安徽省宿松县2017届高三数学一轮复习第13讲正余弦定理及应用教案20170914427

。 。 。 内部文件，版权追溯 正、余弦定理及应用

教学目（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算标 有关的实际问题。 对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形命内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几题何中的有关角等问题。今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以走三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。题型一向 般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题。 教学多媒体课件 准备 一．知识梳理： 1．直角三角形中各元素间的关系： 如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 教学过程 （1）三边之间的关系：a＋b＝c。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） 222 abasinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。 ccb2．斜三角形中各元素间的关系： 如图6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。 （1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 1

abc???2R。 sinAsinBsinC（R为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。 3．三角形的面积公式： 111aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）； 222111（2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB； 222（1）△＝a2sinBsinCb2sinCsinAc2sinAsinB（3）△＝＝＝； 2sin(B?C)2sin(C?A)2sin(A?B)（4）△＝2RsinAsinBsinC。（R为外接圆半径） （5）△＝2abc； 4R??1?(a?b?c)?； 2?（6）△＝s(s?a)(s?b)(s?c)；?s?（7）△＝r·s。 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形。 解斜三角形的主要依据是： 设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。 （1）角与角关系：A+B+C = π； （2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b； （3）边与角关系： 正弦定理 abc； ???2R（R为外接圆半径）sinAsinBsinC222222222余弦定理 c = a+b－2bccosC，b = a+c－2accosB，a = b+c－2bccosA；

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b2?c2?a2sinAa它们的变形形式有：a = 2R sinA，。 ?，cosA?2bcsinBb5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 （1）角的变换 因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。sinA?BCA?BC?cos,cos?sin； 2222（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r为三角形内切圆半径，p为周长之半。 （3）在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列。 二．典例分析 (2012·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝3acos B. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值． (1)由bsin A＝3acos B及正弦定理 ，得sin B＝3cos B， sin Asin B＝π所以tan B＝3，所以B＝. 3(2)由sin C＝2sin A及＝，得c＝2a. sin Asin C由b＝3及余弦定理b＝a＋c－2accos B， 得9＝a＋c－ac. 所以a＝3，c＝23. 在本例(2)的条件下，试求角A的大小． 解：∵＝， sin Asin B

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22222abacabπ3·sin31asin B∴sin A＝＝＝. b32π∴A＝. 6 由题悟法 1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷． 2．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． 以题试法 1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcosA＝2a. (1)求； (2)若c＝b＋3a，求B. 解：(1)由正弦定理得， sinAsin B＋sin BcosA＝ 2sin A，即 sin B(sinA＋cosA)＝2sin A. 故sin B＝ 2sin A，所以＝ 2. (2)由余弦定理和c＝b＋3a，得cos B＝由(1)知b＝2a， 1222故c＝(2＋3)a.可得cosB＝， 2又cos B>0，故cos B＝ 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 典题导入 2，所以B＝45°. 22222222222222baba＋32ca. 4

在△ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C. (1)求A的大小； (2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状． (1)由已知，根据正弦定理得2a＝(2b＋c)·b＋(2c＋b)c，即a＝b＋c＋2222bc. 由余弦定理得a＝b＋c－2bccos A， 1故cos A＝－，∵0

3. 7又∵m·n＝， 272∴－2cosA＋2cos A＋3＝， 21解得cos A＝. 2π∵0

郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D. (1)求AB的长度； (2)若不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)． (1)在△ABC中，由余弦定理得 AC2＋BC2－AB282＋52－AB2cos C＝＝，① 2AC·BC2×8×5在△ABD中，由余弦定理得 AD2＋BD2－AB272＋72－AB2cos D＝＝，② 2AD·BD2×7×7由∠C＝∠D得cos C＝cos D. 解得AB＝7，所以AB的长度为7米． (2)小李的设计使建造费用最低． 理由如下： 11易知S△ABD＝AD·BDsin D，S△ABC＝AC·BCsin C， 22因为AD·BD>AC·BC，且∠C＝∠D， 所以S△ABD>S△ABC. 故选择△ABC的形状建造环境标志费用较低． 若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，试求最低造价为多少？ 解：因为AD＝BD＝AB＝7，所以△ABD是等边三角形， ∠D＝60°，∠C＝60°. 1故S△ABC＝AC·BCsin C＝103， 2所以所求的最低造价为5 000×103＝50 000 3≈86 600元． 由题悟法 求距离问题要注意： (1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．

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(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 以题试法 1.如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝105°，∠CBA＝45°，且AB＝100 m. (1)求sin ∠CAB的值； (2)求该河段的宽度． 解：(1)sin ∠CAB＝sin 105° ＝sin(60°＋45°) ＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45° ＝32126＋2×＋×＝. 22224(2)因为∠CAB＝105°，∠CBA＝45°， 所以∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝30°. 由正弦定理，得则BC＝， sin ∠ACBsin ∠CAB＝50(6＋2)(m)． AB＝BCAB·sin 105°sin 30°如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD的长就是该河段的宽度．在Rt△BDC中， CD＝BC·sin 45°＝50(6＋2)×所以该河段的宽度为50(3＋1)m. 2＝50(3＋1)(m)． 2 测量高度问题 典题导入 (2012·九江模拟)如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD(CD所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为α，从A处向山顶前进l米到达B后，又测得CD对于山坡的斜度为β，山坡对于地平面的坡角为θ. (1)求BC的长； (2)若l＝24，α＝15°，β＝45°，θ＝30°，求建筑物CD的高度． (1)在△ABC中，∠ACB＝β－α， 8

根据正弦定理得所以BC＝， sin ∠BACsin ∠ACB. ＝24×sin 15°＝12(6－2)米． sin 30°BC＝ABlsin αβ－α(2)由(1)知BC＝lsin αβ－αππ2π3在△BCD中，∠BDC＝＋＝，sin ∠BDC＝， 2632根据正弦定理得， sin ∠BDCsin ∠CBDBC＝CD所以CD＝24－83米． 由题悟法 求解高度问题应注意： (1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角； (2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图； (3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用． 以题试法 2．(2012·西宁模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度． 解：如图，设电视塔AB高为x m， 则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°， 则BD＝3x. 在△BDC中，由余弦定理得， BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°， 即(3x)＝x＋40－2·x·40·cos 120°， 解得x＝40，所以电视塔高为40米． 测量角度问题 典题导入

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222 (2012·太原模拟)在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值． 如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇， 则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°. 根据余弦定理得(14x)＝12＋(10x)－240xcos 120°， 解得x＝2. 故AC＝28，BC＝20. 根据正弦定理得222BCsin α＝， sin 120°AC20sin 120°53解得sin α＝＝. 281453所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为. 14由题悟法 1．测量角度，首先应明确方位角，方向角的含义． 2．在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理综合使用的特点． 以题试法 3.(2012·无锡模拟)如图，两座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是________． 10

解析：∵AD＝60＋20＝4 000，AC＝60＋30＝4 500. 在△CAD中，由余弦定理得 222222AD2＋AC2－CD22cos ∠CAD＝＝，∴∠CAD＝45°. 2AD·AC2答案：45° 正、余弦定理及应用 1．直角三角形中各元素间的关系： 2．斜三角形中各元素间的关系： （1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。 板书设计 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 abc（R为外接圆半径） ???2R。sinAsinBsinC（3）余弦定理： a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。 3．三角形的面积公式： 111aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）； 222111（2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB； 222（1）△＝解三角形时，需要把握解三角形所具备的条件，求解途径。对正弦定理和余弦定理的变教形形式也要很好地掌握，熟练地利用它们进行边角统一。 学对涉及空间问题的解三角形题目，学生在求解时还存在一定的困难。主要原因是空间想反象能力不强，还需要选择适当题目加强训练。 思 有些解三角形需要考虑一解还是两解问题，学生还缺乏足够的意识。要提醒学生注意。

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解析：∵AD＝60＋20＝4 000，AC＝60＋30＝4 500. 在△CAD中，由余弦定理得 222222AD2＋AC2－CD22cos ∠CAD＝＝，∴∠CAD＝45°. 2AD·AC2答案：45° 正、余弦定理及应用 1．直角三角形中各元素间的关系： 2．斜三角形中各元素间的关系： （1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。 板书设计 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 abc（R为外接圆半径） ???2R。sinAsinBsinC（3）余弦定理： a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。 3．三角形的面积公式： 111aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）； 222111（2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB； 222（1）△＝解三角形时，需要把握解三角形所具备的条件，求解途径。对正弦定理和余弦定理的变教形形式也要很好地掌握，熟练地利用它们进行边角统一。 学对涉及空间问题的解三角形题目，学生在求解时还存在一定的困难。主要原因是空间想反象能力不强，还需要选择适当题目加强训练。 思 有些解三角形需要考虑一解还是两解问题，学生还缺乏足够的意识。要提醒学生注意。

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