高考数学复习：第三章 ：第三节 三角函数的图象与性质

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第三节 三角函数的图象与性质

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π

1．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称，则下列四个函数中，同

3

时具有性质①②的是( )

xπ?π＋ B．y＝sin?2x－? A．y＝sin?6??26??π

2x＋? D．y＝sin|x| C．y＝sin?6??

π2ππ

2x－?的最小正周期T＝＝π，当x＝时，y＝解析：选B 注意到函数y＝sin?6??23

ππ

2×－?＝1，因此该函数同时具有性质①②. sin??36?

ππ?

2．函数y＝2sin??6x－3?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ) A．2－3 B．0

C．－1 D．－1－3

π3π

解析：选A ∵0≤x≤9，∴0≤x≤，

62

πππ7π∴－≤x－≤，

3636

ππ?3

∴－≤sin??6x－3?≤1， 2

ππ?即－3≤2sin??6x－3?≤2.

所以其最大值为2，最小值为－3，故最大值与最小值之和为2－3.

1

－1，?，则b－a的值不可能是( )3．已知函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为?2??

π2π4πA. B. C．π D. 333

2π4π?解析：选A 画出函数y＝sin x的草图分析知b－a的取值范围为??3，3?.

[来源:www.shulihua.net]π3π?4．(2014·丽水模拟)函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间??2，2?内的图象是( )

A B

C D

解析：选D y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|

π?

2tan x，x∈??2，π?，＝故选D.

3ππ，?.2sin x，x∈?2??

?

??

2π

0，?上递减，且有最小值1，则ω的值5．(2014·温州模拟)若函数y＝2cos ωx在区间?3??可以是( )

11

A．2 B. C．3 D. 23

2π2π

0，?上是递减的，且有最小值为1，则有f??＝1，解析：选B 由y＝2cos ωx在?3???3?2π

ω×?＝1， 即2×cos?3??2π1

即cos ω＝. 32

经验证，得出选项B符合．

6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为

π

6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则( )

2

A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数 B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数 C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数 D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数

1

解析：选A ∵f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝.

3

π

∵当x＝时，f(x)有最大值，

21πππ

∴×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ(k∈Z)， 3223

π

∵－π＜φ≤π，∴φ＝.

3

xπ?∴f(x)＝2sin?由函数f(x)的图象(图略)易得，函数f(x)在区间[－2π，0]上是增函数，?3＋3?，

而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均没单调性，在区间[4π，6π]上是增函数．

π??π??π?等于________．＋x＝f－x，7．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意x都有f?则f ?6??6??6?π??π?

解析：∵f??6＋x?＝f?6－x?，

π

∴x＝是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴．

6π?∴f?2. ?6?＝±

答案：2或－2

11

8．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，则f(x)的值域是________．

22

[来源:www.shulihua.net]

??cos x?sin x≥cos x?，11

解析：f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|＝?

22?sin x?sin x＜cos x?.?

画出函数f(x)的图象(实线)，如图，可得函数的最小值为－1，最大值为

2

，故值域为2

?－1，2?.

2??

2

答案：?－1，?

2??

9．已知函数f(x)＝cos xsin x(x∈R)，给出下列四个命题：

①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2； ②f(x)的最小正周期是2π；

ππ

－，?上是增函数； ③f(x)在区间??44?3π

④f(x)的图象关于直线x＝对称．

4

其中真命题的是________．

1π

解析：f(x)＝sin 2x，当x1＝0，x2＝时，f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2，故①是假命题；

22

ππππ

－，?时，2x∈?－，?，故③是真命题；f(x)的最小正周期为π，故②是假命题；当x∈??44??22?

3π?13π13π因为f?＝sin ＝－，故f(x)的图象关于直线x＝对称，故④是真命题． ?4?2224

答案：③④

π

ωx－?＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之10．函数f(x)＝Asin?6??

π

间的距离为. 2

(1)求函数f(x)的解析式；

πα

0，?，f??＝2，求α的值． (2)设α∈??2??2?

解：(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2.

π

∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，

2

∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，

π

2x－?＋1. ∴函数f(x)的解析式为y＝2sin?6??

α??α－π?＋1＝2， (2)∵f?＝2sin?2??6?π1α－?＝. ∴sin??6?2ππππ

∵0<α<，∴－<α－<，

2663πππ∴α－＝，∴α＝.

663

ππxx－?＋cos?x－?，g(x)＝2sin2. 11．(2013·湖南高考)已知函数f(x)＝sin??6??3?2

33

(1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值；

5

(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．

ππx－?＋cos?x－? 解：f(x)＝sin??6??3?3113

＝sin x－cos x＋cos x＋sin x 2222＝3sin x，

x

g(x)＝2sin2＝1－cos x.

2333

(1)由f(α)＝，得sin α＝.又α是第一象限角，所以cos α>0.

55

41

从而g(α)＝1－cos α＝1－1－sin2α＝1－＝. 55

(2)f(x)≥g(x)等价于3sin x≥1－cos x，即3sin x＋cos x≥1.

π1x＋?≥. 于是sin??6?2ππ5π2π

从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.

6663

2π??

故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为?x|2kπ≤x≤2kπ＋3，k∈Z?.

??

12．已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sin ωx，23cos ωx)，设函

1?

数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈??2，1?.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

π?3π

，0，求函数f(x)在区间?0，?上的取值范围． (2)若y＝f(x)的图象经过点?5??4??

解：(1)f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋23sin ωx·cos ωx＋λ＝－cos 2ωx＋3sin 2ωx＋λ＝

π

2ωx－?＋λ. 2sin?6??

由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得

π

2ωπ－?＝±sin?1， 6??

ππk1

所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．

622315

又ω∈(，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.

26

6π

所以f(x)的最小正周期是. 5π?π

，0，得f??＝0， (2)由y＝f(x)的图象过点??4??4?5ππ?π

×－＝－2sin＝－2， 即λ＝－2sin??626?45π?故f(x)＝2sin??3x－6?－2，

3ππ5π5π

由0≤x≤，有－≤x－≤，

56366

5π?1

所以－≤sin??3x－6?≤1， 2

5π?得－1－2≤2sin??3x－6?－2≤2－2，

3π

0，?上的取值范围为[－1－2，2－2 ]．故函数f(x)在? 5??

[冲击名校] ππ

－，?上的最小值为－2，1．已知函数f(x)＝2sin ωx在区间?则ω的取值范围是( )?34?

[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net][来源:www.shulihua.net]

9

－∞，－?∪[6，＋∞) A.?2??

93

－∞，－?∪?，＋∞? B.?2??2??C．(－∞，－2]∪[6，＋∞)

3

，＋∞? D．(－∞，－2]∪??2?

ππππππ

解析：选D 当ω＞0时，由－≤x≤，得－ω≤ωx≤ω，由题意知，－ω≤－，

343432

3∴ω≥；

2

ππππ

当ω＜0时，由－≤x≤，得ω≤ωx≤－ω，

3443ππ

由题意知，ω≤－，∴ω≤－2，

42

3

，＋∞?. 综上可知，ω∈(－∞，－2]∪??2?

π

ω＞0，|φ|＜?，给出以下四个论断： 2．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?2??

①它的最小正周期为π；

π

②它的图象关于直线x＝成轴对称图形；

12π?

③它的图象关于点??3，0?成中心对称图形；

π

－，0?上是增函数． ④在区间??6?

以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．

2ππππ

解析：若①②成立，则ω＝＝2；令2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，且|φ|＜，故k＝0，则

π1222

πππ?2x＋π?＝sin π＝0，所以f(x)的图象关于?π，0?成2x＋?，φ＝.此时f(x)＝sin?当x＝时，sin3?3????3?335πππ

－，?上是增函数，则f(x)在?－，0?上也是增函数，因此①②?③中心对称；又f(x)在??1212??6?

④.用类似的分析可求得①③?②④.

答案：①②?③④或①③?②④

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4

1．已知sin θ＝，sin θ－cos θ＞1，则cos θ＝( )

5

3313A．－ B．－ C．－ D. 51025解析：选A 由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＞1，可得sin θcos θ＜0，又因为sin θ＞0，

3

所以cos θ＜0，即cos θ＝－.

5

2．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．

[来源:www.shulihua.net]?sin A＝2sin B， ①

解：由已知得?

?3cos A＝2cos B， ②

①2＋②2得2cos2A＝1，

22

即cos A＝或cos A＝－. 22

23时，cos B＝， 22

ππ

又A，B是△ABC的内角，∴A＝，B＝，

46

7π

∴C＝π－(A＋B)＝.

1223

(2)∵当cos A＝－时，cos B＝－.

22

又A，B是△ABC的内角，

3π5π

∴A＝，B＝，不合题意．

46

ππ7π

综上可知，A＝，B＝，C＝. 4612(1)∵当cos A＝

23时，cos B＝， 22

ππ

又A，B是△ABC的内角，∴A＝，B＝，

46

7π

∴C＝π－(A＋B)＝.

1223

(2)∵当cos A＝－时，cos B＝－.

22

又A，B是△ABC的内角，

3π5π

∴A＝，B＝，不合题意．

46

ππ7π

综上可知，A＝，B＝，C＝. 4612(1)∵当cos A＝

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