可化一元二次方程的分式方程

学 科 年 级

数学 初三

版 本 编稿老师

人教版 马丽娜

期 数 审稿教师

7803

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

可化一元二次方程的分式方程

［学习目标］

1. 理解把分式方程转化为整式方程的一个原则；明确解分式方程的基本思路； 2. 会用去分母法，换元法解可化为一元二次方程的分式方程；

3. 理解在方程两边乘以整式有可能增根，从而知道验根是解分式方程的必要步骤；

4. 正确理解行程问题，工程问题等的有关概念和规律，会列分式方程解有关问题的应用题；

5. 通过列分式方程解有关应用题，就是把实际问题转化为数学问题，这就要求能对实际问题分析、概括、总结、解，从而能进一步地提高分析问题和解决问题的能力。

6. 结合分式方程应用题的分析与解答，体会辩证唯物主义的观点，力求懂得：理论知识来源于实践，反过来去更好地指导实践。

二. 重点、难点：

1. 教学重点：

①会解可化为一元二次方程的分式方程，知道解分式方程必须验根。理解方程的同解原理。会运用换元思想方法等计算技巧。 ②列分式方程解有关应用题。 2. 教学难点：

①会运用换元思想方法等计算技巧。

②如何分析和使用复杂的数量关系，找出相等关系，对于难点，解决的关键是抓住基本量之间的关系，通过基本量之间的关系的分析设出未知数和列出方程。

③清楚地懂得列分式方程解应用题应首先检验所求出的方程的解是否是所列分式方程的解，然后考虑所满足方程的解是否与题意相吻合。

【典型例题】

例1. 解分式方程 ①

1?3x2x?2x?x?63?x4x21??1? ②2 2?xx?2x?4?1?x?2?x

分析：直接去分母是一种把分式方程转化为整式方程的最常用的方法。关键是找出各分式的最简公分母，并在方程两边同时乘以这个最简公分母，最后必须验根。

1?3xx?12?x 解：①原方程可化为 ??(x?3)(x?2)x?3x?2 方程两边同乘以(x?3)(x?2)得：

(1?3x)?(x?1)(x?2)?(2?x)(x?3)

1

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即：3x?9∴x?3

检验：把x?3代入(x?3)(x?2)?(3?3)(3?2)?0 ∴x?3是原方程的增根，原方程无实根。

4x21 ②原方程可化为 ??1?(x?2)(x?2)x?2x?2 方程两边同乘以(x?2)(x?2)得：

4x?2(x?2)?x?4?x?22 x2?x?2?0∴x1?2，x2??1

检验：把x?2代入(x?2)(x?2)?(2?2)(2?2)?0

把x??1代入(x?2)(x?2)?(?1?2)(?1?2)??3≠0

∴x?2是原方程的增根，原方程的根是x??1。

点拨：解分式方程的指导思想，去分母化归成整式方程，但去分母会产生增根，必须验根。

例2. 用换元法解方程。 ①x?3x?5?262x?3xx2x2)??15 ②(x?1x?1112 ③12(x?2)?56(x?)?89?0

xx?0

分析：根据方程结构特征，常常可用换元法化简分式方程，这时若直接去分母会出现高次方程。

解：①设x2?3x?y，则原方程可化为y?5?

∴y?5y?6?0∴y1??2，y2??3∴x?3x?2?0∴x1?1，x2?2226y?0

当y1??2时，x2?3x??2，

当y2??3时，x2?3x??3 ∴x2?3x?3?0 ∵??9?12?0，∴此方程无实根。

经检验，x1?1，x2?2都是原方程的根。 ∴原方程的根是x1?1，x2?2。 ②设y?

xx?1(y?5)(y?3)?0，原方程化为y?2y?15?0

?5，∴x??542y1?5，y2??3x 当y?5时，x?1

2

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当y??3时，xx?1453 经检验：x??，x??都是原方程的解。

4411 ③设x??y，则(x?)2?y2

xx1 ∴x2?2?y2?2

x??3，∴x??3

原方程可化为

12(y?2)?56y?89?02 12y?56y?65?0∴y1?5，y2?132

265152 当y?时，x??，2x?5x?2?0

2x21 ∴x1?，x2?2

2131132时，x??，6x?13x?6?0 当y?6x623 ∴x3?，x4?

32123 经检验：原方程的根是x1?，x2?2，x3?，x4?

232 点拨：换元使求解过程简捷，注意避免①审题时忽视“换元法”而直接去分母；②换

元后忘了“还原”；③没验根，这些典型错误。

例3. 解方程 ① ②

x?1x?4x?1x?2??x?4x?1x?6x?7??x?1x?2x?2x?3??x?2x?1x?5x?6?23

分析：考查重新分组化简方程的能力。对于①可合并同分母分式，再去分母。②中要注意到(x?6)?(x?7)(x?5)?1，(x?2)?(x?3)(x?1)?1，可重新分组化简求解。 解：①原方程可化为

x?1x?4?x?1x?2?22322

去分母，得x2?2x?35?0 ∴x1?5，x2??7

检验，把x1?5，x2??7代入(x?4)(x?2)均不为零， ∴原方程的解为x1?5，x2??7。 ②原方程可化为

x?6x?7?x?5x?6?x?2x?3?x?1x?2

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1(x?7)(x?6)?1(x?3)(x?2)

(x?6)(x?7)?(x?2)(x?3)∴8x??36∴x??9292

经检验原方程的解是x??。

点拨：分组重新组合，是本题化简求解的关键，应注意，从本题的组合形式中体会组合思想与方法。

例4. 解关于x的方程 ①x?a? ②

x?ba?1a?1x?ab??1x?1b

?ax?b(a?b≠0)

x?a 分析：分式方程中含两个或两个以上字母，明确未知数，与一般的分式方程解法类同。

x?a 解：①原方程可化为x?a?

(x?1)(a?1)(x?a)?x?a(x?1)(a?1)1(x?1)(a?1)aa?1aa?1?0]?0

(x?a)[1?∴x1?a，x2? 经检验，原方程的解是x1?a，x2? ②设x?ba?m，

x?ab

?n，原方程可化为

m?n?1n?1m m?n?m?nmn

(m?n)(mn?1)?0 ∴m?n?0或mn?1 当m?n?0时，x?bab(x?b)?a(x?a)?02?x?ab2?0

a?bx?bx?a·?1 当mn?1时，ab4

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Www.chinaedu.com∵a?b≠0，∴x?a?b

(x?b)(x?a)?ab∴x?0或x?a?b

a?b22 经检验，原方程的根是x1?a?b 点拨：解含字母系数的分式方程的方法与解一般分式方程的方法相同，但要注意从题

，x2?0，x3?a?b。

中识别字母的取值范围，并分情况讨论。

例5. 甲、乙两车从A、B两地同时相向匀速而行，相遇后用4小时到达B地，乙用9小时到达A地，甲、乙走完全程各用几小时？

分析：考查列分式方程解“行程问题”的能力。对于本题若设甲、乙两车相遇时，各行x小时，那么甲走完全程用(x?4)小时，乙用(x?9)小时，若将之看成工程问题，则不难解决。

解：解法1：设甲、乙两车相遇时各行x小时，则甲走完全程用(x?4)小时，乙走完全程用(x?9)小时，则

xx?4?xx?9?1 x2?36

x1?6，x2??6

经检验，x1?6，x2??6都是原方程的根，但x??6不合题意，舍去。 ∴x?6，又x?4?10，x?9?15

答：甲10小时能走完全程，乙15小时能走完全程。

解法2：设甲、乙两车相遇时各行x小时，甲走x小时的路程与乙走9小时路程相等，则

xx?4?9x?9 x2?36 以下同解法1。

点拨：该题表面上是行程问题，实为工程问题，若能透过现象看本质，问题解答将会简化。

例6. 有一特殊材料制成的质量为30克的泥块，现把它切开为大、小两块，将较大泥块放在一架不等臂天平的左盘中，称质量为27克；又将较小泥块放在该天平右盘中，称质量8克。若只考虑该天平臂长不等，其他因素忽略不计，请依据杠杆的平衡原理，求较大泥块和较小泥块的质量。

分析：从两泥块的关系入手，应设较大泥块质量为x克，以便列方程解之。 解：设较大泥块x克，则较小泥块为（30－x）克。 若天平的左、右臂分别为a cm，b cm。 ①?ax?27b 由题意?

?8a?b(30?x)②

①②得x8?2730?x

解得 x1?18，x2?12

经检验，x1?18，x2?12均是原方程的解。 由题意x2?12应舍去 ∵当x?18时，30?x?12

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∴答：较大泥块18克，较小泥块为12克。

点拨：在解此类问题时，充分注意要求的两个量之间的关系，这样才能使列出的方程，简捷且易于求解。

［总结扩展］

1. 明确解分式方程的基本思路，是把分式方程转化为整式方程，转化途径是去分母，换元，特别注意换元时，先设元再换元，还原，最后检验； 2. 明白分式方程解的过程中，出现增根的原因，会验根；

3. 在学习了分式方程的基础上，来解决实际应用问题，而解问题的关键是将涉及基本量之间的关系，运用到隐含在题目中的相等关系中去，以便列出方程而解决问题。

4. 提高应用数学解决生活中实际问题的意识，要求能对实际问题分析、概括、总结、解，从而能进一步地提高分析问题和解决问题的能力。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

一、选择题 1. 解方程

4x2?x2?4，则（ ）

A. x?±2 C. x?±1 2. 如果设 (1x2

B. x?±2

D. x≠0的实数

1x2?5?y，那么分式方程 2x2?5)?2?13?0可以变形为（ ）

A. y2?2y?8?0

abx?1

B. y2?2y?3?0 D. y2?2y?13?0

C. y2?2y?23?0 3. 关于x的方程x?b? A. x1?3a，x2?a B. x1?a，x2?b C. x1?a?1，x2?b?1 D. x1?1?a，x2?1?b 4. 关于x的方程 A. a??1 C. a?2 5. 方程

2xx?42?a?1的根是（ ）

ax?1x?1?1?0有增根，a为（ ）

1B. a?1 D. 无法求解

x?2?1?的解是（ ）

C. ?2或3

D. 3

A. ?1

二、填空题 6. 若方程

B. 2或?1

2x?ax?2??1的解为正数，则a的取值范围____________。

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7. 若2x2?5x? 8. 若设x?

三、解答题 9. 解方程

11x82x??5x?1?5?0，则2x2?5x?1的值为___________。

2?y，则方程(x?1x2)?2(x?1x可化成整式方程__________。 )?2?0，

x?2x?16(x?1)x2?1x?2x2?52x?4x2

10. 用换元法解下列方程。 ① ②

xx?12??1

x?1x?1x?1 11. A、B两地相距60千米，某人骑自行车从A地到B地，在回来的路上用原来速度骑1

?3(x?1)2?4

小时后，因事停车20分钟，以后他加快速度，比原来每小时多行4千米，这样回来所用时间和去时所用时间恰好相等，求原来的速度。

12. 有一项工作，甲、乙、丙三人合做，若干天可完成。如果甲一人独做要多6天，乙一人独做较甲多9天，丙独做需2倍于三人合做天数。问各人独做需多少天？

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【试题答案】

一、选择题 1. B

2. B

3. C

4. A

5. D

二、填空题

6. a?2且a≠?4 7. 0或2 8. y2?2y?0

三、解答题：

9. 设x2?2x?y，则原方程化为

1y?1?1y?52y，∴y?3

∴x2?2x?3，∴x1?1，x2??3，检验均满足原方程。 10. ①设y?xx?1，则y?6y?1，即y?y?6?0

x?3或xx?1??2解之检验得：

2 ∴y1?3，y2??2，∴ x1??2x?123，x2??32。

3y?4，∴y?4y?3?0

2 ②令

x?1x?12?y，则y? 解得y1?3，y2?1 ∴?3或?1 x?1x?1 解之检验：x1?0，x2?1

x?1x?12 x3?12(3?17)x4?12(3?17)

11. 设原速度为x千米/时，则

60x?60?xx?4?13?1

∴x1?20，x2??36（舍） 答：略。

12. 设甲独做要x天完成，则三人合做要（x－6）天，乙独做要（x＋9）天，丙独做要2（x－6）天，由题意：

111 ???0

xx?92(x?6) 解得：x1?9，x2??4

检验x1?9，x2??4均为原方程的根，但x2??4不合题意，舍去。所以x?9。 答：完成此工作，甲、乙、丙独做各需9天、18天、6天。

【励志故事】

成人仪式上的账单

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据《扬子晚报》4月23日报道，22日，南京三中举行了成人宣誓仪式，仪式上，学校公布了一份特殊的账单。

“出生：2000元；奶粉：约3600元；小学6年学杂费：约3600元??合计：约76380元。”这是三中对本校100名高三学生进行的调查，让他们估算自己的“成长成本”，孩子们估算约为76380元。但令孩子们吃惊的是，家长却认为，在这18年中，他们对孩子的有形投入竟然达到了10万，这与孩子们自己的估算相差了2万多。在调查中，过半的家庭月收入都只有一两千元。

该校一位老师认为，成人意味着责任，这份“账单”就是想让孩子懂得，责任的分量。 读高三的学生喻文君说，父母在自己身上倾注的绝不只是金钱，还有更宝贵的爱，这是不能用物质和金钱去衡量的。这份“特殊账单”对学生们是个教育。 年级 初三 学科 数学 版本 人教版 期数 学习资料 栏目名称 同步课堂 审稿老师 一校 二校 审核 7803 内容标题 可化一元二次方程的分式方程 分类索引号 G.623.3 主题词 录入

编稿老师 马丽娜 分类索引描述 可化一元二次方程的分式方程 9

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