自考2324离散数学第四章课后答案

自考2324离散数学第四章课后答案

4.1习题参考答案

自考2324离散数学课后答案

-------------------------------------------------------------------------------- 1、在自然数集N中，下列哪种运算是可结合的 ( )。 a)、 a*b=a-b b) a*b=max(a,b) c)、 a*b=a+2b d) a*b=|a-b|

根据结合律的定义在自然数集N中任取 a,b,c 三数，察看 (a。b)。c=a。(b。c) 是否成立？ 可以发现只有 b、c 满足结合律。

晓津观点：b)满足结合律，分析如下： a) 若有a,b,c∈N，则 (a*b)*c =(a-b)-c a*(b*c) =a-(b-c)

在自然数集中，两式的值不恒等，因此本运算是不可结合的。

b)同上，(a*b)*c=max(max(a,b),c) 即得到a，b,c中最大的数。a*(b*c)=max(a,max(b,c))仍是得到a,b,c中最大的数。此运算是可结合的。

c)同上,(a*b)*c=(a+2b)+2c 而a*(b*c)=a+2(b+2c),很明显二者不恒等，因此本运算也不是可结合的。

d)运用同样的分析可知其不是可结合的。

--------------------------------------------------------------------------------

2、设集合 A={1，2，3，4，...，10},下面定义的哪种运算，关于集合A是不封闭的? a) x*y=max(x,y) b) x*y=min(x,y);

c) x*y=GCD(x,y),即x,y最大公约数； d) x*y=LCM(x,y) 即x,y最小公倍数； d)是不封闭的。

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3、设S是非空有限集， 代数系统<(s),∪,∩>中，(s)上，对∪的幺元为___φ___，零元为___S____，(s)上对∩的幺元为___S_____零元___φ____。 --------------------------------------------------------------------------------

4、设p,q,r是实数，*为R上二元运算↓a,b∈R，a*b=pa+qb+r，问*运算是否适合交换律、结合律和幂等律，是否有单位元和零元？并证明你的结论。

其不满足 交换律 、满足结合律 、不满足幂等律、无零元、无单位元

晓津补充证明如下：

(1)a*b=pa+qb+r 而b*a=pb+qa+r 当p,q取值不等时，二式不相等。因此*运算不满足交换律。 (2)设a,b,c∈R

则(a*b)*c=p(pa+qb+r)+qc+r=p^2a+pab+pr+qc+r 而a*(b*c)=pa+q(pb+qc+r)+r=pa+qpb+q^2c+qr+r 二式不恒等，因此*运算是不满足结合律的。 (3)a*a=pa+qa+r≠a 所以运算不满足幂等律。 (4)反证法。设有单位元e,则应有

a*e=pa+qe+r=a, e*a=pe+qa+r=a,可知e=(a-pa-r)/q 或e=(a-qa-r)/p 当p,q,r ,a取值不同时，可得不同的e,这与单位元若有时只是唯一的定理相矛盾。 (5)反证法。设有零元O,则应有

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a*O=pa+qO+r=O ,O*a=pO+qa+r=O ，同上分析，零元不止一个，因此与零元唯一的定理相矛盾。

-------------------------------------------------------------------------------- 5、设代数系统<A*>,其中 A={a,b,c},*是A上的一个二元关系。对于以下定义所确定的运算，试分别讨论它们的交换性、等幂性，以及在A中关于*是否有幺元，如果有幺元，那么A中的每个元素是否有逆元。

(a) : 可交换、具有幂等性、有幺元 a 、 c是b的逆元

晓津答案：可交换，但不具有幂等性。幺元e=a,表中有a*a=a,b*c=a,c*b=a,则可得a的逆元是a,b有逆元c,c有逆元b.

(b) : 可交换、不具有幂等性、有幺元 a , 因为a*a=a,b*b=a,所以a有逆元a,b有逆元b.

(c) : 不可交换、具有幂等性,无幺元。

(d) : 可交换、不具有幂等性、有幺元 a ,a有逆元a.

-------------------------------------------------------------------------------- 6、定义I+上两个二元运算为： a*b=a^b

a△b=a.b , a,b∈I+, 证明*对△是不可分配的。 证明： 设a,b,c∈I+

a*(b△c)=a^(b.c)

(a*b)△(a*c)=(a^b).(a^c)=a^(b+c) 可见：a*(b△c)≠(a*b)△(a*c) 根据：a*(b△c)≠(a*b)△(a*c) 可知*对△是不可分配的

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7、设Zn={0,1,2,...,n-1},*是Zn上的二元运算，使得a*b=a.b/n 的余数。 构造n=4时，运算*的规则表。

并证明对于任意 n∈N,*在Zn上是可结合的。 解：

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晓津证明如下：

(1)我们先证明n=1时,该运算*在Z1 上的运算是可结合的：此时，设有a,b,c∈Z1 则有a=0,b=0,c=0

(a*b)*c=(((a.b)Mod n).c )Mod n=0 a*(b*c)=(a.((b.c)Mod n) )Mod n=0

两式相等，因此当n=1时，*运算是可结合的。 (2)由上可设 当n=k时，*运算是可结合的。 (3)设n=k+1时，有：

(a*b)*c= (((a.b) Mod (k+1)).c )Mod (k+1) =(a.b.c Mod (k+1) ) Mod (k+1) a*(b*c)=(a.((b.c)Mod (k+1)) )Mod (k+1) =(a.b.c Mod (k+1) ) Mod (k+1)

可见两式是完全相同的结果。因此有当n=k+1时，*运算满足结合律。 所以对于任意n∈N,*在Zn上是可结合的。

4.2节习题参考答案

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1、对于正整数k,Nk={0,1,2,.....,k-1},设*k是Nk上的一个二元运算，使得a*kb为用k除 a.b所得余数，这里a,b∈Nk。

a)当k=4时，试造出*k的运算表。

b)对于任意正整数k，证明<Nk,*k>是一个半群。 解：

Zn={0,1,2,3}

(1)我们先证明k=1时,该运算*在Z1 上的运算是可结合的：此时，设有a,b,c∈Z1 则有a=0,b=0,c=0

(a*b)*c=(((a.b)Mod k).c )Mod k=0 a*(b*c)=(a.((b.c)Mod k) )Mod k=0

两式相等，因此当k=1时，*运算是可结合的。 (2)由上可设 当k=k时，*运算是可结合的。

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(3)设k=k+1时，有：

(a*b)*c= (((a.b) Mod (k+1)).c )Mod (k+1) =(a.b.c Mod (k+1) ) Mod (k+1) a*(b*c)=(a.((b.c)Mod (k+1)) )Mod (k+1) =(a.b.c Mod (k+1) ) Mod (k+1)

可见两式是完全相同的结果。因此有当k=k+1时，*运算满足结合律。 所以对于任意k∈K,*在Zk上是可结合的。 由此可知其是个半群。

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2、设<S,*>是一个半群a∈S，在S上定义一个二元运算□，使 得对于S中任意元素x和y，都有x□y=x*a*y

证明：二元运算□是可结合的。

根据结合律： (x□y)□z=x□(y□z) (x□y)□z=(x*a*y)*a*z x□(y□z)=x*a*(y*a*z) 由于*满足结合律，故： (x*a*y)*a*z=x*a*(y*a*z) => (x□y)□z=x□(y□z) => 二元运算□是可结合的

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3、设G={0，1，2，3}，为模4乘法，即 x,y∈G, xy=(xy)mod4。问: <G,>构成什么代数系统？试证明之。

构成一个半群,证明详见第一题，其具有封闭性、结合性。 -------------------------------------------------------------------------------- 4、在R中定义二元运算。 a。b=a+b+ab, a,b∈R 。 证明： <R,O>是独异点。

(1)、由运算 。可知，a。b∈R ，可知其在R上具有封闭性。 （2）、对于任意 a,b,c∈R

(a。b)。c=(a+b+ab)。c=a+b+ab+c+ac+bc+abc a。(b。c)=a。(b+c+bc)=a+b+c+bc+ab+ac+abc 可见： (a。b)。c=a。(b。c) 即 。 在R上是可结合的。

(3) 因为 [0]。[i]=i ,所以[0]是<R,O>上一个幺元 根据上述 <R,O>是独异点

晓津认为题中所给<R,O>中的O应为o；答案中的(3)幺元是0,而不是[0]. --------------------------------------------------------------------------------

5、设V=<S,*>是个半群，若存在 a∈S,使得对任意的 x∈S,有 u,v∈S满足： a*u=v*a=x 。证明 V是独异点。

晓津证明如下：

反证法：若V不是独异点，则V不存在幺元. 而因为x是任意的，则当x=a时，有 a*u=v*a=a

即此时u,v分别是a的右、左幺元。因为在一个系统中若同时存在左右幺元，则二者必相等，

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因此此时u=v=e。

这与假设矛盾，因此由V是一个半群，又V具有幺元，得知V是独异点。 --------------------------------------------------------------------------------

6、设 V=<S,O>是半群，OL∈S是一个左零元，证明： x∈S , x。OL也是一个左零元。 证明： V=<S,O>是半群,故 。在S上是可结合的 x。OL=OL。x

根据定义4.1.5可知： OL。x=OL

故x。OL也是一个左零元

晓津不同意见：可结合不等于可交换。在这里应当把(x。OL)看作一个元素，这整个元素是一个左零元。另，题中<S,O>应为<S，。> 证明如下：

因为V是半群，所以运算是封闭的,可结合的。 若有x,y,OL∈S， 则有x。OL∈S

且有(x。OL)。y=x。(OL。y)=x。OL 即x。OL是S中任意y的左零元。

-------------------------------------------------------------------------------- 7、V=<Z4,>,其中表示模4乘法，找出V的所有子半群，并说明哪些子半群是V的子独异点。 解：子半群如下：

V1=<Z1,>,V2=<Z2,>,V3=<Z3,>,V4=<Z4,>

其中V1,V2,V3 ,V4都是V的子独异点，因为这四个半群中均有幺元e=1。 -------------------------------------------------------------------------------- 8、证明在一个独异点中，左逆元集合，形成子独异点。 证明如下：设<S,*>为一个独异点，则它有一个幺元.

设在<S,*>中e是关于*的幺元，若对于任意a∈S，存在b∈S且b*a=e，则b是a的左逆元。 令左逆元的集合为L，则LS, 所以*在L上是结合的。

对任意的a，b∈L,

则必存在x,y∈S,使a*x=e，b*y=e; 则(a*b)*(y*x)=a*(b*y)*x=a*e*x=a*x=e; 故a*b是y*x的左逆元， ∴a*b∈L

∴*在L上是封闭的 (本段证明由阮允准补充)

即<L,*>是一个半群。因为e是S中关于*的幺元，所以它同时也是L中关于*的幺元。 因此<L,*>是一个子独异点。

-------------------------------------------------------------------------------- 9、设 <S,*>

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则 <S,*>是否为半群？是否为独异点？为什么？ 答：从表中看： (b*c)*c=a*c=c b*(c*c)=b*a=b (b*c)*c≠b*(c*c) 故不是半群(本题答案由hybina提供，感谢hybina)

4.3习题参考答案

1、设 <A,*>为群，任意a,b,c∈A, 证明 a*b=a*c，则 b=c。 证明：根据定理

4.3.4，设<G,*>是一个群，对于a,b∈G。必存在惟一的x∈G,使 a*x=b 设 a*b=g 因为 a*b=a*c 所以 a*c=g

由于 b在A中是惟一的，而c在A中也是惟一。 所以 b=c

晓津的证明如下：

-1

已知<A,*>为群，则对于任意a,必逆元a和幺元e，则有： a-1*(a*b)=a-1*(a*c) 即有

(a-1*a)*b=(a-1*a)*c e*b=e*c 所以有b=c

2、设 <H，*>是独异点，且H中任意x，有x*x=e,其中e为单位元，试证明： <H,*>是交换群。 证明：根据定理

4.2.2设<H,*>是独异点，对于a,b∈H,且a,b均有逆元。 那么根据定义4.3.1，可知 <H，*>是群

交换群就是 *运算满足交换律的情况。 满足交换律就是 a*b=b*a 将 (a*b)*(b*a) 根据结合性可得

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a*(b*b)*a=a*e*a=e

将 (b*a)*(a*b) 根据结合性可得 b*(a*a)*b=b*e*b=e 由于有

x*x=e ，而上述两个运算的结果，可知 a*b=b*a 根据定义4.3.4，可知其是一个交换群。 晓津证法如下：

设有任意a,b∈H，e为幺元，则根据已知条件有： a*b=(e*a)*(b*e) =(b*b*a)*(b*a*a) =b*((b*a)*(b*a))*a =b*e*a=b*a

可见a*b=b*a,即<H,*>是交换群。

3、设G是整数加群<Z,+>，在G上定义运算*如下：

a,b∈G,a*b=a+b-2,证明： <G,*>是群。

证明：关于此题的疑惑， 假如 a=1 b=1 那么

a*b=0,0不是正整数了。那么<G,*>就不能满足封闭性了。也有可能是我把题意给理解错了。

晓津观点，整数加群是指在整数集上进行加法运算的一个代数系统。而不仅仅是正整数上进行加运算，0也是包含在这个集合中的，所以满足封闭性。

证明如下：

(1)因为任意a,b∈G，即a,b∈Z，且a*b=a+b-2,可见a*b∈Z，因此<G,*>是封闭的。

(2)设有任意a,b,c∈G，则 (a*b)*c =(a+b-2)+c-2=a+b+c-4

a*(b*c) =a+(b+c-2)-2=a+b+c-4=(a*b)*c 可见G上关于* 运算是可结合的。 (3)在<G,*>中存在幺元e=2 ，验证如下： 对于任意a∈G，有a*e=a+2-2=a ，e*a=2+a-2=a (4)对于任意a∈G，存在逆元a-1 =4-a ,验证如下：

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a*a=a+(4-a)-2=2 ;a*a=4-a+a-2=2。 因此可证，<G，*>是群。

4、设G=

-1-1

{

( 1 0 ) ( 1 0 ) (-1 0 ) (-1 0 ) ( 0 1 ) ( 0 -1) ( 0 1 ) ( 0 -1)

}

证明： G关于矩阵乘法构成一个群。 运算表：

从运算表中可以看出其具有封闭性 并且其具有单位元 1 0 0 1

如何证明其具有结合性？晓津认为，仍旧可从表上看出。(表中色块表示(a*b)*d=a*(b*d)。*表示矩阵乘法。仅供理解用，证明时不必写出。) 另外可以每个矩阵乘以它本身，就等于其单位元，根据题二的结论

x*x=单位元，则说明<G,矩阵乘法>是群。晓津观点：最后一步应找到每个元素有其逆元而不是单位元。仍从表上可以找到,每个元素本身就是它的逆元。因此G关于矩阵乘法构成一个群。

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5、设<S,*>为一代数系统，*定义如下：

问：<S,*>是否构成群？为什么？

答：首先其满足封闭性，另外其有单位元 α 、但是其并非对每个元素均存在逆元，故其不构成群。

6、设A={a,b}，试构造代数系统<元、幺元，并说明<

(A),U>的运算表，并指出是否存在零

(A)，U>是否构成群？为什么？

另外此题有印刷错误 U 应改为 ∪ 其有单位元 φ ,零元 {a,b} ，除φ外其他元素均无逆元，所以不构成群。

7、设 G={2m×5n | m,n∈I},×:普通乘法，<G,*>是否构成群？为什么？ 对此不解，其没有说明 *是什么运算？所以 <G,*>是否构成群也是个问题。

晓津的理解：题中的*应为×方合题意。只是这I是指什么集合倒也成问题，我且将它理解成实数吧。这样的话，则G是一个不包含0的实数集，在G上关于×运算是封闭的。

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关于普通乘法，很显然它也是可结合的。

在实数集的普通乘法中，有幺元e=1,我们也可以确认，在G中对于m,n∈I(现我将其理解为实数)，则必存在m，n使2m×5n=1.因此，<G,*>是存在幺元的。 同样地，在实数集中的关于乘法的逆元x是x的倒数即x-1,由于G中不包含0，因此对于任一2m×5n有2-m×5-n

为其逆元。 可见<G,*>构成群。

同学们有更好的理解和证法请不要独享啊。

8、设 <G,*>是半群，若存在左幺元，且每个元素均有右逆元，<G,*>是不是群？为什么？

其是群，因为右逆元存在的条件便是先存在着单位元（参见P80定义4.1.6)，所以 <G,*>存在幺元。根据定理4.1.4 ，因为<G,*>是半群，所以其是可结合运算的，根据定理4.1.4，其必有 左逆元=右逆元 ，所以其是一个群。

问： <G,×7>是循环群吗？若是，找出它的生成元。 答： <G,×7>是循环群，生成元是[3], [3]=[3] [2]=[3]2 [6]=[3]3

[4]=[3]4 [5]=[3]5 [1]=[3]6

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故G是六阶循环群。

Littletree同学指出还有一个生成元：[5]

因4=[5]2，6=[5]3,2=[5]4,3=[5]5,1=[5]6

10、设A={x|x∈R∧x≠0,1}，在A上定义6个函数如下： f1(x)=x , f2(x)=x-1 ,f3(x)=1-x ,f4(x)=(1-x)-1 ,f5(x)=(x-1)x-1, f6(x)=x(x-1)-1,令F={fi|i=1,2,....,6},函数的复合o是F上二元运算。

a) 求o的运算表。 b) 验证<F,o>是一个群。 晓津答案： a)

b)(画完上面表格，真是头都大了)，我们可以看到，表中的所有元都在F内，因此运算是封闭的。有幺元e=f1,对于每个fi∈F，都有逆元存在。因此运算<F,o>是一个群。

11、设G={a,b,c},在G上定义二元运算。如下表所示：

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a) 验证 <G,o>为群；

b) <G,o>是否为循环群，如果是，找出它的生成元。 解： a)

从运算表中可以看 其具有封闭性。有幺元 a ，对于 b 有逆元 c ，对于 c有逆元 b 。同时可看出其具有结合性，如(a。b)。c=a。(b。c)=a

b) 其是循环群， b=b c=b2 a=b3 b是生成元。还有 c=c b=c2 a=c3 所以c也是生成元

12、设<H,△>是群<G,△>的子群， N={x|x∈G,xHx=H}。 证明：

<N,△>是<G,△>的一个子群。 晓津证明如下：

(1)设任意a,b∈N，则必有aΔa-1和bΔb-1∈H，由<H,Δ>是<G，Δ>的子群，可知a,b∈H，且aΔb∈H因此有(aΔb)Δ(aΔb)-1∈H

可得aΔb∈N。

(2)对应任意a∈N，有aΔa-1∈H，同时有a-1Δa∈H，因此有a-1∈N

所以(N，Δ)是(H，Δ)的子群，因为H≤G,所以有N≤G.

13、设G是交换群，证明G中一切有限阶元素所组成集合H是G的一个子群。

-1

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晓津提问：对于G中有限阶的理解

(1)是指G中的有限阶群，题意是指任何一个有限阶群都是G的一个子群?(2)还是指G中所包含的元素的阶是有限的且这些元素组成的集合是G的一个子群?

请兄弟MM们提供高见。 下面是阮允准同学的证明: 我认为是第2种理解。 证明如下：

设e是＜G，＊＞的幺元 显然e∈H,

所以H是G的非空子集。

设任意的a,b∈H，则必有正整数m,n使am=e,

bn=e 由b*b-1=e, 所以(b*b-1)n=en 所以bn*(b-1)n=e e*(b-1)n=e 所以(b-1)n=e

(a*b-1)mn=amn*(b-1)mn=(am)n*((b-1)n)m=en*em=e 所以a*b-1∈H 所以H≤G

14、设G是一个群，～是G的元素间的等价关系，对任意 a,x,y∈G,ax～ay=> x～y 证明：

H={x|x∈G,x～e}是G的子群，其中e是G的幺元。

晓津证明如下：

我的理解是ax就是指a与x之间进行某种运算的意思。这里我且用*夹在其中表示.

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(1)因为e∈G，e～e,所以e∈H, 若有任意a,x∈H

则a,x∈G，x～e，a～e可得x～a, 同时有x-1∈G，所以有 a*x-1=x*x-1=e a*e＝e*e=e 即有a*x-1～a*e

=〉x-1～e 因此有x-1∈H

(2)设任意x,y∈H，则有x,y∈G，x～e,y～e 又因x*y∈G，同上分析，若有任意a∈H，有a～e,则 a*(x*y)=e*(e*e)=e； a*e=

e；

即有a*(x*y)～a*e => (x*y)～e 所以x*y∈H,

因此<H,*>是<G，*>的子群

15、 设<G1,*>,<G2,△>是两个群。在G1×G2上定义☆为：

<a1,b1>☆<a2,b2>=<a1*a2,b1△b2>, 证明： <G1×G2,☆>是一个群。 晓津证明如下：

(1)设有任意<a1,b1>,<a2,b2>∈G1×G2 因为a1*a2∈G1，b1Δb2∈G2 所以<a1*a2,b1Δb2>∈G1×G2 即<a1,b1>☆<a2,b2>∈G1×G2 因此<G1×G2，☆>是封闭的。

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(2)设有任意<a3,b3>∈G1×G2 则有(<a1,b1>☆<a2,b2>)☆<a3,b3> =<a1*a2,b1Δb2>☆<a3,b3> =<a1*a2*a3,b1Δb2Δb3) 且<a1,b1>☆(<a2,b2>☆<a3,b3>) =<a1,b1>☆<a2*a3,b2Δb3> =<a1*a2*a3,b1Δb2Δb3)

可见，在G1×G2上关于☆运算是可结合的。

(3)因为在<G1,*>中有幺元e1,<G2,Δ>中有幺元e2, 所以在G1×G2上，对任意<a1,b1>有 <a1,b1>☆<e1,e2>=<a1*e1,b1*e2>=<a1,b1> 因此存在幺元e=<e1,e2>.

(4)因为在<G1,*>中对每个元素a有逆元a-1，在<G2,Δ>中对每个元素b有逆元b-1,则

在G1×G2中，对任意<a,b>有

<a,b>☆<a-1,b-1>=<a*a-1,bΔb-1>=<e1,e2>=e

可得<G1×G2，☆>是一个群。

4.4习题参考答案

1、已知一个环<{a,b,c,d},+,△>,它的运算如表4.4.2所示。

自考2324离散数学第四章课后答案

请回答： 它是一个交换环吗？它有乘法幺元吗？这个环中的零元是什么？并求出每个元素的加法逆元。

解：<{a,b,c,d},+△>少了个逗号。应该是<{a,b,c,d},+,△> 解：它是一个交换环。因为

可以发现△运算在运算表中关于主对角线对称，所以<{a,b,c,d},△>是可交换的，所以根据定理4.4.2得知其是一个交换环。 此处没有乘法幺元。环中的零元是根据后半部分运算来得到的。可以发现 a△x=a x△a=a，那么就可以判断 a是零元

每个元素的加法逆元： b元素的加法逆元是 d c元素的加法逆元是 c a的加法逆元是a。

2、设<A,+,.>是一个环，并且对于任意的a∈A，都有 a.a=a ,这个环称布尔环，

证明：a)对于任意的a∈A,都有 a+a=θ，其中θ是加法幺元。 b) <A,+,.>是可交换环。 解：

a) jhju对教材一点看法： 环的定义中有这么一句：

<A,☆>是阿贝尔群，可是阿贝尔群是什么群呢？我翻了半天左孝凌的教材，没有这个名词的解释。无奈之中，只好翻了一下清华版教材，上面写着“若群G中的二元运算是可交换的，则称群G为交换群，也叫做阿贝尔群(Abel)群。而左孝凌的教材只写了一个abel群，并没有注明阿贝尔群。有的读者不是要被弄糊涂了？

浙江省考办在《计算机应用及教育》专业中《线性代数和离散数学》中指定的教材正是清华版的教材，而全国考办指定的教材不如省考办指定的教材。质

自考2324离散数学第四章课后答案

量是生命，我觉得全国考办也应该反思一下。 根据环的定义： <A,+>是个交换群。 根据题意θ是幺元， a+θ=a θ+a=a a+a=(a+θ)+(θ+a)

根据交换律与结合律： a+a=(θ+θ)+(a+a)

晓津看法，上面的证明并没有完成。我觉得题目中的a+a=θ是不是应该改为a+a=a?

b) a.(b+c)=a.b+a.c

3、在整数环中定义*和o两个二元运算，对任意 a,b∈Z 有： a*b=a+b-1 aob=a+b-ab

证明：<Z,*,o>是一个含幺环。

证明：可以很明显的看出 a*b 满足交换律、封闭性、结合律，故其是一个阿贝尔群

而 aob在Z中满足封闭性、结合律，故其是一个半群。 xo(y*z)=xo(y+z-1)=x+y+z-1-x(y+z-1)=x+y+z-1-xy-xz+x xoy*xoz=(x+y-xy)*(x+z-xz)=x+y+z-1-xy-xz+x 得:xo(y*z)=(xoy)*(xoz)

同理可得： (x*y)oz=(xoy)*(xoz) 可见： o对于*是可分配的 <Z,*,o>是一个环

在Z中，aob=a+b-ab 0ob=b bo0=b 可见0是o运算中的幺元。 <Z,o>含有幺元，则

<A,+,o>是含幺环。

自考2324离散数学第四章课后答案

4、设R1，R2是环，在R1×R2中定义两个二元运算*和o，对任意<a1,b1>,<a2,b2>∈R1×R2，

<a1,b1>*<a2,b2>=<a1+a2,b1+b2> <a1,b1>o<a2,b2>=<a1a2,b1b2>。 a) 证明 <R1×R2,*,o>构成一个环；

b) 若R1和R2是交换环（或含幺环），则R1R2也是交换环(或含幺环）。

c) 若R1和R2都是整环，R1×R2是整环吗？证明你的结论。 晓津证明如下： a)

因为R1，R2是环，则对于任意a1,a2∈R1有 a1+a2∈R1,a1*a2∈R1 ，R2同理。所以： (1)

对于任意<a1,b1>,<a2,b2>∈R1×R2 有

<a1,b1>*<a2,b2>=<a1+a2,b1+b2>∈R1×R2 并有

<a2,b2>*<a1,b1>=<a2+a1,b2+b1> 再设任意<a3,b3>∈R1×R2，则显然有

<a3,b3>*(<a2,b2>*<a1,b1>)=(<a3,b3>*<a2,b2>)*<a1,b1> 同时有幺元e=<0,0>,使得： <a1,b1>*<0,0>=<a1,b1>

对任一元素有逆元<-a1,-b1>存在，使得 <a1,b1>*<-a1,-b1>=<0,0>

可见在R1×R2中关于*运算是封闭的、可结合的、可交换的、存在幺元和各元素的逆元，因此它是一个阿贝尔群。

自考2324离散数学第四章课后答案

(2)对于任意的<a1,b1>,<a2,b2>∈R1×R2，有 <a1,b1>o<a2,b2>=<a1a2,b1b2>∈R1×R2 若有<a3,b3>∈R1×R2，则显然地有：

<a1,b1>o(<a2,b2>o<a3,b3>)=(<a1,b1>o<a2,b2>)o<a3,b3> 可见<R1×R2，o>是一个半群。

(3)对于任意的<a1,b1>,<a2,b2>,<a3,b3>∈R1×R2，则 <a1,b1>o(<a2,b2>*<a3,b3>) =<a1,b1>o<a2+a3,b2+b3> =<a1(a2+a3),b1(b2+b3)> 可见o对*是可分配的。 因此<R1×R2，*,o>是一个环。

b)要证明R1×R2是交换环(含幺环)只需在以上证明的基础上证明 <R1×R2，o>可交换或含幺元。 如下：

因为R1，R2是交环，则对于a1,a2∈R1及b1,b2∈R2，有a1a2=a2a1、b1b2=b2b1, 因此若有任意<a1,b1>,<a2,b2>∈R1×R2

则

<a1,b1>o<a2,b2>=<a1a2,b1b2> <a2,b2>o<a1,b1>=<a2a1,b2b1> 它们是相等的，即o运算可交换。

同样的，R1有幺元e1,R2有幺元e2,则对于任意<a1,b1>∈R1×R2，有 <a1,b2>o<e1,e2>=<a1,b2> 即有幺元e=<e1,e2>

可见，R1×R2是交换环(或含幺环)

(c)要证其为整环，则还需证明<R1×R2,o>中无零因子。如下：

任取<a1,b1>,<a2,b2>∈R1×R2，且<a1,b1>≠<0，0> ，<a1,b1>o<a2,b2>=<0,0> 则有<a1a2,b1b2>=0

由 <a1,b1>≠<0,0>

自考2324离散数学第四章课后答案

，R1,R2是整环，则 a1a2=0且a1≠0时，必有a2=0， b1b2=0且b1≠0时，有b2=0, 所以有<a2,b2>=<0,0>=0

因此在R1×R2中满足消去律，可证R1×R2中无零因子。

5、证明有限整环必定是域。 晓津证明如下：

(1)设<A,*，o>是一个整环，则A必有幺元。 (2)同时每个非零元都有逆元。

6、证明环的直积也是环。所谓环的直积指：<R,+,.>,<R',o,*>直积<R×R',△,□>。

定义为：任意<a,b>,<c,d>∈R×R' <a,b>△<c,d>=<a+c,bod> <a,b>□<c,d>=<ac,b*d>

晓津提示如下：本题与第4题基本相同，就是更复杂些，在此就不证了，哪位同学把证明过程写出来好吗?

7、设<A,+,.>和<B,,>是两个代数系统，如果从A到B的映射f，满足如下条件：对任意

a,b∈A有： a) f(a+b)=f(a)f(b); b) f(a.b)=f(a)f(b);

自考2324离散数学第四章课后答案

则称f为由<A,+,.>到<B,,>的一个同态映射，称<B,,>是<A,+,.>的同态象。

证明： 任一环的同态象是一个环。

本题看起来实在复杂，请同学们帮助证一下吧。

8、已知 <{<a,b> | a,b是整数},+,*>是环，其中规定 <a,b>=<c,d> iff a=c,b=d,<a,b>+<c,d>=<a+c,b+d>, <a,b>*<c,d>=<ac,bd>，说明该环是否为整环？为什么？ 晓津答案：

设它是一个整环，则要证明：该环是含幺环、是交换环、对于集合中每个元素存在逆元，且无零因子。如下： 设题中给定环为<A，+，*>

(1)在<A,*>中，存在幺元e=<e,e>,验证如下： <a,b>*<e,e>=<ae,be>=<a,b> <e,e>*<a,b>=<ea,eb>=<a,b> (2)同样容易验证此环是可交换的。 (3)下面讨论它是否存在零因子：

设有任意<a,b>,<c,d>∈A,且<a,b>≠<0,0>，且<a,b>*<c,d>=<0,0>,则有 <ac,bd>=<0，0>,

在整数的乘法中我们知道ac=0且a≠0时，必有c=0,同样,bd=0且b≠0时必有d=0,所以有 <c,d>=<0,0>=0，因此 在<A,+,*>中无零因子。它是一个整环。

4.5 习题参考答案

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1、 L是40的正整数因子集，偏序关系为整除/，问<L,/>是否是格，画出其哈斯图。 晓津答案：L={1,2,4,5,8,10,20,40} L是一个格，其哈斯图如下：

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