线面平行证明的常用方法

线面平行证明的常用方法 张磊

立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨：

方法一：中位线型：找平行线。

例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD中，点E是PD的中点.求证：PB//平面AEC

方法二：构造平行四边形，找平行线

AE//平面DCF.

分析：过点E作EG//AD交FC于G， DG就是平面AEGD

与平面DCF的交线，那么只要证明AE//DG即可。

例2、如图⑵, 平行四边形ABCD和梯形BEFC所在平面相交，BE//CF，求证：

方法三：作辅助面使两个平面是平行, 即：作平行平面，使得过所证直线作与已

知平面平行的平面

例3、如图⑷，在四棱锥O ABCD中，底面ABCD为菱形， M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN‖平面OCD

分析：：取OB中点E，连接ME，NE，只需证平面MEN平面OCD。 方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。

例4、已知正方形ABCD和正方形ABEFAC和BF上，且AM=FN. 求证：MN‖平面BCE.

如图⑷ 如图⑸ 如图⑹

例5．如图⑸，已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B′，C′是△PBC,△PCA,△PAB的重心.

(1)求证：Ａ′Ｂ′∥面ＡＢＣ；

(2)求S△A′B′C′：S△ABC .

方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系

（或找空间一组基底）及平面的法向量。

例6、如图⑹，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD为正方形，

，E，F分别为AB，SC的中点．证明EF∥平面侧棱SD⊥底面ABCD

SAD；

分析：因为侧棱SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。

证明：如图，建立空间直角坐标系D xyz．

设A(a， 0，0)，S(0，0，b)，则B(a，a，0)，C(0，a，0)， a E a，0 ，F2

bEF a，02

ab 0 ， 22 ． 因为y轴垂直与平面SAD，故可设平面的法向

量为n=（0，1，0） b则：EF n a，02 =0 （ 0，1，0）

因此 EF n

所以EF∥平面SAD．

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