含29套全国考研数学二历年真题（1989年至2018年）

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含29套考研数学二历年真题：1985年至2018年

全国考研数学二真题

真题目录（29套）

1、1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 2、1990年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 3、1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 4、1992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 5、1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 6、1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 7、1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 8、1996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 9、1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 10、1998年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 11、1999年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 12、2000年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 13、2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 14、2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 15、2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 16、2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 17、2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 18、2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 19、2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 20、2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 21、2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 22、2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 23、2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 24、2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 25、2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 26、2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 27、2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 28、2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 29、2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

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1989年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、填空题(每小题3分,满分21分.把答案填在题中横线上.) (1) limxcot2x?＿＿＿＿＿＿.

x?0(2)

??0tsintdt?＿＿＿＿＿＿.

(3) 曲线y??x0(t?1)(t?2)dt在点(0,0)处的切线方程是＿＿＿＿＿＿.

?(x?n),则f?(0)?＿＿＿＿＿＿.

(4) 设f(x)?x(x?1)(x?2)?(5) 设f(x)是连续函数,且f(x)?x?2?10f(t)dt,则f(x)?＿＿＿＿＿＿.

?a?bx2,x?0?(6) 设f(x)??sinbx在x?0处连续,则常数a与b应满足的关系是＿＿＿＿＿.

,x?0??x(7) 设tany?x?y,则dy?＿＿＿＿＿＿.

二、计算题(每小题4分,满分20分.) (1) 已知y?arcsine?(2) 求

x,求y?.

dx?xln2x.

1xx?0(3) 求lim(2sinx?cosx).

?x?ln(1?t2),dyd2y(4) 已知?求及2.

dxdx?y?arctant,2112?(5) 已知f(2)?,f(2)?0及?f(x)dx?1,求?xf??(2x)dx.

002

三、选择题(每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母

填在题后的括号内.)

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(1) 设x?0时,曲线y?xsin1 ( ) x(A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线

(2) 若3a?5b?0,则方程x?2ax?3bx?4c?0 ( )

(A) 无实根 (B) 有唯一实根 (C) 有三个不同实根 (D) 有五个不同实根

253((3) 曲线y?cosx?( )

?2?x??2)与x轴所围成的图形,绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为

??22(A) (B) ? (C) (D) ?

22(4) 设两函数f(x)及g(x)都在x?a处取得极大值,则函数F(x)?f(x)g(x)在x?a处

( )

(A) 必取极大值 (B) 必取极小值

(5) 微分方程y???y?ex?1的一个特解应具有形式(式中a,b为常数) ( )

(A) ae?b (B) axe?b (C) ae?bx (D) axe?bx (6) 设f(x)在x?a的某个领域内有定义,则f(x)在x?a处可导的一个充分条件是( )

xxxx1h???hf(a?2h)?f(a?h)(B) lim存在

h?0hf(a?h)?f(a?h)(C) lim存在

h?02hf(a)?f(a?h)(D) lim存在

h?0h(A) limh[f(a?)?f(a)]存在

四、(本题满分6分)

求微分方程xy??(1?x)y?e

2x(0?x???)满足y(1)?0的解.

第 3 页共 469 页

五、(本题满分7分)

设f(x)?sinx?

六、(本题满分7分)

?x0(x?t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).

x?证明方程lnx???1?cos2xdx在区间(0,??)内有且仅有两个不同实根.

第 4 页共 469 页

七、(本大题满分11分)

对函数y?

单调减少区间单调增加区间极值点极值凹()区间凸(拐点渐近线

八、(本题满分10分)

2设抛物线y?ax?bx?c过原点,当0?x?1时,y?0,又已知该抛物线与x轴及直线x?1所围图

x?1,填写下表： x2 )区间形的面积为

1,试确定a,b,c使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小. 3 第 5 页共 469 页

r1?1,r2??1.

而形如y???y?ex必有特解Y1?x?aex；y???y?1必有特解Y1?b. 由叠加得原方程必有特解Y?x?ae?b,应选(B). (6)、(D)

解：利用导数的概念判定f(x)在x?a处可导的充分条件. (A)等价于limxt?0?f(a?t)?f(a)存在,所以只能保证函数在x?a右导数存在；

t(B)、(C)显然是f(x)在x?a处可导的必要条件,而非充分条件,

1??cos,x?0如 y??在x?0处不连续,因而不可导,但是 x??0,x?01111cos(0?)?cos(0?)cos?cosf(a?h)?f(a?h)hh?limhh?0, lim?limh?0h?0h?02h2h2h1111cos()?cos(0?)cos?cosf(a?2h)?f(a?h)2h2h?lim2h2h?0均存在； lim?limh?0h?0h?0hhh(D)是充分的：

f(a??x)?f(a)?x??hf(a)?f(a?h)f(a)?f(a?h)lim?lim存在?f?(a)?lim存在,应选(D). ?x?0h?0h?0?xhh

四、(本题满分6分)

解：所给方程为一阶线性非齐次微分方程,先写成标准形式

11y??(?1)y?e2x,

xx?通解为 y?e1?(?1)dxx?1)dx12x?(11x12xxexxx(?eedx?C)?e(?exdx?C)?(e?C). xxxexexx(e?e). 代入初始条件y(1)?0,得C??e,所求解为 y?x【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程的标准形式为y??p(x)y?q(x),其通解公式为

?p(x)dxp(x)dx y?e?(q(x)e?dx?C),其中C为常数.

五、(本题满分7分)

解：先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律, f(x)?sinx??x0(x?t)f(t)dt?sinx?x?f(t)dt??tf(t)dt,

00xx 第 11 页共 469 页

所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得

f?(x)?cosx??f(t)dt?xf(x)?xf(x)?cosx??f(t)dt,

00xx再求导,得

f??(x)??sinx?f(x),即 f??(x)?f(x)??sinx,

这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为r?1?0,

此特征方程的根为r??i,而右边的sinx可看作e?xsin?x,??0,??1,??i???i为特征根,因此非齐次方程有特解Y?xasinx?xbcosx. 代入方程并比较系数,得a?0,b?21x,故Y?cosx,所以 22xf(x)?c1cosx?c2sinx?cosx.

211x又因为f(0)?0,f?(0)?1,所以c1?0,c2?,即 f(x)?sinx?cosx.

222

六、(本题满分7分)

解：方法一：判定方程f(x)?0等价于判定函数y?f(x)与x的交点个数.

?x令 f(x)?lnx???1?cos2xdx,

e0其中

??01?cos2xdx是定积分,为常数,且被积函数1?cos2x在(0,?)非负,故

?0??01?cos2xdx?0,为简化计算,令?x1?cos2xdx?k?0,即f(x)?lnx??k,

e则其导数f?(x)?11?,令f?(x)?0解得唯一驻点x?e, xe即 ??f?(x)?0,0?x?e,

?f?(x)?0,e?x???e?k?k?0. e所以,x?e是最大点,最大值为f(e)?lne?x?limf(x)?lim(lnx??k)????x?0??x?0?e又因为 ?,

?limf(x)?lim(lnx?x?k)???x????e?x???由连续函数的介值定理知在(0,e)与(e,??)各有且仅有一个零点(不相同),

x?故方程lnx???1?cos2xdx在(0,??)有且仅有两个不同实根.

e0方法二：

??01?cos2xdx???0sin2xdx,因为当0?x??时,sinx?0, 所以

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??02sin2xdx?2?sinxdx?2??cosx?0?22?0.

0??其它同方法一.

七、(本大题满分11分)

x?111y??2, 的定义域为,将函数化简为??,00,??????2xxx21126216则 y???3?2?2(??1),y???4?3?3(?2).

xxxxxxxx解：函数y?令y??0,得x??2,即

??y?????y????12(??1)?0,x?(?2,0),2xx故x??2为极小值点.

12(??1)?0,x?(??,?2)(0,??),2xx令y???0,得x??3,即

???y?????y?????16(?2)?0,x?(?3,0)(0,??),为凹，x3x

16(?2)?0,x?(??,?3)，为凸，3xx2y??在x??3处左右变号,所以x??3,y(?3)??为函数的拐点.

911又 limy?lim(?2)??,故x?0是函数的铅直渐近线；

x?0x?0xx11limy?lim(?2)?0,故y?0是函数的水平渐近线. x??x??xx填写表格如下：单调减少区间单调增加区间极值点极值凹区间凸区间拐点渐近线

(??,?2)(?2,0) x??2 1y?? 4(0,??) (?3,0)(0,??) (??,?3) 2(?3,?) 9x?0,y?0 第 13 页共 469 页

八、(本题满分10分)

解：由题知曲线过点(0,0),得c?0,即y?ax2?bx. 如图所示,从x?x?dx的面积dS?ydx,所以

?1312? S??ydx??(ax?bx)dx??ax?bx?

002?3?01121ab?, 32ab12?2a由题知 ??,即b?.

3233 ?当y?ax2?bx绕x轴旋转一周,则从x?x?dx的体积dV??y2dx,所以旋转体积

?a2x5abx4b2x3?a2abb2222V???ydx???(ax?bx)dx????????(5?2?3), 00523??0111?a24(1?a)2a(1?a)??b用a代入消去b,得V?????,这是个含有a的函数,两边对a求导得

5273??dV?4?(a?1), da2755dV,在该处由负变正,此点为极小值点,故体积最小, 4da35232这时b?,故所求函数y?ax?bx?c??x?x.

242令其等于0得唯一驻点a??

1991年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设y?ln(1?3),则dy?＿＿＿＿＿＿. (2) 曲线y?e?x的上凸区间是＿＿＿＿＿＿. (3)

2?x???1lnxdx?＿＿＿＿＿＿. x22(4) 质点以速度tsin(t)米每秒作直线运动,则从时刻t1?＿＿＿＿＿＿米.

?2秒到t2??秒内质点所经过的路程等于第 14 页共 469 页

(5) lim?x?01?e1x1x?＿＿＿＿＿＿.

x?e 二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 若曲线y?x2?ax?b和2y??1?xy3在点(1,?1)处相切,其中a,b是常数,则 ( )

(A) a?0,b??2 (B) a?1,b??3 (C) a??3,b?1 (D) a??1,b??1

x? x2, 0?x?1,(2) 设函数f(x)??记F(x)??f(t)dt,0?x?2,则 ( )

02?x,1?x?2,???x3x3 , 0?x?1 , 0?x?1????33(A) F(x)?? (B) F(x)??

22?1?2x?x,1?x?2??7?2x?x,1?x?2??32?3?6??x3x3 , 0?x?1 , 0?x?1????33(C) F(x)?? (D) F(x)??

222?x?2x?x,1?x?2?2x?x,1?x?2??2?2?3(3) 设函数f(x)在(??,??)内有定义,x0?0是函数f(x)的极大点,则 ( )

(A) x0必是f(x)的驻点 (B) ?x0必是?f(?x)的极小点 (C) ?x0必是?f(x)的极小点 (D) 对一切x都有f(x)?f(x0) (4) 曲线y?1?e1?e?x2?x2 ( )

(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线

(5) 如图,x轴上有一线密度为常数?,长度为l的细杆,有一质量为m的质点到杆右端的距离为a,已知

引力系数为k,则质点和细杆之间引力的大小为 ( )

(A)

0l O am x lkm?km?dx (B) ??l(a?x)2?0(a?x)2dx

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lkm?km?2(C) 2?l (D) dx2dx ??(a?x)20(a?x)220

三、(每小题5分,满分25分.)

?x?tcostd2y(1) 设?,求2.

dxy?tsint?

(2) 计算

(3) 求 limx?0?41dx. x(1?x)x?sinx. 2xx(e?1)

2(4) 求 xsinxdx.

(5) 求微分方程xy??y?xe满足y(1)?1的特解.

x 第 16 页共 469 页

四、(本题满分9分)

利用导数证明：当x?1时,有不等式

五、(本题满分9分)

求微分方程y???y?x?cosx的通解.

六、(本题满分9分)

曲线y?(x?1)(x?2)和x轴围成一平面图形,求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积.

七、(本题满分9分)

如图,A和D分别是曲线y?e和y?ex?2xln(1?x)x?成立. lnx1?x上的点,AB和DC均垂直x轴,且

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AB:DC?2:1,AB?1,求点B和C的横坐标,使梯形ABCD的面积最大.

八、(本题满分9分)

y?e?2x Ay?ex 1D B OCx设函数f(x)在(??,??)内满足f(x)?f(x??)?sinx,且f(x)?x,x?[0,?), 计算

??3?f(x)dx.

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1991年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题解析

一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)、?ln3dx 3x?1解：由复合函数求导法则,即y??(f(x))的微分为dy???(f(x))f?(x)dx,有

dy?(2)、(?1ln3?x?3ln3?(?1)dx??dx. ?xx1?33?111,) 22解：求函数y?f(x)的凹凸区间,只需求出y??,若y???0,则函数图形为上凹,若

y???0,则函数图形为上凸,由题可知

第 19 页共 469 页

y??e?x?(?2x)??2xe?x,

1?x2?x2?x2??y??2e?(?2x)e?(?2x)?4e(x2?).

2因为4e?x?0,所以当x?22221122?0时y???0,函数图像上凸,即x2?,?时, 函数图像上凸.?x?2222故曲线上凸区间为(?11,). 22(3)、1

解：用极限法求广义积分.

???1blnxblnx1dx?limdx?limlnxd(?) 22??11b???b???xxx分部b?b11???lnx???lim????(?)dx? ??1b???xxx??1????b?lnb1?lnbln1?1???????????lim(?)?1?1. ?lim??b???b???1?x?1?bb?b??(4)、

1 2解：这是定积分的应用.

设在t?t?dt时刻的速度为tsin(t2),则在dt时间内的路程为ds?tsin(t2)dt,所以从时刻t1?秒到t2??2?秒内质点所经过的路程为

s??tsin(t2)dt

t1t2 ????/2tsin(t2)dt??12???/2sin(t2)dt2

12 ??cos(t)2(5)、?1

?/21?11??(cos??cos)??(?1?0)?.

22221??解：这是一个型未定式,分子分母同乘以ex,得

?1x1x1x1xx?0lim?1?e?lim?x?0e??1?1.

x?exe?为简化计算,令t??11,则x??,原式可化为 xt 第 20 页共 469 页

x?0?lime?1x1x?1xe?et?10?1?lim???1. t???et0?1??1?1t

二、选择题(每小题3分,满分15分.) (1)、(D)

解：两函数在某点处相切,则在该点处的切线的斜率相等,即在该点处的导数相等, 对两函数分别对x求导,得

y??2x?a,则该曲线在点(1,?1)处的导数为y?x?1?2?a,

y3,则曲线在点(1,?1)处的导数为 2y??y?3xyy?,即y??22?3xy32(?1)3y?x?1??1,

2?3?1?(?1)2两导数相等,有2?a?1,即a??1.

又因为曲线y?x2?ax?b过点(1,?1),所以有?1?1?a?b?1?1?b?b,b??1. 所以选项(D)正确. (2)、(B)

解：这是分段函数求定积分.

当0?x?1时,f(x)?x2,所以F(x)?当1?x?2时,f(x)?2?x, 所以 F(x)??x01?1?f(t)dt??tdt??t3??x3.

0?3?03x2x?x0f(t)dt??tdt??(2?t)dt

011x12x12?1121?13?? ??t???2t?t???(2x?x)?(2?)

2?1322?3?0? ??71?2x?x2. 62?x3,0?x?1??3所以F(x)??,应选(B).

2??7?2x?x,1?x?2?2?6(3)、(B)

解：方法一：用排除法.

由于不可导点也可取极值,如f(x)??x?1,在x0?1处取极大值,但是x0?1不是f(x)??x?1的驻点,所以(A)不正确；

注意到极值的局部性,即极值不是最值,所以(D)也不正确；

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对于f(x)??|x?1|,在x0?1处取极大值,但?x0??1并非是?f(x)?|x?1|的极小值点,所以(C)也不成立；故选(B).

方法二：证明(B)是正确的,因为x0?0,不妨设x0?0,则f(x0)为极大值,则在x0的某个领域内有

f(x0)?f(x0??x)；

函数y??f(?x)与函数y?f(x)关于原点对称,所以必有?f(?x0)??f(?x0??x),即在?x0的某个领域内?f(?x0)为极小值,故(B)是正确的.

(4)、(D)

解：函数的定义域为x?0,所以函数的间断点为x?0,

limy?limx?0x?01?e?x1?e2?x2?limx?0ex?1e?122x2??,所以x?0为铅直渐近线,

limy?limx??x??1?e?x1?e2?x2??limx??ex?1e?1x2?1,所以y?1为水平渐近线.

所以选(D).

知识点：铅直渐近线：如函数y?f(x)在其间断点x?x0处有limf(x)??,则x?x0是函数的一条铅直

x?x0渐近线；

水平渐近线：当limf(x)?a,(a为常数）,则y?a为函数的水平渐近线.

x??(5)、(A)

解：如图建立坐标系,则x?x?dx中,dx长度的细杆的质量为?dx,与质点的距离为a?x,故两点间的引力为dF?0km?dxkm?F?dx,故选(A). ,积分得22??l(a?x)(a?x) 同理应用微元法可知,若以l的中点为原点,则质点的坐标为(a?l2l?2l,0),故 2F??km?dx；

l(a??x)22若以l的左端点为原点,则质点的坐标为(a?l,0),故F?故(B)、(C)、(D)均不正确,应选(A).

三、(每小题5分,满分25分.)

(1)解：这是个函数的参数方程,

km??0(a?l?x)2dx.

ldydy/dtsint?tcost??, dxdx/dtcost?tsint 第 22 页共 469 页

d2yddy1dsint?tcost1?()??()? 2dxdxdtdxdtcost?tsintcost?tsintdt?(2cost?tsint)(cost?tsint)?(2sint?tcost)(sint?tcost)1 ?(cost?tsint)2cost?tsint2(cos2t?sin2t)?t2(sin2t?cos2t)?3tsintcost?3tsintcost ?(cost?tsint)32?t2. ?3(cost?tsint)知识点：参数方程所确定函数的微分法：

?x??(t)dy??(t)如果 ?,则 . ??dx?(t)y??(t)?(2)解：用换元法求定积分.

令t?x,则x?t2,dx?2tdt,则

?41221dx11??2?2tdt?2?(?)dt 1t(1?t)1t1?tx(1?x)2t?214??2?ln?2(ln?ln)?2ln.

323?t?1??1(3)解：利用等价无穷小和洛必达法则.

当x?0时,有sinxx,ex1?x,所以

2?x?x2??2sin2x?sinxx?sinx1?cosx2?lim?2??1. lim2x?lim洛lim?limx?0x(e?1)x?0x?0x?0x?0x33x23x23x26(4)解：用分部积分法求不定积分.

1?cos2x1dx??(x?xcos2x)dx 221111??xdx??xcos2xdx?x2??xd(sin2x) 2244111?x2?xsin2x??sin2xdx 444111?x2?xsin2x?cos2x?C. 4481x(5)解：所给方程是一阶线性方程,其标准形式为y??y?e.通解为

x2?xsinxdx??x?dxdx1?x?xxy?e(?eedx?C)?(?xexdx?C)

x?11 第 23 页共 469 页

111(?xdex?C)?(xex??exdx?C)?(xex?ex?C). xxx1x?1xe. 代入初始条件y(1)?1得C?1,所以特解为y??xx ?知识点：一阶线性非齐次微分方程y??p(x)y?q(x)的通解为

?p(x)dxp(x)dxy?e?(?q(x)e?dx?C),其中C为常数.

四、(本题满分9分)

解：首先应简化不等式,从中发现规律.

当x?1时,原不等式即(1?x)ln(1?x)?xlnx,即(1?x)ln(1?x)?xlnx?0. 证法一：令f(x)?(1?x)ln(1?x)?xlnx,则只需证明在x?1时f(x)?0即可, 可利用函数的单调性证明,对于f(x)有

f?(x)?ln(1?x)?1?lnx?1?ln(因x?1,故

x?1). xx?1?1,即f?(x)?0,所以在(1,??)上f(x)是严格递增函数,所以 xf(x)?f(1)?2ln2?0,

故(1?x)ln(1?x)?xlnx?0,所以当x?1时,有不等式

ln(1?x)x?成立. lnx1?x证法二：当x?1时,原不等式即(1?x)ln(1?x)?xlnx,不等式左右两端形式一致,故令

f(x)?xlnx,则f?(x)?lnx?1?0(x?1),所以f(x)?xlnx在x?1时严格单调递增,故f(x?1)?f(x)，即(1?x)ln(1?x)?xlnx.

所以当x?1时,有不等式

五、(本题满分9分)

解：微分方程y???y?x?cosx对应的齐次方程y???y?0的特征方程为r?1?0, 特征根为r1,2??i,故对应齐次通解为C1cosx?C2sinx.

方程y???y?x必有特解为Y1?ax?b,代入方程可得a?1,b?0. 方程y???y?cosx的右端e?x2ln(1?x)x?成立. lnx1?xcos?x?cosx,???i?i为特征根,必有特解

1. 2Y2?x?Acosx?x?Bsinx,代入方程可得A?0,B? 第 24 页共 469 页

由叠加原理,原方程必有特解Y?Y1?Y2?x?所以原方程的通解为y?C1cosx?C2sinx?x?知识点：关于微分方程特解的求法:

xsinx. 21xsinx. 2?x???如果f(x)?Pm(x)e,则二阶常系数非齐次线性微分方程y?p(x)y?q(x)y?f(x)具有形如

y*?xkQm(x)e?x的特解,其中Qm(x)与Pm(x)同次(m次)的多项式,而k按?不是特征方程的根、是特征

方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.

如果f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x],则二阶常系数非齐次线性微分方程

y???p(x)y??q(x)y?f(x)的特解可设为

(1)(2)y*?xke?x[Rm(x)cos?x?Rm(x)sin?x],

(1)(2)其中Rm或是(x)与Rm(x)是m次多项式,m?max?l,n?,而k按??i?(或??i?)不是特征方程的根、

特征方程的单根依次取为0或1.

六、(本题满分9分)

解：利用定积分求旋转体的体积,用微元法,曲线为一抛物线,与x轴的交点是x1?1,

31x2?2,顶点坐标为(,?).

24方法一：考虑对x积分,如图中阴影部分绕y轴旋转一周,

环柱体的体积为

dV??(x?dx)2y??x2y?2?xydx??ydx2

其中dx为dx?0的高阶无穷小,故可省略,且y为负的, 故y??y,即dV??2?xydx??2?x(x?1)(x?2)dx. 把x从1?2积分得

2V??2?x(1?x)(x?2)dx?2??(3x2?x3?2x)dx

112211????2??x3?x4?x2??2?(0?)?.

442??1方法二：考虑对y的积分,如图中阴影部分绕y轴旋转一周的体积为抛物线两半曲线分别绕y轴旋转一周后的体积差,即

dV??x22dy??x12dy

其中,x1,x2为Y?y与抛物线的交点,且x2?x1, 把Y?y代入抛物线方程y?(x?1)(x?2),解得

2 第 25 页共 469 页

x1?3?1?4y3?1?4y, ,x2?22故旋转体体积为V??01?42?(x2?x12)dy.把x1,x2的值代入化简,得

3?V??13?1?4ydy??4403?2?3?2???(1?4y)2????.

432?3??140

七、(本题满分9分)

解：可以利用函数的极值求解.

设B、C的横坐标分别为x1,x,因为|AB|?1,所以x1?0,x?0.依题设

AB:DC?2:1,所以有ex1?2e?2x,两边同时取自然对数,得x1?ln2?2x,

而 BC?x?x1?x?(ln2?2x)?3x?ln2,(x?0), 所以梯形ABCD的面积为

S?求函数S?1x113(e?e?2x)(3x?ln2)?(2e?2x?e?2x)(3x?ln2)?(3x?ln2)e?2x. 2223(3x?ln2)e?2x,(x?0)的最值,满足一般函数求最值的规律,两边对x求导,并令S??0有 23S??(3?6x?2ln2)e?2x?0,

21111得驻点x??ln2,在此点S?由正变负,所以x??ln2是极大值点.

2323113?2x又驻点唯一,故x??ln2?0是S?(3x?ln2)e最大值点.

232111此时x??ln2,x1?ln2?1时,梯形ABCD面积最大,

233111故B点的坐标为(ln2?1,0),C点的坐标为(?ln2,0).

323

八、(本题满分9分)

解：这是个抽象函数求定积分,由题知

f(x??)?f(x)?sin(x??)?x?sinx,x?[0,?),

f(x?2?)?f(x??)?sin(x?2?)?x?sinx?sinx?x,x?[0,?), 而对于

????3?f(x)dx??2??f(x)dx??3?2?f(x)dx,

??2?f(x)dx,令t?x??,则x?t??,dx?dt,所以

f(x)dx??f(t??)dt??(t?sint)dt;

00?? 第 26 页共 469 页

对于

??23?f(x)dx,令t?x?2?,则x?t?2?,dx?dt,所以

所以

??23?f(x)dx??f(t?2?)dt??tdt;

00????3?f(x)dx??2??f(x)dx??3?2?f(x)dx

?0 ? ???0?0(t?sint)dt??tdt

?0?2tdt??sintdt

??022???t?cost???2. ????0

1992年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)

?x?f(t)??,dy?(1) 设?其中可导,且,则ff(0)?0?＿＿＿＿＿＿. 3tdxt?0?y?f(e?1),?(2) 函数y?x?2cosx在[0,]上的最大值为＿＿＿＿＿＿.

21?1?x2(3) limx?＿＿＿＿＿＿.

x?0e?cosx(4) ???1dx?＿＿＿＿＿＿.

x(x2?1)(5) 由曲线y?xex与直线y?ex所围成的图形的面积S?＿＿＿＿＿＿.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 当x?0时,x?sinx是x2的 ( )

(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小

2?? x, x?0(2) 设f(x)??2,则 ( )

??x?x,x?0 第 27 页共 469 页

22??? ?x, x?0??(x?x),x?0(A) f(?x)??2 (B) f(?x)?? 2????(x?x),x?0? ?x, x?022??? x, x?0?x?x,x?0(C) f(?x)??2 (D) f(?x)?? 2???x?x,x?0? x, x?0x2?1x1(3) 当x?1时,函数e?1的极限 ( )

x?1(A) 等于2 (B) 等于0

(4) 设f(x)连续,F(x)??x20f(t2)dt,则F?(x)等于 ( )

(A) f(x4) (B) x2f(x4) (C) 2xf(x4) (D) 2xf(x2)

(5) 若f(x)的导函数是sinx,则f(x)有一个原函数为 ( )

(A) 1?sinx (B) 1?sinx (C) 1?cosx (D) 1?cosx

三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)

?1(1) 求lim(3?xxx??6?x)2.

(2) 设函数y?y(x)由方程y?xey?1所确定,求d2y

的值.

x?0

3(3) 求?x1?x2dx.

第 28 页共 469 页

(4) 求?

(5) 求微分方程(y?x3)dx?2xdy?0的通解.

四、(本题满分9分)

2?3?1?x,x?0设f(x)???x,求?f(x?2)dx.

1?? e, x?0?01?sinxdx.

第 29 页共 469 页

五、(本题满分9分)

求微分方程y???3y??2y?xex的通解.

六、(本题满分9分)

计算曲线y?ln(1?x2)上相应于0?x?

1的一段弧的长度. 2 第 30 页共 469 页

七、(本题满分9分)

求曲线y?x的一条切线l,使该曲线与切线l及直线x?0,x?2所围成的平面图形面积最小.

八、(本题满分9分)

已知f??(x)?0,f(0)?0,试证：对任意的二正数x1和x2,恒有

f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)

成立.

第 31 页共 469 页

1992年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题答案

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】3

dydydy/dt3e3tf?(e3t?1)【解析】由复合函数求导法则可得 ,于是?3. ??dxt?0dxdx/dtf?(t)【相关知识点】复合函数求导法则:如果u?g(x)在点x可导,而y?f(x)在点u?g(x)可导,则复合函数y?f?g(x)?在点x可导,且其导数为

(2)【答案】3?dydydydu?f?(u)?g?(x) 或 ??. dxdxdudx?6

??【解析】令y??1?2sinx?0,得[0,]内驻点x?.

因为只有一个驻点,所以此驻点必为极大值点,与端点值进行比较,求出最大值.

????又 y(0)?2,y()?3?,y()?,

6622??可见最大值为y()?3?.

66(3)【答案】0

11【解析】由等价无穷小,有x?0时,1?1?x2?(?x2)?x2,故

221?(?x2)21?1?x, limx?limx2x?0e?cosxx?0e?cosx0上式为“”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,由洛必达法则,有

0 第 32 页共 469 页

原式?lim1(4)【答案】ln2

2【解析】令b???,

x?0.

x?0ex?sinx原式?limb???1?b22b1bx?1?xxdx?lim(?)dx(分项法) ?limdx2?22?1b???1b???xx?1x(x?1)x(x?1)b1b1?limlnx1?lim?2dx2 (凑微分法) b???b???21x?1b1b12?limlnx1?limln(x?1)?limln?ln2 12b???b???2b???2b?1b11b21?limln2?ln2?ln1?ln2?ln2. b???22b?12e(5)【答案】?1

2【解析】联立曲线和直线的方程,解得两曲线的交点为(0,0),(1,e),则所围图形面积为

S??(ex?xex)dx,再利用分部积分法求解,得

01e?e?S??x2?xex???exdx??1.

2?2?0011注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,

最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.

【相关知识点】分部积分公式：假定u?u(x)与v?v(x)均具有连续的导函数,则

?uv?dx?uv??u?vdx, 或者 ?udv?uv??vdu.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(B)

x?sinx0【解析】lim为“”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,连续运用

x?0x20x?sinx1?cosxsinx?lim?lim?0,故选(B). 两次洛必达法则,有 lim2x?0x?0x?0x2x2【相关知识点】无穷小的比较：

设在同一个极限过程中,?(x),?(x)为无穷小且存在极限 lim(1) 若l?0,称?(x),?(x)在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若l?1,称?(x),?(x)在该极限过程中为等价无穷小,记为?(x)?(x)?l, ?(x)?(x)；

第 33 页共 469 页

(3) 若l?0,称在该极限过程中?(x)是?(x)的高阶无穷小,记为?(x)?o??(x)?. 若lim?(x)不存在(不为?),称?(x),?(x)不可比较. ?(x)(2)【答案】(D)

【解析】直接按复合函数的定义计算.

22?? (?x), ?x?0??x?x,x?0,f(?x)????2 2(?x)?(?x), ?x?0 x, x?0.????所以应选(D).

(3)【答案】(D)

?【解析】对于函数在给定点x0的极限是否存在,需要判定左极限x?x0和右极限 ?是否存在且相等,若相等,则函数在点x0的极限是存在的. x?x01x2?1x1?1x?1lime?lim(x?1)e?0, x?1?x?1x?1?1x2?1x1lime?1?lim(x?1)ex?1??. ??x?1x?1x?10??,故当x?1时函数没有极限,也不是?.故应选(D).

(4)【答案】(C)

【解析】 F?(x)?[?f(t2)dt]??f[(x2)2]?(x2)??2xf(x4),

0x2故选(C).

【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：

若F(t)???(t)?(t)f(x)dx,?(t),?(t)均一阶可导,则

F?(t)???(t)?f??(t)????(t)?f??(t)?.

(5)【答案】(B)

【解析】由f(x)的导函数是sinx,即f?(x)?sinx,得

f(x)??f?(x)dx??sinxdx??cosx?C, 其中C为任意常数.

所以f(x)的原函数

F(x)??f(x)dx??(?cosx?C)dx??sinx?C1x?C2,其中C1,C2为任意常数.

令C1?0,C2?1得F(x)?1?sinx.故选(B). 三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.) (1)【答案】e

?32 第 34 页共 469 页

1【解析】此题考查重要极限：lim(1?)x?e.

x??x将函数式变形,有

?x?3x?1?1??3?xx236?36?x2lim()?lim(1?) x??6?xx??6?x?3x?1?6?x2lim?3x?1?2?limex???ex??6?x?e.

?32(2)【答案】2e2

【解析】函数y?y(x)是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式. 方法1：在方程两边对x求导,将y看做x的函数,得

ey, y??e?xe?y??0,即 y??y1?xeyy把x?0,y?1代入可得y?(0)?e.

两边再次求导,得

eyy?(1?xey)?ey(ey?xeyy?), y???(1?xey)2d2y把x?0,y?1,y?(0)?e代入得y??(0)?2dx?2e2.

x?0方法2：方程两边对x求导,得y??ey?xeyy??0；再次求导可得y???eyy??(eyy??xeyy?2?xeyy??)?0,

d2y把x?0,y?1代入上面两式,解得y?(0)?e,y??(0)?2dx?2e2.

x?0【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果u?g(x)在点x可导,而y?f(x)在点u?g(x)可导,则复合函数y?f?g(x)?在点x可导,且其导数为

dydydydu?f?(u)?g?(x) 或 ??, dxdxdudx2.两函数乘积的求导公式：

?f(x)?g(x)???f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x).

?u??u?v?uv?3.分式求导公式： ???. 2v?v? 第 35 页共 469 页

(3)【答案】(1?x)?1?x2?C 其中C为任意常数.

【解析】方法1：积分的凑分法结合分项法,有

322?1x21(1?x2)?12dx??d(1?x)??d(1?x2)

21?x221?x21?x2?1122(1?x?)d(1?x) ?221?x1112221?xd(1?x)?d(1?x) 2?2?1?x2x3?3122?(1?x)?1?x2?C 其中C为任意常数. 3方法2：令x?tant,则dx?sec2tdt,

?x31?x2dx??tan3tsectdt??tan2td(sect)??(sec2t?1)d(sect)

313122?sect?sect?C?(1?x)?1?x2?C,其中C为任意常数. 33方法3：令t?x2,则x?t,dx?12t,

?x31?x2dx?1tdt 此后方法同方法1,积分的凑分法结合分项法

2?1?t3111??(1?t?)dt?(1?x2)2?1?x2?C,其中C为任意常数. 231?t(4)【答案】4(2?1)

【解析】注意f(x)2?f(x)?f(x),不要轻易丢掉绝对值符号；绝对值函数的积分实际上

是分段函数的积分.

由二倍角公式 sin??2sin2?2?cos?22,则有

????1?sin??sin?cos?2sin?cos??sin?cos?.

2222?22?所以 ??????201?sinxdx???0?xx?xx?sin?cosdx?sin?cosdx ???02222??2 第 36 页共 469 页

???20??xx?xx??cos?sindx?sin?cos?????dx ?2222???2??xx?2xx????2?sin?cos??2??cos?sin?

22?022????2??4(2?1).

1(5)【答案】y?Cx?x3,其中C为任意常数

5【解析】所给方程为一阶线性非齐次方程,其标准形式为 y??由一阶线性微分方程的通解公式,得

11??2xdx?12??2xdxy?e?xedx?C???

2??11y??x2. 2x21?Cx?x3 其中C为任意常数.

5【相关知识点】一阶线性非齐次方程y??P(x)y?Q(x)的通解为

?P(x)dx??P(x)dxdx?C?,其中C为任意常数. y?e???Q(x)e???

四、(本题满分9分)

【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算.

令x?2?t,则dx?dt.当x?1时,t??1；当x?3时,t?1,于是

?31f(x?2)dx??f(t)dt分段??1?t2?dt??e?tdt

?1?10171?1???t?t3??e?t??.

03e?3??10101

五、(本题满分9分)

【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程

r2?3r?2?0有两个根为r1?1,r2?2,而非齐次项xe?x,??1?r1为单特征根,因而非齐次方程

有如下形式的特解Y?x(ax?b)ex,

1代入方程可得a??,b??1,所求解为

2xy?C1ex?C2e2x?(x?2)ex,其中C1,C2为任意常数.

2【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设y*(x)是二阶线性非齐次方程

第 37 页共 469 页

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程 y???P(x)y??Q(x)y?0的通解,则y?Y(x)?y*(x)是非齐次方程的通解.

2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解

Y(x),可用特征方程法求解：即y???P(x)y??Q(x)y?0中的P(x)、Q(x)均是常数,方程变为y???py??qy?0.其特征方程写为r2?pr?q?0,在复数域内解出两个特征根r1,r2；

分三种情况：

(1) 两个不相等的实数根r1,r2,则通解为y?C1erx1?C2er2x; (2) 两个相等的实数根r1?r2,则通解为y??C1?C2x?erx1;

(3) 一对共轭复根r1,2???i?,则通解为y?e?x?C1cos?x?C2sin?x?.其中C1,C2为常数. 3.对于求解二阶线性非齐次方程y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一个特解y*(x),可用待定系数法,有结论如下：

?x*k?x如果f(x)?Pm(x)e,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y(x)?xQm(x)e

的特解,其中Qm(x)是与Pm(x)相同次数的多项式,而k按?不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.

如果f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x],则二阶常系数非齐次线性微分方程

y???p(x)y??q(x)y?f(x)的特解可设为

(1)(2)y*?xke?x[Rm(x)cos?x?Rm(x)sin?x],

(1)(2)其中Rm(x)与Rm(x)是m次多项式,m?max?l,n?,而k按??i?(或??i?)不是特征方程的

根、或是特征方程的单根依次取为0或1.

六、(本题满分9分) 【解析】由于y?ln(1?x2),

1?x21?2x(1?x2)222??ds?1?ydx?dx,(0?x?), y??,1?y?,22221?x21?x(1?x)所以 s??1/2021/22?(1?x)1?x2dx??dx 2201?x1?x1/2?1/211/2121? ????1dx?dx?dx??2??0001?x1?x2?1?x? 第 38 页共 469 页

11?1?x??ln???ln3?. ?1?x22??01/2【相关知识点】平面曲线弧长计算：已知平面曲线AB的显式表示为y?f(x)?a?x?b?,则弧微分为 ds?1?f?2(x)dx,弧长s??

七、(本题满分9分)

【解析】过曲线上已知点(x0,y0)的切线方程为y?y0?k(x?x0),其中当y?(x0)存在时,k?y?(x0).

如图所示,设曲线上一点(t,t)处的切线方程为

y?t?12t(x?t),

y ba1?f?2(x)dx,其中f(x)在?a,b?有连续的导数.

t化简即得 y?x2t2?t. 2O t 2 x面积 S(t)??0??x?t?14??xdx??t?2, ?????2t2?3t??????11t?1其一阶导数 S?(t)??t?3/2?t?1/2?.

222tt令S?(t)?0解得唯一驻点t?1,而且S?在此由负变正,即S(t)在(??,1]单调递减,在[1,??)单调递增,在此过程中S(t)在t?1时取极小值也是最小值,所以将t?1代入先前所设的切线方程中,得所求切线方程为y?

八、(本题满分9分)

【解析】证法一：用拉格朗日中值定理证明.不妨设x2?x1?0,要证的不等式是

x1?. 22f(x1?x2)?f(x2)?f(x1)?f(0).

在[0,x1]上用中值定理,有 f(x1)?f(0)?f?(?)x1,0???x1,

在[x2,x1?x2]上用中值定理,又有 f(x1?x2)?f(x2)?f?(?)x1,x2???x1?x2,

由f??(x)?0,所以f?(x)单调减,而??x1?x2??,有f?(?)?f?(?),所以

f(x1?x2)?f(x2)?f(x1)?f(0)?f(x1),

第 39 页共 469 页

即 f(x1?x2)?f(x1)?f(x2). 证法二：用函数不等式来证明.

要证 f(x1?x)?f(x1)?f(x),x?0.

令辅助函数?(x)?f(x1)?f(x)?f(x1?x),则??(x)?f?(x)?f?(x1?x). 由f??(x)?0,f?(x)单调减,f?(x)?f?(x1?x),??(x)?0,由此,

?(x)??(0)?f(x1)?f(0)?f(x1)?0(x?0).

改x为x2即得证.

【相关知识点】拉格朗日中值定理：

如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续,在开区间?a,b?内可导,那么在?a,b?内至少有一点?(a???b),使等式f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)成立.

1993年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) lim?xlnx?＿＿＿＿＿＿.

x?0(2) 函数y?y(x)由方程sin(x2?y2)?ex?xy2?0所确定,则(3) 设F(x)??(2?1xdy?＿＿＿＿＿＿. dx1)dt(x?0),则函数F(x)的单调减少区间是＿＿＿＿＿＿. t(4) ?tanxdx?＿＿＿＿＿＿. cosx1(5) 已知曲线y?f(x)过点(0,?),且其上任一点(x,y)处的切线斜率为xln(1?x2),则f(x)?2＿＿＿＿＿＿.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

11(1) 当x?0时,变量2sin是 ( )

xx(A) 无穷小 (B) 无穷大

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?|x2?1|,x?1,?(2) 设f(x)??x?1 则在点x?1处函数f(x) ( )

? 2, x?1,?(A) 不连续 (B) 连续,但不可导 (C) 可导,但导数不连续 (D) 可导,且导数连续

x?x2,0?x?1,(3) 已知f(x)??? 设F(x)??f(t)dt(0?x?2),则F(x)为 ( )

?1, 1?x?2,1?1(A)????3x3,0?x?1?131 (B) ??3x?3,0?x?1 ?x,1?x?2??x,1?x?2?13?(C) ??x,0?x?1?1x3?1,0?x?1?3 (D) ?33 ?x?1,1?x?2??x?1,1?x?2(4) 设常数k?0,函数f(x)?lnx?xe?k在(0,??)内零点个数为 ( )

(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0

(5) 若f(x)??f(?x),在(0,??)内f?(x)?0,f??(x)?0,则f(x)在(??,0)内 ( )

(A) f?(x)?0,f??(x)?0 (B) f?(x)?0,f??(x)?0 (C) f?(x)?0,f??(x)?0 (D) f?(x)?0,f??(x)?0

三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)

2d2(1) 设y?sin[f(x)],其中f具有二阶导数,求ydx2.

(2) 求xlim???x(x2?100?x).

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?(3) 求?40xdx.

1?cos2x (4) 求?

(5) 求微分方程(x2?1)dy?(2xy?cosx)dx?0满足初始条件yx?0?1的特解.

四、(本题满分9分)

设二阶常系数线性微分方程y????y???y??ex的一个特解为y?e2x?(1?x)ex,试确定常数?,?,?,并求该方程的通解.

五、(本题满分9分)

??0xdx. 3(1?x) 第 42 页共 469 页

设平面图形A由x2?y2?2x与y?x所确定,求图形A绕直线x?2旋转一周所得旋转体的体积.

六、(本题满分9分)

作半径为r的球的外切正圆锥,问此圆锥的高h为何值时,其体积V最小,并求出该最小值.

七、(本题满分6分)

设x?0,常数a?e,证明(a?x)a?aa?x.

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八、(本题满分6分)

设f?(x)在[0,a]上连续,且f(0)?0,证明：

?a0Ma2f(x)dx?,其中M?max|f?(x)|.

0?x?a2 第 44 页共 469 页

1993年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题答案

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】0

?【解析】这是个0??型未定式,可将其等价变换成型,从而利用洛必达法则进行求解.

?1lnxx??limx?0. limxlnx?lim洛limx?0?x?0?1x?0?1x?0??2xxy2?ex?2xcos(x2?y2)(2)【答案】

2ycos(x2?y2)?2xy【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数,将方程sin(x2?y2)?ex?xy2?0两边对

x求导,得

cos(x2?y2)?(2x?2yy?)?ex?y2?2xyy??0,

y2?ex?2xcos(x2?y2)化简得 y??. 222ycos(x?y)?2xy【相关知识点】复合函数求导法则：

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如果u?g(x)在点x可导,而y?f(x)在点u?g(x)可导,则复合函数y?f?g(x)?在点x可导,且其导数为

dydydydu?f?(u)?g?(x) 或 ??. dxdxdudx (3)【答案】0?x?1 4【解析】由连续可导函数的导数与0的关系判别函数的单调性.

将函数F(x)??(2?1x11. )dt,两边对x求导,得 F?(x)?2?tx11?0,即x?.

2x1. 4若函数F(x)严格单调减少,则F?(x)?2?所以函数F(x)单调减少区间为0?x?【相关知识点】函数的单调性：设函数y?f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.

(1) 如果在(a,b)内f?(x)?0,那么函数y?f(x)在[a,b]上单调增加； (2) 如果在(a,b)内f?(x)?0,那么函数y?f(x)在[a,b]上单调减少. (4)【答案】2cos?1/2x?C

【解析】 ?3?tanxsinxdx??dx??sinxcos2xdx cosxcosxcosx ???cos?32xdcosx?2cos?12x?C.

111(5)【答案】(1?x2)ln(1?x2)?x2?

222【解析】这是微分方程的简单应用.

dy?xln(1?x2),分离变量得 dy?xln(1?x2)dx,两边对x积分有由题知 dx1y??xln(1?x2)dx??ln(1?x2)d(x2?1).

2由分部积分法得

1112xdx ?ln(1?x2)d(x2?1)?(1?x2)ln(1?x2)??(1?x2)?22221?x1(1?x2)ln(1?x2)??xdx2

11?(1?x2)ln(1?x2)?x2?C.22?11因为曲线y?f(x)过点(0,?),故C??,所以所求曲线为

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y?111(1?x2)ln(1?x2)?x2?. 222

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)

1【解析】因为当x?0时,sin是振荡函数,所以可用反证法.

x若取 x1k?111,则2sin?(k?)2sink??0, k?x1kx1kx2k?11(2k?)?2,则

11122sin?(2k?)?,(k?1,2,2x2x2k2k,).

11sin或等于0或趋于??,这表明当x2xx?0时它是无界的,但不是无穷大量,即(D)选项正确. (2)【答案】(A)

因此,当k??时,有x1k?0及x2k?0,但变量

【解析】利用函数连续定义判定,即如果函数在x0处连续,则有

x?x0?limf(x)?limf(x)?f(x0).

x?x0?由题可知

|x2?1|x2?1limf(x)?lim?lim?lim(x?1)?2, x?1?x?1?x?1?x?1x?1?x?1|x2?1|1?x2limf(x)?lim?lim??lim(x?1)??2. ??x?1?x?1?x?1x?1x?1x?1因f(x)在x?1处左右极限不相等,故在x?1处不连续,因此选(A). (3)【答案】(D)

【解析】这是分段函数求定积分.

当0?x?1时,0?x?t?1,故f(t)?t2,所以

F(x)??f(t)dt??1xx11?1?t2dt??t3??(x3?1).

?3?13x当1?x?2时,1?t?x?2,故f(t)?1,所以

F(x)??f(t)dt??1dt??t?1?x?1.

11xxx应选(D).

(4)【答案】(B)

【解析】判定函数f(x)零点的个数等价于判定函数y?f(x)与x的交点个数.

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x11对函数f(x)?lnx??k两边对x求导,得 f?(x)??.

exe令f?(x)?0,解得唯一驻点x?e,

,?f?(x)?0,0?x?e;???f(x)严格单调增加即 ?

?,?f(x)?0,e?x???;f(x)严格单调减少e所以x?e是极大值点,也是最大值点,最大值为f(e)?lne??k?k?0.

ex?limf(x)?lim(lnx??k)??????x?0x?0?e又因为 ?,

?limf(x)?lim(lnx?x?k)???x????e?x???由连续函数的介值定理知在(0,e)与(e,??)各有且仅有一个零点(不相同).

x故函数f(x)?lnx??k在(0,??)内零点个数为2,选项(B)正确.

e(5)【答案】(C)

【解析】方法一：由几何图形判断.

由f(x)??f(?x),知f(x)为奇函数,图形关于原点对称；在(0,??)内f?(x)?0,f??(x)?0,f(x)图形单调增加且向上凹,

根据图可以看出f(x)在(??,0)内增加而凸,f?(x)?0,f??(x)?0,选(C). 方法二：用代数法证明.

对恒等式f(x)??f(?x)两边求导,得

f?(x)?f?(?x),f??(x)??f??(?x).

当x?(??,0)时,有?x?(0,??),所以

f?(x)?f?(?x)?0,f??(x)??f??(?x)?0,

故应选(C).

三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.) (1)【解析】y???sin[f(x2)]???cos[f(x2)]?f?(x2)?2x,

y????cos[f(x2)]?f?(x2)?2x??

2????cos[f(x2)]???f?(x2)?2x?cos[f(x2)]??f(x)????2x

?cos[f(x2)]?f?(x2)?(2x)?

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??sin[f(x2)]?[f?(x2)]2?(2x)2?cos[f(x2)]?f??(x2)?(2x)2

?cos[f(x2)]?f?(x2)?2. 【相关知识点】复合函数求导法则：

如果u?g(x)在点x可导,而y?f(x)在点u?g(x)可导,则复合函数y?f?g(x)?在点x可导,且其导数为

dydydydu?f?(u)?g?(x) 或 ??. dxdxdudx(2)【解析】应先化简再求函数的极限,

x???limx(x?100?x)?lim2x(x2?100?x)?(x2?100?x)x?100?x2x???

?lim因为x?0,所以

100xx?100?x2x????lim1001?x2?100?1x?x???x???1?1?100x?2?1?x2?100?1x(3)【解析】先进行恒等变形,再利用基本积分公式和分部积分法求解.

x???lim100?lim100100??50. ?1?1??40?xxsec2x1?4dx??dx??4xdtanx

01?cos2x220???111?1sinx444???xtanx?0tanxdx?(?0)?dx ??0022242cosx?1??1?144 ???dcosx???ln(cosx)?0082cosx82???1??12?1?[ln(cos)?ln(cos0)]??ln??ln2. 82482284(4)【解析】用极限法求广义积分. ???0??(1?x)?1??x?2?3dx?dx?[(1?x)?(1?x)]d(1?x) 33??00(1?x)(1?x)??b?2x?1?1?? ???(1?x)?1?(1?x)?2??lim?? 2?b???2??0?2(x?1)?0 ??lim2b?1111??0??.

b???2(b?1)2222(5)【解析】所给方程是一阶线性非齐次微分方程,其标准形式是

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y??2xcosxy?, x2?1?0, 22x?1x?12x通解为 y?e??x2?1dxcosx?x2?1dx[?2edx?C] x?122xd(x?1)??x2?1?cosx?x2?1 ?edx?C? ??2ex?1????1???sin2x?C. cosxdx?C ?2?x?1??x?1sin0?Csinx?1?1,所以 C??1.所求特解为 y?2代入初始条件 yx?0?1,得 2.

0?1x?1?d(x2?1)【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程y??p(x)y?q(x)的通解公式为:

?p(x)dxp(x)dxy?e?(?q(x)e?dx?C),其中C为常数.

四、(本题满分9分)

【解析】要确定常数?,?,?,只需将特解代入原微分方程后,用比较系数法即得.

对于特解y?e2x?(1?x)ex,有

y??2e2x?ex?(1?x)ex?2e2x?(2?x)ex,

2xx?2xxx2xx? y????, 2e?(2?x)e?4e?e?(2?x)e?4e?(3?x)e??代入方程y????y???y??ex,得恒等式

2xx2xx2xxx ??4e?(3?x)e??????2e?(2?x)e??????e?(1?x)e????e,

化简得

(4?2???)e2x?(3?2???)ex?(1????)xex??ex,

比较同类项系数,得

?4?2????0??3?2?????, ?1?????0?解之得???3,??2,???1.