大学物理下册第三版课后答案16电磁感应

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习题16

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?16-1．如图所示，金属圆环半径为R，位于磁感应强度为B的均匀磁

?场中，圆环平面与磁场方向垂直。当圆环以恒定速度v在环所在平面

内运动时，求环中的感应电动势及环上位于与运动方向垂直的直径两端a、b间的电势差。

解：（1）由法拉第电磁感应定律?i??应电动势?i?0； （2）利用：?ab?d?，考虑到圆环内的磁通量不变，所以，环中的感dt?ab???(v?B)?dl，有：?ab?Bv?2R?2BvR。

【注：相同电动势的两个电源并联，并联后等效电源电动势不变】

16-2．如图所示，长直导线中通有电流I?5.0A，在与其相距d?0.5cm 处放有一矩形线圈，共1000匝，设线圈长l?4.0cm，宽a?2.0cm。 不计线圈自感，若线圈以速度v?3.0cm/s沿垂直于长导线的方向向右 运动，线圈中的感生电动势多大？

解法一：利用法拉第电磁感应定律解决。 首先用

???0IB?dl??I求出电场分布，易得：， B?0???l2?r则矩形线圈内的磁通量为：???x?ax?0I?0Ilx?a， ?ldr?ln2?r2?x由?i??NN?0Il1d?1dx，有：?i?? (?)?dt2?x?axdtN?0Ilav2?(d?a)?1.92?10?4V。

∴当x?d时，有：?i?解法二：利用动生电动势公式解决。 由

???0IB?dl??I求出电场分布，易得：， B?0???l2?r考虑线圈框架的两个平行长直导线部分产生动生电动势， 近端部分：?1?NB1lv， 远端部分：?2?NB2lv，

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N?0I1N?0Ialv1则：???1??2?(?)lv??1.92?10?4V。

2?dd?a2?d(d?a)16-3．如图所示，长直导线中通有电流强度为I的电流，长为l的金属棒ab与长直导线共面

?且垂直于导线放置，其a端离导线为d，并以速度v平行于长直导线作匀速运动，求金属棒中的感应电动势?并比较Ua、Ub的电势大小。 解法一：利用动生电动势公式解决：

??0I??d??(v?B)?dl?v?dr，

2?r?0vI∴???2??d?ld?0vId?ldr??ln，

2?dr由右手定则判定：Ua >Ub。

解法二：利用法拉第电磁感应定律解决。 作辅助线，形成闭合回路abb'a'，如图，

???0Iyd?ld?l?0I???B?dS??ln， ydr?Sd2?d2?ra'dryb'r?0Id?ldy?0Ivd?ld?∴???。 ??ln???lndt2?ddt2?d由右手定则判定：Ua >Ub。

16-4．电流为I的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为120， 几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度v平行于长直 导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。 解法一：（用等效法）连接AO、OB，圆弧形导线与AO、OB 形成闭合回路，闭合回路的电动势为0，所以圆弧形导线电动势与 AOB直导线的电动势相等。

??BAO?AO??0Iv2R?0Iv????(v?B)?dl???dx??ln2，

R2?x2?5??0Iv5R?0Iv????(v?B)?dl???2dx??ln，

2R2?x2?4B?OBA?O∴?AB??AO??OB?0Iv5??ln。

2?2解法二：（直接讨论圆弧切割磁感应线）从圆心处引一条半径线，与水平负向夹角为?，那么，B???0I?0I?0I??，再由???(v?B)?dl有： ??2?x2?(2R?Rcos?)2?R(2?cos?) 259

d??B?Rd??vsin?，∴????2?30?0I2?R(2?cos?)?Rvsin?d????0Iv5ln。 2?216-5．电阻为R的闭合线圈折成半径分别为a和2a的两个圆，如图

所示，将其置于与两圆平面垂直的匀强磁场内，磁感应强度按

B?B0sin?t的规律变化。已知a?10cm，B0?2?10?2T，

??50rad/s，R?10?，求线圈中感应电流的最大值。

解：由于是一条导线折成的两个圆，所以，两圆的绕向相反。

?i??d?dB??(???4a2??a2)?3?a2B0?cos?t， dtdt3?a2B0?cos?t?∴I? RR?iImax5πa2B0ω3π?0.12?2?10?2?50???9.42?10?3A。

R10

16-6．直导线中通以交流电，如图所示， 置于磁导率为? 的介质中， 已知：I?I0sin?t，其中I0、?是大于零的常量，求：与其共面的 N匝矩形回路中的感应电动势。

???0IB?dl??I解：首先用?求出电场分布，易得：， B?0??l2?x则矩形线圈内的磁通量为：???d?ad?0I?0Ild?a?0I0ld?a， ?ldr?ln?sin?tln2?r2?d2?d∴???N

N?0I0ld?d?a???cos?tln。 dt2?ddB?0的磁场，一直导线弯成等腰梯形的dt闭合回路ABCDA，总电阻为R，上底为a，下底为2a，求：（1）AD段、BC段和闭合

16-7．如图所示，半径为a的长直螺线管中，有

回路中的感应电动势；（2）B、C两点间的电势差UB?UC。 解：（1）首先考虑?OAD，S?OAD?∴?感1??1332a?a?a， 224d?dB32dB， ???S?OAD??a?dtdt4dt 260

??????????而?感1???E涡?dl??E涡?dl??E涡?dl??E涡?dl??E涡?dl??DA

lAOODADDA∴?AD?32dB； a?4dt1?2?dB?a，∴?感2??a2?， 236dt再考虑?OBC，有效面积为S扇OAD?同理可得：?BC??6a2?dB； dt32dB，逆时针方向。 )a?64dtR

（2）由图可知，AB?CD?a，所以，梯形各边每段a上有电阻r?，

5

??3a2dB回路中的电流：I??(?，逆时针方向； )?R64Rdt那么，梯形闭合回路的感应电动势为：???BC??AD?(??那么，UB?UC?I?2r??BC?I?2??32dBR??BC??()a?。 510dt

16-8．圆柱形匀强磁场中同轴放置一金属圆柱体，半径为R，高为h， 电阻率为?，如图所示。若匀强磁场以

dB?k（k?0，k为恒量） dt的规律变化，求圆柱体内涡电流的热功率。

解：在圆柱体内任取一个半径为r，厚度为dr，高为h的小圆柱通壁，

?dB?dB2有：?，即：E?dl???r????r2?k?r2， 涡?l涡dtdtl由电阻公式R??，考虑涡流通过一个dr环带，如图，

S2?r有电阻：R??，

hdr 涡流(k?r2)2k2?h3而热功率：dP?iR??rdr，

2?r2??hdr2k2?hR3k2?hR4∴P?。 rdr?2??08?

216-9．一螺绕环，每厘米绕40匝，铁心截面积3.0cm，磁导率??200?0，绕组中通有电流5.0mA，环上绕有二匝次级线圈，求：（1）两绕组间的互感系数；（2）若初级绕组中的电流在0.10s内由5.0A降低到0，次级绕组中的互感电动势。

40?4000匝，N次?2，??200?0?8??10?5，S?3?10?4m2。 0.01（1）由题意知螺绕环内：B??nI，则通过次级线圈的磁链： ?次?N次BS?N次?nIS，

解：已知n初? 261

∴M??次I初?N?nS?2?8??10?5?4000?3?10?4?6.03?10?4H； ?I初5?0?6.03?10?4??3.02?10?2V。 ?t0.1（2）?次?M16-10．磁感应强度为B的均匀磁场充满一半径为R的圆形空间B，一金属杆放在如图14-47

所示中位置，杆长为2R，其中一半位于磁场内，另一半位于磁场外。当

dB?0时，求：杆两端感应电动势的大小和方向。 dt解：∵?ac??ab??bc，而：?abd?扇形Oab， ??dt∴?abd323R2dB， ??[?RB]?dt44dtd??Obcdtd?R2?R2dB3R2?R2dB，∴?ac?[； ??[?B]??]dt1212dt412dt?bc??∵

dB?0，∴?ac?0，即?ac从a?c。 dt

16-11．一截面为长方形的螺绕环，其尺寸如图所示，共有N匝，求此螺绕环的自感。 解：如果给螺绕环通电流，有环内磁感应强度：

?0NIB?2?r???R2(R1?r?R2)则????S??B?dS，有：

R1?0NIhR2?0NI ?h?dr?ln2?r2?R1??0N2hR2ln利用自感定义式：L?，有：L?。

I2?R1

16-12．一圆形线圈A由50匝细导线绕成，其面积为4cm2，放在另一个匝数等于100匝、半径为20cm的圆形线圈B的中心，两线圈同轴。设线圈B中的电流在线圈A所在处激发的磁场可看作匀强磁场。求： （1）两线圈的互感；

（2）当线圈B中的电流以50A/s的变化率减小时，线圈A中的感生电动势的大小。 解：设B中通有电流I，则在A处产生的磁感应强度为：

?NI?NIB?0B2?2?RB?0B

4?RB2RBAB?

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（1）A中的磁通链为：?A?NABSA??0NANBI2RB?SA。则：M??AIB??0NANBSA2RB，

4??10?7?50?100?4?10?4?20??10?7?6.28?10?6H。 ∴M?2?0.2d?A?0NANBSAdI（2）∵???6.28?10?6?50?3.14?10?4V,∴?A?3.14?10?4V。

dt2RBdt

16-13．如图，半径分别为b和a的两圆形线圈（b>>a），在t?0时共面放置，大圆形线圈通有稳恒电流I，小圆形线圈以角速度?绕竖直轴转动，若小圆形线圈的电阻为R，求：（1）当小线圈转过90时，小线圈所受的磁力矩的大小；

（2）从初始时刻转到该位置的过程中，磁力矩所做功的大小。 解：利用毕—萨定律，知大线圈在圆心O处产生的磁感应强度为：

?B??0I2b，由于b>>a，可将小圆形线圈所在处看成是匀强磁场，

磁感应强度即为B??0I2b，所以，任一时间穿过小线圈的磁通量：

??B?S??0I2b??a2cos?t，

1d??0I??a2小线圈的感应电流：i????sin?t，

Rdt2bR?0I??a2小线圈的磁矩：pm?iSa?(?sin?t)??a2，

2bR22????0I??2a42（1）由M?pm?B，有：M?pm?Bsin?t??sin?t 24bR当?t??2时：M?22?0I??2a44b2R；

（2）A?M?d?

??22?0I??2a4?4b2R?20sin?td?t?222?0I??2a4?4b2R?2022?0I??3a41?cos2?t。 d?t?216Rb2

16-14．一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成，两者半径分别为R1和R2，导体圆柱的磁导率为?1，筒与圆柱之间充以磁导率为?2的磁介质。电流I可由中心圆柱流出，由圆筒流回。求每单位长度电缆的自感系数。

12B2解：考虑到Wm?LI和wm?，可利用磁能的形式求自感。

22?由环路定理，易知磁场分布：

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?1Ir?B??12?R2?1??B??2I2?2?r?(r?R1)

(R1?r?R2)22B1B2则：Wm??wmdV??dV??dV

2?12?2∴单位长度的磁能为：

?2I2?1I2?2I2R2?R(2?r)?2?rdr?16??4?lnR1， ?1?2R2利用Wm?LI2/2，有单位长度自感：L?。 ?ln8?2?R1R21Wm1R1?1Ir21?()?2?rdr?2l2?1?02?R12?2

16-15．一电感为2.0H，电阻为10Ω的线圈突然接到电动势??100V，内阻不计的电源上，在接通0.1s时，求：（1）磁场总储存能量的增加率；（2）线圈中产生焦耳热的速率；（3）电池组放出能量的速率。

R?t12?解：（1）利用磁能公式Wm?LI及LC电路通电暂态过程I(t)?(1?eL)，

2RRR2?t?t1?L?2L2(1?e)， 有磁场总储能：Wm(t)?L[(1?eL)]?22R2RRR?t?tdW(t)?2L对上式求导得储能增加率：?(1?e)eL，

dtRdW(t)将L?2.0H，R?10?，??100V，t?0.1s代入，有：t?0.1s?238Js；

dtdQ（2）由?P?I2R，有线圈中产生焦耳热的速率：

dtRR?t?tdQ(t)dQ(t)??222L?IR?[(1?e)]R?(1?eL)2；代入数据有：

dtdtRRR?tdE?2（3）那么，电池组放出能量的速率：?I??(1?eL)，

dtRdE代入数据有：t?0.1s?390Js。

dtt?0.1s?152Js；

?1216-16. 在一对巨大的圆形极板（电容C?1.0?10F）上，加上频率为50Hz，峰值为

1.74?105V的交变电压，计算极板间位移电流的最大值。

解：设交变电压为：u?Umcos?t，利用位移电流表达式：ID?有：ID?Cdq， dt∴IDm

16-17．圆形电容器极板的面积为S，两极板的间距为d。一根长为d的极细的导线在极板间

du???CUmsin?t，而??2?f， dt?2?fCUm?2??50?10?12?1.74?105?5.46?10?5A。

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沿轴线与极板相连，已知细导线的电阻为R，两极板间的电压为U?U0sin?t，求： （1）细导线中的电流；

（2）通过电容器的位移电流； （3）通过极板外接线中的电流；

（4）极板间离轴线为r处的磁场强度，设r小于极板半径。

UU0?sin?t； RR?SdqdU（2）通过电容器的位移电流：id??C?CU0?cos?t?0U0?cos?t；

dtdtdU?S（3）通过极板外接线中的电流：i?iR?id?0sin?t?0U0?cos?t；

Rd??U0?r2?0S（4）由??lH?dl??I有：2?r?H?Rsin?t?S?dU0?cos?t，

U0?r∴H?sin?t?0U0?cos?t 。

2?rR2d解：（1）细导线中的电流：iR?思考题16

16-1．图为用冲击电流计测量磁极间磁场的装置。小线圈与冲击电流计相接，线圈面积为A，

?匝数为N，电阻为R，其法向n与该处磁场方向相同，将小线圈迅速取出磁场时，冲击电流计测得感应电量为q，试求小线圈所在位置的磁感应强度。 解：q?Idt?∴B??11d???NBA， ?dt?dt????RRdtRRRq。 NA

16-2．如图所示，圆形截面区域内存在着与截面相垂直的磁场，磁感应强度随时间变化。 （a）磁场区域外有一与圆形截面共面的矩形导体回路abcd，以?ab表示在导体ab段上产生的感生电动势，I表示回路中的感应电流，则 A．?ab?0I?0； B．?ab?0I?0； C．?ab?0I?0； D．?ab?0I?0。

（b）位于圆形区域直径上的导体棒ab通过导线 与阻值为R的电阻连接形成回路，以?ab表示在 导体ab段上产生的感生电动势，I表示回路中的 感应电流，则：

A．?ab?0I?0； B．?ab?0I?0； C．?ab?0I?0； D．?ab?0I?0。

答：（a）选C；（b）选D。

?16-3．在磁感应强度为B的均匀磁场内，有一面积为S的矩形线框，线框回路的电阻为R（忽略自感），线框绕其对称轴以匀角速度?旋转（如图所示）。

（1）求在如图位置时线框所受的磁力矩为多大？

（2）为维持线框匀角速度转动，外力矩对线框每转一周需作的功为多少？ 答：（1）由??BScos??BScos?t， 而：I??R?1BS?sin?t， R 265

1BS2?sin?t； R1222（2）M?Bpmsin?t?BS?sin?t，

R2?1??B2S2222BS?sin?d??∴W??Md???。 0RR∴pm?IS?

16-4．一平板电容器充电以后断开电源，然后缓慢拉开电容器两极板的间距，则拉开过程中两极板间的位移电流为多大?若电容器两端始终维持恒定电压，则在缓慢拉开电容器两极板间距的过程中两极板间有无位移电流?若有位移电流，则它的方向怎样?

dq，由于平板电容器充电以后断开的电源，所以q在dt电容器两极板拉开过程中不变化，有ID?0； （2）有位移电流，电容器两端维持恒定电压，两极板间距增加时场强变小，q下降且引起?答：（1）利用位移电流表达式：ID?下降，使位移电流降低。位移电流的方向与场线方向相反。

16-5．图a为一量值随时间减小，方向垂直纸面向内的变化电场， 均匀分布在圆柱形区域内，试在图b中画出： （1）位移电流的大致分布和方向； （2）磁场的大致分布和方向。 答：（1）Id??0?R2dEdE，（，位移电流在圆柱形区域内 ?0）dtdt均匀分布，分布具有轴对称性；

（2）应用安培环路定理：

Id?Br?R时，B内?r?R时，B外??0Id?0?0dEr?r，B内与r成正比， 22?R2dr?0?0dE2drR，B外为定值不变。

16-6．空间有限的区域内存在随时间变化的磁场，所产生的感生电场场强为Ei，在不包含磁场的空间区域中分别取闭合曲面S，闭合曲线l，则：

????????E?dS?0，E?dl?0E?dS?0，E； B．???Si??li???Si??li?dl?0；

????????C．???Ei?dS?0，??Ei?dl?0； D．???Ei?dS?0,??Ei?dl?0。

A．

SlSl答：选B。

16-7．试写出与下列内容相应的麦克斯韦方程的积分形式： （1）电力线起始于正电荷终止于负电荷；（2）磁力线无头无尾；（3）变化的电场伴有磁场； （4）变化的磁场伴有电场。

????????D?D?dS?qB?dS?0解：（1）?；（2）；（3）H?dl?I??i?c?S?t?dS ?S??S??S????B?（4）??SE?dl???S?t?dS

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