关于瑕积分收敛的判断

关于瑕积分收敛的判断

课本中关于瑕积分收敛的判断主要是基于定理3与其推论（课本下册p.283）。由这一推论可以看出：推论是根据 x?a? （视具体情况亦可是 x?b?）时无穷大量 f?x? 相对于无穷大量

1? 的阶来判断。因为：lim??x?af?x??d 等价于

x?a?x?ax?alim?f?x?1?d ，当 0?d??? 时，无穷大量 f?x? 与无穷大量 是同?1?x?a???x?a?1 ，无穷大量 f?x? 的阶是 ? ），由于例3 （课x?a1本下册p.280），相对于无穷大量 ，无穷大量 f?x? 的阶 ??1 时瑕积分

x?a阶无穷大量（ 即：相对于无穷大量

?baf?x?dx 收敛，阶??1 时瑕积分

?f?x?dx 发散。当然，由于存在不可比较的无

ab穷大量，这一判断收敛的方法也不是万能的。

习题例解：

?例1． 判别瑕积分

?20d? 的敛散性（课本下册p.289：2（6））

1?sin?解：由于lim????2?1???，点 ?? 是其瑕点。又由于（注1）

21?sin????1?sin??1?cos??????2?

?2sin2??2 ，

?lim????22????1 ，当 ????2??2 时，相对于无穷大量

1?2 ，无穷大量

12sin2???sin2

??2的阶为1 ，故：这一瑕积分发散。（注2）

（ 若直接用推论，判定发散的理由是 lim?x??2??2?1?sin??） 2 。

1

例2． 判别瑕积分

?10dx 的敛散性（课本下册p.289：2（5）） xlnx解：由于 ln1?0 ，x?1 显然是瑕点。当 x?0? 时，由洛必达法则有

x?0lim?xlnx?lim?x?0lnx1x1x?lim??lim??lim??2x?0 ， 1x?0?12xx?0x?12xxx?0x??因而 x?0 亦是瑕点。又：（由洛必达法则）

x?1lim?x?1xlnx?lim?x?11lnx2x?xx?lim?x?12xlnx?2?1 ，

瑕积分

?10.51dx 发散，因而瑕积分 ?0xlnxdx 发散。 xlnx

注1．

例1解法中，用到了中学数学（平面三角）中的半角公式：

sin?2??1?cos? ， 2由于极限过程是 ??注2．

?2?? ，故 sin2??2?0 ，因而上式应选正号。

例1 亦可利用和差化积公式求解：

?lim????22?lim?1?sin????2???2sin???lim??sin????2?2???2?2cos2??2?sin2 ，

??2?lim????2???2?lim???2???2??2?2sin2?2??2?1 ，

sin2?lim????22???cos2??2?lim????22cos????42???2??lim???????222sin?????42?2?????1?2 ，

因此：

2

lim????2???????2?lim??1?sin????2?????2???cos2???2???????2???????2sin2?2?2?1?2 ，

?瑕积分

?20d? 发散。

1?sin?和差化积公式主要有：

22??????sin??sin??2cossin ，

22??????cos??cos??2coscos ，

22??????cos??cos???2sinsin 。

22这些公式证明均类似，以第一个为例：

由公式 sin?A?B??sinAcosB?cosAsinB 、

sin??sin??2sin???cos??? ，

sin?A?B??sinAcosB?cosAsinB

?A?B??sin?A?B??2sinAcos两边分别相加，得到 sinB 。

令： A?B?? ，A?B??，即得 A????2cos ，A????2 ；因而有

sin??sin??2sin???2???2 。

3

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/g73h.html