八年级数学因式分解；三角形中的基本知识人教版知识精讲

八年级数学因式分解；三角形中的基本知识人教版

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

代数：因式分解，提取公因式法分解因式 几何：三角形中的基本知识

[学习目标]

1. 学会用提取公因式法因式分解。

2. 掌握三角形中的基本概念及内角和定理。

二. 重点、难点： 重点：

1. 代数：提取公因式法分解因式。 2. 几何：三角形内角和定理及推论。 难点：

1. 代数：提取公因式法因式分解中，找公因式。 2. 几何：三角形内角和定理及推论的应用。

三. 内容概要： 1. 因式分解概念

2. 用提公因式法分解因式 3. 三角形的基本知识

四. 【例题分析】 代数

首先要搞清因式分解是把一个多项式分解成几个整式的乘积的形式，且要求分解到不能再分解分止。

例1. 把3m(m?n)?4n(n?m)分解因式。 分析：关键是首先解决(m?n)与(n?m)

?(n?m)?[?(m?n)]?(?1)(m?n)?(m?n) 解：3m(m?n)?4n(n?m) ?3m(m?n)?4n[?(m?n)]

例2. 把12(b?a)?18(a?b)?6(a?b)分解因式。

分析：首先把(b?a)、(a?b)、(b?a)统一成一个代数式或a?b,或b?a。 解：12(b?a)?18(a?b)?6(a?b) ?12[?(a?b)]?18(a?b)?6(a?b) ??12(a?b)?18(a?b)?6(a?b) ??6(a?b)[2(a?b)?3(a?b)?1] ??6(a?b)[2a?4ab?2b?3a?3b?1]

用心 爱心 专心

22232323232322222222222222222222222222

??6(a?b)(2a2?4ab?2b?3a?3b?1)

小结：(b?a)3,(a?b)2,(a?b)4,(b?a)……均可以统一化为(a?b)的形式的整式，或(b?a)的形式。化的过程中要注意处理好符号问题，可概括总结为：把(b?a)m化为

(a?b)m时，

m是偶数时：(b?a)m?(a?b)m m是奇数时：(b?a)m??(a?b)m

例3. 把an?1?an分解因式(n?N?)

n

n?1 分析：找公因式an?1，an中都有n个a的积的因式，?公因式为a 解：原式?a

例4. 把xn?2yn?xn?1yn?2分解因式(n?N,n?2)

分析：在xn?2yn,xn?1yn?2中均有n?2个x的积和(n?2)个y的积，所以公因式是

?an

?an?a?an?a(a?1)n

xn?2yn?2。

解：xn?2yn?xn?1yn?2

?xn?2?yn?2?y2?xn?2?x?yn?2?xn?2yn?2(y?x)2

小结：在找公因式中，同一个字母取指数量小的作为公因式中该字母的指数。 如：本例中?n?1?n?2xn?2与xn?1的公因式是xn?2，而不是x 几何

1. 三角形分类： 依边分类：

n?1。

?不等边三角形? 三角形??腰与底边不相等的等腰三角形

等腰三角形???腰与底边相等的等边三角形? 依角分类：

?直角三角形? 三角形??锐角三角形

?斜三角形?钝角三角形?? 2. 三角形内角和定理及推论：

定理：三角形内角和为180?。

推论：三角形的外角等于不相邻的两个内角的和。 3. 直角三角形两锐角互余

例1. （如图）已知：?ABC中，?B??C,AD?BC于D，AE平分?BAC。 求证：?DAE?1(?C??B) 2用心 爱心 专心

证明：?AE平分?BAC ??1??2??3 （1） ?AD?BC

?(?1??2)??B?90? ?3??C?90? ?1??2??B??3??C （1）代入（4）中：

（2） （3） （4）

?2??3??2??B??3??C ?2?2??C??B 即?DAE?1(?C??B) 2

例2. （如图）已知：?A?34?，?1?70?，?B??D，求：?AED的度数。

分析：本题中关键在?B、?D能求出，求出后，?AED??1??B即可解决。 解：在?ADE中，

?A??D??FEB（三角形外角等于不相邻内角和） 在?FEB中，

?FEB??1??B?180?

??A??D??1??B?180?

设?B??D?x?，把?B、?D、?A、?1值代入得： ??4?x?70?x?180 解得：x?38 即?B?38?

??AED??1??B（三角形外角等于不相邻两内角和）

?70??38??108?

例3. 已知：?ABC中，BD、CE是?ABC的两条角平分线，BD、CE交于点O。 求证：?BOC?90??1?A 2 分析：本题中除已知角平分线外，可用的还有三角形的内角和定理及推论，应由此展开分析寻求突破。

用心 爱心 专心

证法一：在?BOC中， ??4??5??BOC?180? ??BOC?180??(?4??5)

（1）

?BD平分?ABC,CE平分?ACB

11?ABC,?5??ACB221 ??4??5?(?ABC??ACB) （2）

2 在?ABC中，

??A??ABC??ACB?180? ??ABC??ACB?180???A （3）

?4? （3）代入（2）： ??4??5?1(180???A) 2 （4）

（4）代入（1）中： ??BOC?180??11(180???A)?90???A 22 证法二：在?OBE中，

??BOC??1??2（三角形外角等于不相邻内角和） 同理，?2??A??3

??BOC??1??A??3?(?1??3)??A （1） 在?ABC中，

??A??ABC??ACB?180?

又?BD平分?ABC，CE平分?ACB ??ABC?2?1,?ACB?2?3 ??A?2?1?2?3?180? ??1??3?180???A1?90???A 2211?A??A?90???A 22（2）

（2）代入（1）中： ??BOC?90??

例4. 已知?ABC中?C?90?，AD、BE分别为?ABC的角平分线，求?1的度数。

用心 爱心 专心

分析：观察?1与?ABC的内角的关系。 解：??C?90?

??CAB??CBA?90?（直角三角形两锐角互余）

11?CAB??CBA?45? 22 在?AOB中， ??1??2??3

又?AD、BE为?BAC、?BCA平分线

11??2??CAB,?3??CBA22 11??1??CAB??CBA?45?22 ?

【模拟试题】

代数

1. ?2ab?4ab?6ab

2. 17xyz?68xyz?51xyz 3. ?x?y??x?y 4. ?2a?b? 5. a 6.

2n2222232422n??b?2a?2n?1（n：正整数）

?an

83243xy?xy 279 7. x?x?y??a?2b??3y?y?x??2b?a?

8. a?b?c?d??b?d?c?b??b?c?d

9. m，n取何值时，多项式2ab?6ab?4ab分解因式的结果是：

32m2n2a2b?ab?3a?2b?

几何

1. （如图）已知：五角星形ABCDE，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°

用心 爱心 专心

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