18.1.2平行四边形的判定(3)--

☆定义： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

☆ 性质：1、平行四边形对边 分别相等,分别相等 2、平行四边形对角 分别相等，邻角互补 3、平行四边形对角线 互相平分

平行四边形的两组对边分别相等它的逆命题：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

平行四边形两组对角分别相等它的逆命题：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

平行四边形对角线互相平分它的逆命题：

对角线互相平分的四边形是平行四边形。

平行四边形判定定理

1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

A B C

D

数学语言表示为：

∵AB∥CD,AD∥BC(已知)∴四边形ABCD是平行四边形 (两组对 边分别平行的四边形 是平行四边形。)

学习了平行四边形后，余刚同学回家用硬 纸条钉制了一个平行四边形。问：凭什么确定这四边形就是平行四边形呢？

1 3

判定定理：

4 2

猜想 2、 :两组对边分别相等的四 边形是平行四边形。已知：如图，在四边形ABCD中，AD=CB,AB=CD 求证：四边形ABCD是平行四边形。 证明：连结AC 数学语言表示为： ∵ AD=CB,AB=CD ∴ 四边形ABCD是平行四 边形 ∴ABC ≌△ CDA (SSS) ∴∠1=∠2,∠3=∠4 ∴ AB∥CD, AD∥CB

∴四边形ABCD是平行四 边形

(平行四边形定义)

平行四边形判定定理： 3、

两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

A B C

D数学语言表示为：

∵ ∠A= ∠C, ∠B= ∠D (已知)

∴四边形ABCD是平行四边形 (两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

平行四边形判定定理 ： 你能根据上述判定定理证明 4、对角线互相平分的四边形是平行四边形。 已知：如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交 于点O,并且 AO=CO,BO=DO。 求证：四边形ABCD是平行四边形。 证明：在△AOB和△COD中A O D

∴ △AOB ≌ △COD (SAS) 数学语言表示为； ∵ AO=OC,BO=OD ∴AB=CD ∴ 四边形ABCD是平行四 边形 同理 ： AD=CB ∴四 边形ABCD是平行四边形(两组对边 分别相等的四 边形是平行四边形。)

B

C

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 (定义) 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 (判定定理) 3、两组对角分别相等的四边形是平行四边形 (判定定理) 4、对角线互相平分的四边形是平行四边形。 (判定定理)

例1: 已知：如图 ，E、F是平行四边形ABCD对角线ACE

延长线 上的两点 ,且 E.F⊥ DE 是OA.BF OA.OC ⊥ 的中点 OC. . 。 上的两点，并且 AE=CF求证：四边形BFDE是平行四边形。 证明：连结BD,交AC于点O ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=CO ,BO=DO ∵AE=CF ∴EO=FO ∵BO=DO A E AB

D A

O

C

F

E

D O

BO F

F C D

B C ∴四边形BFDE是平行四

边形 (对角线互相平分

的四边形是平行四边形)

某同学说：“只要给我一把尺，我就能判断 一个四边形是否为平行四边形。” 请你说出该 同学是怎样判断的。

是非题1、有三个角是直角的四边形是平行四边形2、有两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3、两条对角线相等的四边形是平行四边形( √ ) ( √ )

( ╳ ) ( √ )

4、任意相邻两个角都互补的四边形是平行四边形

5、一组对边平行，另一组对边相等的四 边形一定是平行四边形 6、有两条边相等，并且另外的两条边也 相等的四边形一定是平行四边形

(╳ )

(╳ )

在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD 上两点，且______,请添加一个条件， 使四边形AECF是平行四边形。A F E B D

C

通过了本节课学习, 你有哪些收获?

AO

D

B

C

1 、两组对边分别平行 ∵AB∥CD,AD∥BC 的四边形是平行四边形。 ∴四边形ABCD是平行四边形 2 、两组对边分别相等的 ∵ AD=CB,AB=CD 四 边形是平行四边形。 ∴四边形ABCD是平行四边形 3 、两组对角分别相等的 ∵ ∠BAD= ∠BCD,∠ ABC= 四边形是平行四边形。 ∠ADC ∴四边形ABCD是平行四边形 4 、对角线互相平分的四 ∵ AO=OC,BO=OD 边形是平行四边形。 ∴四边形ABCD是平行四边形

判 定

文字语言两组对边分别平行的四边形是平 行四边形

定 义

图 形 语 符号语言 言 D C ∵AB∥CD,AD∥BC∴…是平行四边形

定 理1 等四边形

A D 两组对边分别相等的四边形是平 A DO

B C B C B C B

∵AB=CD,AD= BC 是平行四边形

∴…

定 对角线互相平分的四边形是平行 理2 四边形

∵OA=OC,OB=

推 论

A D 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

OD

∴…是平行四边形

∵∠A=∠C,∠B=∠D ∴…是平行四边形

A

将一根木棒从AB平移到DC,AB与DC 之间的位置关系、数量关系？ 四边形ABCD是什么样的图形？AB

D

C

猜测：一组对边平行且相等的四边

形是平行四边形

猜测：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 已知：四边形ABCD中 A B AB∥CD, AB=CD 求证：四边形ABCD是平行 四边形 证明：连接BD D C ∵ AB∥CD ∴∠ABD = ∠CDB 你还有其他 又AB =CD ,BD = DB 证明方法吗 ∴△ABD ≌△CDB ∴AD = CB ∴四边形ABCD是平行四边形

判定方法(5) (P88) 一组对边平行且相等 (记作：“ = ”)∥

的四边形是平行四边形

归纳：平行四边形判定方法(1) AB∥CD, BC∥AD (2) AB=CD,BC=AD (3) AO=OC, BO=OD

□ ABCD

(4) ∠A= ∠C , ∠ B=∠ D(5) AB∥CD,AB=CDA O B C D

平行四边形的判定方法分类两组对边分别平行 边

两组对边分别相等一组对边平行且相等

四边形是平行四边形角

两组对角分别相等

对角线：

对角线互相平分

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