西南科大机械测试技术题库
更新时间:2023-09-24 11:38:01 阅读量: IT计算机 文档下载
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机械工程测试技术基础习题解答 第一章 信号的分类与描述
1-1 求周期方波(见图1-4)的傅里叶级数(复指数函数形式),划出|cn|–ω和φn–ω图,并与表1-1对比。
x(t) A … ?T0 20 -A T0 2T0 … t ?T0 图1-4 周期方波信号波形图
解答:在一个周期的表达式为
T0??A (??t?0)??2x(t)??.
? A (0?t?T0)??2积分区间取(-T/2,T/2)
T02T?02T020
1cn?T0 =j?x(t)e?jn?0t1dt=T0?0T?02?Ae?jn?0t1dt+T0?Ae?jn?0tdt
A(cosn?-1) (n=0, ?1, ?2, ?3, ?)n??所以复指数函数形式的傅里叶级数为
x(t)?n????cnejn?0t??j1jn?0t,n=0, ?1, ?2, ?3, ?。 (1?cosn?)e??n???nA?
A?(1?cosn?)?cnI?? (n=0, ?1, ?2, ?3, ?) n????cnR?0
cn?cnR2?cnI2?2A n??1,?3,?,? A??(1?cosn?)??n?
n??0 n?0,?2,?4,?6, ??
φn?arctancnIcnR?π??2n??1,?3,?5,???π??n??1,?3,?5,? ?2n?0,?2,?4,?6,??0??
没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。
|cn| 2A/π 2A/3π -3ω0 -ω0 ω0 2A/π 2A/3π 2A/5π 3ω0 5ω0 ω φn π/2 ω0 -5ω0 -3ω0 -ω0 -π/2 相频图
周期方波复指数函数形式频谱图
3ω0 5ω0 ω 2A/5π -5ω0 幅频图
1-2 求正弦信号解
x(t)?x0sinωt的绝对均值μx和均方根值xrms。
答
T2Txxx2?sinωtdt??cosωt0?Tω0Tωπ:
2x1T1Tμx??x(t)dt??x0sinωtdt?0T0TT
?
20xrms2x01T21T22?x(t)dt?x0sinωtdt?T?0T?0T?T0x1?cos2ωtdt?022
1-3 求指数函数解答:
x(t)?Ae?at(a?0,t?0)的频谱。
X(f)??x(t)e????j2?ftdt??Aee0??at?j2?fte?(a?j2?f)tdt?A?(a?j2?f)?0?AA(a?j2?f)?2a?j2?fa?(2?f)2
X(f)?ka?(2?f)22
?(f)?arctanImX(f)2?f??arctanReX(f)a
|X(f)| A/a φ(f) π/2 0 0 f -π/2 f 单边指数衰减信号频谱图
1-4 求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见图1-25b)的频谱。
sgn(t) 1 0 -1 a)符号函数
图1-25 题1-4图
a)符号函数的频谱
u(t) 1 t 0 t b)阶跃函数
??1t?0 x(t)?sgn(t)???1t?0?t=0处可不予定义,或规定sgn(0)=0。
该信号不满足绝对可积条件,不能直接求解,但傅里叶变换存在。
可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘,这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x1(t)的频谱,然后取极
限得出符号函数x(t)的频谱。
x1(t)?e?at?e?atsgn(t)??at??ea?0t?0t?0
x(t)?sgn(t)?limx1(t)
X1(f)??x1(t)e????j2?ftdt???ee??0at?j2?ftdt??e?ate?j2?ftdt??j0?4?fa2?(2?f)2
X(f)?F?sgn(t)??limX1(f)??ja?01?f
X(f)?1?f
?????(f)??2?????2f?0
f?0
x1(t) 1
|X(f)| φ(f) π/2 0
t
0 -1
0 f -π/2 f x1(t)?e?atsgn(t)符号函数
b)阶跃函数频谱
符号函数频谱
?1t?0 u(t)???0t?0在跳变点t=0处函数值未定义,或规定u(0)=1/2。
阶跃信号不满足绝对可积条件,但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件,不能直接求其傅里叶变换,可采用如下方法求解。
解法1:利用符号函数
u(t)?11?sgn(t) 2211?1?1?1??1?1 U(f)?F?u(t)??F???F?sgn(t)???(f)???j??(f)?j???22??f?2??f??2?2U(f)?11?2(f)?22??f? 结果表明,单位阶跃信号u(t)的频谱在f=0处存在一个冲激分量,这是因为u(t)含有直流分量,在预料之中。同时,由于u(t)不是纯直流信号,在t=0处有跳变,因此在频谱中还包含其它频率分量。
|U(f)| φ(f) π/2 0 -π/2 f
单位阶跃信号频谱
f (1/2) 0
解法2:利用冲激函数
?1t?0时 u(t)???(?)d??????0t?0时t根据傅里叶变换的积分特性
t111?1? U(f)?F???(?)d????(f)??(0)?(f)???(f)?j???????j2?f22??f?1-5 求被截断的余弦函数cosω0t(见图1-26)的傅里叶变换。
??cosω0tx(t)????0解:
t?Tt?T
x(t) 1
x(t)?w(t)cos(2?f0t)
-T 0 T t
w(t)为矩形脉冲信号
W(f)?2Tsinc(2?Tf) cos(2?f0t)?1j2?f0te?e?j2?f0t 211w(t)ej2?f0t?w(t)e?j2?f0t 所以x(t)?22
??-1 w(t) 1 根据频移特性和叠加性得:
11X(f)?W(f?f0)?W(f?f0) 22?Tsinc[2?T(f?f0)]?Tsinc[2?T(f?f0)]
率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。
-T 0 图1-26 被截断的余弦函数
T t 可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二,各向左右移动f0,同时谱线高度减小一半。也说明,单一频
X(f) T -f0 被截断的余弦函数频谱
f0 f
1-6 求指数衰减信号
x(t)?e?atsinω0t的频谱
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