九年级 二次函数的基本解析式与图像变换进阶篇(下)

【挑战题】

已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有且只有一个交点A，与y轴的交点为B(0，4)，且ac＝b。

⑴求该二次函数的解析表达式；

⑵将一次函数y＝-3x的图象作适当平移，使它经过点A，记所得的图象为L，图象L与抛物线的另一个交点为C，求△ABC的面积。

题型三：二次函数中的特殊三角形

【引例】

已知抛物线y＝x2－2x－3的顶点为D，点P、Q是抛物线上的动点，若△DPQ是等边三角形，求△DPQ的边长。

典题精练

【例1】

已知抛物线y＝x2－2x－3的顶点为D，点P、Q是抛物线上的动点，点C为直角坐标系内一点，若四边形DPCQ是正方形，求正方形DPCQ的面积。

【例2】

若x1、x2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则方程的两个根x1、x2和

bc

系数a，b，c有如下关系x1 x2 ，x1 x2 。我们把它们称为根与系数关系定理。

aa

如果设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)。利用根与系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为：AB＝|x1－x2|

＝

请你参考以上定理和结论，解答下列问题：

设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0) ，抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形。

⑴当△ABC为等腰直角三角形时，求b2－4ac的值。 ⑵当△ABC为等边三角形时，b2－4ac＝ 。

⑶设抛物线y＝x2＋kx＋1与x轴的两个交点为A、B，顶点为C，且∠ACB＝90°，试问如何平移此抛物线，才能使∠ACB＝60°？

【例3】

已知抛物线y＝-x2＋mx－n的对称轴为x＝-2，且与x轴只有一个交点。 ⑴求m，n的值；

⑵把抛物线沿x轴翻折，再向右平移2个单位，向下平移1个单位，得到新的抛物线C，求新抛物线C的解析式；

⑶已知P是y轴上的一个动点，定点B的坐标为(0，1)，问：在抛物线C上是否存在点D，使△BPD为等边三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

在线测试题

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1．二次函数图像y 2mx2 4mx 2m的顶点坐标是( ) A．(1，0) B．(1，2m) C．(-1，0) D．(-1，2m)

12

2．对于抛物线y x 5 3，下列说法正确的是( )

3

A．开口向下，顶点坐标(5，3) B．开口向上，顶点坐标(5，3) C．开口向下，顶点坐标(-5，3) D．开口向上，顶点坐标(-5，3)

3．(09江西南昌)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，下列结论正确的是( ) A．ac＜0 B．当x＝1时，y＞0 C．方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个大于1的实数根 D．存在一个大于1的实数x0，使得当x＜x0时，y随x的增大而减小；当x＞x0时，y

随x的增大而增大

4．函数y＝x＋bx－c的图象经过点(1，2)，则b－c的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2

5．(09辽宁抚顺)关于x的二次函数y (x 1)2 2，下列说法正确的是( ) A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是(-1，2) C．当x 1时，y随x的增大而减小 D．图象与y轴的交点坐标为(0，2)

6．(08湖北荆门)把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，

所得图象的解析式为y＝x2－3x＋5，则 ( ) A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3 C．b＝-9，c＝-5 D．b＝-9，c＝21

7．如图，抛物线y ax2 bx c(a 0)与x轴的两个交点分别为A( 1，0)，当0)和B(2，

y 0时，x的取值范围是( ) A．x＜-1 B．x＞2 C．x＜-1 或x＞2 D．无法确定

2

8．如图，P为抛物线y

3231

x x 上对称轴右侧的一点，且点P在x轴上方，过点P424

作PA垂直x轴于点A，PB垂直y轴于点B，得到矩形PAOB。若AP＝1，则矩形PAOB的面积为( ) A

．1 B

．1

C

1

D．1 9．如图，在坐标系中，二次函数y＝ax＋c(a≠0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值是( ) A．

2 B．-2

11

C． D．

22

2

10．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝a(x－

1)2＋k的图像与x轴相交于点A、B，顶点为C，点D在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ACBD是一个边长为且内角∠ACB＝60°的菱形，则此二次函数的表达式为( )

2

A．y x 1 3

B

．yx 1 1 C．yx 1 3

D．y x 1 3

2

2

2

11．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝a(x－1)2＋k的图像与x轴相交于点A、

B，顶点为C，点D在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ACBD是一个边长为2且内角∠CBD＝60°的菱形，则此二次函数的表达式为( )

12

A．y x 1 1

3

2

B

．yx 1 1

12

x 1 1 3

2

D

．yx 1

1

C．y

12．如图所示，直线l过A(4,0)和B(0,4)两点，它与二次函数y ax2的图像在第一象限

内相交于P点，若 AOP的面积为

A．y

9

，则二次函数的解析式是( ) 2

342

x49 34

D．y

x2

49

362

x49

B．y

C．y

362

x

49

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