湖南省常德市2021届新高考第一次适应性考试数学试题含解析

湖南省常德市2021届新高考第一次适应性考试数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．等差数列{}n a 中，15

10a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（） A ．18

B ．24

C ．36

D ．72 【答案】C

【解析】

【分析】

由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622a a a a S ++=

?=?可得结果. 【详解】

∵等差数列{}n a 中，15

10a a +=，∴3210a =，即35a =， ∴163465766636222

a a a a S +++=?=?=?=， 故选C.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题.

2．51(1)x x -

+展开项中的常数项为 A ．1

B ．11

C ．-19

D ．51

【答案】B

【解析】

【分析】

展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况.

【详解】

展开式中的项为常数项，有3种情况：

（1）5个括号都出1，即1T =； （2）两个括号出x ，两个括号出1()x

-，一个括号出1，即222

2531()130T C x C x =???-?=；

（3）一个括号出x ，一个括号出1()x

-，三个括号出1，即11541()120T C x C x =???-?=-； 所以展开项中的常数项为1302011T =+-=，故选B.

【点睛】 本题考查二项式定理知识的生成过程，考查定理的本质，即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.

3．正四棱锥P ABCD -，侧棱长为

球的表面积为（ ）

A ．4π

B ．8π

C ．16π

D ．20π 【答案】C

【解析】

【分析】

如图所示，在平面ABCD 的投影为正方形的中心E ，故球心O 在PE 上，计算长度，设球半径为R ，则()

222PE R BE R -+=，解得2R =，得到答案.

【详解】 如图所示：P 在平面ABCD 的投影为正方形的中心E ，故球心O 在PE 上， 223BD AB ==，故132BE BD =

=，223PE PB BE =-=， 设球半径为R ，则()222PE R BE R -+=，解得2R =，故2416S R ππ==.

故选：C .

【点睛】

本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

4．中，如果

，则的形状是（ ） A ．等边三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．等腰直角三角形 【答案】B

【解析】

【分析】

化简得lgcosA ＝lg ＝﹣lg2，即，结合， 可求，得代入sinC

＝sinB ，从而可求C ，B ，进而可判断.

【详解】 由，可得lgcosA ＝＝﹣lg2，∴， ∵，∴，，∴sinC ＝sinB ＝＝，∴tanC ＝，C ＝，B ＝.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了对数的运算性质的应用，两角差的正弦公式的应用，解题的关键是灵活利用基本公式，属于基础题．

5．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部

（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ?=，则()2AE AC +的最小值为（ ）

A ．232

B ．12

C ．252

D ．13

【答案】C

【解析】

【分析】

分别以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)E x y ，根据2AE AC ?=，可求1x y +=，而222()(2)(2)AE

AC x y ，化简求解.

【详解】 解：建立以A 为原点，以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴的平面直角坐标系.设(,)E x y ，(0,2)x ∈，(0,2)y ∈，则(,)AE x y =，(2,2)AC =，由2AE AC ?=，即222x y +=，得1x y +=.所以2

22()(2)(2)AE AC x y 224()8x y x y 22213x x =21252()22x ，所以当12x =时，2()AE AC 的最小值为252

. 故选：C.

【点睛】

本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题.

6．使得()3n x n N x x +?∈ ?的展开式中含有常数项的最小的n 为( )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

【答案】B

【解析】

二项式展开式的通项公式为r -n 3x n r r C （），若展开式中有常数项，则3--=02n r r ，解得5=2n r ，当r 取2时，n 的最小值为5，故选B

【考点定位】本题考查二项式定理的应用．

7．已知函数32,1()ln ,1(1)x x x f x a x x x x ?-+

，若曲线()y f x =上始终存在两点A ，B ，使得OA OB ⊥，且AB 的中点在y 轴上，则正实数a 的取值范围为（ ）

A ．(0,)+∞

B ．10,e ?? ???

C ．1,e ∞??+????

D ．[e,)+∞ 【答案】D

【解析】

【分析】

根据AB 中点在y 轴上，设出,A B 两点的坐标()32,A t t t -+，(,())B t f t ，

（0t >）.对t 分成1,1,1t t t =三类，利用OA OB ⊥则0OA OB ?=，列方程，化简后求得ln t a t =，利用导数求得ln t t

的值域，由此求得a 的取值范围.

【详解】 根据条件可知A ，B 两点的横坐标互为相反数，不妨设()32,A t t t

-+，(,())B t f t ，（0t >），若1t <，则32()f t t t =-+，由OA OB ⊥，所以0OA OB ?=，即()()

232320t t t t t -++-+=，方程无解；若1t =，显然不满足OA OB ⊥；若1t >，则ln ()(1)a t f t t t =

+，由0OA OB ?=，即()232ln 0(1)a t t t t t t -++=+，即ln t a t =，因为()

'2ln 1ln ln t t t t -??= ???，所以函数ln t t 在()0,e 上递减，在()e,+∞上递增，故在e t =处取得极小值也即是最小值

e ln e e =，所以函数ln t y t =在(1)+∞上的值域为[),e +∞，故[e,)a ∈+∞.故选D. 【点睛】

本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示，考查化归与转化的数学思想方法，考查利用导数研究函数的最小值，考查分析与运算能力，属于较难的题目.

8．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，

2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）

A ．0,2? ??

B ．0,3? ??

C ．0,5? ??

D ．0,6? ??

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，令()log (1)a g x x =+，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围.

【详解】

()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，

(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，

又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，

()f x ∴为周期为2的偶函数，

当[2,3]x ∈时，22()212182(3)f x x x x =-+-=--，

当2

[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--，

当2[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+，

作出(),()f x g x 图像，如下图所示：

函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，

则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点， ()0f x ≤，若1a >，

()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，

所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，

则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，

22113,,01,03a a a a ∴><<<∴<<故选:B.

【点睛】

本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.

9．若集合{}A=|2x x x R ≤∈，，{}

2B=|y y x x R =-∈，，则A B ?=（ ）

A ．{}|02x x ≤≤

B ．{}2|x x ≤

C ．{}2|0x x -≤≤

D ．? 【答案】C

【解析】 试题分析：化简集合

故选C ．

考点：集合的运算． 10．若()*3n x n N x x ?∈ ?的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a ，则22a a

a x dx --=（ ） A ．36π

B ．812π

C ．252π

D ．25π 【答案】C

【解析】 ()*

3x n n N x x ∈展开式的通项为 ()52133,0,1,,r n r n r r n r r r n n T C x C x r n x x ---+===，因为展开式中含有常数项，所以502

n r -=，即25

r n =为整数，故n 的最小值为1． 所以222252552

a a x dx x dx π--?-=?-=.故选C 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.

11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线()220y px p =>与双曲线C 有相同的焦点.设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且125cos 7PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）

A ．2或3

B ．2或3

C ．2或3

D ．2或3 【答案】D

【解析】

【分析】

设1PF m =，2PF n =，根据125cos 7PF F ∠=和抛物线性质得出257PF m =，再根据双曲线性质得出7m a =，5n a =，最后根据余弦定理列方程得出a 、c 间的关系，从而可得出离心率．

【详解】

过P 分别向x 轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为M 、N ，不妨设1PF m =，2PF n =，

则121125cos 7

m MF PN PF PF PF F ===∠=， P 为双曲线上的点，则122PF PF a -=，即527m m a -

=，得7m a =，5n a ∴=， 又122F F c =，在12PF F ?中，由余弦定理可得222

5494257272a c a a c

+-=??， 整理得22560c ac a -+=，即2560e e -+=，

1e >，解得2e =或3e =. 故选：D.

【点睛】

本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题．

12．函数()y f x =在区间,22ππ??- ???

上的大致图象如图所示，则()f x 可能是（ ）

A ．()ln sin f x x =

B ．()()ln cos f x x =

C ．()sin tan f x x =-

D ．()tan cos f x x =-

【答案】B

【解析】

【分析】

根据特殊值及函数的单调性判断即可； 【详解】

解：当0x =时，sin00=，ln sin0无意义，故排除A ； 又cos01=，则(0)tan cos0tan10f =-=-≠，故排除D ；

对于C ，当0,

2x π??∈ ???

时，tan 0x >，所以()sin tan f x x =-不单调，故排除C ； 故选：B

【点睛】

本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的左顶点为A ，右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q.若APQ ?为直角三角形，则该双曲线的离心率是______.

【答案】2

【解析】

【分析】

根据APQ ?是等腰直角三角形，且F 为PQ 中点可得AF PF =，再由双曲线的性质可得2

b a

c a +=，解

出e 即得.

【详解】

由题，设点0(),P c y ，由22

221(0,0)x c x y a b a

b =???-=>>??，解得20b y a =±，即线段2b PF a =，APQ ?为直角三角形，2PAQ π

∴∠=，且AP AQ =，又F 为双曲线右焦点，PQ 过点F ，且PQ x ⊥轴，AF PF ∴=，可得2b a c a +=，22

c a a c a

-∴+=，整理得：2220a ac c +-=，即220e e --=，又1e >，2e ∴=. 故答案为：2

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质，是常考题型.

14．设,x y 为正实数，若2241x y xy ++=则22

4220115x y x xy y +++的取值范围是__________．

【答案】 【解析】

【分析】 根据2241x y xy ++=，可得2241x y xy =-+，进而()2

2332231212212x y x y xy xy +??++=+≤+ ???=，有()2285

x y +≤，而()()()()2222222222242201155(41)156223x y x y x y x y x xy y x y xy xy x y ++++===+++++++

，令2x y t +=∈，得到()2223t f t t =+，再用导数法求解， 【详解】

因为2241x y xy ++=，

所以2241x y xy =-+，

所以()22332231212212x y x y xy xy +??++=+≤+ ???

=， 所以()2

285x y +≤， 所以()()()()2222222222242201155(41)156223x y x y x y x y x xy y x y xy xy x y ++++===+++++++，

令2x y t +=∈，()2223t f t t =+， 所以()()22246

23t f t t -+'=+，

当0t <<()0f t '>t <<()0f t '<

所以当t =

()f t

又()00,31f f ==，

所以()f t 取值范围是(0,]6

，

故答案为： 【点睛】 本题主要考查基本不等式的应用和导数法求最值，还考查了运算求解的能力，属于难题，

15．已知函数2(0)()123(0)

x x f x x x ?≤=?->?，则(2)f -=________；满足()0f x >的x 的取值范围为________. 【答案】

14

(,4)-∞ 【解析】

【分析】

首先由分段函数的解析式代入求值即可得到(2)f -，分0x >和0x ≤两种情况讨论可得；

【详解】 解：因为2(0)()123(0)x x f x x x ?≤=?->?

， 所以21(2)2

4f --==， ∵()0f x >，

∴当0x ≤时，0()21x f x <=≤满足题意，∴0x ≤；

当0x >时，由()1230f x x =->，

解得4x <.综合可知：满足()0f x >的x 的取值范围为(,4)-∞.

故答案为：

14

；(,4)-∞. 【点睛】 本题考查分段函数的性质的应用，分类讨论思想，属于基础题.

16．函数()(1)3x f x a =--(1,2)a a >≠过定点________.

【答案】(0,2)-

【解析】

【分析】

令0x =，(0)132f =-=-，与参数无关，即可得到定点.

【详解】

由指数函数的性质，可得0x =，函数值与参数无关，

所有()(1)3x

f x a =--过定点(0,2)-.

故答案为：(0,2)-

【点睛】

此题考查函数的定点问题，关键在于找出自变量的取值使函数值与参数无关，熟记常见函数的定点可以节省解题时间.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某商场以分期付款方式销售某种商品，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数X 的分布列为：

其中01a <<，01b <<

（Ⅰ）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；

（Ⅱ）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得利润l00元，若顾客选择分3期付款，则商场获得利润150元，若顾客选择分4期付款，则商场获得利润200元.商场销售两件该商品所获的利润记为Y （单位：元）

（ⅰ）求Y 的分布列；

（ⅱ）若()3000.8P Y ≤≥，求Y 的数学期望()E Y 的最大值.

【答案】（Ⅰ）0.288（Ⅱ）（ⅰ）见解析（ⅱ）数学期望()E Y 的最大值为280

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据题意，设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，由独立重复事件的特点得出()3,0.4B η，利用二项分布的概率公式，即可求出结果；

（Ⅱ）（ⅰ）依题意，Y 的取值为200，250，300，350，400，根据离散型分布求出概率和Y 的分布列；（ⅱ）由题意知0.41a b ++=，()2

3000.160.480.8P Y a ≤=++≥，解得0.6a <，根据Y 的分布列，得出Y 的数学期望()E Y ，结合[)0.4,0.6a ∈，即可算出()E Y 的最大值.

【详解】

解：（Ⅰ）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，则()3,0.4B η

，

则()()223210.40.40.288P C η==?-?=， 故购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288.

（Ⅱ）（ⅰ）依题意，Y 的取值为200，250，300，350，400，

()2000.40.40.16P Y ==?=，()25020.40.8P Y a a ==?=，

()2230020.40.8P Y b a b a ==?+=+，()3502P Y ab ==，()2400P Y b ==

Y ∴的分布列为：

（ⅱ）()()()()()23002002503000.160.8P Y P Y P Y P Y a b a ≤==+=+==+++，

由题意知0.41a b ++=，0.6a b ∴+=，0.6b a ∴=-，

()23000.160.480.8P Y a ≤=++≥，

0.4a ∴≥，又0b >，即0.60a ->，解得0.6a <，

[)0.4,0.6a ∴∈，

()()222000.162500.83000.83502400E Y a b a ab b =?+?+?++?+

320100a =-，

当0.4a =时，()E Y 的最大值为280，

所以Y 的数学期望()E Y 的最大值为280.

【点睛】

本题考查独立重复事件和二项分布的应用，以及离散型分布列和数学期望，考查计算能力.

18．已知函数()21ln 2,R 2?

?=+--∈ ???x a x ax a f x .

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数12,x x ，使得()()123+=-f x f x ，证明：122x x +>.

【答案】（1）当12

a ≤时，()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减； 当112a <<时，()f x 在()0,1上递增，在11,21?? ?-??

a 上递减，在1,21a ??+∞ ?-??上递增； 当1a =时，()f x 在()0,∞+上递增；

当1a >时，()f x 在10,

21?? ?-??a 上递增，在1,121?? ?-??

a 上递减，在()1,+∞上递增； （2）证明见解析

【解析】

【分析】 （1）对()f x 求导，分12a ≤，112

a <<，1a =进行讨论，可得()f x 的单调性； （2）()f x 在定义域内是是增函数，由（1）可知1a =，()21ln 22=+-f x x x x ，设12x x <，可得()()()12321+=-=f x f x f ，则1201x x <<<，设()()()()23,0,1=-++∈g x f x f x x ，对()g x 求导，利用其单调性可证明122x x +>.

【详解】

解：()f x 的定义域为()0,∞+，

因为()21ln 22??=+-- ??

?a x f x x ax ， 所以()()()()()2

121121211212---??--+??=+--=='x a x a x ax a x x x x f a x ， 当12a ≤时，令()00f x x '?>?>?，得01x <<，令()00f x x '??

，得1x >； 当112a <<时，则1121a >-，令()00

f x x '?>?>?，得01x <<，或121>-x a ， 令()00f x x '??，得1121<<-x a ； 当1a =时，()0f x '≥，

当1a >时，则10121<

<-a ，令()00f x x '??，得1121<<-x a ； 综上所述，当12

a ≤时，()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减； 当112a <<时，()f x 在()0,1上递增，在11,21?? ?-??

a 上递减，在1,21a ??+∞ ?-??上递增； 当1a =时，()f x 在()0,∞+上递增；

当1a >时，()f x 在10,21?

? ?-??a 上递增，在1,121?? ?-??

a 上递减，在()1,+∞上递增； （2）()f x 在定义域内是是增函数，由（1）可知1a =，

此时()21ln 22

=+-f x x x x ，设12x x <， 又因为()()()12321+=-=f x f x f ，则1201x x <<<，

设()()()()23,0,1=-++∈g x f x f x x ，则

()()()()()()()223

11212022---'''=--+=-+=>--x x x g x f x f x x x x x 对于任意()0,1x ∈成立， 所以()g x 在()0,1上是增函数，

所以对于()0,1x ?∈，有()()()12130<=+=g x g f ，

即()0,1x ?∈，有()()230-++

因为101x <<，所以()()11230-++

即()()212f x f x >-，又()f x 在()0,∞+递增，

所以212x x >-，即122x x +>.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究含参函数的单调性及导数在极值点偏移中的应用，考查学生分类讨论与转化的思想，综合性大，属于难题.

19．如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m 和20m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角∠CAD ＝60°．

（1）求BC 的长度；

（2）在线段BC 上取一点P （点P 与点B ，C 不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为∠APB ＝α，∠DPC ＝β，问点P 在何处时，α+β最小？

【答案】（1）3m ；（2）当BP 为202103t =时，α+β取得最小值．

【解析】

【分析】

（1）作AE ⊥CD ，垂足为E ，则CE ＝10，DE ＝10，设BC ＝x ，根据()2tan CAD tan CAE ∠=∠得到232010030x x --=，解得答案.

（2）设BP ＝t ，则(1030103CP t t =＜＜，故()210103103200

t

tan t t αβ+=-+-，设()2103103200

t f t t t +=-+-，求导得到函数单调性，得到最值. 【详解】

（1）作AE ⊥CD ，垂足为E ，则CE ＝10，DE ＝10，设BC ＝x ，

则()22

20

223100

11tan CAE x tan CAD tan CAE tan CAE x ∠∠=∠===-∠- 232010030x x --=，解之得，103x =3

x =（舍）， （2）设BP ＝t ，则(1030103CP t t =＜＜

， ()2210103100310310201032001032001103t t t tan t t t t t t αβ+-+===-+--+--- 设()2103103200t f t t t +=-+-，()22203500'103200t t f t t t +-=-+-

令f'（t ）＝0，因为0103t ＜＜202103t =

当()0202103t ∈-，时，f'（t ）＜0，f （t ）是减函数； 当()

202103103t ∈-，时，f'（t ）＞0，f （t ）是增函数， 所以，当202103t =-时，f （t ）取得最小值，即tan （α+β）取得最小值，

因为21032000t t -+-＜恒成立，所以f （t ）＜0，

所以tan （α+β）＜0，2παβπ??+∈ ???

，， 因为y ＝tanx 在2ππ?? ???

，上是增函数，所以当202103t =-时，α+β取得最小值．

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 20．市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2019年7月7日贷款到账，则2019年8月7日首次还款）.

已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004.

（1）若小张采取等额本金的还款方式，现已得知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算小张该笔贷款的总利息；

（2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半，已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）； （3）对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种还款方式.

参考数据：2401.004 2.61≈.

【答案】（1）289200元；（2）能够获批；（3）应选择等额本金还款方式

【解析】

【分析】

（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，即可由等差数列的前n 项和公式求得其还款总额，减去本金即为还款的利息；

（2）根据题意，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，设小张每月还款额为x 元，由等比数列求和公式及参考数据，即可求得其还款额，与收入的一半比较即可判断；

（3）计算出等额本息还款方式时所付出的总利息，两个利息比较即可判断.

【详解】

（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为{}n a ，

n S 表示数列{}n a 的前n 项和，则14900a =，2402510a =，

则()()1240240240120490025108892002

a a S +==?+=， 故小张该笔贷款的总利息为889200600000289200-=元.

（2）设小张每月还款额为x 元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，

则()()()()223924010.00410.00410.00460000010.004x x x x +++++++=?+， 所以2402401 1.004600000 1.0041 1.004x ??-=? ?-??

， 即240240600000 1.0040.004600000 2.610.00438911.0041 2.611

x ????=≈≈--， 因为138911000050002

（3）小张采取等额本息贷款方式的总利息为：

3891240600000933840600000333840?-=-=，

因为333840289200>，

所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金还款方式.

【点睛】

本题考查了等差数列与等比数列求和公式的综合应用，数列在实际问题中的应用，理解题意是解决问题的关键，属于中档题.

21．设椭圆2

2:12

x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)． （1）当直线l 的倾斜角为45?时，求线段AB 的中点的横坐标；

（2）设点A 关于x 轴的对称点为C ，求证：M ，B ，C 三点共线；

（3）设过点M 的直线交椭圆于,G H 两点，若椭圆上存在点P ，使得OG OH OP λ+=（其中O 为坐标原

点），求实数λ的取值范围． 【答案】 (1) AB 的中点的横坐标为2

3

；（2）证明见解析；（3）(2,2)- 【解析】 【分析】 【详解】

设1122(,),(,)A x y B x y .

（1）因为直线l 的倾斜角为45?，(1,0)F ，所以直线AB 的方程为1y x =-，联立方程组22

1

12

y x x y =-??

?+=??，消去y 并整理，得2340x x -=，则121242

,323

x x x x ++==，

故线段AB 的中点的横坐标为

2

3

． （2）根据题意得点11(,)C x y -，

若直线AB 的斜率为0，则直线AB 的方程为0y =，A 、C 两点重合，显然M ，B ，C 三点共线； 若直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为1x my =+，

联立方程组22

112

x my x y =+???+=??，消去x 并整理得22

(2)210m y my ++-=， 则121222

21

,22

m y y y y m m +=-=-++，设直线BM 、CM 的斜率分别为BM k 、CM k ， 则2121122112121222112121212

(2)(2)(1)(1)2()

22(2)(2)(1)(1)1()BM CM y y y x y x y my y my my y y y k k x x x x my my m y y m y y --+--+--+-=

-====-------++2

2

22

2222220

2122

m m m m m m m m -+++=+-

++，即BM k =CM k ，即M ，B ，C 三点共线．

（3）根据题意，得直线GH 的斜率存在，设该直线的方程为(2)y k x =-， 设003344(,),(,),(,)P x y G x y H x y ，

联立方程组22

12

(2)x y y k x =+=-?????，消去y 并整理，得2222

(12)8820k x k x k +-+-=， 由4

2

2

644(12)(82)0k k k ?=-+->，整理得2

1<2k ，又22343422

882

,1212k k x x x x k k -+==++，

所以34342

4(4)12k

y y k x x k +=+-=-+，

结合OG OH OP λ+=，得034034,x x x y y y λλ=+=+，

当0λ=时，该直线为x 轴，即0y =，

此时椭圆上任意一点P 都满足OG OH OP λ+=，此时符合题意；

当0λ≠时，由OG OH OP λ+=，得2

020*********k x k k y k λλ?=???+?-?=??+?

，代入椭圆C 的方程，得4222222232161(12)(12)k k k k λλ+=++，整理，得2222

16161122k k k λ==++， 再结合21<2

k ，得到20<<4λ，即(2,0)(0,2)λ∈-， 综上，得到实数λ的取值范围是(2,2)-．

22．已知函数()cos x f x x

=，()sin cos g x x x x =+. （1）判断函数()g x 在区间()0,2π上的零点的个数；

（2）记函数()f x 在区间()0,2π上的两个极值点分别为1x 、2x ，求证：()()12

0f x f x +<. 【答案】（1）2；（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用导数分析函数()y f x =在区间()0,2π上的单调性与极值，结合零点存在定理可得出结论； （2）设函数()y f x =的极大值点和极小值点分别为1x 、2x ，由（1）知1,2x ππ??∈ ???，23,22x ππ??∈ ???，且满足()sin cos 01,2i i i x x x i +==，1tan i i

x x =-，于是得出()()1212sin sin f x f x x x +=--，由1211x x >得12tan tan x x ->-，利用正切函数的单调性推导出122

x x πππ<<-<，再利用正弦函数的单调性可得出结论.

【详解】

（1）()sin cos g x x x x =+，()cos g x x x '∴=，

02x π<<，当0,2x π??∈ ???时，cos 0x >，cos 0x x >，()0g x '>，则函数()y g x =在0,2π?? ???

上单调递增； 当3,22x ππ??∈ ???时，cos 0x <，cos 0x x <，()0g x '<，则函数()y g x =在3,22ππ?? ???上单调递减；

当3,22x ππ??∈ ???

时，cos 0x >，cos 0x x >，()0g x '>，则函数()y g x =在3,22ππ?? ???上单调递增. ()010g =>，022g ππ??=> ???，()10g π=-<，33022g ππ??=-< ???

，()210g π=>. 所以，函数()y g x =在0,2π?

? ???与3,2ππ?

? ???不存在零点，在区间,2ππ?? ???和3,22ππ?? ???上各存在一个零点. 综上所述，函数()y g x =在区间()0,2π上的零点的个数为2；

（2）()cos x f x x =，()()22

sin cos g x x x x f x x x +∴=--'=. 由（1）得，()sin cos g x x x x =+在区间,2ππ??

???与3,22ππ?? ???上存在零点， 所以，函数()y f x =在区间,2ππ?? ???与3,22ππ?? ???上各存在一个极值点1x 、2x ，且1,2x ππ??∈ ???，23,22x ππ??∈ ???

， 且满足()0i g x =即()sin cos 01,2i i i x x x i +==，1tan i i

x x =-， ()()12121212

cos cos sin sin x x f x f x x x x x ∴+=+=--， 又123222

x x ππππ<<<<<，1211x x ∴>即12tan tan x x ->-，()122tan tan tan x x x π<=-， 1,2x ππ??∈ ???，23,22x ππ??∈ ???，2,2x πππ??∴-∈ ???

， 由tan y x =在,2x ππ??∈ ???

上单调递增，得122x x πππ<<-<， 再由sin y x =在,2x ππ??∈

???上单调递减，得()122sin sin sin x x x π>-=- 12sin sin 0x x ∴+>，即()()120f x f x +<.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，同时也考查了利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.

23．已知椭圆22

22:1(0)x y

C a b a b +=>>的左焦点坐标为(，A ，B 分别是椭圆的左，右顶点，P 是

椭圆上异于A ，B 的一点，且PA ，PB 所在直线斜率之积为14

-

. （1）求椭圆C 的方程； （2）过点(0,1)Q 作两条直线，分别交椭圆C 于M ，N 两点（异于Q 点）.当直线QM ，QN 的斜率之和为定值(0)t t ≠时，直线MN 是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理.

【答案】（1）2

214

x y +=（2）直线MN 过定点2,1t ??-- ??? 【解析】

【分析】

（1）14PA PB k k ?=-?2214

b a -=-，再由223a b =+，解方程组即可； （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由QM QN k k t +=，得()1212122(1)kx x m x x tx x +-+=，由直线MN 的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，代入计算即可.

【详解】

（1

）由题意知：c =2214

PA PB b k k a ?=-=-，且222a b c =+ 解得2a =，1b =， ∴椭圆方程为2

214

x y +=， （2）当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，

由2244

y kx m x y =+??+=?，得()222148440k x kmx m +++-=. 则122814km x x k -+=+，21224414m x x k

-=+（*） 由QM QN k k t +=， 得1212

11kx m kx m t x x +-+-+=， 整理可得()1212122(1)kx x m x x tx x +-+=

（*）代入得22222

448442(1)141414m km m k m t k k k ----=+++， 整理可得(1)(2)0m k tm t --+=，

又1m ≠

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/g6aq.html