中考期间几何大题参考答案

1．如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，P为AC上一点，PQ⊥AB于Q，AM⊥AB交BP的延长线于M，MN⊥AC于N，AQ=MN． （1）求证：AP=AM； （2）求证：PC=AN．

考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质． 菁优网版权所有专题： 证明题． 分析： （1）要点是确定一对全等三角形△AQP≌△MNA，得到AP=AM； （2）利用（1）中的全等三角形的性质得到AN=PQ；然后推出BP为角平分线，利用角平分线的性质得到PC=PQ；从而得到PC=AN． 解答： 证明：（1）∵BA⊥AM，MN⊥AC， ∴∠BAM=∠ANM=90°， ∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°， ∴∠PAQ=∠AMN， ∵PQ⊥AB MN⊥AC， ∴∠PQA=∠ANM=90°， ∴在△PQA与△ANM中，， ∴△PQA≌△ANM（ASA） ∴AP=AM； （2）由（1）知，△PQA≌△ANM， ∴AN=PQ AM=AP， ∴∠AMB=∠APM ∵∠APM=∠BPC，∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90° ∴∠ABM=∠PBC ∵PQ⊥AB，PC⊥BC ∴PQ=PC（角平分线的性质）， ∴PC=AN． 点评： 本题是几何综合题，全等三角形的判定与性质、角平分线性质等重要知识点．题干中给出的条件较多，图形复杂，难度较大，对考生能力要求较高；解题时，需要认真分析题意，以图形的全等为主线寻找解题思路．解答中提供了多种解题方法，可以开拓思路，希望同学们认真研究学习． 2．(相似及变形题)如图①△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N，连接MN． （1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由． （2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．

（3）若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，其它条件不变，在图②中画出图形，并说

出BM、MN、NC之间的关系．

考点： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质． 专题： 探究型． 分析： （1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，构造全等三角形，找到相等的线段MD=DE，再进一步证明△DMN≌△DEN，进而等量代换得到MN=BM+NC； （2）利用（1）中结论，将△AMN的周长转化为AB、AC的和来解答； （3）按要求作出图形，BM、MN、NC之间的关系是MN=NC﹣BM，理由为：先证△BMD≌△CED，再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得证． 解答： 菁优网版权所有 解：（1）MN=BM+NC，理由如下： 延长AC至E，使得CE=BM（或延长AB至E，使得BE=CN），并连接DE，如图1所示： ∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形， ∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°， 又BD=DC，且∠BDC=120°， ∴∠DBC=∠DCB=30°， ∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°， ∴∠MBD=∠ECD=90°， 在△MBD与△ECD中， ∵， ∴△MBD≌△ECD（SAS）， ∴MD=DE，∠BDM=∠CDE， ∵∠MDN=60°，∠BDC=120°， ∴∠BDM+∠CDN=60°， ∴∠CDE+∠CDN=60°，即∠EDN=60°， ∴∠EDN=∠MDN， 在△DMN和△DEN中， ∵， ∴△DMN≌△DEN（SAS）， ∴MN=EN=NC+CE=BM+NC； （2）利用（1）中的结论得出： △AMN的周长=AM+MN+AN =（AM+BM）+（NC+AN） =2+2=4； （3）按要求作出图形，如图2所示， （1）中结论不成立，应为MN=NC﹣BM，理由如下： 在CA上截取CE=BM， ∵△ABC是正三角形， ∴∠ACB=∠ABC=60°， 又∵BD=CD，∠BDC=120°， ∴∠BCD=∠CBD=30°， ∴∠MBD=∠ECD=90°， 又∵CE=BM，BD=CD， 在△BMD和△CED中， ∵， ∴△BMD≌△CED（SAS）， ∴DE=DM， 在△MDN和△EDN中， ∵， ∴△MDN≌△EDN（SAS）， ∴MN=NE=NC﹣CE=NC﹣BM． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质；此题从不同角度考查了作相等线段构造全等三角形的能力，要充分利用等边三角形及等腰三角形的性质，转换各相等线段解答． 3．在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G． （1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连接EF与 CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H． ①求证：DG=DC； ②判断FH与FC的数量关系并加以证明．

（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，（1）中的其他条件不变，借助图2画出图形．在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在（1）中得出的结论是否发生改变，（本小题直接写出结论，不必证明）．

考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 菁优网版权所有分析： （1）①根据已知首先得出∠ADG=90°，进而求出AD=DG，得出DG=DC； ②利用已知首先得出∠GFH=∠ECF与∠HGF=∠FEC，再利用GF=EC得出△FGH≌△CEF，进而得出FH=FC； （2）根据题意画出图形，再利用②中方法即可得出FH=FC． 解答： 解：（1）①证明：∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠A=∠B=45°， 又GD⊥AC， ∴∠ADG=90°， 在△ADG中， ∠A+∠ADG+∠AGD=180°， ∴∠AGD=45°， ∴∠A=∠AGD， ∴AD=DG， 又D是AC中点， ∴AD=CD， ∴DG=DC， ②由①DG=DC， 又∵DF=DE， ∴DG﹣DF=DC﹣DE， 即FG=CE， 由①∠AGD=45°， ∴∠HGF=180°﹣45°=135°， 又DE=DF，∠EDF=90°， ∴∠DEF=45°， ∴∠CEF=180°﹣45°=135°， ∴∠HGF=∠FEC， 又HF⊥CF， ∴∠HFC=90°， ∴∠GFH+∠DFC=180°﹣90°=90°， 又Rt△FDC中， ∠DFC+∠ECF=90°， ∴∠GFH=∠ECF， 在△FGH和△CEF中 ， ∴△FGH≌△CEF（ASA）， ∴FH=FC； （2）如图所示， △FHG≌△CFE， 不变，FH=FC． 点评： 此题主要考查了全等三角形的证明以及利用已知画出图形，熟练掌握全等三角形的判定以及利用已知条件画出几何图形是考查重点． 4．如图，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连AD，BE，F为线段AD的中点，连CF，

（1）如图1，当D点在BC上时，BE与CF的数量关系是 BE=2CF ，位置关系是 垂直 ，请证明．

∴AH是线段NC的中垂线， ∴DN=DC， ∴∠8=∠9． ∴∠AND=∠ACB， ∵∠AND=∠B+∠3，∠ACB=2∠B， ∴∠B=∠3， ∴BN=DN． ∴BN=DC； （2）如图，当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD=2CE． 证明：过点C作CN'⊥AO交AB于N'． 由（1）可得BN'=CD，AN'=AC，AN=AE． ∴∠4=∠3，NN'=CE． 过点C作CG∥AB交直线l于G． ∴∠4=∠2，∠B=∠1． ∴∠2=∠3． ∴CG=CE． ∵M是BC中点， ∴BM=CM． 在△BNM和△CGM中， ， ∴△BNM≌△CGM． ∴BN=CG． ∴BN=CE． ∴CD=BN'=NN'+BN=2CE． （3）BN、CE、CD之间的等量关系： 当点M在线段BC上时，CD=BN+CE； 当点M在BC的延长线上时，CD=BN﹣CE； 当点M在CB的延长线上时，CD=CE﹣BN． 点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、平行线的性质以及三角形的内角和定理题目难度不小．

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