用公式fZ(z)??????D1 ??????2?2x,0?x?1f(x,y)dy??

0,其它?f(x,z?x)dx

?2,0?x?1,0?z?x?1?x?2,0?x?1,x?z?1. 其中f(x,z?x)?? ??0,其它??0,其它. 当 z?0或z?1时fZ(z)?0 z z=x 0?z?1时 fZ(z)?2 故Z的概率密度为

?z0dx?2x0?2z

z??2z,0?z?1,x fZ(z)??

??0,其它. Z的分布函数为

fZ(z)??z??z?0?0,?0,z?0,???zfZ(y)dy???2ydy,0?z?1??z2,0?z?1,

0??1,z?1.?z?1??1,17. 随机变量X与Y相互独立，X～N(1,2),Y ～N(0,1),求随机变量Z=2X-Y+3的概率密

度函数。

解：由于随机变量X与Y独立，X～N(1,2),Y ～N(0,1),则X与Y的线性函数Z=2X-Y+3业服从正态分布，且E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=5,D(Z)=4D(X)+D(Y)=9,即Z～N(5,9) 则： f(z)?132?e?(z?5)218

218. 设随机变量X与Y相互独立且X～N(?,?),Y ～U[-?,?}求Z=X+Y的概率密度函数。（计算结果用标准正态分布函数?(x)表示）。

解：由卷积公式可知

fZ(z)?? ?????fX(z?y)fY(y)dy??1z?????12????e1?z?y??????2???2x?y??1?t） dy（令

?2?2?2???z?????e?t22dy?12???z??????z?????????????? ?????????19. 设随机变量（X,Y）的概率密度为

??x?y??,0?x?1,0?y???be f?x,y???

其余??0,（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX?x?,fY?y?;（3）求函数U?max(X,Y)的分布函数。

解： （1）因为

????????f(x,y)dxdy?1，即

11???????????x?y1?1?????f?x,y?dxdy?b??edydx?b?e?xdx?b?1??

?0?0?0??e?由此得得b?11?1e?1

1?e?1（2）0?x?1,fX?x??????f?x,y?dy?b?e0???x?y?e?xdy? ?11?e

y>0时,fY?y??????f?x,y?dy?b?e??x?y?dy?01?ex?y101?e?1?e?y

?e?x?e?y,,0?x?1??1即fX?x???1?e,fY?y????0,?0,其余?y?0 y?0（3）由（1）、（2）不难验证：fX?x?fY?y??f?x,y?，知X,Y相互独立。

FX?x???x??x?0x?0?0,?0,?x?t?e??1?e?xfX?t?dt???dt,0?x?1??,0?x?1 ?101?e?11?e??x?1x?1???1,?1,FY?y???y??0,??fY?t?dt??y?tedt,???0y?0?0,??y?0?1?e?y,y?0y?0

于是FU?u??Pmax?x,y??u?P?X?y,Y?u??P?X?u?P?Y?u? U?u??P???u?0?0,??u21?e???,0?u?1

?FX?u?FY?u????1?1?e?1?e?u,u?1?20. 设随机变量（X,Y）具有概率密度

?y?x,　　0?x?1?1，　　　f(x,y)??

??0　　　其余求E(X)，E(Y)，Cov(X,Y)。

解： E(X)? E(Y)???????????xf(x,y)dxdy??dx?xdy??2x2dx?0?x01x12 3??????????yf(x,y)dxdy??dx?ydy?0

0?x1x E(XY)???????????xyf(x,y)dxdy??dx?xydy?0，

0?x1x Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0 21. 设随机变量(X,Y)具有概率密度

?1?(x?y),　　0?x?2,　0?y?2f(x,y)??8

?,　　　　其余?0　　　求E(X),E(Y),Cov(X,Y),?XY,D(X?Y)。

17x(x?y)dy? ??????008622221714E(Y)??dx?y(x?y)dy?，E(XY)??dx?xy（x?y）dy?

000086834491Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)????

336362215549112E(X)??dx?x2(x?y)dy?，D(X)?E(X2)?[E(X)]2???

0083336365112同理 E(Y)? D(Y)?

336解： E(X)?????xf(x,y)dxdy??dx?22故?XY?Cov(X,Y)D(X)?D(Y)??1361??

113611111125??? 3636369，求E?X?,E?Y?,E?XY?,EX2?Y2

????D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)?22. 设?X,Y?的概率密度为f?x,y???12y2,0?y?x?10,其余??要点： ?X,Y?~f?x,y?,用公式E?g?X,Y?????g?x,y?f?x,y?dxdy，分别令

????g?X,Y??X,Y,XY,X2?Y2即可。

1x1432E?Y???dx?12ydy??3x4dx? 解： E?X???dx?x12ydy??4xdx?，

00000055????1x1E?XY????xyf?x,y?dxdy???xy12y2dydx?

????0021x214EX?Y?22???dx??x1x00212?2216??y12ydy???4x5?x5?dx???

05?3515?2?2123. 将n只球?1~n号?随机地放进n只盒子?1~n号?中去，一只盒子装一只球，若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为总的配对数，求E(X)。

解： 引进随机变量Xi??nn?1,第i号球放入第i号盒子?0,其余i，i?1，2，???,n

则X??X,E?X???E?X?，其中X~?0?1?分布，

iii?1i?1 P?Xi?1???n?1?!?1,P?Xn!ni?0??1?P?Xi?1??n?1 nn111111?n?1? E?Xi??0????1??，从而 E?X???????????1

nnnnni?1n?n?24. 设X与Y在圆域x2?y2?r2上服从联合均匀分布， （1）求X与Y的相关系数?；（2）问X与Y是否独立？

解：（1）由X与Y服从圆域x2?y2?r2上的联合均匀分布，即

?1? (X,Y)~f(x,y)???r2??0可知关于X,Y各自的边缘概率密度函数为：

??r2?x2，x2?y2?r2，x?y?r222

fX(x)????f(x,y)dy??r2?x2?r?x22?1dy

r2?x2?r2r2?x2,x?r

r2?y2y ??r2???2?r2?fY(y)? ??????f(x,y)dx??r2?y2?r?y221dx

r2?y2?r2r2?y2,y?r

x?r2r?2?r2且E(X)????xfX(x)dx??x?r??2?r2r2?x2dx?0（奇函数对称区间上的积分为0

rE(Y)????yfY(y)dy??y?r2?r2r2?y2dy?0

因而Cov(X,Y)?E(XY)?EXEY?2x?y2?r2??xyf(x,y)dxdy

rr ??r?dx?r2?x2?xy1dy?r2?x2?r22?r2?r?(xy2?r2?x21)dx?r2?x22?r2r?r?0dx?0

且??Cov(X,Y)D(X)D(Y)?0，即X与Y的相关系数为0。

?1?（2）由f(x,y)???r2??0，x2?y2?r2，x2?y2?r2

2?2?2r2?x2?2及fX(x)fY(y)???r?r?0?r2?y2，，x?r且y?r其它

可知f(x,y)?fX(x)fY(y)，即X与Y不独立。

25. 已知三个随机变量X,Y,Z中，E(X)?E(Y)?1,E(Z)??1,

D(X)?D(Y)?D(Z)?1,?XY?0,?XZ?求E(X?Y?Z),D(X?Y?Z)。

11,?YZ?? 22要点： 条件没说X,Y,Z相互独立，因而在算D??时，有Cov??项。 解： E(X?Y?Z)?E(X)?E(Y)?E(Z)?1?1?(?1)?1

D(X?Y?Z)?D(X)?D(Y)?D(Z)?2Co(vX,Y)?2Co(vX,Z)?2Co(vY,Z)

?3?2?XYD(X)?D(Y)?2?XZD(X)D(Z)?2?YZD(Y)D(Z)

11?3?2?0?1?2??1?2?(?)?1?3?1?1?3

22

三、应用题

1. 两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布，先开动其

中的一台，当发生故障时，自动停机，另一台自动开机。求：两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、期望值与方差。

解：设Ti?{第i台自动记录仪无故障的工作时间}，i?1,2，T1与T2独立同分布，且

?5e?5tTi~E(5)，即Ti~f(t)???0当t?0时，fT(t)?0

??t?0，T?T1?T2,t?t1?t2 t?0当t?0时，fT(t)????fT1(t1)fT2(t2)dt

?????t?fT1(t1)f(t?t1)dt1

t0 ?5e?5t15e?5(t?t1)dt1?0t?25e?5t?dt1?25e?5tt10?25te?5t?25te?5t?f(t)???0t?0 即为两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度。 t?0?E(T)?E(T1?T2)?E(T1)?E(T2)?112?? 555112 D(T)?D(T1?T2)?D(T1)?D(T2)?2?2?

25552. 设一商店经销某种商品，每周的进货量X与顾客对该商品的需求量Y是两个相互独

立的随机变量，均服从区间[10,20]上的均匀分布，此商店每售出一个单位的商品，可获利1000元，若需求量超过了进货量，可从其它商店调剂供应，此时售出的每单位商品，仅获利500元，求此商店经销这种商品每周获利的期望。

解：设一商店经销某种商品的每周所获利润为L元，据题意可知： 当Y?X时，L?1000Y

当Y?X时，L?1000X?500(Y?X)?500(X?Y) 即 L??Y?1000?500(X?Y)Y?X

Y?X?1?，10?x,y?20且 (X,Y)~f(x,y)??100

??0，其它?EL???zf(x,y)dxdy

D

???1000y?D120x11dxdy???500(x?y)?dxdy100100D22020??dx?10ydy??dx?5(x?y)dy101010x20

??(5y10202x105)dx??[(x?y)2)20x]dx2105[(x?20)2?4x2]dx?2102020

?5?(x2?100)dx?10?x2?2052320??5??100x?(400x?20x?x)1010?3?2??20000??7500?141673所以此商店经销这种商品每周获利的期望是14167元。

3. 卡车装运水泥，设每袋水泥的重量X（以公斤计）服从N(50，2.52)，问最多装多

少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05。

解： 每袋重量Xi~N(50,2.5)，设最多装n袋，则总重量 Y＝

2?Xini~N(50n,2.52)

}?0.05，P{Y?2000}?0.95 P{Y?2000 Φ???2000?50n?2000?50n?1.64?n?39.9 ，??0.95?n2.5n2.5??故最多装39袋，（本题要点：反查N(0,1)的表。）

四、证明题

1. 设X，Y是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为?1,?2的泊松分布，证明：Z=X+Y服从参数为?1??2的泊松分布。 证明： 由题设知

ke??1?1e??2?r2,k?0,1,???, P?Y?r??,r?0,1,???, P?X?k??k!r!由上一题结论可知

P?Z?i???p?k?q?i?k???k?0k?0ii?1ke???2i?ke??1k!e???1??2??i?k!i!??2?C??kki1k?0ii?k2?e???1??2?

i!??1??2?,i?0,1,???i二项式定理：

?Cik?1k?i2?k???1??2? 即Z=X+Y服从参数为?1??2的泊松分布。

ik?02i2. 设X1,X2,?,Xn是相互独立的随机变量。且有E(Xi)＝μ，D(Xi)＝σ

X＝1n1nn?X，S2i＝Xi?X?2i?1n?1?? i?1(1) 验证E(X)＝μ,D(X)＝?2n；

(2) 验证S2＝1?n22?n?1???Xi?nX?;

i?1?(3) 验证E(S2)＝σ

2。

要点： 此题为第六章及以后知识作准备，是核心推导之一。

证明： 利用数学期望和方差的性质及定义。

（1） E(X)＝E??1n?1nnμn?Xi?＝?n?E(Xi)＝＝μ

?i?1i?1nD(X)＝D??1n?1?n?Xi?＝2?nD(Xn?2　?2i)＝2＝ i?1?ni?1nn(2) S2＝

1n?1?n?X?21ni?X＝i?1n?1?[X2?2X2iiX?(X)]

i?1n ＝1n2n?1[?Xi?2Xi?1?Xi?n(X)2]

i?12 ＝1n[?Xi?2XnX?n(X)2n?1]

i?1 ＝1nn?1[?X2221n2i?2n(X)?n(X)]＝n?1[?Xi?n(X)2]i?1i?1（3） E(S2)＝1n2n?1[?E(Xi)?nE(X)2]

i?1,i＝1,2,?,n.。记

???21?n222???(??μ)?n?μ ＝??? ??n?1?i?1?n??1（n?1）?2　22222 ＝＝? n??n????n?＝

n?1n?1??3. 设二维随机变量（X,Y）的概率密度为

?1?，x2?y2?1 f(x,y)???

??0，其余试验证：X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的。

要点： 不相关?） ?xy?0；不独立?fX(x)fY(y)?f(x,y)（非“几乎处处”

??证明： fX(x)????f(x,y)dy??1?x221?1?x?dy?2?1?x2

?1?x?1

?2?1?x2,?1?x?1即 fX(x)???

??0　　，　其余?2?1?y2,?1?y?1同理 fY(y)???

?,其余　?0　　　　经验证有f(x,y)?fX(x)fY(y)，故X与Y不是相互独立的，这是一方面。 另一方面 E(X)??????xfX(x)dx??12?1?x1?x2dx?0

（奇函数在对称区间积分为零）

同理 E(Y)?0

E(XY)???????????1xyf(x,y)dxdy?x2?y2??1??1xydxdy

?dx????111?x2?1?x2xydy?0

从而

?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)?E(XY)?E(X)E(Y)D(X)D(Y)?0

即?xy?0,故X与Y是不相关的。

4. 设（X,Y）服从二维正态分布，且有D(X)??X,D(Y)??Y证明当

22a2??X2?Y2时，随机变量W?X?aY与V?X?aY相互独立。

22证明： (X,Y)服从二维正态分布?X~N(?X,?X),Y~N(?Y,?Y), X,Y的线性组合W,V也服从正态分布

Cov(W,V)?E{[W?E(W)][V?E(V)]}　　　　　?E{[(X?aY)?(?X?a?Y)][(X?aY)?(?X?a?Y)]} =E[(X??X)2?a2(Y??Y)2]

=E[(X??X)2]?a2E[(Y??Y)2]?D(X)?a2D(Y) ??X?a2?Y 由 Cov(W,V)?0?a2??X222

?Y2

已知二维正态随机变量相互独立的充要条件是：?WV?0即Cov(W,V)?0。 故当a2??X2?Y2时，随机变量W与V相互独立。

第四章 大数定律及中心极限定理

一 填空题

1. 掷一颗骰子100次，记第i次掷出的点数为Xi,i?1,2,?,100，点数之平均为

1100X?Xi，则概率P(3?X?4)= 。 ?100i?12. 汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为??2的泊松分布。若一年365天都经营汽车销售，且每天出售的汽车数是相互独立的。则一年中售出700辆以上汽车的概率为 。

3．一仪器同时收到50个信号Ui,i?1,2,?,50.设它们相互独立，且都服从（0，1）

?50?内的均匀分布，则P??Ui?300?= 。

?i?1?二 计算题

1. 据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，先随机地取36只，设它们的寿命是相互独立的。求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。

解 设16只元件寿命分别为Vk,k?1,...,16,记V??Vi?116k，由指数分布的期望及方差

公式可知：E(Vk)???100。由定理四知： ,D(Vk)??2?10000Z??Vi?116V?1600近似?~N(0,1)

2400??16k?1600?V?16001920?1600?P{V?1920}?P??? 400?400?

?V?1600??1?P??0.08??1???0.8??0.2119

?400?即寿命总和大于1920小时的概率为0.2119。

2. 计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数。设所有舍入误差是独立的且在（-0.5，0.5）上服从均与分布。（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？

解 设每个加数的舍入误差为Xi(i?1,2...,1500),则Xi相互独立，Xi~U(?0.5,0.5),

?0.5?0.5(0.5?0.5)21?0,D(Xi)??。 于是，E(Xi)?212121500（1）设X??Xi?1i，由定理四有：

X?1500?01500?112近似~N(0,1)

??15X15?P{X?15}?1?P{X?15}?1?P?????2?2?(1.34)?0.1802125125??125即误差总和的绝对值超过15的概率约为0.1802。 （1） 设Xn?n?Xi?1i，求n?7使P{Xn?10}?0.90。由定理四有：

???10P{Xn?10}?P{?10?Xn?10}?P????n12?10???0.95，查表得10?1.645 即???n12?n12??从上式解出n有：n?443.455

Xnn12??10?10????1?0.90??2???n12?n12????故最多有443个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90。

3. 设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为

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