2015届湖北省第一次八校联考理科数学试题及答案

湖北省 八校

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2015届高三第一次联考 数学试题（理科）

命题学校：襄阳五中 出题人：何宇飞 王丹 审题人：丁全华 考试时间：2014年12月11日下午15:00—17:00 试卷满分150分 考试用时120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.

z1．已知复数z1?2?ai(a?R)，z2?1?2i，若1为纯虚数，则|z1|?

z2 A．2 C．2

B．3

D．5 11112．如图给出的是计算?????的值的程序框图，其中

2462014 判断框内应填入的是 A．i?2013 B．i?2015 C．i?2017 D．i?2019

?16???)展开式中含 3．设a??2?2cos?x??dx，则二项式(ax??4??x2 x项的系数是

A．?192 B．193 C．?6 D．7

4．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个 几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是

14 A． B．4

310 C． D．3

35．“a?5且b??5”是“a?b?0”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既非充分条件也非必要条件

6．已知实数等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论中一定成立的 A．若a3?0，则a2013?0 B．若a4?0，则a2014?0 C．若a3?0，则S2013?0

D．若a4?0，则S2014?0

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?C(A)?C(B),C(A)?C(B)7．用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义|A?B|??．若A?{1,2}，

C(B)?C(A),C(A)?C(B)? B?{x||x2?2x?3|?a}，且|A?B|?1，由a的所有可能值构成的集合为S，那么C(S)等于

A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知x, y, z?R，且x?2y?2z?5，则(x?5)2?(y?1)2?(z?3)2的最小值是 A．20 B．25

C．36 D．47

19．已知抛物线的一条过焦点F的弦PQ，点R在直线PQ上，且满足OR?(OP?OQ)，R在抛物线准

2 线上的射影为S，设?，?是△PQS中的两个锐角，则下列四个式子

①tan?tan??1 ②sin??sin??2 ③cos??cos??1 ④|tan(???)|?tan???2

中一定正确的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．设定义在D上的函数y?h(x)在点P(x0,h(x0))处的切线方程为l:y?g(x)，当x?x0时，若

h(x)?g(x)?0在D内恒成立，则称P为函数y?h(x)的“类对称点” ，则f(x)?x2?6x?4lnx的

x?x0 “类对称点”的横坐标是

A．1 B．2 C．e D．3

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对 应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14题）

11．随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是____．

?x?my?n?12．已知直线l:x?my?n(n?0)过点A(53,5)，若可行域?x?3y?0的外接圆直径为20，则n=_____．

?y?0?13．已知函数f(x)????2x,0?x?1???x?2x?3,1?x?32，将f(x)的图像与x轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周，则所

得旋转体的体积为________．

14．以(0, m)间的整数(m?1,m?N)为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以(0,m2) 间的整数(m?1,m?N)为分子，以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为 a2；??，依次类推以(0,mn)间的整数(m?1,m?N)为分子，以mn为分母组成不属于A1，A2，?， An?1的分数集合An，其所有元素和为an；则a1?a2???an?=________．

(二）选考题(从两个小题中选择一个小题作答，两题都作答的按15题记分) 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，C是以AB为直径的半圆O上的一 点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD .若 AD =AB= 2，则EB=_________． 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系内，已知曲线C1的方程 为?2?2?(cos??2sin?)?4?0，以极点为原点，极轴方向为x正

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半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数

?5x?1?4t 方程为?(t为参数)．设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的两条切线，则这两

5y?18?3t? 条切线所成角余弦的最小值是_______．

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[源 17．（本小题满分12分）已知△ABC的三内角A, B, C所对边的长依次为a,b,c，若cosA?3， 41． 8 （Ⅰ）求a:b:c； coCs? （Ⅱ）若|AC?BC|?46，求△ABC的面积．

18．（本小题满分12分）有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编 码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字 符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组 组成. A B C D 明文字符 第一排 11 12 13 14 密码字符 E F G H 明文字符 第二排 21 22 23 24 密码字符 M N P Q 明文字符 第三排 1 2 3 4 密码字符 设随机变量?表示密码中所含不同数字的个数. （Ⅰ）求P(??2)；

（Ⅱ）求随机变量?的分布列和它的数学期望． 19． （本小题满分12分）如图1，平面四边形ABCD关于直线AC对称，?A?60?，?C?90?，CD?2， 把△ABD沿BD折起（如图2），使二面角A?BD?C为直二面角．如图2， （Ⅰ）求AD与平面ABC所成的角的余弦值； A A （Ⅱ）求二面角B?AC?D的大小的正弦值． B D

B D

C C

图2 图1 20．（本小题满分12分）已知等比数列{an}的公比q?1，前n项和为Sn，S3=7，且a1?3，3a2，a3?4 成等差数列，数列{bn}的前n项和为Tn，6Tn?(3n?1)bn?2，其中n?N*． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列{bn}的通项公式；

（Ⅲ）设A?{a1,a2,?a10}，B?{b1,b2,?a40}，C?A?B，求集合C中所有元素之和．

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x2y2221．（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为，

2ab 过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，AB?CD?32． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．

22．（本小题满分14分）已知t?0，设函数f(x)?x3? （Ⅰ）若f(x)在(0, 2)上无极值，求t的值；

yBDO （第21题）

OCFAx3(t?1)2x?3tx?1．2

（Ⅱ）若存在x0?(0,2)，使得f(x0)是f(x)在[0, 2]上的最大值，求t的取值范围；

（Ⅲ）若f(x)?xex?m?2(e为自然对数的底数)对任意x?[0,??)恒成立时m的最大值为1，求t的取

值范围．

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