福建省漳州市八校联考2015届高考数学模拟试卷（文科）（3月份）

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一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（5分）若复数z满足（1+i）z=2﹣i，则|z|=（） A．

2．（5分）已知函数f（x）=sin2x（x∈R），为了得到函数g（x）=sin（2x+将y=f（x）的图象（） A．向左平移 C．向左平移

3．（5分）平面向量，的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（） A．

B．

C．

D．2

个单位长度个单位长度

B．向右平移D．向右平移

个单位长度个单位长度

）的图象，只要

B．

C． 2

D．

4．（5分）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（）

A．

B． C． D．

5．（5分）已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，给出下列四个命题： ①若α∥β，则l⊥m； ②若l⊥m，则α∥β； ③若α⊥β，则l∥m； ④若l∥m，则α⊥β

其中正确命题的个数是（） A． 0 B． 1 C． 2 D．3

6．（5分）设Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和，若S9=3a8，则

=（）

A． 3 B． 5 C． 7 D．21 7．（5分）一只蜜蜂在一个棱长为5的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于2，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（） A．

8．（5分）函数f（x）=ln（x﹣）的图象是（）

B．

C．

D．

A． B． C． D．

9．（5分）阅读如图所示的程序框图，则输出的S=（）

A． 14

B． 30

C． 20

D．55

10．（5分）设F1，F2分别为双曲线

﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在

一点P使得（|PF1|﹣|PF2|）=b﹣3ab，则该双曲线的离心率为（） A． B． C． 4 D．

11．（5分）若log4（3a+4b）=log2 A． 6+2 B． 7+2

，则a+b的最小值是（）

C． 6+4

D．7+4

12．（5分）已知函数f（x）=x﹣2x+1+alnx有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则（） A． f（x2）＜﹣ D． f（x2）＞

B．

f（x2）＜

C． f（x2）＞

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 13．（4分）若实数x，y满足条件

14．（4分）已知圆C：（x﹣1）+（y﹣1）=2经过椭圆Γ：

，则z=x+3y+1的最大值为．

（a＞b＞0）的右焦点F

和上顶点B，则椭圆Γ的离心率为． 15．（4分）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为（用数字作答）．

16．（4分）在数阵

里，每行、每列的数依次均成等比数列，且a22=2，则所

有数的乘积为．

三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（1）求A的大小；

（2）若a=7，求△ABC的周长的取值范围．

18．（12分）已知首项都是1的数列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N）满足bn+1=

（Ⅰ）令cn=，求数列{cn}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}为各项均为正数的等比数列，且b3=4b2?b6，求数列{an}的前n项和Sn． 19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．

（1）若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积V．

20．（12分）某学校就一问题进行内部问卷调查，已知该学校有男学生90人，女学生108人，教师36人．用分层抽样的方法从中抽取13人进行问卷调查．问卷调查的问题设置为“同意”，“不同意”两种，且每人都做一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．同意不同意合计教师 1 女生 4 男生 2 （Ⅰ）请完成此统计表；

（Ⅱ）根据此次调查，估计全校对这一问题持“同意”意见的人数；

（Ⅲ）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人 “不同意”的概率．

21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率为

，直

线y=x被椭圆C截得的线段长为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．

（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；（ii）求△OMN面积的最大值．

22．（14分）设函数f（x）=ax﹣lnx，g（x）=e﹣ax，其中a为正实数．（l）若x=0是函数g（x）的极值点，讨论函数f（x）的单调性；

（2）若f（x）在（1，+∞）上无最小值，且g（x）在（1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；并由此判断曲线g（x）与曲线y=ax﹣ax在（1，+∞）交点个数．

福建省漳州市八校联考2015届高考数学模拟试卷（文科）（3月份）

参考答案与试题解析

考点：专题：分析：解答： ∴则|z|=

B．

C． 2

D．

复数求模．

数系的扩充和复数．

利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解：复数z满足（1+i）z=2﹣i，

=．

，

故选：B．

点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．

2．（5分）已知函数f（x）=sin2x（x∈R），为了得到函数g（x）=sin（2x+将y=f（x）的图象（） A．向左平移 C．向左平移

个单位长度个单位长度

B．向右平移D．向右平移

个单位长度个单位长度

）的图象，只要

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．

分析：化简两个函数式之间的关系，根据三角函数的平移关系即可得到结论．

解答：解：∵g（x）=sin（2x+∴y=f（x）的图象向左平移

）=sin[2（x+）]，

）的图象，

个单位长度，即可得到函数g（x）=sin（2x+

故选：A

点评：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律．

3．（5分）平面向量，的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（） A．

B．

C．

D．2

考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．

分析：根据已知条件可求出

解答：解：由

所以根据已知条件可得：

=．得

，，又，从而能求出

；

．

故选A．

点评：考查根据向量坐标求向量长度，数量积的计算公式，以及求向量长度的方法：

．

4．（5分）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（）

A． B． C． D．

考点：平面图形的直观图．

专题：空间位置关系与距离．

分析：逐一分析四个答案中几何体的三视图，比照已知中的三视图，可得答案．

解答：解：A中，的三视图为：，满足条件；

B中，的侧视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；

C中，的侧视图和俯视图为：，与已知中

三视图不符，不满足条件；

D中，的三视图为：，与已知中三视图

不符，不满足条件；

故选：A

点评：本题考查的知识点是三视图的画法，能根据已知中的直观图，画出几何体的三视图是解答的关键．

其中正确命题的个数是（） A． 0 B． 1 C． 2 D．3

考点：等差数列的性质．专题：综合题．

分析：利用直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断，成立的证明，不成立的可举出反例．

解答：解；①∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又∵m?β，∴l⊥m，①正确． ②由l⊥m推不出l⊥β，②错误．

③当l⊥α，α⊥β时，l可能平行β，也可能在β内，∴l与m的位置关系不能判断，③错误． ④∵l⊥α，l∥m，∴m∥α，又∵m?β，∴α⊥β 故选C

点评：本题主要考查显现，线面，面面位置关系的判断，属于概念题．

6．（5分）设Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和，若S9=3a8，则 A． 3

考点：专题：分析：解答：

B． 5

C． 7

D．21

=（）

等差数列的性质．

计算题；等差数列与等比数列．

根据等差数列的通项公式，将条件进行化简，即可得结论．解：在等差数列中，

若S9=3a8，则即9a5=3a8， ∴a8=3a5， ∴

=3，

=3a8．

故选：A．

点评：本题主要考查等差数列通项公式的应用，根据等差数列的性质是解决本题的关键，考查学生的计算能力． 7．（5分）一只蜜蜂在一个棱长为5的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于2，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）

A． B． C． D．

考点：几何概型．专题：概率与统计．

分析：小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．这

个小正方体的体积为大正方体的体积的，故安全飞行的概率为．

解答：解：由题知小蜜蜂的安全飞行范围为：

以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为p=

．

故选C．

点评：本题考查几何概型概率的求法，解题时要认真审题，注意小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．

8．（5分）函数f（x）=ln（x﹣）的图象是（）

A． B． C． D．

考点：函数的图象．

专题：计算题；函数的性质及应用．

分析：由x﹣＞0，可求得函数f（x）=ln（x﹣）的定义域，可排除A，再从奇偶性上排除D，再利用函数在（1，+∞）的递增性质可排除C，从而可得答案．解答：解：∵f（x）=ln（x﹣），

∴x﹣＞0，即=＞0，

∴x（x+1）（x﹣1）＞0，解得﹣1＜x＜0或x＞1，

∴函数f（x）=ln（x﹣）的定义域为{x|﹣1＜x＜0或x＞1}，故可排除A，D；

又f′（x）=＞0，

∴f（x）在（﹣1，0），（1+∞）上单调递增，可排除C，故选B．

点评：本题考查函数的图象，着重考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题． 9．（5分）阅读如图所示的程序框图，则输出的S=（）

A． 14 B． 30 C． 20 D．55

考点：循环结构．

专题：计算题；算法和程序框图．

分析：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件i＞4，计算输出S的值即可．

解答：解：由程序框图知：第一次运行S=1，i=1+1=2，不满足条件i＞4，循环，第二次运行S=1+4=5，i=2+1=3，不满足条件i＞4，循环，第三次运行S=5+9=14，i=3+1=4，不满足条件i＞4，循环，第四次运行S=14+16=30，i=4+1=5，满足条件i＞4，终止程序，输出S=30，故选：B．

点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．

10．（5分）设F1，F2分别为双曲线

﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在

一点P使得（|PF1|﹣|PF2|）=b﹣3ab，则该双曲线的离心率为（） A． B． C． 4 D．

考点：双曲线的简单性质．

专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：根据（|PF1|﹣|PF2|）=b﹣3ab，由双曲线的定义可得（2a）=b﹣3ab，求得a=，c=

b，即可求出双曲线的离心率．

解答：解：∵（|PF1|﹣|PF2|）=b﹣3ab，

∴由双曲线的定义可得（2a）=b﹣3ab，

∴4a+3ab﹣b=0， ∴a=， ∴c=∴e==

=．

b，

故选：D．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于基础题．

11．（5分）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（） A． 6+2 B． 7+2 C． 6+4

考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．

D．7+4

分析：利用对数的运算法则可得解答：解：∵3a+4b＞0，ab＞0， ∴a＞0．b＞0

∵log4（3a+4b）=log2， ∴log4（3a+4b）=log4（ab） ∴3a+4b=ab，a≠4，a＞0．b＞0 ∴∴a＞4，则a+b=a++

=a+

=a+3++7=4

＞0，

＞0，a＞4，再利用基本不等式即可得出

=（a﹣4）

取等号．

+7，当且仅当a=4+2

故选：D．

点评：本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题．

12．（5分）已知函数f（x）=x﹣2x+1+alnx有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则（） A． f（x2）＜﹣ D． f（x2）＞

B．

f（x2）＜

C． f（x2）＞

考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的概念及应用．

分析：对f（x）求导数，f′（x）=0有两个不同的正实根x1，x2，由x1、x2的关系，用x2把a表示出来，求出f（x2）的表达式最小值即可．

解答：解：由题意，f（x）=x﹣2x+1+alnx的定义域为（0，+∞），

∴f′（x）=2x﹣2+=；

∵f（x）有两个极值点x1，x2，

∴f′（x）=0有两个不同的正实根x1，x2， ∵0＜x1＜x2，且x1+x2=1， ∴＜x2＜1，a=2x2﹣2x2，

∴f（x2）=x2﹣2x2+1+（2x2﹣2x2）lnx2．令g（t）=t﹣2t+1+（2t﹣2t）lnt，其中＜t＜1，则g′（t）=2（1﹣2t）lnt．当t∈（，1）时，g′（t）＞0， ∴g（t）在（，1）上是增函数． ∴g（t）＞g（）=故f（x2）=g（x2）＞

．．

故选：D．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，研究函数的极值问题，求参数的范围问题，是一道基础题．

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 13．（4分）若实数x，y满足条件

，则z=x+3y+1的最大值为12．

考点：简单线性规划．

专题：不等式的解法及应用．

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过图象平移确定目标函数的最大值．

解答：解：由z=x+3y+1，得平移直线

，由平移可知当直线

，作出不等式对应的可行域，

，经过点A时，

直线，的截距最大，此时z取得最大值，

由，解得，即A（2，3）

代入z=x+3y+1，得z=2+3×3+1=12，即目标函数z=x+3y+1的最大值为12．故答案为：12

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．

14．（4分）已知圆C：（x﹣1）+（y﹣1）=2经过椭圆Γ：

（a＞b＞0）的右焦点F

和上顶点B，则椭圆Γ的离心率为．

考点：椭圆的简单性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

222

分析：由椭圆方程求出F、B的坐标，把坐标代入圆的方程求出b、c，由a=b+c求出a，再求出椭圆C的离心率．

解答：解：由题意得，椭圆的右焦点F为（c，0）、上顶点B为（0，b），

因为圆（x﹣1）+（y﹣1）=2经过右焦点F和上顶点 B，

所以

则a=b+c=8，解得a=

，解得b=c=2，

， =

，

所以椭圆C的离心率e==故答案为：

．

点评：本题考查椭圆的简单几何性质，以及a、b、c的关系，属于基础题．

15．（4分）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为

（用数字作答）．

考点：几何概型．专题：概率与统计．

分析：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x，y）|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．

解答：解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，

则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域

为△ABC，联立得C（45，50），联立

得B（30，35），则S△ABC=×15×15，

由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为故答案为：

．

=，

点评：本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率，求解的关键是掌握两种求概率的方法

的定义及规则，求出对应区域的面积是解决本题的关键．

16．（4分）在数阵

里，每行、每列的数依次均成等比数列，且a22=2，则所

有数的乘积为512．

考点：等比数列的性质．

专题：计算题；等差数列与等比数列．

2222

分析：利用等比中项公式，得a11a31=a21，a12a32=a22，a13a33=a23，a21a23=a22，由此可以求出所有数的乘积．

解答：解：利用等比中项公式，

得a11a31=a21，

a12a32=a22，

a13a33=a23，

a21a23=a22，

于是，所有数的乘积为a22=2=512．故答案为：512．

点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比数列的通项公式和等比中项的灵活运用．

三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（1）求A的大小；

（2）若a=7，求△ABC的周长的取值范围．

考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．

分析：（1）利用正弦定理，结合和差的正弦公式，化简可得结论；（2）利用余弦定理结合基本不等式，可求△ABC的周长的取值范围．

解答：解：（1）∵∴由正弦定理可得

∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC， ∴sinA﹣cosA=1， ∴sin（A﹣30°）=，

∴A﹣30°=30°，∴A=60°；

（2）由题意，b＞0，c＞0，b+c＞a=7， ∴由余弦定理49=

，

=（b+c）﹣3bc≥（b+c）（当且仅当b=c时取等号），

∴b+c≤14，

∵b+c＞7， ∴7＜b+c≤14，

∴△ABC的周长的取值范围为（14，21]．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．

18．（12分）已知首项都是1的数列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N）满足bn+1=

（Ⅰ）令cn=，求数列{cn}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}为各项均为正数的等比数列，且b3=4b2?b6，求数列{an}的前n项和Sn．

考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．

分析：（Ⅰ）由题意得an+1bn=an?bn+1+3bn?bn+1，从而，由此推导出数列{cn}

是首项为1，公差为3的等差数列，进而求出cn=1+3（n﹣1）=3n﹣2，n∈N．（Ⅱ）设数列{bn}的公比为q，q＞0，由已知得an=cnbn=

，n∈N，从而

，由此利用错位相减法能求出数列{an}的前n项和Sn．

解答：解：（Ⅰ）由题意得an+1bn=an?bn+1+3bn?bn+1，两边同时除以bnbn+1，得

，

又cn=

，

∴cn+1﹣cn=3，又

，

∴数列{cn}是首项为1，公差为3的等差数列，

∴cn=1+3（n﹣1）=3n﹣2，n∈N．

（Ⅱ）设数列{bn}的公比为q，q＞0， ∵∴整理，得∴an=cnbn=∴Sn=1×∴

，

，∴q=，又b1=1，，n∈N，

，

…++…+

，① ，②

①﹣②，得：

+…+

=1+3[=

=4﹣（6+3n﹣2）×=4﹣（3n+4）×（）， ∴Sn=8﹣（6n+8）×

．

﹣（3n﹣2）×

]﹣（3n﹣2）×

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用． 19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．

（1）若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积V．

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．

分析：（1）在Rt△ABC，∠BAC=60°，可得AC=2AB，PA=CA，又F为PC的中点，可得AF⊥PC．利用线面垂直的判定与性质定理可得：CD⊥PC．利用三角形的中位线定理可得：EF∥CD．于是EF⊥PC．即可证明PC⊥平面AEF．

（2）利用直角三角形的边角关系可得BC，CD．SABCD=V=

，即可得出．

．利用

解答：（1）证明：在Rt△ABC，∠BAC=60°， ∴AC=2AB， ∵PA=2AB， ∴PA=CA，

又F为PC的中点，

∴AF⊥PC．

∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD，PA∩AC=A， ∴CD⊥平面PAC． ∴CD⊥PC．

∵E为PD中点，F为PC中点， ∴EF∥CD．则EF⊥PC． ∵AF∩EF=F，

∴PC⊥平面AEF．

（2）解：在Rt△ABC中，AB=1， ∠BAC=60°，

∴BC=，AC=2．

在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°， ∴CD=2，AD=4． ∴SABCD=则V=

．

点评：本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三角形的中位线定理、直角三角形的边角关系、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20．（12分）某学校就一问题进行内部问卷调查，已知该学校有男学生90人，女学生108人，教师36人．用分层抽样的方法从中抽取13人进行问卷调查．问卷调查的问题设置为“同意”，“不同意”两种，且每人都做一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．同意不同意合计教师 1 女生 4 男生 2 （Ⅰ）请完成此统计表；

（Ⅱ）根据此次调查，估计全校对这一问题持“同意”意见的人数；

（Ⅲ）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．

考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．专题：概率与统计．

分析：（I）根据所给的男生90人，女生106人，教师36人，用分层抽样的方法从中抽取13人，得到女生男生和教师共需抽取的人数，根据表中所填写的人数，得到空着的部分．

（II）根据由表格可以看出由表格可以看出教师同意的概率为，女生同意的概率是，男生同意的概率是，分别乘以相应的人数，得到同意的结果数．

（III）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，可以通过列举得到结果，然后根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：（Ⅰ）统计表如下：同意不同意合计教师 1 1 2 女学生 2 4 6 男学生 3 2 5 （Ⅱ）∵由表格可以看出教师同意的概率为，女生同意的概率是，男生同意的概率是， ∴估计全校对这一问题持“同意”意见的人数为×36+×108+×90=108人

（Ⅲ）设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法；其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），8种满足题意，则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为

点评：本题主要考查古典概型、分层抽样、列举法等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力．考查运算求解能力，数据处理能力，应用意识函数与方程思想，分类与整合思想．

21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率为

，直

线y=x被椭圆C截得的线段长为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．

（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；（ii）求△OMN面积的最大值．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．

分析：（Ⅰ）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求；

（Ⅱ）（i）设出A，D的坐标分别为（x1，y1）（x1y1≠0），（x2，y2），用A的坐标表示B的坐标，把AB和AD的斜率都用A的坐标表示，写出直线AD的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和，求出AD中点坐标，则BD斜率可求，再写出BD所在直线方程，取y=0得到M点坐标，由两点求斜率得到AM的斜率，由两直线斜率的关系得到λ的值；

（ii）由BD方程求出N点坐标，结合（i）中求得的M的坐标得到△OMN的面积，然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值．解答：解：（Ⅰ）由题意知，∴椭圆C的方程可化为x+4y=a．将y=x代入可得因此则b=1．

∴椭圆C的方程为

；，

，解得a=2．

，则a=4b．

（Ⅱ）（i）设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1）． ∵直线AB的斜率又AB⊥AD， ∴直线AD的斜率设AD方程为y=kx+m，由题意知k≠0，m≠0．

，

．

联立，得（1+4k）x+8kmx+4m﹣4=0．

∴因此

．

由题意可得．