必修5不等式易错题及错解分析

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必修5不等式易错题及错解分析

一、选择题：

1．设f(x)?lgx,若0f(b)>f(c),则下列结论中正确的是

A (a-1)(c-1)>0 B ac>1 C ac=1 D ac>1

错解原因是没有数形结合意识,正解是作出函数f(x)?lgx的图象,由图可得出选D. 2．设x,y?R,则使x?y?1成立的充分不必要条件是

A x?y?1 B x?11或y? C x?1 D x<-1 22错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清，正确答案为D。 3．不等式(x?1)x?2?0的解集是

A {x|x?1} B {x|x?1} C {x|x??2且x?1} D {x|x??2或x?1} 错解：选B，不等式的等价转化出现错误，没考虑x=-2的情形。正确答案为D。

4．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x,则

A x?a?ba?ba?ba?b B x? C x? D x? 2222错解：对概念理解不清，不能灵活运用平均数的关系。正确答案为B。 5．已知?1?a?b?3且2?a?b?4，则2a+3b的取值范围是

1317711713913,) B (?,) C (?,) D (?,) 22222222错解：对条件“?1?a?b?3且2?a?b?4”不是等价转化，解出a,b的范围，再求2a+3b

51的范围，扩大了范围。正解：用待定系数法，解出2a+3b=(a+b)?(a-b),求出结果为D。

22A (?6．若不等式ax+x+a＜0的解集为 Φ，则实数a的取值范围（ ）

A a≤-2111111或a≥ B a＜ C -≤a≤ D a≥ 222222正确答案：D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能

掌握。

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7．已知函数y=㏒1(3x2?ax?5)在[-1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围（ ）

2A a≤-6 B -60＜a＜-6 C -8＜a≤-6 D

－8≤a≤-6

正确答案：C 错因：学生忘记考虑定义域真数大于0这一隐含条件。 8．已知实数x、y、z满足x+y+z=0,xyz＞0记T=

111＋＋,则（ ） xyz

A T＞0 B T=0 C T＜0 D 以上都非

正确答案： C 错因：学生对已知条件不能综合考虑，判断T的符号改为判定

xyz(

111＋＋)的符号。 xzy9．下列四组条件中，甲是乙的充分不必要条件的是（ ）

A． 甲 a＞b，乙

11 ＜ B 甲 ab＜0，乙 ∣a+b∣＜∣a－b∣ abC 甲 a=b ，乙 a＋b=2ab D 甲 ??0?a?1?0?a?b?2 ，乙 ?

?0?b?1??1?a?b?2正确答案： D 错因：学生对不等式基本性质成立的条件理解不深刻。 10． f(x)=︱2

x—1｜，当a＜b＜c时有f(a)＞f(c)＞f(b)则（ ）

?aA a＜0,b＜0,c＜0 B a＜0,b＞0,c＞0 C 2

＜2 D 2?2＜2

cac 正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法解题。

11． a,b∈R，且a>b，则下列不等式中恒成立的是（ ）

A.a2>b2

B.(

1 a1b

) <() 22C.lg(a－b)>0 D.

a>1 b正确答案：B。

错误原因：容易忽视不等式成立的条件。

12． x为实数，不等式|x－3|－|x－1|>m恒成立，则m的取值范围是（ ）

A.m>2

B.m<2

C.m>－2

D.m<－2

正确答案：D。

错误原因：容易忽视绝对值的几何意义，用常规解法又容易出错。 13．已知实数x、y满足x2+y2=1，则(1－xy)(1+xy)( )

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A.有最小值C.有最小值

1，也有最大值1 23，但无最大值 4

B.有最小值

3，也有最大值1 4 D.有最大值1，但无最小值

正确答案：B 。

错误原因：容易忽视x、y本身的范围。 14．若a>b>0，且

a?ma>，则m的取值范围是（ ） b?mbA. m?R B. m>0 C. m<0 D. –b

错误原因：错用分数的性质。

15．已知x?R,y?R，则x?1,y?1是x?y?x?y?2的（ ）条件 A、充分不必要 B、必要不充分 C、既不充分也不必要 D、充要 正确答案：D

错因：不严格证明随便判断。 16．如果log1x?2?3?log12?2那么sinx的取值范围是（ ）

A、???13??3??11??1??11??1????,1? ,? B、??,1? C、??,???,1? D、??,???22??2??22??2??22??2?正确答案：B

错因：利用真数大于零得x不等于60度，从而正弦值就不等于

3，于是就选了D.其实2x等于120度时可取得该值。故选B。 17．设a?0,b?0,则以下不等式中不恒成立的是 （ ） ．．．．

A．(a?b)( C．a211?)?4 B．a3?b3?2ab2 ab?b2?2?2a?2b D．|a?b|?a?b王新敞 正确答案：B

18．如果不等式x?a?x（a>0）的解集为{x|m≤x≤n}，且|m-n|=2a，则a的值等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 正确答案：B

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19．若实数m，n，x，y满足m2+n2=a，x2+y2=b（a≠b），则mx+ny的最大值为（ ）

a2?b2a?bab A、 B、ab C、 D、

22a?b 答案：B

点评：易误选A，忽略运用基本不等式“=”成立的条件。

n20．数列{an}的通项式an?2，则数列{an}中的最大项是（ ）

n?90 A、第9项 B、第8项和第9项

C、第10项 D、第9项和第10项 答案：D

点评：易误选A，运用基本不等式，求an?1，忽略定义域N*。 90n?n21．若不等式x?1?x?2＞a在x?R上有解,则a的取值范围是 （ ） A． ??3,3? B. ??3,3? C． ???,3? D．???,?3? 错解：D

错因：选D恒成立。 正解：C

22．已知x1,x2是方程x?(k?2)x?(k?3k?5)?0(k?R)的两个实根，则x1?x2的最大值为（ ）

A、18 B、19 C、5 答案：A 错选：B

错因：x1?x2化简后是关于k的二次函数，它的最值依赖于??0所得的k的范围。 23．实数m,n,x,y满足m2+n2=a , x2+y2=a , 则mx+ny的最大值是 。

2222225 D、不存在 9a?ba2?b2 A、 B、ab C、 D、a2?b2

22答案：B

错解：A

m2?x2n2?y2a?b??错因：忽视基本不等式使用的条件，而用mx?ny?得222出错解。

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24．如果方程（x-1）(x 2-2x＋m)=0的三个根可以作为一个三角形的三条边长，那么实数m的取值范围是 （ ） A、0≤m≤1 B、

333＜m≤1 C、≤m≤1 D、m≥ 444正确答案：（B）

错误原因：不能充分挖掘题中隐含条件。

二填空题：

b2?a2?1，则a1?b2的最大值为 1．设a?0,b?0,2b2?a2?1得：错解：有消元意识，但没注意到元的范围。正解：由a?0,b?0,2b2b214322a?1?，且0?b?1，原式=(1?)(1?b2)?b?b?1，求出最大值22222为1。 2．若x,y?R?,且x?y?ax?y恒成立，则a的最小值是 m2?n2m?nm?n 错解：不能灵活运用平均数的关系，正解：由?,得?2，2222m?n即x?yx?y?2，故a的最小值是2。

3．已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=(x?)(y?1x1)的最小值为 。 y错解一、因为对a>0,恒有a?111?2,从而z=(x?)(y?)?4,所以z的最小值是4。 axy2?x2y2?2xy22错解二、z??(?xy)?2?2xy?2?2(2?1)，所以z的最

xyxyxy小值是2(2?1)。

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??m?n?4 比较系数有?

??m?n?2??m?3????n?1 ?f(?2)?3f(?1)?f(1)

?1?f(?1)?2，2?f(1)?4?5?3f(?1)?f(1)?10 即5?f(?2)?10

说明：此题极易由已知二不等式求出a、b的范围，然后再求4a?2b即f(?2)的范围，这种解法错在已知二不等式中的等号成立的条件不一定相同，它们表示的区域也不一

定相同，用待定系数法则容易避免上述错误。

4． 若m?R，解关于x的不等式：(?m2?3m?3)x??m2?3m?3。 解：令u??m?3m?3 则ux?u ?u(x?1)?0

u(m)的判别式??9?4?(?1)?(?3)?0

?u?0恒成立 ?x?1?0

?原不等式的解为x?1

说明：此题容易由ux?u得出x?1的错误结论。解有关不等式的问题，一定要注意含参数的表达式的符号，否则易出错误。 5． 求函数y?1?2x? 解：当x?0时，

23的极大值或极小值。 x33?1?(2x?)?1?26 xx3 当且仅当2x?

x y?1?2x? 即x?3时，ymax?1?26 2状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。

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当x?0时，

3y?1?(?2x)?(?)x

3?1?2(?2x)?(?)?1?26x 当且仅当?2x??3 x 即x??3时，ymin?1?26 2 说明：此题容易漏掉对x?0的讨论。不等式a?b?2ab成立的前提是

a?0，b?0。

6．求函数y?sin2x?cosx的最大值。 解：y2?sin4x?cos2x

?sin2x?sin2x?2cos2x? ?12

123()2322?3322 当且仅当sinx?2cosx 即tgx??2时， ymax?23 92 说明：此题容易这样做：y?(1?cosx)cosx?(1?cosx)(1?cosx)cosx?1? 231()3?。但此时等号应满足条件1?cosx?1?cosx?cosx，这样的x是不存在的，32错误的原因是没有考虑到等号成立的条件。这一点在运用重要不等式时一定要引起我们高度的重视。

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7．解不等式：2?2?22。

x 解：当x?0时，原不等式为2?|x|x2

?x?1 2?x 当x?0时，原不等式为2

?2x?22

?(2x)2?22?2x?1?0?2?2?1或2?2?1xx 又x?0

?2x?1 ?2x?2?1

?x?log(2?1)2 ?原不等式的解为x?1或x?log2(2?1) 2x 说明：此题易在x?0时2?2?1处出错，忽略了x?0的前提。这提醒我们分段求解的结果要考虑分段的前提。 7．若a?0且a?1，解不等式：

?x?a?2

解：若a?1，两边取以a为底的对数

xlogax92

9logax?(?2)2?2log2ax?9logax?4?0logax?logax?1?logax?4或logax?2?x?a或x?a412

若0?a?1，同样有，

22logax?9logax?4?01 ??log ax?42?a4?x?a12状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。

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又x?0

?当a?1时不等式的解为x?a4或0?x?a 当0?a?1时不等式的解为a?x?a

说明：此题易在a?1时的解中出错，容易忽略x?0这个条件。解决对数问题要注意真数大于0的条件。

8．方程x2?(k?2)x?5?k?0的两根都大于2，求实数k的取值范围。 解：设方程的两根为x1，x2，则必有

41212???0??(x1?2)?(x2?2)?0?(x?2)(x?2)?02?1?(k?2)2?4(5?k)?0? ???(k?2)?4?0

?(5?k)?2(k?2)?4?0???5?k??4 说明：此题易犯这样的错误：

?x1?2，x2?2?x1?x2?4

且x1x2?4

和判别式??0联立即得k的范围

原因是x1?2和x2?2只是x1?x2?4的充分条件 即x1?x2?4不能保证x1?2和x2?2同时成立

x2?2x?29．设函数f(x)=logb(b>0且b≠1)，

1?2ax（1）求f(x)的定义域；

（2）当b>1时，求使f(x)>0的所有x的值。 解 （1）∵x2－2x+2恒正，

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∴f(x)的定义域是1+2ax>0，

即当a=0时，f(x)定义域是全体实数。 当a>0时，f(x)的定义域是（－

1，+∞） 2a1） 2a当a<0时，f(x)的定义域是（－∞，－

x2?2x?2（2）当b>1时，在f(x)的定义域内，f(x)>0?>1?x2－2x+2>1+2ax

1?2ax?x2－2(1+a)x+1>0

其判别式Δ=4(1+a)2－4=4a(a+2) (i)当Δ<0时，即－20 ∴f(x)>0?x<－

1 2a2

(ii)当Δ=0时，即a=－2或0时 若a=0,f(x)＞0?(x－1)>0 ?x∈R且x≠1

2

若a=－2,f(x)＞0?(x+1)＞0

?x＜且x≠－1

(iii)当△＞0时，即a＞0或a＜－2时

2

方程x－2(1+a)x+1=0的两根为 x1=1+a－a2?2a,x2=1+a+a2?2a 若a＞0，则x2＞x1＞0＞－

141 2a1?x?1?a?a2?2a 2a∴f(x)?0?x?1?a?a2?2a或?若a<－2，则x1?x2??1 2a1 2a∴f(x)＞0?x＜1+a－a2?2a或1+a+a2?2a＜x＜－

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综上所述：当－2＜a＜0时，x的取值集合为{x|x＜－

1} 2a1} 4当a=0时，x∈R且x≠1，x∈R，当a=－2时：{x|x＜－1或－1＜x＜当a＞0时，x∈{x|x＞1+a+a2?2a或－

1＜x＜1+a－a2?2a} 2a1当a＜－2时，x∈{x|x＜1+a－a2?2a或1+a+a2?2a＜x＜－}

2a错误原因：解题时易忽视函数的定义域，不会合理分类。 10．设集合M＝[－1，1]，N=[－8≤ 9

证明：|f(x)|=|2x+mx－1|= |(2x－1)+mx|≤|(2x－1)|+|mx|= (2x－1)+|mx|≤(2x－1)+| x|

1882=－2（| x|－ ）＋ ≤ 499错因：不知何时使用绝对值不等式。 11．在边长为a的正三角形中，点P、Q、R分别在BC、CA、AB上，且BP+CQ+AR=a,设

BP=x,CQ=y,AR=z,三角形PQR的面积为s,求s的最大值及相应的x、y、z的值。 解 设ΔBPR、ΔPCR、ΔARQ的面积为s1、、s2、s3，则 S=SΔABC－S1－S2－S3=

3 23 23

a－ [a－（xy+xz+yz）]＝ （xy+xz+yz） 444

2

2

2

2

2

2

2 2 2

， ]，f(x)=2x+mx－1，若x∈N,m∈M,求证|f(x)|22

a3 2a

由x+y+z=a,得xy+yz+zx≤ ,∴Smav= a，此时，x=y=z=

3123错因：不知如何使用基本不等式。 |a?b||a||b|?12．设a、b∈R，求证：≤

1?|a?b|1?|a|1?|b|证明：当|a+b|=0时，不等式已成立 当|a+b|≠0时，∵ |a+b|≤|a|+|b|

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∴

111?|a?b||a|?|b||a||b||a||b|? =+≤

1?|a|?|b|1?|a|?|b|1?|a|1?|b|点评：错证：∵|a+b|≤|a|+|b|

|a?b||a|?|b||a||b||a||b|??? ∴ ≤≤ ①

1?|a?b|1?|a|?|b|1?|a|?|b|1?|a|?|b|1?|a|1?|b| 错因：①的推理无根据。

1?|a?b|=

1?|a?b|1≤

1=

|a|?|b|

|a|?|b|?1

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/g68d.html