《连续介质力学》期末复习提纲-总

Materials for the final exam for the students majoring geophysics

<连续介质力学> QM复习提纲(2010.12)

一、基本要求

1、掌握自由指标与哑指标的判别方法及表达式按指标展开； 2、掌握?ij与eijk的定义、性质及相互关系； 3、掌握二阶张量坐标转换的计算；

4、掌握二阶张量特征值、特征向量与三个不变量的计算方法； 5、掌握哈密顿微分算子及其基本计算；

6、掌握小变形应变张量、转动张量及转动向量的计算； 7、掌握正应变的计算；

8、掌握正应力、剪应力及应力向量的计算； 9、掌握应力张量与应变张量的对称性； 10、掌握能量密度及能通量密度向量的计算；

11、掌握各向同性线弹性体的广义胡克定律的两种形式； 12、掌握应力张量与体积膨胀率的关系； 13、掌握各向同性线弹性体的应变能密度函数； 14、会对材料的各个弹性参数之间的关系进行相互推导； 15、掌握从质点的运动方程推导Navier方程的过程； 16、掌握从质点的运动方程出发推导纵横波的方程的过程； 17、掌握地震波速度与泊松比的关系； 18、掌握非均匀平面简谐波的传播特征；

19、掌握P波、SV波入射到自由界面上的传播特征；

20、掌握利用自由界面边界条件确定反射系数和反射波位移场的方法； 21、掌握Reilaygh波和Stonely波的传播特征；

22、掌握P波入射到两种弹性体接触面上的反射系数和透射系数的计算方法；

二、复习题 简答论述题

1、试解释“连续介质”所必须满足的条件。 2、简述弹性动力学基本假设。

3、说明应力、应变、正应力、正应变、剪应力及剪应变的含义。 4、说明杨氏模量、泊松比、体积模量与剪切模量的物理含义。 5、简述小变形应变张量的几何解释。

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6、举例说明相容性条件的物理意义。

7、什么是应力主平面？什么是主应力与应力主方向？ 8、极端各向异性体有哪些特征？ 9、正交各向异性体有哪些特征？ 10、横向各向同性体有哪些特征？ 11、试说明Stoneley波的传播特点？ 12、试说明Rayleigh波的传播特点？

13、以复数值形式表示的波向量所对应的位移为

u?Ade?k''xi(k'x??t)e

???k??k??k???k?????'?? 其中的k及k''满足式

k??k????试论述该平面波的传播特征。 14、试述波动方程的解为

????A1?1?A2?2,??B1?1?B2?2 （a）

?1?eik?x?Px?ct?,?2?eik?x?Px?ct???112112?1?eik?x1?P2x2?ct?,?2?eik?x1?P1x2?ct?? （b）

??（c?c1）时P波在自由界面中的反射和折射规律。 15、分情况讨论P波和SV波在自由界面上的反射和折射规律。

16、何谓波阻抗，地震波在两种弹性介质表面发生反射的条件是什么？P波及SV波合成的入射波入射到

两种弹性介质表面的反射和折射规律是什么？ 17、试述波动方程的解为

??A1?1?A2?2,??B1?1?B2?2 （a）

?1?eik?x?Px?ct?,?2?eik?x?Px?ct???112112?1?eik?x1?P2x2?ct?,?2?eik?x1?P1x2?ct?? （b） ??（c?c1）时SV波在自由界面中的反射和折射规律。 18、试述波动方程的解为

??A1?1?A2?2,??B1?1?B2?2 （a）

?1?ek?xeik(x?ct),?2?e?k?xeik(x?ct)??121121?1?eik?x1?P2x2?ct?,?2?eik?x1?P2x2?ct?? （b） ??（c2?c?c1）时SV波在自由界面中的反射和折射规律。

计算题

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1、给定一个坐标变换xi??ijxj，其中变换系数的矩阵形式为

?2??2?3 ??ij????3?6????6223?366?0??3?? 3?26??6??如果向量a在xi坐标系中的分量为[1,2,?1]，试求它在xi坐标系中的分量。 2、给定一个坐标变换xi??ijxj，如果在坐标系xi中张量为?ij，其中

???? ??ij????????2233660?33266?2??2??011?3???? (?ij)??121? 3???110??6??6??试求此张量在xi坐标系中的分量。 3、求二阶反对称张量Aij所对应的向量。

?0?32??(Aij)??30?1???0???21?

4、试求二阶张量

?110??? (Aij)?121 ????011?? 的特征值及特征向量，并选取一个主轴坐标系，写出该张量在主轴坐标系内的表达形式。 5、已知用eij表示的?ij为

?ij??ekk?ij?2?eij （a） 其中，?与?为参数，试用?ij表示出eij。 6、已知理想弹性体内的位移场为

2 u1?3x1x2k,u2?2x1x3k,2u3?(x3?x1x2)k

其中，k?10为常数，试求应变张量、转动张量、转动向量、体积膨胀率。

?23

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7、已知弹性体内点P处的应变张量为

?4k(eij)???k??0试求点P处沿n?k7k2k0?2k?? 4k??22e1?e2?0?e3方向的正应变。 228、设弹性体的位移场为

222 u1?4x1?x2?3x3,u2?x1?8x2,u3??3x1?4x2?4x3

试分别确定点P(1,0,?2)及Q(0,?1,4)处的应变不变量。 9、设某一弹性体的应变张量场为

3?2??1??

1?2 (eij)?3?????2?26??（1） 直接计算该应变张量的三个不变量；

（2） 求该应变张量的主应变，并验证由应变张量对角形式求得的不变量与直接计算的结果相同。 10、在坐标系ox1x2x3内，某弹性体内的应力张量场为

?3x1x2?2 (?ij)??5x2?0?25x202x30??2x3? 0??22试求作用于圆柱面x2?x3?4上点P(2,1,3)的切面上的应力向量。

11、设弹性体内一点处的主应力为?1、?2及?3。试用主应力表示出与该点应力主轴成等角的倾斜面元上

的正应力及剪应力，并再用应力不变量表示出它们。

12、在平面情形中，已知点P(x1,x2)的应力分量为?11、?22及?12。试求过点P而外法向与坐标轴ox1夹

角为?的倾斜面上的正应力?n与剪应力?s的值；并证明：在点P处剪应力?s为零的方向有二且相互垂直，其法向与ox1轴的夹角?由下式确定： tan2??2?12

?11??2213、已知理想弹性介质中，拉梅系数?、?与杨氏模量E、泊松比?及体积模量K的关系为 E???3??2??,??????,2?????4

K?E

3?1?2??

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（1） 试以E及?为独立的弹性常数，写出理想弹性体的广义胡克定律，并分别以应变分量表出应

力分量、应力分量表出应变分量的形式给出。

（2） 试以K及?为独立的弹性常数，写出理想弹性体的广义胡克定律，并以应变分量表出应力分

量、应力分量表出应变分量的形式给出。

14、设有一各向同性线性弹性圆柱体，被置于一光滑的刚性圆筒内，如图所示。柱体受轴向均匀压力p的作用（其横向变形完全受到限制），试求轴向应力与轴向应变的比值。设材料的Lamé系数为?、? 。

p 弹性柱体 刚性圆筒

15、如果理想弹性体内某点处的应变张量为

a?2a??a???2a?5a (eij)?a??

??2a?5a3a????45 其中，a?10，设拉梅常数??10MPa，??0.8?10MPa。试求该点处的应力张量。

516、已知各向同性线弹性体中，拉梅系数?、?与杨氏模量E、泊松比?的关系为 E???3??2??,??????

2????? 试以E及?为独立的弹性常数，写出各向同性线弹性体的应变能密度函数，并分别用应变张量的不

变量与应力张量的不变量表示出来。

17、已知各向同性线弹性体中，拉梅系数?、?与杨氏模量E、泊松比?及体积模量K的关系为 E?求解：

（1）用介质密度?、杨氏模量E及泊松比?表达的纵波和横波相速度公式。 （2）用介质密度?、体积模量K和剪切模量?表达的纵波和横波相速度公式。 18、已知各向同性线弹性体中，拉梅系数?、?与泊松比?的关系为

??3??2??,??????,2?????K?E

3?1?2?????

2????? 求解：（1）利用纵横波相速度c1及c2表示的泊松比表达式；

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（2）求泊松体的纵横波相速度之比。 19、若位移矢量场的标量位函数是

??Aexp??i?k1x1?k3x3??t???

求解：应变张量、应力张量、转动张量、转动向量、能量密度、能通量密度矢量与波的强度。 20、给定岩石的体积模量K与剪切模量?为2?10N/cm，密度?为2.5g/cm，试求P波速度?与

横波速度?及泊松比?。

21、在x2?0的弹性半空间内，有平面简谐P波沿坐标面ox1x2内的某一方向入射到弹性半空间的平界面

x2?0上。已知平界面上的位移被指定为

623u1??eik(x1?ct),u2??eik(x1?ct)。

试求反射系数。设P波及SV波的速度为c1及c2。

22、在各向同性线弹性均匀介质中，从质点的运动方程出发，使用广义虎克定律，导出P波和S波满足

的运动方程。从推导过程中阐明P波和S波的本质差别，并求出P波和S波的速度表达式。（假设体力为零）

23、平面简谐SH波以?角入射到一个水平的自由表面上（如图所示），试求解下列问题： （1）利用自由表面边界条件推导在z?0的空间区域中总的位移表达式；

（2）若平面简谐SH波以?角入射到一个崎岖的自由表面z?h(x)上，假定自由表面的高程h(x)可

视为沿一虚拟水平自由表面上下的扰动。根据（1）的结果，利用Taylor展开推导崎岖自由表面处SH波的总位移。 真空 弹性介质

O x ? z （1） （2）

24、设想一直矿井穿过地球中心，一个物体由静止开始从井口自由掉下。设井内阻力不计，已知万有引

力常数为G，地球半径为R0，密度均匀为?。

（1）问此物体在井中做何种形式的运动？求出其运动周期。 （2）试求该物体到达地心时的速度大小。

（3）若矿井不经过地心，而是沿地球的任一弦挖的光滑直隧道，则当物体由静止开始从井口自由掉下后

作何运动？

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25、如图所示，设弹性空间是由接触的两个半无限弹性介质组成，平界面两侧介质的密度和纵波速度分别为?1,?2,?1,?2。有一平面纵波从?1介质中向界面垂直入射，试求透射波位移振幅与入射波位移振幅的比值。

P ?1,?1 ?2,?2

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