小学奥数专题157-1加法原理 题库版

加法原理

知识框架图 7-1-1分类讨论中加法原理的应用 7-1-2-1树形图法 7 计数综合 7-1 加法原理 7-1-2树形图法、标数法及简单的递7-1-2-2标数法 推 7-1-2-3简单递推：斐波那契数列的应用

教学目标

1.使学生掌握加法原理的基本内容；

2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；

3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．

加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致．

知识要点

一、加法原理概念引入

生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．

例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？

分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．

在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．

二、加法原理的定义

一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同做法，…，第k类方法中有mk种不同做法，则完成这件事共有N? m1? m2????mk种不同方法，这就是加法原理． 加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．

分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：

① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；

7-1.加法原理.题库 教师版 page 1 of 19 ② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．

只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．

运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．

三、加法原理解题三部曲

1、完成一件事分N类；

2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）； 3、类类相加

枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．

分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．

例题精讲

模块一、分类讨论中加法原理的应用

【例 1】 （难度等级 ※）小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外

书20本，不同的纪念品10种，那么，小宝买一种礼物可以有多少种不同的选法？

【解析】 小宝买一种礼物有三类方法：第一类，买玩具，有8种方法；第二类，买课外书，有20种方法；第

三种，买纪念品，有10种方法．根据加法原理，小宝买一种礼物有8+20+10=38种方法．

【巩固】 （难度等级 ※）有不同的语文书6本，数学书4本，英语书3本，科学书2本，从中任取一本，

共有多少种取法？

【解析】 根据加法原理，共有6+4+3+2=15种取法．

【巩固】 （难度等级 ※）阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人．从中任意选一

人当升旗手，有多少种选法？

【解析】 解决这个问题有3类办法：从一班、二班、三班男生中任选1人，从一班18名男生中任选1人有

18种选法：同理，从二班20名男生中任选1人有20种选法；从三班16名男生中任意选1人有16种选法；根据加法原理，从四年级3个班中任选一名男生当升旗手的方法有：18?20?16?54种．

【例 2】 （难度等级※※）从1～10中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？ 【解析】 根据第一个数的大小，将和大于10的取法分为9类： 第1类 第2类 第3类 第4类 第5类 第6类 第一个数 1 2 3 4 5 6 第二个数 10 10、9 10、9、8 10、9、8、7 10、9、8、7、6 10、9、8、7 有几种 1 2 3 4 5 4 选择合适的分类方式是运用加法原理的关键．好的分类方式往往达到事半功倍的效果． 注意：本题中“7?8”与“8?7”只能算一种取法． 7-1.加法原理.题库 教师版 page 2 of 19 第7类 第8类 第9类 7 8 9 10、9、8 10、9 10 3 2 1

因此，根据加法原理，共有：1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种取法使和大于10．

【巩固】 （难度等级※※）从1～8中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？ 【解析】 两个数和为11的一共有3种取法；两个数和为12的一共有2种取法； 两个数和为13的一共有2种取法；两个数和为14的一共有1种取法； 两个数和为15的一共有1种取法； 一共有3+2+2+1+1=9种取法．

【例 3】 （难度等级 ※※）甲、乙、丙三个工厂共订300份报纸，每个工厂至少订了99份，至多101份，

问：一共有多少种不同的订法？

【解析】 甲厂可以订99、100、101份报纸三种方法．

如果甲厂订99份，乙厂有订100份和101份两种方法，丙厂随之而定．

如果甲厂订100份，乙厂有订99份、100份和101份三种方法，丙厂随之而定． 如果甲厂订101份，乙厂有订99份和100份两种方法，丙厂随之而定． 根据加法原理，一共有2?3?2?7种订报方法．

【巩固】 （难度等级 ※※）大林和小林共有小人书不超过9本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的

情况？

【解析】 大林和小林共有9本的话，有10种可能；共有8本的话，有9种可能，……，共有0本的话，有1

种可能，所以根据加法原理，一共有10+9+……+3+2+1=55种可能．

【例 4】 （难度等级 ※※）四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自

己做的一张．问：一共有多少种不同的方法？

【解析】 设四个学生分别是A，B，C，D，他们做的贺年片分别是a，b，c，d．

先考虑A拿B做的贺年片b的情况（如下表），一共有3种方法．

同样，A拿C或D做的贺年片也有3种方法． 一共有3＋3＋3=9（种）不同的方法．

【例 5】 (第六届走美试题)一次，齐王与大将田忌赛马．每人有四匹马，分为四等．田忌知道齐王这次比

赛马的出场顺序依次为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等．田忌有________种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛．

【解析】 第一场不管怎么样田忌都必输，田忌只可能在接下来的三场里赢得比赛，

若三场全胜，则只有一种出场方法； 若胜两场，则又分为三种情况：

二，三两场胜，此时只能是田忌的一等马赢得齐王的二等马，田忌的二等马赢齐王的三等马，只有

7-1.加法原理.题库 教师版 page 3 of 19 这一种情况；

二，四两场胜，此时有三种情况； 三，四两场胜，此时有七种情况； 所以一共有1?1?3?7?12种方法．

【例 6】 （难度等级 ※※）把一元钱换成角币，有多少种换法？人民币角币的面值有五角、二角、一角三

种．

【解析】 把一元钱换成角币，有三类分法：①第一类：有五角币2张，只有1种换法：

②第二类：有五角币1张，则此时二角币可以有0，1，2张，相应的，一角币有5，3，1张，有3种换法；

③第三类：有五角币0张，则此时二角币可以有0，1，2，3，4，5张，相应的，一角币有10，8，6，4，2，0张，有6种换法．

所以，根据加法原理，总共的换法有1?3?6?10种．

【巩固】 （难度等级 ※※）一把硬币全是2分和5分的，这把硬币一共有1元，问这里可能有多少种不同

的情况？

【解析】 按5分硬币的个数对硬币情况进行分类：

如果5分硬币有奇数个，那么无论2分硬币有多少个都不能凑成100分．如表当5分硬币的个数为0～20的偶数时，都有对应个数的2分硬币．所以一共有11种不同的情况．

类别 1 5分 0 2 2 3 4 4 6 5 6 7 8 9 10 11 0 8 10 12 14 16 18 20 2分 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5

【例 7】 （难度等级 ※※※）用100元钱购买2元、4元或8元饭票若干张，没有剩钱，共有多少不同的

买法?

【解析】 如果买0张8元饭票，还剩100元，可以购买4元饭票的张数为0～25张，其余的钱全部购买2元

饭票，共有26种买法；

如果买l张8元饭票，还剩92元，可购4元饭票0～23张，其余的钱全部购买2元饭票，共有24种不同方法；

如果买2张8元饭票，还剩84元，可购4元饭票0～21张，其余的钱全部购买2元饭票，共有22种不同方法； ……

如果买12张8元饭票，还剩4元饭票，可购4元饭票0～1张，其余的钱全部购买2元饭票，共有2种方法．

总结规律，发现各类情况的方法数组成了一个公差为2，项数是13的等差数列．利用分类计数原理及等差数列求和公式求出所有方法：

26+24+22+…+2=(26+2)×13÷2=182(种)． 共有182种不同的买法．

【巩固】 （难度等级 ※※）一个文具店橡皮每块5角、圆珠笔每支1元、钢笔每支2元5角．小明要在该

店花5元5角购买两种文具，他有多少种不同的选择．

【解析】 一共三种文具，要买两种文具．那么就可以分三类了．

第一类：橡皮和圆珠笔 5元5角=55角=11块橡皮（要买两种，所以这个不考虑）

7-1.加法原理.题库 教师版 page 4 of 19 =9块橡皮+1只圆珠笔

=7块橡皮+2只圆珠笔 =5块橡皮+3只圆珠笔 =3块橡皮+4只圆珠笔

=1块橡皮+5只圆珠笔 第一类共5种 第二类：橡皮和钢笔 55角=11块橡皮（不做考虑）

=6块橡皮+1只钢笔

=1块橡皮+2只钢笔 第二类共2种 第三类：圆珠笔和钢笔 55角=11块橡皮（不做考虑）

=1只钢笔+3只圆珠笔 第三类共1种

【例 8】 （难度等级 ※※※）袋中有3个红球，4个黄球和5个白球，小明从中任意拿出6个球，他拿出

球的情况共有________种可能．（2008年北京“数学解题能力展示”读者评选活动）

【解析】 按最少的红球来分类：3红时，黄?白?3，黄可取0，1，2，3共4种．

2红时，黄?白?4，黄可取0，1，2，3，4共5种． 1红时， 黄?白?5，黄可取0，1，2，3，4共5种． 0红时， 黄?白?6，黄可取0，1，2，3共4种． 共有：4+5+5+4=18（种）．

【例 9】 （难度等级 ※※）1、2、3、4四个数字，从小到大排成一行，在这四个数中间，任意插入乘号(最少插一个乘号)，可以得到多少个不同的乘积?

【解析】 按插入乘号的个数进行分类：

⑴若插入一个乘号，4个数字之间有3个空当，选3个空当中的任一空当放乘号，所以有3种不同的插法，可以得到3个不同的乘积，枚举如下：

1?2 3 4，1 2?3 4，1 2 3?4．

⑵若插入两个乘号，由于必有一个空当不放乘号，所以从3个空档中选2个空当插入乘号有3种不

同的插法，可以得到3个不同的乘积，枚举如下：

1?2?3 4，1?2 3?4，1 2?3?4．

⑶若插入三个乘号，则只有1个插法，可以得到l个不同的乘积，枚举如下：

1?2?3?4．

所以，根据加法原理共有3?3?1?7种不同的乘积．

【例 10】 （难度等级 ※※※）1995的数字和是1＋9＋9＋5=24，问：小于2000的四位数中数字和等于26

的数共有多少个?

【解析】 小于2000的四位数千位数字是1，要它数字和为26，只需其余三位数字和是25．因为十位、个位

数字和最多为9＋9=18，因此，百位数字至少是7．于是 百位为7时，只有1799，一个；

百位为8时，只有1889，1898，二个；

百位为9时，只有1979，1997，1988，三个； 总计共1＋2＋3=6个．

【巩固】 （难度等级 ※※※）1995的数字和是1＋9＋9＋5=24，问：小于2000的四位数中数字和等于24

的数共有多少个? 7-1.加法原理.题库 教师版 page 5 of 19

同样C---B点用标数法标注，然后相乘

A---D---B，同样道理．最后结果是735+420=1155条．

【例 19】 如图1为一幅街道图，从A出发经过十字路口B，但不经过C走到D的不同的最短路线有 条. 【解析】 到各点的走法数如图2所示.

D61218D66C611A3216B31BAC

图1 所以最短路径有18条.

图2

【例 20】 小王在一年中去少年宫学习56次，如图所示，小王家在P点，他去少年宫都是走最近的路，且每

次去时所走的路线正好互不相同，那么少年宫在________点处．

P人工湖B超市ADEC

【解析】 本题属最短路线问题．运用标数法分别计算出从小王家P点到A、B、C、D、E点的不同路线有

多少条，其中，路线条数与小王学习次数56相等的点即为少年宫．

因为，从小王家P点到A点共有不同线路84条；到B点共有不同线路56条；到C点共有不同线路71条；到D点共有不同线路15条；到E点共有不同线路36条．所以，少年宫在B点处．

【例 21】 （难度等级 ※※※）在下图的街道示意图中，有几处街区有积水不能通行，那么从A到B的最短

路线有多少种？

AA11111123456131415516111151111111122B

1B

【解析】 因为B在A的右下方，由标号法可知，从A到B的最短路径上，到达任何一点的走法数都等于到它

左侧点的走法数与到它上侧点的走法数之和．有积水的街道不可能有路线经过，可以认为积水点的走法数是0．接下来，可以从左上角开始，按照加法原理，依次向下向右填上到各点的走法数．如右上图，从A到B的最短路线有22条．

【例 22】 （难度等级 ※※※）在下图的街道示意图中，C处因施工不能通行，从A到B的最短路线有多少7-1.加法原理.题库 教师版 page 11 of 19 条？

BC11121A213202B6331C

【解析】 因为B在A的右上方，由标号法可知，从A到B的最短路径上，到达任何一点的走法数都等于到它

左侧点的走法数与到它下侧点的走法数之和．而C是一个特殊的点，因为不能通行，所以不可能有路线经过C，可以认为到达C点的走法数是0．接下来，可以从左下角开始，按照加法原理，依次向上向右填上到各点的走法数．如图，从A到B的最短路线有6条．

【巩固】 （难度等级 ※※※）在下图的街道示意图中，C处因施工不能通行，从A到B的最短路线有多少种？

AA1CB

【解析】 因为B在A在右下方，由标号法可知，从A到B的最短路径上，到达任何一点的走法数都等于到它

左侧点的走法数与到它上侧点的走法数之和.而C是一个特殊的点，因为不能通行，所以不可能有路线经过C，可以认为到达C点的走法数是0.接下来，可以从左上角开始，按照加法原理，依次向下向右填上到各点的走法数.如图，从A到B的最短路线有6条．

【例 23】 （难度等级 ※※※）如下表，请读出“我们学习好玩的数学”这9个字，要求你选择的9个字里

能连续(即相邻的字在表中也是左右相邻或上下相邻)，这里共有多少种完整的“我们学习好玩的数学”的读法． 我 们 学 习 好 们 学 习 好 玩 学 习 好 玩 的 习 好 玩 的 数 好 玩 的 数 学 11111

12345

1361015

14102035

15153570

【解析】 方法一：标数法．第一个字只能选位于左上角的“我”，以后每一个字都只能选择前面那个字的下方

或右方的字，所以本题也可以使用标号法来解：(如右上图，在格子里标数)共70种不同的读法． 方法二：组合法．仔细观察我们可以发现，按“我们学习好玩的数学”走的路线就是向右走四步，向

下走四步的路线，而向下和向右一个排列顺序则代表了一种路线．所以总共有C84?70种不同的读法．

【例 24】 （难度等级 ※※※）如图，沿着“北京欢迎你”的顺序走（要求只能沿着水平或竖直方向走），

7-1.加法原理.题库 教师版 page 12 of 19 一共有多少种不同的走法？

1北131北京北北京欢京北 1272 12112欢迎欢11你【解析】 沿着“北京欢迎你”的顺序沿水平或竖直方向走，北以后的每一个字都只能选择上面的或左右两边

的字，按加法原理，用标号法可得右上图．所以一共有11种走法．

【巩固】 （难度等级 ※※※）如下表，请读出“我们学习好玩的数学”这9个字，要求你选择的9个字里

能连续(即相邻的字在表中也是左右相邻或上下相邻)，这里共有多少种完整的“我们学习好玩的数学”的读法． 我 们 学 习 好 们 学 习 好 玩 学 习 好 玩 的 习 好 玩 的 数 好 玩 的 数 学 11111

12345

1361015

14102035

15153570

【解析】 第一个字只能选位于左上角的“我”，以后每一个字都只能选择前面那个字的下方或右方的字，所以

本题也可以使用标号法来解：(在格子里标数)共70种不同的读法．

【例 25】 （难度等级 ※※※）在下图中，用水平或者垂直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走是，

正好拼出“APPLE”的路线共有多少条？

A | 1 | A—P—A | | | 1—3 —1 | | | A—P—P—P—A | | | | | 1—2—7 —2—1 | | | | | A—P—P—L—P—P—A | | | | | | | 1—2—4—15—4—2—1 | | | | | | | A—P—P—L—E—L—P—P—A 1—2—4—8—31—8—4—2—1 【解析】 要想拼出英语“APPLE”的单词，必须按照“A→P→P→L→E”的次序拼写．在图中的每一种拼写方

式都对应着一条最短路径．如下图所示，运用标号法原理标号得出共有31种不同的路径．

【巩固】如图1，用水平线或竖直线连结相邻汉字，沿着这些线读下去，正好可以读成“祖国明天更美好”，

那么可读成“祖国明天更美好”的路线有 条.

【解析】 如图2所示，利用加法原理，将读到各个字的路线数写在每个字下方，共有不同的路线

27?1?127(条).

祖 祖 国 祖 祖 国 明 国 祖

7-1.加法原理.题库 教师版 page 13 of 19 祖 祖 国 祖 国 明 祖 国 明 天

祖 1 国 2 明 4

祖 1 国 2 明 4 天 8

国 明 天 更 祖 1 国 2 明 4 天 8 更 16

明 天 更 美 祖 1 国 2 明 4 天 8 更 16 美 32

祖 1 祖 国 1 2

天 明 更 天 美 更 好 美 图1 祖

1

国 祖 3 1 明 国 7 2 天 明 15 4 更 天 31 8 美 更 63 16 好 美 127 32 图2

国 明 天 更 祖 1 国 2 明 4 天 8 更 16

祖 国 祖 明 国 祖 天 明 国 祖 祖 1 国 2 明 4 天 8

祖 1 国 2 明 4

祖

1

国 祖 2 1

【巩固】(第三届“希望杯”2试试题)右图中的“我爱希望杯”有______种不同的读法.

爱爱希望杯希希望望杯杯望杯杯我1我1爱1爱2希1希3望3望1望1杯杯51希1望杯11杯15

【解析】 “我爱希望杯”的读法也就是从“我”走到“杯”的方法.如上右图所示，共16种方法.

【例 26】 如图1所示，科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein”，按图中箭头所示方向有 种不同的方法拼出英文单词“Einstein”.

Einsteininsteinstins11sn4t10i1Ei3s10e30n2n6t20ii11n4t10is1杯163s10e30n

图1 图2

【解析】 由E→i→n→s→t→e→i→n的拼法如图2所示.

根据加法原理可得

共有30?30?60(种)不同拼法.

7-1.加法原理.题库 教师版 page 14 of 19

【例 27】 （难度等级 ※※※）图中有10个编好号码的房间，你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，

但不能从大号码走到小号码，从1号房间走到10号房间共有多少种不同的走法？

【解析】 我们可以把这个图展开，用箭头标出来就更直观了，然后采用我们学的标数法．

【例 28】 （难度等级 ※※※）国际象棋中“马”的走法如图1所示，位于○位置的“马”只能走到标有×

的方格中， 类似于中国象棋中的“马走日”．如果“马”在8?8的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图2中标有△的位置），要走到第八行第五列（图2中标有＠的位置），最短路线有________条．【2008年北京“数学解题能力展示”读者评选活动】

图1 第题@@图图2

【解析】 最后一步的可能如图1，倒数第二步的可能如图2，倒数第三步的可能如图3． 最后3?6?3?12（种）．

31126113212111112111212@图1@图2@图3

【例 29】 （难度等级 ※※※）从北京出发有到达东京、莫斯科、巴黎和悉尼的航线，其他城市间的航线如

图所示(虚线表示在地球背面的航线)，则从北京出发沿航线到达其他所有城市各一次的所有不同路线有多少？

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