2014届上海市徐汇区高三上学期期末考试（一模）理科数学试卷（带

2014届上海市徐汇区高三上学期期末考试（一模）理科数学试卷

（带解析）

一、填空题 1.计算：【答案】 【解析】 试题分析：这属于“

”型极限问题，求极限的方法是分子分母同时除以（的最高次幂），

．

= .

化为一般可求极限型，即

考点：“2.函数

”型极限

的最小正周期是 .

【答案】 【解析】

试题分析：三角函数的问题一般要把函数转化为一个三角函数形式期为

，本题中函数可化为

，周期为

．

形式，其周

考点：三角函数的周期． 3.计算：【答案】【解析】

试题分析：本题是矩阵的运算，涉及到矩阵的数乘与矩阵的加法，因此乘与

考点：矩阵的运算． 4.已知【答案】

，

，则x= .（结果用反三角函数表示）

的数

= .

【解析】

试题分析：本题关键是注意反三角函数值的取值范围，适当利用诱导公式，

，而

考点：反正弦函数． 5.直线a= . 【答案】【解析】

试题分析：直线的方向向量是量是平行向量，故

考点：直线的方向向量与法向量． 6.如果【答案】 【解析】

试题分析：是一个数列的和，我们要弄清它到底是多少项的和，观察每项的特征，每项都是一个分数，分子都是1，分母依次为，因此有共项，从而中共有项数为． 考点：数列的项数． 7.若函数【答案】【解析】

试题分析：根据反函数的性质知当函数

，本题中函数的图象过点考点：反函数与原函数的图象的关系．

8.某小组有10人，其中血型为A型有3人，B型4人，AB型3人，现任选2人，则此2人是同一血型的概率为 .（结论用数值表示） 【答案】【解析】

试题分析：这属于古典概型，从10人中任选2人共有选法数为

，因此所求概率为

．

种选法，而2人为同一血型的

的图象过点时，则反函数，则其反函数图象过点．

的图象过点

的图像经过(0,1)点，则函数

的反函数的图像必经过点 .

(

)那么

共有 项.

，直线的法向量是，即．

，题意告诉我们这两个向

与直线

，若的方向向量是的法向量，则实数

，故

，即

．

，

考点：古典概型． 9.双曲线【答案】【解析】

试题分析：首先我们应该知道方程从而双曲线

．

考点：双曲线的标准方程及双曲线的性质．

10.在平面直角坐标系中，动点P和点M(-2,0)、N(2,0)满足的轨迹方程为 . 【答案】【解析】

试题分析：本题可用求轨迹方程的基本方法—直接法来求，把已知条件等式

用坐标表示出来， ，化简变形即得． 考点：用基本法求轨迹方程．

11.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为

10，方差为2，则的值为 . 【答案】4 【解析】 试题分析：一列数平均数式可得

，，从而

考点：平均数，方差．

12.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且

，则

的值为 . ．

的 ，方差为

，代入方差公式得

，把已知的数代入平均数公

，由此有

，则动点P(x,y)

中

，

表示双曲线的条件是

，因此本题中有

，因此可得

，

的虚轴长是实轴长的2倍，则m= .

，条件虚轴长是实轴长的2倍即为

【答案】 【解析】

试题分析：这题应该用到这个结论：是直线的充要条件是．本题中就是设有

，代入得

，又

．

外一点，

，则

，则

，由于是

，即

三点共线的重心，

，

，根据平面向量基本定理得

考点：平面向量的基本定理，三角形重心的性质．

13.一个五位数满足且(如37201,45412)，则称这个五位数符合“正弦规律”.那么，共有 个五位数符合“正弦规律”. 【答案】2892 【解析】

试题分析：首先对五位数进行分析，可知它的特征是是五个数字中最大的一个，是一个数字中最小的一个，三个有大小不定但都与不相等，因此这个五位数中至少会出现3个不同数字，当做也可能有4个不同数字或者5个不同数字．下面我们就可以根据这三种情形分类讨论，五位数中只有3个不同数字：，五位数中只有4个不同数字：

，五位数中只有5个不同数字：，共有个数． 考点：排列与组合． 14.定义区间

、

、

、

的长度均为

.已知实数

.则满足

的x构成的区间的长度之和为 .

【答案】2 【解析】

试题分析：本题实质上就是解分式不等式，把不等式

，即

其中

，因此不等式的解为

，因此所求长度之和为2．

考点：解含参数的分式不等式． 二、选择题 1.直线A．

的倾斜角是（ ）

变形为

，且或

，

，

B．C．D．【答案】B 【解析】

试题分析：直线倾斜角的范围是直线的斜率为

，故倾斜角为

，而反正切函数的取值范围是，选B.

，而本题中

考点：直线的倾斜角与反正切函数. 2.为了得到函数

的图像，只需把函数

的图像上所有的点（ ）

A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） C．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） 【答案】B 【解析】

试题分析：这题考查函数图象的两个变换，平移变换，周期变换，当把函数象上各点横坐标变为原来的考点：三角函数的图象变换. 3.函数A．

B．

是奇函数的充要条件是（ ） C．

D．

，纵坐标不变，则得函数

图

的图象，故本题选B.

【答案】C 【解析】

试题分析：本题中根据奇函数的定义，有择支中只有C可得，故选C. 考点：奇函数的性质与充要条件.

，从而可求得

，四个选

4.已知集合，若对于任意，存在，使得成

立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合： ①③

； ②； ④

； .

其中是“垂直对点集”的序号是（ ）

A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【解析】

试题分析：仔细分析题设条件，设，，条件就是，如此可发现对②，④两个函数，其图象上任一点，在其图象一定存在点使，不注意的话，③对应的函数也好像符合题意，其实它上面的点如果是，则其图象上就没有点，使得，选D． 考点：平面上两条直线垂直的充要条件（两个向量垂直的充要条件）． 三、解答题

1.在△ABC中，BC=a，AC=b，a、b是方程的面积及AB的长. 【答案】【解析】

试题分析：这题属于解三角形的问题， 试题解析：

， 2分 ． 5分

，

．

的两个根，且

，求△ABC

由

， 11分

∴

． 12分

考点：韦达定理与余弦定理． 2.已知函数（1）若（2）求

.

，求实数x的取值范围； 的最大值.

【答案】（1）【解析】

；（2）．

试题分析：（1）本题实质就是解不等式，，当然这是含绝对值的不等式，因此我们应该根据绝对值的定义，按照绝对值符号里面的式子的正负性分类讨论，变为解两个二次不等式，最后还要把两个不等式的解集合并（即求并集），才能得到我们所要的结果；（2）本题实质就是求新函数的最大值，同样由于式子中含有绝对值符号，因此我们按照绝对值符号里面的式子的正负性分类讨论去掉绝对值符号，变成求两个二次函数在相应区间上的最大值，最后在两个最大值中取最大的一个就是我们所要求的最大值；当然这题我们可以借助于（1）的结论，最大值一定在（1）中解集区间里取得，从而可以避免再去分类讨论，从而简化它的过程． 试题解析：（1）当由整理得当由整理得

综上的取值范围是（2）由（1）知，所以所以当

时，时，

，得，得

，所以时，

，

； 3分 1分

， 4分

， ，由； 7分

的最大值必在

上取到， 9分 得

6分

取到最大值为． 14分

考点：（1）解不等式；（2）函数的最大值． 3.某种海洋生物身体的长度满足如下的函数关系：

（单位：米）与生长年限t（单位：年）

.（设该生物出生时t=0）

（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米； （2）设出生后第年，该生物长得最快，求【答案】（1）6年；（2）4或5． 【解析】

试题分析：（1）求需经过多少时间，该生物的身长超过8米，实质就是解不等式

，不等式解集中的最小值就是本题结论；（2）首先要搞懂什么是“长得最快”，

的值.

“长得最快”就是说明这一年该生物身体增长的长度最大，因此实质就是求的最大值，即就是这个最大值，下面我们只要求出，分析它的最大值是在为何值时取得，

，此式较繁，因此我们用换元法，设

，由有

，它的最大值求法一般是分子分母同时除以，然后用基本不等

式及不等式的性质得到结论． 试题解析：（1）设

，即

，解得

，

即该生物6年后身长可超过8米； 5分 （2）设第

年生长最快，于是有

， 8分

令令

，则

，

， 11分

等号当且仅当由

即，，时成立，因为，因此可能值为4或5，

知，所求有年份为第4年和第5年，两年内各生长了米． 14分

考点：（1）解不等式；（2）换元法与函数的最值． 4.给定椭圆

，称圆心在坐标原点O，半径为

.

，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；

的圆是椭圆C的“伴随

圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是（1）若椭圆C上一动点

满足

（2）在（1）的条件下，过点作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为，求P点的坐标； （3）已知点到过两点

在，请说明理由.

的直线的最短距离

，是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的

.若存在，求出a，b的值；若不存

【答案】（1）椭圆方程

．

【解析】

，伴随圆方程；（2）；（3）存在，

试题分析：（1）这是基本题，题设实质已知，要求椭圆标准方程，已知圆心及半径求圆的方程；（2）为了求点坐标，我们可设直线方程为，直线与椭圆只有一个公共点，即直线的方程与椭圆的方程联立方程组，这个方程组只有一个解，消元后利用

可得的一个方程，又直线截圆所得弦长为，又得一个关于的方程，联立可解得；（3）这是解析几何中的存在性问题，解决方法都是假设存在，然后去求出这个，能求出就说明存在，不能求出就说明不存在．解法如下，写出过点的直线方程，求出圆心到这条直线的距离为，可见当圆半径不小于3时，圆上的点到这条直线的最短距离为0，即当时，，但由于，无解，当圆半径小于3时，圆上的点到这条直线的最短距离为

，由此得

，可解得，故存在． 试题解析：（1）由题意：，则

，所以椭圆的方程为，其“伴随圆”的方程为． 4分

（2）设直线的方程为

由

得

6分

则有得， ① 7分 由直线截椭圆的“伴随圆”所得弦长为

，可得

，得

② 8分 由①②得，又

，故

，所以点坐标为． 10分

（3）过的直线的方程为：，

即，得 12分 由于圆心

到直线

的距离为

， 14分

当时，，但

，所以，等式不能成立；

当时，

， 由得

所以

因为，所以，

得

．所以

18分

5.称满足以下两个条件的有穷数列为

阶“期待数列”：

，又有

分

2①

（1）若等比数列

；②为

既是

.

阶“期待数列”，求公比q及

的通项公式；

（2）若一个等差数列（3）记n阶“期待数列”（i）求证：（ii）若存在

；

阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；

：

的前k项和为

使，试问数列能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有

这样的数列；若不能，请说明理由. 【答案】（1）（2）

．

或；

；

（3）（i）证明见解析；（ii）不能，证明见解析． 【解析】

试题分析：（1）数列分

和

中等比数列，因此

，

或

是其前和，故利用前前项和公式，

；（2）

阶等差数列是递增数

进行讨论，可很快求出

列，即公差项为正，因此有得

，

，其和为0，故易知数列前面的项为负，后面的项为正，即前项为正，后

，

，这两式用基本量或直接相减可求

，因此通项公式可得；（3）（i）我们只要把数列中所有非负数项的和

，

不可能比小，同样不可能比大，即

，

，且

记为，所有负数项的记为，则

，得证；（ii）若

，若数列，而

，从而

，

，于是，则一定有

为n阶“期待数列”，设其前项和为，首先

，因此

，即

，那么

，

，矛盾出现了，故结论是否定的．

试题解析：（1）①若若

，则由①

或．数列

． 的通项公式是

4分 ，由①得，

，得=0，得

，矛盾． 1分 ， 3分

由②得所以，或

（2）设等差数列的公差为，>0． ∵，∴，∴，

∵>0，由得

，，

由①、②得，， 6分

两式相减得，， ∴，

又，得

，

∴数列的通项公式是

．（3）记中所有非负项的和为A，所有负数项的和为B， 则，

，解得， （i），即

． 12分

（ii）若存在

，使

，由前面的证明过程知：

且， 14分

如果是阶“期待数列”，

记数列的前项和为，

则由（i）知，

， ，而，

，从而

，

，

又， 则

， 16分

，

与

不能同时成立，

分 9

所以，对于有穷数列列

，若存在使，则数列的和数

不能为阶“期待数列”． 18分

考点：（1）等比数列的前和公式与通项公式；（2）等差数列的前和公式与通项公式；（3）数列综合题．

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