福建省晋江市养正中学2017 - 2018学年高二数学上学期期中试题理

拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。 养正中学2017-2018学年上学期高二年级数学学科期中考

(理科试题)

满分：150分 考试时间：120分钟

第l卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.命题\?x0?R,x02?x0?0\的否定是( )

A. ?x?R,x2?x?0 B.?x0?R,x02?x0?0 C.?x?R,x2?x?0 D.?x0?R,x02?x0?0

2.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，则事件“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”是（ ）

A． 对立事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．互斥但不对立事件

x2y2??1，则焦距为（ ） 3.已知椭圆方程是62A.4 B. 5 C.7 D.8

4. 设a?R，则“a?1”是“直线l1:ax?2y?1?0与直线l2:x?(a?1)y?4?平0行”的（ ）

A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知等比数列A.115

的前项和为B.116

，若C.125

D.126

，则

（ ）

6.将甲，乙两名同学5次物理测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲，乙两人成绩的中位数分别是x甲，x乙，下列说法正确的是（ ） A．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定 B．x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定 C．x甲＞x乙；乙比甲成绩稳定 D．x甲＜x乙；甲比乙成绩稳定

- 1 -

7.若数列( ) A.

满足,那么这个数列的通项公式为

B.

D.

C.

x2y28. 已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的渐近线被圆x2?y2?6x?5?0截得的弦长为2，则该

ab双曲线的渐近线方程为（ ） A.

y??2x B.

1y??x C. y??2x

22 D. y??2x

9.已知双曲线C的中心为坐标原点， 两点，且AB的中点为

F?3,0?是C的一个焦点，过F的直线l与C相交于A,B

E??12,?15?，则C的方程为（ ）

x2y2x2y2x2y2x2y2??1 B. ??1 C. ??1 D. ??1 A.

3645635410.从装有3个白球、 2个红球的袋中任取3个，则所取的3个球中至多有1个红球的概率是( ) A.

1379 B. C. D. 1010101011. 在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的取值范围是（ ） A.

B.

C.

D.

x2y212．已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点F(－c,0)关于

ab直线bx＋cy ＝0的对称点P 在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ） A.

3322 B. C. D.

3442第II卷(非选择题 共90分)

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）

x2y2?1（a?0）的离心率为2，则a的值为 ． 13. 已知双曲线2?a2 - 2 -

14. 在x??4,6?,y??2,4?内随机取出两个数，则这两个数满足x?y?3?0的概率为 ． 15. 若数列?an?的各项均为正数,前n项和为Sn，a1?1,Sn?1?Sn?1(n?N*),则an?1a25?___．

16. 已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且?F1PF2??4，则椭

圆和双曲线的离心率乘积的最小值为________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。） 17. (本题满分10分) 设命题（Ⅰ）若（Ⅱ）若

：实数满足

，且是

，其中

；命题：实数满足

.

为真，求实数的取值范围； 的充分不必要条件，求实数的取值范围.

18.(本题满分12分)

已知等轴双曲线的顶点在x轴上，两顶点间的距离是4，右焦点为F． （Ⅰ）求双曲线的标准方程和渐近线方程；

（Ⅱ）椭圆E的中心在原点O，右顶点与F点重合，上述双曲线中斜率大于0的渐近线交椭圆于A，B两点（A在第一象限），若AB⊥AF，试求椭圆E的离心率．

19. (本题满分12分)

某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率=利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：

（Ⅰ）试估计平均收益率；

（Ⅱ）根据经验，若每份保单的保费在20元的基础上每增加x元，对应的销量y（万份）与x（元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下5组x与y的对应数据：

??10.0?bx. 据此计算出的回归方程为y（i）求参数b的值；

- 3 -

??10.0?bx当作y与x的线性关系，用（Ⅰ）中求出的平均收益率估（ii）若把回归方程y计此产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益，并求出该最大收益.

20.(本题满分12分)

已知数列{an}满足:a1?1,|an?1?an|?pn,n?N*.

（Ⅰ）若{an}是递增数列，且a1,2a2,3a3成等差数列，求p的值；

（Ⅱ）若

p?1，且{a2n?1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．

221. (本题满分12分)

某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六段

后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列

问题：

（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全频率分布直方图； （Ⅱ）估计这次考试的及格率；（60分及以上为及格） （Ⅲ）从成绩是

~

分及

~

分的学生中

选两人，记他们的成绩为“

22. (本题满分12分)

”的概率.

，求满足

xy*

已知椭圆Cn:2+2=n (a>b>0,n∈N), F1,F2是椭圆C4的焦点，A(2,2)是椭圆C4上一点,且

ab

22

AF2?F1F2.

（Ⅰ）求Cn的离心率并求出C1的方程；

(Ⅱ) P为椭圆C2上任意一点，直线PF1交椭圆C4于点E、F，直线PF2交椭圆C4于点M、N,

M y 设直线PF1的斜率为k1 ,直线PF2的斜率为k2 . F P F1 F2 o x E N

- 4 - 1kk??(i)求证：122 ; (ii)求|MN||EF|的取值范围.

- 5 -

养正中学2017-2018学年上学期高二年级数学学科期中考试题

（理科数学） 参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.C 2.D 3.A 4.B 5.D 6.A 7.D 8.C 9.B 10.C 11. A. 12．B 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分） 13.621 1415.5?26 16.

8 32三、解答题（本大题共6小题，共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。） 17. (本题满分10分) 解：（Ⅰ）由当为真:

时，

，即等价于

.

.

得

，又

，所以.

，

，

为真时实数的取值范围是

，得

即为真时实数的取值范围是若（Ⅱ）设

为真，则是

真且真，所以实数的取值范围是

的充分不必要条件，即

，B?{x|2?x?3}，则

，且_______，等价于________

；

则，且所以实数的取值范围是.

18.(本题满分12分) 解：（Ⅰ）设双曲线的方程为则2a=4，解得a=2， ∴双曲线的方程为

=1，渐近线方程为y=±x．

=1（a＞0），

（Ⅱ）设椭圆的标准方程为由（Ⅰ）知F（2

=1（a＞b＞0）， ．

- 6 -

，0），于是a=2

设A（x0，y0），则x0=y0．① ∵AB⊥AF，且AB的斜率为1， ∴AF的斜率为﹣1，故由①②解得A（代入椭圆方程有

，

）．

=1，解得b2=， =﹣1．②

∴c2=a2﹣b2=8﹣=，得c=，

∴椭圆E的离心率为e==．

19. (本题满分12分)解：（Ⅰ）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，取值概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05， 平均收益率为

0.05?0.10?0.15?0.20?0.25?0.25?0.35?0.30?0.45?0.10?0.55?0.05

150?300?625?1050?450?275?=0.275. 4?1025?30?38?45?52190??38 （Ⅱ）（i）x?557.5?7.1?6.0?5.6?4.83110.0?6.2y???6.2所以b??0.10

5538?（ii）设每份保单的保费为20?x元，则销量为y?10?0.1x，则保费收入为

f?x???20?x??10?0.1x?万元， f?x??200?8x?0.1x2?360?0.1?x?40?

当x?40元时，保费收入最大为360万元，保险公司预计获利为360?0.275?99万元. 20.(本题满分12分)

(1)Q{an}是递增数列,?an?1?an?|an?1?an|?pn,由4a2?a1?3a3?

23(a3?a2)?a2?a1?3p2?p?p?1(Qp?0).

3(2) {a2n?1}是递增数列,?a2n?1?a2n?1?0

?(a2n?1?a2n)?(a2n?a2n?1)?0,

- 7 -

上式中两括号内必有点一个为正,注意到

1?1,故后者为正. 22n22n?1;同理, a2n?1?a2n??1. a2n?a2n?1?21n?1222n(?1)n?1a?an?n

两式合并为n?12(?1)nan?an?1?n?12(?1)n?1an?1?an?2?n?22 M

(?1)1a3?a2?22(?1)0a2?a1?2? a1?1 (?1)n411n?111an?1??2?L?n?1??(?)

22332221. (本题满分12分)

解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知第组的频率分别为：以第 4 小组的频率为：

.∴在

频率分布直方图中第4小组的对应的矩形的高为

，对应图形如图所示：

（Ⅱ）∵考试的及格率即60分及以上的频率 . ∴及格率为（Ⅲ）设“成绩满足

由频率分布直方图可求得成绩在在

分数段的4人的成绩分别为

”为事件

分及

，

分的学生人数分别为4人和2人，记分数段的2人的成绩分别为

，

小，所

则从中选两人，其成绩组合的所有情况有：

- 8 -

共 15种，且每种情况的出现均等可能。若这2人成绩要满足“选自

分数段，另一个选自

分数段，有如下情况：

”，则要求一人

，共 8 种，所以由古典概型概率公式有

，即所取2人的成绩满足“

22. (本题满分12分)

xyxy

解：（Ⅰ）解:(1)椭圆C4的方程为: 2+2=4 即:2+ 2=1 ab4a4b不妨设c=a-b 则F2(2c,0) ∵ AF2?F1F2 (2b)2b

∴2c=2,== 2

2aa

∴c=1 2b=2a 2b= a=b+1 ∴2b- b-1=0 (2b+1)(b-1)=0 ∴b=1,a=2

x2

∴椭圆Cn的方程为:+y=n

22n-n12∴e= 2= ∴e=2n22

2

2

2

2

2

2

2

4

2

2

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

”的概率是.

x2

椭圆C1的方程为:+y=1………………6分

2

x2xy

(Ⅱ) (i)椭圆C2的方程为:+y=2 即: +=1 242x2xy

椭圆C4的方程为:+y=4 即: +=1 284

x0y0212

∴F1(-2,0),F2(2,0) 设P(x0,y0),∵P在椭圆C2上 ∴+=1 即y0=(4-x0)

42212

(4-x0)2y0y0y01

∴k1k2=·=2 =2 =- ………………8分

x0+2x0-2x0-4x0-42

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(ii)设直线PF1的方程为：y=k1(x+2) 直线PF2的方程为：y=k2(x-2)

??x+y=1222

联立方程组：?84 消元整理得：（2k1+1)x+8k1x+8k1-8=0…………①

??y=k1(x+2)

设E(x1,y1),F(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个解，由韦达定理得： 8k18k1-8

x1+x2=-2,x1x2=2 2k1+12k1+1∴|EF|=1+k1

2

2

22

42(1+k1)

(x1+x2)-4x1x2= 22k1+1

2

2

- 9 -

42(1+k2)

同理：|MN|= 2

2k2+1

122+k1+k2+1442(1+k1)42(1+k)k1k2+k1+k2+1

∴|EF||MN|==32×22=32× 2222222k1+12k2+14k1k2+2(k1+k2)+11+2(k1+k2)+1

2

2

2

2

2

2

2

2

122+k1+k2+122420+16(k1+k2)44

=32×= =16+22 =16+ ≤18 22221+2(k1+k2)+1 k1+k2+1k1+k2+112

k1+2+1

4k1

∴|EF||MN|∈(16,18] ………………………………………………………12分

1?xlnxx?1由上知h(x)在(0,1)上是减函数,11又h(2)?2?2?2?0,h(1)?1?2?0ee?存在x2使得h(x2)?0,即x2?lnx2?2?0当0?x?1时,不等式化为b??g(x)在(0,x2)上单调递增,在(x1,??)上单调递减,即g(x)max?g(x2)???1?g(x)max?0?b?0综上可知,整数b的取值集合是?0,1,2?.????????????????????????12分

1?x2lnx2?x2?1(0?x2?1)x2?1 - 10 -

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