2005年至2010年山东、辽宁、江苏、宁夏高考数学理科试卷及答案

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绝密★启用前

2006年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数 学

参考公式：

一组数据的方差 S2

1n

[(x1 x)

2

(x2 x)

2

(xn x)2

]其中x

为这组数据的平均数

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项．．．．

是符合题目要求的。

（1）已知a R，函数f(x) sinx |a|,x R为奇函数，则a＝

（A）0

（B）1

（C）－1

（D）±1

（2）圆(x 1)2 (y 3)2 1的切线方程中有一个是

（A）x－y＝0

（B）x＋y＝0

（C）x＝0

（D）y＝0

（3）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方

差为2，则｜x－y｜的值为 （A）1

（B）2

（C）3

（D）4 （4）为了得到函数y 2sin(x 3

),x R

的图像，只需把函数6

y 2sinx,x R的图像上所有的点

（A）向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1

倍（纵坐标不变）

6

3

（B）向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的

1倍（纵坐标不变）

6

3

（C）向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） 6

（D）向右平移

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

6

（5）(x 110

3x)

的展开式中含x的正整数指数幂的项数是

（A）0

（B）2

（C）4

（D）6

（6）已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足|MN| |MP| MN MP ＝0，则

动点P（x，y）的轨迹方程为 （A）y2

8x

（B）y2 8x （C）y2

4x

（D）y2

4x

（7）若A、B、C为三个集合，A B B C，则一定有

（A）A C （B）C A （C）A C （D）A

（8）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是

（A）|a b| |a c| |b c| （B）a2

1a

1

a

2

a

（C）|a b|

1a b

2

（D）a 3 a 1 a 2 a

（9）两相同的正四棱锥组成如图1

ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在

正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有 （A）1个 （B）2个 （C）3个

（D）无穷多个

（10）右图中有一个信号源和五个接收器。

接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个

接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号

的概率是

（A）4 （B）14536

（C）

4

（D）

815

15

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空

在答题卡相应位置上．．．．．．．．

。 （11）在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝

2x y 2

（12）设变量x、y满足约束条件

x y 1，则z 2x 3y的最大值为

x y 1（13）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）。 （14）cot20 cos10 3sin10 tan70 2cos40 ＝

（15）对正整数n，设曲线y xn(1 x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为aann，则数列{

n 1

的前n项和的公式是

1

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（18）（本小题满分14分） 1

（16）不等式log2(x 6) 3的解集为

x请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或．．．．．．．演算步骤。

（17）（本小题满分12分，第一小问满分5分，第二小问满分7分） 已知三点P（5，2）、F1（－6，0）、F2（6，0）. （Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y＝x的对称点分别为P 、F1、'

'F2

锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？

，求以F1、

'

'F2

为焦点且过点P 的

双曲线的标准方程。

2

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（19）（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分5分） （20）（本小题满分16分，第一小问4分，第二小问满分6分，第三小问满分6分） 在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。

将△AEF沿EF折起到 A1EF的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2） （Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；

（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；

（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示） 设a为实数，设函数f(x) a1 x2 x x的最大值为g(a)。 （Ⅰ）设t＝ x x，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)

（Ⅱ）求g(a)

（Ⅲ）试求满足g(a) g()的所有实数a

1

A

E

F

B

C

A1

E

FB

P

C

a

（21）（本小题满分14分）

3

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设数列{an}、{bn}、{cn}满足：bn an an 2，cn an 2an 1 3an 2（n=1,2,3,…），

证明{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn bn 1（n=1,2,3,…）

4

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数学试题参考答案

（1）A （2）C （3）D （4）C （5）B （6）B （7）A （8）C （9）D（10）D

（11）46 （12）18 （13）1 260 （14）2 （15）2n+1 （16）( 3 22, 3 22) {1} （17） 解：（Ⅰ） 所以所求椭圆的标准方程为 （Ⅱ） 所以所求双曲线的标准方程为

y

2

2

2

∵MQ⊥A1P， ∴MQ

A1Q PQA1PMF

2

255

2

, MF

255

在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60°，由余弦定理得QF=3。 在△FMQ中， FMQ

（20） 解：（Ⅰ）∵t

x

x

45x

2

y

9

1 .

MQ QF

2

2MF MQ

78

1.

必须1 x 0且1 x 0, 即 1 x 1 x,∴要使t有意义，

20

16

（18） 解：设OO1为x m，则1 x 4

设题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）

32

(x 1)

2

8 2x x2

V(x)

23(8 2x x2)[133

23(x 1) 1] 2

(16 12x x).

求导数，得V (x)

3

2

2

(12 3x). 令V (x) 0，解得x 2（不合题意，舍去）

，x=2 当1 x 2时,V (x) 0,V(x)为增函数； 当2 x 4时,V (x) 0,V(x)为减函数。 所以当x=2时，V(x)最大。

（19）（Ⅱ）在图2中，∵A1E不垂直于A1B，∴A1E是平面A1BP的斜线。

又A1E⊥平面BEP， ∴A1E⊥BP，

从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）。 设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于点Q，则 ∠EA1Q就是A1E与平面A1BP所成的角， 且BP⊥A1Q。

在△EBP中， ∵BE=BP=2，∠EBP=60°， ∴△EBP是等边三角形， ∴BE=EP

又A1E⊥平面BEP， ∴A1B=A1P， ∴Q为BP的中点，且EQ 3。

又A1E=1，在Rt△A1EQ中，tan EAEQ1Q

A3, ∴∠EA1Q=60°

1E

（Ⅲ）在图3中，过F作FM⊥A1P于M，连结QM，QF。

∵CF=CP=1， ∠C=60°，

∴△FCP是正三角形， ∴PF=1。 又PQ

12

BP 1， ∴PF=PQ。 ①

∵A1E⊥平面BEP， EQ EF

3,

∴A1F=A1Q； ∴△A1FP≌△A1QP 从而∠A1PF=∠A1PQ ②

由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP， ∴∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ，

从而∠FMQ为二面角B—A1P—F的平面角。 在Rt△A1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1， ∴A1P

5。

∵t2 2 21 x2 [2,4], t 0 ① ∴t的取值范围是[2,2] 由①得 x2

12

12

2

t 1 ∴m(t) a(

2

t 1) t

12

at

2

t a,t [2,2]

（Ⅱ）由题意知g(a)即为函数m(t) 12

2at

t a,t [2,2]的最大值

注意到直线t

1a

是抛物线m(t)

12

at2

t a的对称轴，分以下几种情况讨论。

（1）当a>0，函数y m(t),t [2,2]的图像是开口向上的抛物线的一段，由

t

1a

0知m(t)在[2,2]上单调递增。∴g(a) m(2) a 2

（2）当a=0时，m(t)=t，t [2,2]， ∴g(a) 2

（3）当a<0时，函数y=m(t)，t [2,2]的图像是开口向下的抛物线的一段。 若t 1a (0,

2],即a

22, 则g(a) m(2) 2. 若t

1 (2,2],即a (

2

a, 1

], 则g(a) m(

1

22a) a

12a.

若t 11

a (2, ),即a ( 2

,0),则g(a) m(2) a 2.

a 2,a 1

2综上有 g(a)

a 1, 2 a 1

2a22

2a 22（Ⅲ）解法一：情形1：当a 2时,1 1

,此时g(a)

2,g(11

a2

a) a

2.

由2

1a

2解得a 1

22,与a 2矛盾。 情形2：当2 a 2时,

2

2

1a

12

，此时g(a) 2，

5

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11a1a

g() ,由2 解得a 2,与a 2矛盾。 aa2a2

又cn 1 cn (an 1 an) 2(an 2 an 1) 3(an 3 an 2)

d1 2d1 3d1 6d1（常数）（n=1，2，3，…），所以数列{cn}为等差数列. 充分性，设数列{cn}是公差d2的等差数列，且bn b1（n=1，2，3，…）. 证法一：

①－②得cn cn 2 (an an 2) 2(an 1 an 3) 3(an 2 an 4)

bn 2bn 1 3bn 2,，

情形3：当 所以

2 a

22

22

时,-2

1a

22

，此时g(a)

1

2 g()

a

2 a

。

情形4：当

2 a

112

2时,-2

a

2，此时g(a) a

12a

g(1

) 2,由 a

12a2a

2解得a 2

,与a

22

矛盾。

情形5：当

1

12

a 0时,

a

2，此时g(a) a 2,g(1

a

)

2

由a 2 2解得a 2 2,与a 1

2

矛盾。

情形6：当a>0时，1a 0，此时g(a) a 2,g(1a) 1

a

2

由a 2

1a

2解得a 1,由a 0知a 1

综上知，满足g(a) g(1a

)的所有实数a为： 2 a

22

或a 1

解法二：当a 12

时, g(a) a 2

32

2

当

212

a

,

2,1]，所以 a

12

时, a [

12

2

),

12a

(

2

2

2a

,

g(a) a

12

2a

2( a) (

1

2a) 2。因此，当a 2

时,g(a)

2

当a 0时,11a 0，由g(a) g(1

a)知a 2 a

2解得a 1

当a 0时,a 11a 1,因此a 1或a 1,从而g(a) 2或g(1

a

)

2

要使g(a) g(1

2a)，必须有a

2,1a 2

2

,即 2 a

22

.

此时g(a)

2 g(1)。综上知，满足g(a) g(1

aa

)的所有实数a为：

2 a

22

或a 1

21）证明：必要性. 设{an}是公差为d1的等差数列，则

bn 1 bn (an 1 an 3) (an an 2) (an 1 an) (an 3 an 2) d1 d1 0

所以bn bn 1(n 1,2,3, ）成立.

cn cn 2 (cn cn 1) (cn 1 cn 2) 2d2 bn 2bn 1 3bn 2 2d2， ③

从而有bn 1 2bn 2 3bn 3 2d2. ④

④－③得(bn 1 bn) 2(bn 2 bn 1) 3(bn 3 bn 2) 0. ⑤

bn 1 bn 0,bn 2 bn 1 0,bn 3 bn 2 0，

∴由⑤得bn 1 bn 0(n 1,2,3, ).

由此 不妨设bn d3(n 1,2,3, ),则an an 2 d3（常数）. 由此cn an 2an 1 3an 2 4an 2an 1 3d3， 从而cn 1 4an 1 2an 2 3d3 4an 1 2an 5d3， 两式相减得an 1 cn 2(an 1 an) 2d3，

因此a11n 1 an 2

(cn 1 cn) d3 2

d2 d3(常数)(n 1,2,3, )，

所以数列{an}是等差数列.

证法二：令An an 1 an,由bn bn 1知an an 2 an 1 an 3,

从而an 1 an an 3 an 2,即An An 2(n 1,2,3, ). 由cn an 2an 1 3an 2,cn 1 an 1 2an 2 3an 3 得cn 1 cn (an 1 an) 2(an 2 an 1) 3(an 3 an 2)，即

An 2An 1 3An 2 d2. ⑥

由此得An 2 2An 3 3An 4 d2. ⑦ ⑥－⑦得(An An 2) 2(An 1 An 3) 3(An 2 An 4) 0. ⑧

因为An An 2 0,An 1 An 3 0,An 2 An 4 0， 所以由⑧得An An 2 0(n 1,2,3, ).

于是由⑥得， 4An 2An 1 An 2An 1 3An 2 d2 从而2An 4An 1 4An 1 2An 2 d2. ⑩ 由⑨和⑩得4An 2An 1 2An 4An 1,故An 1 An,即

an 2 an 1 an 1 an(n 1,2,3, ),

所以数列{an}是等差数列.

⑨

6

（

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/g5hm.html