第七章 平面电磁波典型例题

97 第七章 平面电磁波

7.1 将下面用复数形式表示的场矢量变换为瞬时值，或做相反的变换。 ()1

0x E e E = ()2

0jkz x E e jE e -= ()3 ()()00cos 2sin x y E e E t kz e E t kz ωω=-+-

解：()1 ()()00,,,Re cos x j j t x x x E x y z t e E e e e E t ?ωω???=?=+??

()2 ()200,,,Re cos 2j kz j t x x E x y z t e E e e e E t kz πωπω??- ???????=?=-+?? ??????? ()3 ()()200,,,Re 2j t kz j t kz x y E x y z t e E e e E e πωω??-+ ?-????=-??????

()()0,,,2jkz x y E x y z t e e j E e -=-

7.2 将下列场矢量的复数形式写成瞬时值形式 ()1

()()0sin sin z jk z z x y E e E k x k y e -=?? ()2 ()sin 02sin cos cos z jk x x E e j E k e θθθ-=??

解：()1 由式()7.1.2，可得瞬时值形式为

()()0Re sin sin z jk z j t z x y E e E k x k y e e ω-??=?????

()()()0sin sin cos z x y z e E k x k y t k z ω=??-

()2 瞬时值形式为

()sin 20Re 2sin cos cos z j jk j t x x E e E k e e e πθωθθ-??=????????

()02sin cos cos cos sin 2x x z e E k t k πθθωθ??=???+- ???

()()02sin cos cos sin sin x x z e E k t k θθωθ=-???-

7.3 一根半径为a ，出长度为L 的实心金属材料，载有均匀分布沿z 方向流动的恒定电流I 。试证明：流入金属导体的总功率为2I R ，这里的R 为金属导体

98 的电阻。

解：恒定电流要产生恒定磁场。对于静态电磁场，坡印廷矢量为

S V

S dS J EdV -?=??? 即经过闭合面S 流入体积V 内的功率损耗。

由题中所给的条件知

2

z I J e a π= 故 ()2

221J

I J E J a σσπ?=?=

则 ()2

2221S V I S dS J EdV a L a πσπ-?=?=??

()

22L I a σπ= 2I R =

式中，()

2L R a σπ=，是金属导体的电阻。 7.4 已知无界理想媒质()009,,0εεμμσ===中，正弦均匀平面电磁波的频率810f Hz =，电场强度为343/jkz j jkz x y E e e e e V m π

-+-=+

试求：()1均匀平面电磁波的相速度p v 、波长λ、相移常数k 和波阻抗η； ()

2电场强度和磁场强度的瞬时表达式；

()3与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率。

解：()1 8810/p v m

s ==== 1p

v m f λ==

2/

p k rad m v ω

π===

12040ηηπ====Ω

99 ()2 3143/jkz j jkz y x j

H E e e e e A m πωμη-+-??=??=- ??? 电场强度和磁场强度的瞬时值为

()Re j t E t Ee ω??=??

()884cos 21023cos 2102/3x y e t z e t z V m πππππ??=?-+?-+ ??

? ()Re j t H t He ω??=??

()8831cos 2102cos 2102/40310x y e t z e t z V m πππππππ??=-?-++?- ??

? ()3 复坡印廷矢量为 33113143224010jkz j jkz j jkz jkz x y x y S E H e e e e e e e e ππππ-+-*-????=?=+?-+????????

25/16z

e W m π

= 坡印廷矢量的时间平均值为 25Re /16av z S S e W m π

??==?? 与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率为

516av av S P S dS W π

=?=? 5.7已知真空中的均匀平面波电场强度瞬时值为()()

()m V a z t z E x /106sin 220,8 βπ-?= 求：()1频率f 、波长λ、相速p v 及相位常数β；()2电场强度复数表达式，磁场强度复数及瞬时值表达式；()3能流密度矢量瞬时值及平均值。

解：题设的均匀平面波是沿正z 轴方向传播的，根据已知条件可得：

s rad /1068?=πω，有效值m V E x /20= ，因此

()1 ()Hz f 81032?==π

ω ()s m C v p /103180

0?===εμ ()m rad v p /210

310688

ππωβ=??==

100 ()m 1222===

ππβπλ ()2 取()()[]

x t j x a e z E t z E ω2Im ,=，即以对时间t 正弦变化为基准，则按E 、H 、z a 三者符合右手定则关系，有

()()y z j y z j x z y a e a e z E a z H πππ

πη22061120201--==?= 和

()()[]()()m A a z t e z H t z H y t j y y /2106sin 622Im ,8 πππω-?== ()3 ()()()t z H t z E t z S ,,, ?=

()

z a z t πππ2106sin 62

22082-?= ()z a z t πππ2106sin 32082-?= ()()

z z T T av a dt a z t T dt t z S T S ππππ3102106sin 3201,18200=-?==?? 或用 ()()[]z z z j z j y x av a a e e z H z E S ππππ3106120Re Re 22=??????=?=-* 显然，后者比较简便。

6.7 根据以下电场表示式说明它们所表征的波的极化形式。 ()1 ()jkz m y jkz m x e

jE e e jE e z E += ()2 ()()()kz t E e kz t E e t z E m y m x -+-=ωωcos sin ,

()3 ()jkz m

y jkz m x e jE e e E e z E ---= ()4 ()()()

40cos sin ,+-+-=kz t E e kz t E e t z E m y m x ωω 解：()1 x E 分量和y E 分量的初相位都是

90，即x E 和y E 同相。故()z E 表征一个线极化波，传播方向为z -轴方向。

()2 x E 和y E 的振幅相等，相位差为

90，故()t z E , 表征一个圆极化波。因

101 ()??? ?

?--=-=2cos sin πωωkz t E kz t E E m m x ，可见x E 的相位滞后于y E 90，而波的传播方向为z +轴方向，故()t z E , 表征一个左旋圆极化波。

()3 x E 和y E 的振幅相等，x E 的相位超前于y E 90，而波的传播方向为z +轴方

向，故()t z E , 表征一个右旋圆极化波。

()4 x E 和y E 的振幅相等，但x E 的初相位是 90-，y E 的初相位是 40，且传播

方向为z +轴方向，故()t z E , 表征一个左旋椭圆极化波。

7.7 在某种无界导电媒质中传播的均匀平面波的电场表示式为

()2/2.02.02.02.044πj z j z y z j z x e e e e e e e z E --+=

试说明波的极化状态。

解：由给定的电场强度表示式看出，这是在良导体中沿z -轴方向传播的均匀平面波。两个电场分量的振幅相等，即m V E E y x /400==；而x E 的初相位0=x ?，y E 的初相位2π

?=y ，即x E 的相位滞后于y E 90。由于波的传播方向是

z -轴方向，故题给的()z E 表征一个右旋圆极化波。

下面将此结果用图形表示出来，先写出电场瞬时表示式为

()()[][]

t j z j z t j x x e e e e z E t z E ωω2.02.04Re Re ,-== ()z t e z 2.0cos 42.0+=-ω

()()[]

??????==-t j j z j z t j y y e e e e e z E t z E ωπω22.02.04Re Re ,

()2/2.0cos 42.0πω++=-z t e z

在0=z 平面上，有

()t t E x ωcos 4,0=

()t t t E y ωπωsin 42cos 4,0-=??? ?

?+= 据此可知，合成电场矢量()()()t E e t E e t E y y x x ,0,0,0 +=端点随时间以角频率ω顺

时针旋转变化，如图1所示。注意到波的传播方向是z -轴方向（垂直于纸面向

里），因此失端旋转方向与波的传播方向两者正好构成右手螺旋关系，故()z E 表

102 征一个右旋圆极化波。

图1 沿z -方向传播的右旋圆极化波

7.8 铜的电导率75.810/S m σ=?，其电容率0εε=，磁导率0μμ=。分别计算频率61012350,10,10f Hz f Hz f Hz ===的情况下，电磁波在铜中的穿透深度。 解：由良导体的条件

100σωε≥推知：铜作为良导体的频率范围是 160

10200f Hz σπε≤≈ 可见对任何波段的无线电波，铜都是良导体。三种频率下的穿透深度分别为 ()1当150f Hz =时：

10.009359.35m mm δ=≈== 这表明在工频()50Hz 下，铜的趋肤效应尚不明显。

()2当6210f Hz =时：

20.000066166.1m m δμ=≈== ()3当10310f Hz =时：

103

30.0000006610.661m m δμ=≈== 这表明在cm 波段，铜的趋肤效应极为严重。

7.9 微波炉利用磁控管输出的2.45GHz 的微波炉加热食品。在该频率上，牛排的等效复介电常数040,tan 0.3e εεδ'==

()1求微波传入牛排的趋肤深度δ，在牛排内8mm 处的微波场强是表面处的百分之几；

()2微波炉中盛牛排的盘子是用发泡聚苯乙烯制成的，其等效复介电常数和损耗角正切分别为401.03,tan 0.310e εεδ-'==?。说明为何用微波加热时牛排被烧熟而盘子并没有被烧毁。

解：()1根据牛排的损耗角正切知，牛排为不良导体，得

1/211δα-??=??

0.020820.8m mm ==

/8/20.80

68%z E e e E δ--=== 可见，微波加热与其他加热方法相比的一个优点是，微波能直接对食品的内部进行加热。同时，微波场分布在三维空间中，所以加热得均匀而且快。 ()2发泡聚苯乙烯是低耗介质，所以其趋肤深度为

1

δα===

8

= 31.2810m =?

可见其趋肤深度很大，意味着微波在其中传播的热损耗很小，因此称这种材料对微波是“透明”的。它所消耗的热极小，因而盘子不会被烧掉。

7.10 海水的电磁参数为80,1,4/r r S m εμσ===，频率为3kHz 和30MHz 的

104 电磁波在海平面处()刚好在海平面下侧的海水中的电场强度为1/V m 。求： ()1电场强度衰减为1/V m μ处的深度，应选择哪个频率进行潜水艇的水下通信； ()2频率3kHz 的电磁波从海平面下侧向海水中传播的平均功率流密度。

解：()13f kHz =时，因为9

3436101231080

σπωεπ??=>>???，所以海水对依此频率传播的电磁波呈显为良导体，故

0.218α=

== 061113.8ln ln1063.3E l m E ααα

==== 30f MHz =时，因为9

74361030231080

σπωεπ??==???，所以海水对依此频率传播的电磁波呈显为不良导体，故

231021.4απ==??=

13.80.645l m α

== 显然，选高频30MHz 的电磁波衰减较大，应采用低频3kHz 的电磁波。在具体的工程应用中，具体低频电磁波频率的选择还要全面考虑其它因素。 ()2平均功率流密度为

220014 4.6/2440.218

av S P E E W m σσα====≈? 7.11 在自由空间，一均匀平面波垂直入射到半无限大的无耗介质平面上，已知自由空间中，合成波的驻波比为3，介质内传输波的波长是自由空间波长的1，且分界面上为驻波电场的最小点。求介质的相对磁导率和相对介电常数。

解：因为驻波比

131S +Γ=

=-Γ

由此解出 12Γ=

105 由于界面上是驻波电场的最小点，故12

Γ=-。而反射系数 2121

ηηηη-Γ=+ 式中10120ηηπ==，于是

2ηη=

==因12Γ=-，得 213η=0η

即 19r r με= 又因为2区的波长

026λλ== 得 36r r με= 联立求解式19

r r με=，36r r με=得 218

r r με== 7.12 均匀平面波从空气中垂直投射到导电媒质界面上，由测量知，距界面max 7.5l cm =处电场最大，max 5/E V m =，距界面min 20l cm =处为相邻的电场最小点，min 1/E V m =。求电磁波的频率，导电媒质的c Z ，以及反射系数R 。

解：因为电场波节点距波腹点为/4λ，因此

()()min max 44207.550l l cm cm cm λ=-=?-=

8310/600/0.5p

v c m s f m sMHz m λλ?==== 电场驻波比为 m a x m i n

5E E ρ== 10.671R ρρ-=

=+

106 max 24n z αλλπ

=±- 所示反射系数的相位

max 42n z παλλ??=

±- ??? 由于()max max 2z l λ

-=<，所以0n =，得

max 47.5410850

l π

απλ==?= 1080.67ja j R R e e ==

由 2121

c c Z Z R Z Z -=+ 得 ()67211901j c R Z Z e R

π+==Ω- 7.13 圆极化平面波()()1sin cos 00cos sin i i jk x z i x i z i y E E e e jE e e θθθθ-+??=-+??

()()22j x z x z y e e je e π-+?=-+???

由空气中入射到2,1r r εμ

==介质的界面上，如图2所示，求反射波及折射波。

解：由 ()()1s i n c o s 2i i k x z x z θθ+=+

可求得

12k π=， 2

k k k ====

sin cos i i θθ== 4i πθ= 将入射波分解为平行极化与垂直极化 00//0i i

i

E E E ⊥=+

0//022,22i

i x z

y E e e E

je ⊥??=

-= ? ???

sin 0.5,302

t i t θθθ====

107

cos 0.866t θ===

//tan150.268

0.072tan 75 3.73

R =

== ()(

)//2sin cos 20.758sin cos 0.9660.966

t i i t i t T θθθθθθ===+-? ()()sin 0.259

0.268sin 0.966

i t i t R θθθθ⊥-=-

=-=-+

(

)2cos sin 0.5

0.732sin 0.966

i t i t T θθθθ⊥=

==+

反射波与折射波电场为

()()

1sin cos ////cos sin i i jk x z r x i z i E R e e e

θθθθ--=--

)()

20.0722

j

x z x y e e e π--=-?

+

()()

2sin cos ////cos sin t t jk x z t x t

z t E T e e e

θθθθ-+=

-

12210.75822j

x x z e e e

π?- ???=-- ? ???

()

()

232

sin cos 0.732t t j x z

jk x z t y y E e jT e

e je

πθθ-+-+⊥⊥==由上式可见，反射波与折射波都是椭圆极化波。磁场为

()()

21112120j x z i

i i

k x z y H e E j e e e e Z ππ--??=?=-++????

()()

211120.0720.2681202j

x z r r r k y x z H e E e j e e e Z ππ--??=

?=--+????

()

23212310.7580.73212022j x z

t

t t

k y x z H e E e j e e e Z ππ-+????=?=+-+?? ? ??????

?

108

图2 圆极化平面波 7.14 一角频率为ω的均匀平面波由空气向理想导体斜入射，入射角为i θ，电场矢量和入射面垂直，求： ()1边界面上的感应电流密度； ()2波在空气中的平均坡印廷矢量。

解：()1 在0z =的理想导体边界面上，其感应电流密度为

s J n H =?

设此时

z n a =-

()01

ix iz jk x jk z i x ix z iz E H a k a k e ωμ--=-+ ()01rx rz jk x jk z r x rz z rx E H a k a k e ωμ-+=--

空气中合成波的磁场为

1i r H H H =+

在0z =处，

()01012ix jk x iz i r x z E k H H H a e ωμ-==+=-

sin sin 00112cos 2cos i i i i jk x jk x i i i x x E k E a e a e θθθθωμη--=-=-

式中，0E

为入射波幅值，i k =，为入射波的波数，所以 i θ

i E r E

109

()()()

sin sin 001

2cos cos 060i i i i

jk x jk x i

i S z x y

E E J z a a e a e θθθθηπ

--==-?-= ()2()

111Re 2

av S E H *=? 得

()2201

2sin sin cos i

av x

i i E S a k z θθη=

可见对理想导体的斜入射，在z 方向为驻波分布，没有能量传播，因此此处平均坡印廷矢量是沿x 方向，即沿x 方向为行波。

7.15 求证在无界理想介质内沿任意方向n a ()n a 为单位矢量传播的平面波可写成()n j a r t m E E e βω?-=。

图3 题7.15图

证明：如图3所示，m E 为一常矢量。所给平面波的等相位面方程为

cos n a r nt ?=

在直角坐标系中

()()000cos cos cos n x y z x y z a r e e e e x e y e z αβγ?=++?++

000cos cos cos x y z αβγ=++

故

()

()000cos cos cos n j x y z t j a r t m m E E e

E e

βαβγωβω??++-?-??

==

r

n a

110 则

()22n j a r t m E E e βω?-?=?

()()0002cos cos cos j x y z t m E j e βαβγωβ??++-??= ()2

E j β=

而

()()000222cos cos cos 222j x y z t m E E e E j E t t βαβγωμεμεωμεβ??++-??????==-=???? 式中

v ωβ=

=

可见，()n j a r t m E E e βω?-=满足波动方程 2

E ?220E t με?-=? 所以它可表示沿任意方向n a 传播的均匀平面波。

7.16 一个在空气中沿y e +方向传播的均匀平面波，其磁场强度的瞬时值表示为：

67410cos 10/4x H e t y A m ππβ-??=?-+ ??? ()1求β和在3t ms =时，0z H =的位置； ()2写出E 的瞬时表达式。

解：()

178100.105/31030rad m v ω

ππβ=====? 在33310t ms s -==?时，欲使0z H =，则要求 73103103042y π

π

π

π-??-+=

解得899992.5y =以及899992.52y n λ=±，60c m f

λ==。 令29999n =，代入上式，得

22.5y m =

111 或 22.5,0,1,2,2y n n λ=±

=

()2()370 1.50810cos 10/304y x E H e e t y V m ππ

ηπ-??=?=-??-+ ??? 7.17 均匀平面波的磁场强度H 的振幅为1/3A m π，以相位常数30/rad m β=在空气中沿z e -方向传播，当0t =和0z =时，若H 取向为y e -，试写出,H E 的表达式，并求出频率和波长。

解：以余弦为基准，直接写出

()()1cos /3y H e t z A m ωβπ

=-+ ()()1120cos /3x E e t z V m πωβπ

=??+ 因30/rad m β=，故

()220.2130m ππλβ=

== ()8893104510 1.431015c f Hz λππ

?===?=? 则

()()()811cos 2cos 901030/33y y H e ft z e t z A m πβππ

=-+=-?+ ()()840cos 901030/x E e t z V m =??+

7.18 在自由空间中，某均匀平面波的波长为12cm ，当该波进入到某无损耗媒质时，其波长变为8cm ，且已知此时的50/,0.1/E V m H A m ==，求平面波的频率及无损耗媒质的,r r με。

解： ()882031025101210c

f H z λ-?===?? 在无损耗的媒质中的波长为

()2810v m f

λ

-=

=? 故波速为 )2888102510210/v f m s λ-==???=?=

112 而无损耗媒质的本征阻抗为

()505000.1

η=

==Ω 联解以下两式

8

210500=?= 得 1.991.13

r r με== 7.19 设边界平面两边均为理想介质，参数分别为19r ε=、24r ε=，121r r μμ≈≈。均匀平面波从理想介质1中垂直入射到边界面，其电场振幅为()0.1/V m ，角频率为()8310/rad s ?。求理想介质1中的驻波比，入射波、反射波、折射波的表示式及其平均能流密度。

图4 垂直入射到两种理想介质交界面

解：取如图4所示的坐标系

传播常数：

()13/k rad m ==

，()22/k rad m == 波阻抗：

()1120125.73πη===Ω

，()2120188.52πη===Ω z

O k k t k E E E H H H 理想介质1 理想介质2

n

113 反射系数： 2121

0.2r ηηηη-==+ 折射系数： 2212 1.2t ηηη=

=+ 驻波比： 1 1.5

1r

r ρ+==- 入射波： ()30.1/j z i x E e e V m -=，()30.1/125.7

j z i y H e e A m -= ()6239.810/avi z S e W m -=?

反射波： ()30.02/j z r x E e e V m =，()30.02/125.7

j z r y H e e A m =- ()621.610/avr z S e W m -=-?

折射波： ()20.12/j z t x E e e V m -=，()20.12/188.5

j z t y H e e A m -= ()6238.210/avt z S e W m -=?

7.20 垂直放置在球面坐标原点的某电流元所产生的远区场为：

()()100sin cos /E e t r V m r

θθωβ=- ()()0.265sin cos /H e t r A m r

?θωβ=- 试求穿过1000r m =的半球壳的平均功率。

解：用复数表示电场和磁场，则有

100sin j r E e e r

βθθ-= 0.265sin j r H e e r

β?θ-= 平均坡印廷矢量为

1Re 2av S E H *??=????? 11000.265Re sin sin 2j r j r e e e e r r ββθ?θθ--??=????? 2

sin 13.25r e r θ??= ???

穿过半球壳的平均功率为 2sin av av av S

P S dS S r d d θθ?=?=??

114 2220013.25sin sin r d d r

π

πθθθ?=??? 3013.25sin d π

πθθ=?

30113.25cos cos 3π

πθθ??=-+???? 55.5W =

7.21 对于一个在简单媒质中传播的时谐均匀平面波，其电场强度E 和磁场强度H 分别为()()

00,jk R jk R E R E e H R H e -?-?==。试证明：均匀平面波在无源区域的4个麦克斯韦方程可化简为下列形式： 0

k E H

k H E

k E k H ωμωμ?=?=-?=?= 证明：利用复数形式的麦克斯韦方程以及“?”算子的相关规则，对所给的场量进行运算。

()

00jk R jk R E E e e E -?-???=??=?? ()00jk R jk R e jk R E jk E e jk E

-?-?=?-??=-?=-?

由麦克斯韦方程

E j H ωμ??=- 得 j k E -?j H ωμ=-

k E ?H ωμ=

同理

k H E ωμ?=-

又

()()

00jk R jk R E E e e E -?-???=??=?? 0jk R

jk E e jk E -?=-?=-?

又由麦克斯韦方程

0E ??=

115 得 0k E ?=

同理 0k H ?=

7.22 在真空中沿z 方向传播的均匀平面波的电场为0jkz E E e -=，式中0R I E E jE =+，且2R I E E A ==为实常数。设矢量R E 沿x 方向，I E 的方向与x 轴的夹角为60。试求E 和H 的瞬时表达式，并讨论该平面波的极化。

解：根据题中所给条件，0E 在直角坐标系中可表示为

0R I E E jE =+

将I E 分解为x e 和y e 两个分量

则 ()0cos60sin 60cos60sin 60x R x I y I x R I y I E e E e jE e jE e E jE e jE =++=++

14.049013 1.030.4344j j x y x y e A j A e j A e Ae e Ae ??=++=?+? ??? 故 ()0,R e j k z j t E r t E e e ω-??=??

()1.03cos 14.040.43cos 2x y e A t kz e A t kz πωω??=?-++?-+ ??

? 相伴的磁场

()()3301, 1.1510cos 2.7310cos 14.042z x y H e E r t e A t kz e A t kz πωωη--??=?=-??-++??-+ ??

? 这是一个椭圆极化波。

7.23[]12 一个线极化平面波从自由空间入射到4,1r

r εμ==的介质分界面上，如果

入射波的电场与入射面的夹角为45，试求：

()1入射角i θ为何值时，反射波中只有垂直极化波；

()2此时反射波的平均功率流是入射波的百分之几。

解：()1若入射角等于布儒斯特角时，则平行分量将发生全透射，反射波中只有垂直极化波分量。

arctan 263.43i b θθ=====

116

()2以布儒斯特角入射时，折射角为

12arcsin sin arcsin t i b n n θθθ???

==? ?????

1arcsin sin 63.4326.562??

== ???

这时只有入射波中的垂直极化分量发生反射，反射系数

为

s c o s 2c o s

0.6c o s 2c o s

s t b t b t θθρθθ⊥-

=

==-+ 由于入射波电场与入射面夹角为45

，则入射波中的垂直极化分量为02

i E 。因为

2

2

00

11

1111

22rav

r r S E E ρηη⊥

=

= ()002

221111110.60.1822r r E E ηη=

= 0

2

1112i iav S E η=

故

18%rav iav

S S =

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