第4节 连续型随机变量及其概率密度(续2)

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连续型随机变量及其概率密度(续 §4 连续型随机变量及其概率密度 续2)三、几种重要的连续型随机变量 的分布 四、小结 思考题

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三、几种重要的连续型随机变量的分布(三)正态分布f ( x) = 1 e 2π σ ( x µ )2 2σ 2

( ∞ < x < +∞ )

为常数,且 则称X服从参数为 其中 µ , σ 为常数 且σ > 0, 则称 服从参数为 µ , σ 正态分布. 的正态分布 记为 X ~ N ( µ , σ 2 ).

F ( x) =

1 2π σ

∫

x

∞

e

( t µ )2 2σ 2

dt

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特殊地,当 特殊地 当 µ = 0, σ = 1 时,

( x) =

1 e 2π

x2 2

( ∞ < x < +∞ )

则称X服从标准正态分布, 记为X~N(0,1). 则称 服从标准正态分布 记为 服从标准正态分布

Φ( x ) = ( x)

1 2π

∫

x

∞

e

t2 2

dtΦ(x) 1 0.5Φ(0) = 0.5

o

x

o

x

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给定的z≥0 问题：若随机变量 问题：若随机变量X ~N(0,1), 给定的P{ X ≤ z } = Φ(z ) =1 2π

∫

z

∞

e

t2 2

dt

?

查表! 查表

例如,设 例如 设X ~N(0,1) ,则 Φ(1.54)= 0.9382. 则 若X ~N(0,1),则 Φ(–z)=1–Φ(z) 则Φ( z ) = ∫ ( x )dx Φ( z ) = ∫ ( x )dx ∞ ∞

z

z

= ∫ ( x)dx = 1 ∫ ( x)dxz ∞

+∞

z

( x)

= 1 Φ( z )∴Φ(–z)=1–Φ(z)

-z

o z

x

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引理 若随机变量 X ~ N ( µ , σ ), 则 X µ (1) Z = ~ N ( 0,1); 将X标准化 标准化 σ x µ ). (2) F ( x ) = Φ( σ 证明 (2) F ( x ) = P{ X ≤ x }2

= P{= Φ(

X µx µ

σ

≤

x µ

σ

}

∴ F ( x ) = Φ(

x µ

σ

).

σ

)

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设随机变量X~N(3,4) 例5 设随机变量 (1)求P{|X|>2}; ) (2)决定 使得 )决定c, 使得P{X>c}=P{X≤c}. 解 ∵X~ N(3,4 ), ∴ µ = 3, σ = 2 (1)P{|X|>2}=1–P{|X|≤2} )

2 3 X 3 2 3 } ≤ ≤ =1–P{–2≤X≤2} = 1 P{ 2 2 2 = 1 [Φ( 0.5) Φ( 2.5)] = 1 {[1 Φ(0.5)] [1 Φ( 2.5)]}

= Φ(0.5) Φ( 2.5) + 1 = 0.6915 0.9938 + 1 = 0.6977.

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(2)P{X>c}=1–P{X≤c}=1–F(c)=P{X≤c} ) = F(c) c 3 c 3 ) = 0.5 =0 ∴ F(c)=0.5 即 Φ( 2 2

∴ c = 3.

则称c为中位数 注 若P{X>c}=P{X≤c},则称 为中位数 则称 为中位数.

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某公共建筑物设计时,假定使用者的身 例6 某公共建筑物设计时 假定使用者的身 单位:米 材X(单位 米)~N(1.75, 0.052),问该建筑物的门 单位 问该建筑物的门 至少要多高才能使出入门时,需要低头的人不 至少要多高才能使出入门时 需要低头的人不 超过0.5%. 超过 解 设门高为 P{X>h}≤ 0.5%=0.005 设门高为h, F(h)≥ 0.995 即 P{X≤h}≥ 0.995

h 1.75 h 1.75 ≥ 2.58 ) ≥ 0.995, 查表得 Φ( 0.05 0.05

h ≥ 1.88(米).

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定义2 定义 设0 < α < 1, 若数zα 满足P{ X > zα } = α = ∫ ( x )dx+∞

则称zα 为标准正态分布的 上 α分位点 分位点.例如,当 例如 当α =0.05 , z0.05=? P{X> z0.05 }= 0.05 ? ∴ Φ(z0.05 )=P{X≤ z0.05 }=0.95

zα

1.64

+ 1.65 查表可得 z0.05 = 2 = 1.645注 Φ(1.645) = 0.95

( x)

αozα

x

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几个常用的 zα 值

α

0.001 0.005

0.01

0.025

0.05

0.10

zα 3.090

2.576 2.327 1.960 1.645 1.282

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三、小结1.连续型随机变量及其概率密度定义 连续型随机变量及其概率密度定义F( x) = ∫ f (t )dt ( f (t ) ≥ 0) ∞ x

2.概率密度的性质 概率密度的性质 3.几种重要的连续型随机变量的分布 几种重要的连续型随机变量的分布 (1)均匀分布 (2)指数分布 (3)正态分布 均匀分布; 指数分布; 均匀分布 指数分布 正态分布 必须熟记 掌握其应用

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/g6d4.html