自动控制原理复习资料

第五章 频率响应法

一。基本要求：

1． 了解频率特性的基本概念；频率特性的表示方法 2． 熟练掌握典型环节的频率特性 3．掌握奈氏图的绘制方法 4．熟炼掌握伯德图的绘制方法

5．熟练掌握奈魁斯特稳定判据及稳定裕量的计算 6．掌握由频率特性分析系统的稳定性和性能的方法。

二．本章要点：

1．频率特性

（1）在正弦输入信号的作用下，线性定常系统输出的稳态分量与输入正弦信号的复数比称为系统的频率特性。

（2）频率特性与传递函数的关系为：

G(j ) G(s)

s j

频率特性、微分方程与传递函数三种数学模型之间关系如图5-1所示

（3）频率特性的表示方法 G(j ) G(j )ej G(j ) A( )ej ( )

其

中

： A( ) G(j ) P( )2 Q( )2

图5-1频率特性、微分方程与传递函数

三种数学模型之间关系

( ) G(j ) arctg

Q( )

P( )

A( )和 ( )分别表示幅频特

性和相频特性,

P( )和Q( )分别表示实频特性和虚频特性。

①幅相频率特性 又称奈奎斯特图(Nyquist)，极坐标图。它是以 为参变量，以复平面的矢量表示G(j )的一种方法。G(j )的幅值为A( )，相角为 ( )（从正实轴开始，逆时针为正）。当频率 从0变化到∞时，G(j )这个矢量的矢端在复平面上描绘出的曲线就称为系统的幅相频率特性，可由A( )和 ( )或P( )和Q( )来绘制。

②对数频率特性(又称伯德图，共两条曲线L( )和 ( ))

将幅频特性A( )用增益L( )来表示，其关系为：L( ) 20lgA( )，称作对数幅频特性。其横坐标为 ，常用对数lg 分度；纵坐标为L( )，单位为dB。对数相频特性的横坐

标与对数幅频特性相同，按对数刻度，标以频率ω值，纵坐标为 ( )，单位为度（o

）。 对数幅频特性和对数相频特性合称为对数频率特性，或称作伯德图(Bode)。

2．典型环节的频率特性及开环系统频率特性的绘制

（1）在熟练掌握典型环节频率特性的基础上，绘制开环系统幅相频率特性的一般步骤

P( ) jQ(

为：

①写出开环系统的幅频特性A( )、相频特性 ( )及实频特性P( )和虚频特性Q( )； ②利用幅频特性A( )、相频特性 ( )求出 0和 时的幅值和相角，确定幅相频率特性的起点（ 0型系统：起点为K 0 ； 0型系统：起点为 90 ,特别是 1型系统，其低频段渐进线为 x limP( )）和终点（0 90 (n m)）。

0

③利用实频特性P( )和虚频特性Q( )求出幅相频率特性与实轴和虚轴的交点（包括交点对应的频率），特别是与实轴的交点对于系统稳定性的判别有重大意义。

令P( ) 0，求出令Q( ) 0，求出④按顺时针方向，从起点开始，中间通过几个关键点到达终点。非最小相位情况）

（2）绘制开环系统对数频率特性的一般步骤为：①将系统的开环传递函数分解为若干典型环节相乘的形式；②画出每个典型环节的对数频率特性曲线③分别对它们进行代数相加，即可得到开环系统的对数频率特性曲线3．奈奎斯特稳定判据及稳定裕量（1）奈奎斯特稳定性判据①当开环系统稳定时，如果相应于围 (-1，j0)点，则闭环系统是稳定的，否则就是不稳定的。②当开环系统不稳定时，说明系统的开环传递函数右半部分，如果当 从—∞→闭环系统是稳定的，否则③如果奈奎斯特曲线正好通过则闭环系统处于临界稳定状态，这种情况一般也认为是不稳定的。为简单起见，奈氏曲线通常只画实轴为对称轴。

应用奈奎斯特稳定性判据判别闭环系统稳定性的一般步骤如下：①绘制开环频率特性段曲线，然后以实轴为对称轴，画出对应于—∞→②计算奈氏曲线对点的点作一矢量，并计算这个矢量当次的方法计算N值。

③由给定的开环传递函数④应用奈奎斯特判据判别闭环系统的稳定性。（2）稳定裕量

用相位裕量和增益裕量来定量的表示系统的相对稳定性，标。相位裕量和增益裕量如图，代入Q( )中，即可求出，代入P( )中，即可求出

从+∞变化时的奈氏曲线逆时针包围(即N p)，闭环系统就是不稳定的。( 1,j0)点，这表明闭环系统有极点在 从0→G(j )H(j )的奈氏图，作图时可先绘出对应于( 1,j0)的逆时针包围次数 从-∞→G(s)H(s)确定位于5-2所示。

G(j )与虚轴的交点与对应的频率； G(j )与实轴的交点与对应的频率。 （在此没有考虑零点及

Li( )和 i( )；

L( )和 ( )。 +∞变化时的奈氏曲线G(j )H(j )不包

G(s)H(s)有p个极点位于s平面的( 1,j0)点的次数N p，则

s平面的虚轴上，

∞变化的曲线的正半部分，另外一半曲线以

从0→+∞的—0的另外一半。

N。为此可从( 1,j0)点向奈氏曲线上+∞时转过的净角度，并按每转过360 为一s平面右半部分的开环极点数p。 它们也是系统的频率域性能指 -∞→+0→

①增益裕量Kg

Kg

1

G(j g)H(j g)

令

( g) ，可求得 g。增益裕量Kg表明：若系统的开环增益K增加Kg倍，则闭环系统

达到临界稳定状态。实 际中常用对数增益裕量20lgKg 20lgA( g)dB表示。

图5-2相位裕量和增益裕量 ②相位裕量

1800 ( c)

令L( c) 0或A( c) 1，可求得 c。

显然，当 0 及Kg 1时，闭环系统是稳定的。一般当 300，Kg 6dB时，控制系统可以得到较为满意的动态性能。

4．系统的伯德图可分成三个频段：

低频段（ 0）反映了系统的稳态性能，中频段（ c附近，斜率为 20dec）反映了系统的动态性能，高频段（ ）则反映了系统抗高频干扰的能力。 三．典型例题分析：

[例5-1]已知系统开环传递函数为：G(s)

1

，试绘制其极坐标图。

s(Ts 1)

解：显然，系统为I型系统，n 2,m 0，因此其极坐标图的起点为 90 ，以

90 (n m) 180 的方向进入坐标原点。由系统的开环传递函数可写出其开环频率特性

为：

G(j )

1T1

j

j (1 j T)1 2T2 (1 2T2)

A( )

1

T2 2

( ) 900 arctgT

当 0时：A(0) ， (0) 900

当 时：A( ) 0， ( ) 180

图5-3 极坐标图 又因为

1 T

1

Q( )

(1 2T2)

所以 x limP T limQ

0

0

P( )

T

2

2

注：I型系统需要求渐进线 x limP( )，来确定其极坐标图低频段的位置。极坐标图如

0

图5-3所示。

[例5-2]已知系统开环传递函数为：

G(s)H(s)

K

(10s 1)(2s 1)(0.2s 1)

试求：（1）K 20时，分析系统稳定性；

（2）K 100时，分析系统稳定性；

（3）分析开环放大倍数K的变化对系统稳定性的影响。

解：显然，系统为0型系统，n 3,m 0，因此其极坐标图从正实轴出发，以

90 (n m) 270 的方向进入坐标原点。

系统的开环频率特性为：

K[(1 22.4 2) j(1K

G(j )H(j )

(1 j10 )(1 j2 )(1 j0.2 )(1 100 2)(1 4 2)

K(12.2 4 3)

令 Q( ) 0 222

(1 100 )(1 4 )(1 0.04 )

图5-4(a) 极坐标图 即， 12.2 4 0

3

得： 1 0，对应极坐标图的起点；

2 3.05，对应极坐标图与负实轴的交点

代

入

K(1 22.4 2)

中 P( )

(1 100 2)(1 4 2)(1 0.0 2)

得： P( ) 0.015K

图5-4 (b) 极坐标图

4

（1）K 20时：P( ) 0.3，极坐标图如图5-4(a)所示。

P 0 而 N 0，故Z 0，闭环系统稳定。 （2）K 100时：P( ) 1.5，极坐标图如图5-4(b)所示。

P 0 而 N 2，故Z 2，闭环系统不稳定，

且右半平面有两个闭环极点。

（3）由（1）和（2）可见，增大开环放大倍数K，系统的稳定性会下降，甚至会不稳定。当P( ) 0.015K 1时，即K 67时，闭环系统处于临界稳定状态。

[例5-3]系统开环传递函数为：

G(s)H(s)

320

s(0.01s 1)

试绘制伯德图。

解：由已知条件可知，系统为I型系统，

n 2,m 0,K 320，系统开环传递函数可以分解

为：

G(s)H(s)

320s 1

0.01s 1

90由于惯性环节的转折频率为：

1

0.01

100 320 故对数幅频特性低频段的斜率为 20dB/dec，其

延长线与横轴的交点为320；当 100时，对数幅频特性的斜率

由 20dB/dec变为 40dB/dec。而对数相频特性为：

( )

2

arctg0.01

图5-5 对数频率特性 伯德图如图5-5所示。

[例5-4]系统开环传递函数：

G(s)

40(1 s)

(1 20s)(1 0.6s)(1 0.1s)

试绘制伯德图。

解：系统为0型系统，

n 3,m 1,K 40，系统开环传递函数

可以分解为：

G(s) 40

111 20s 1 0.6s 1

1 0.1s

故对数幅频特性低频段为一水平直 线，其高度为20logK 32dB，其它各环

(1 s

节的转折频率分别为：

1 1， 2

111 0.05， 3 1.67， 4 10；因此对数幅频特性在200.60.1

0.05时，斜率由0dB/dec变为 20dB/dec， 1时，斜率由 20dB/dec变为

0dB/dec， 1.67时，斜率由0dB/dec变为 20dB/dec， 10时，斜率由 20dB/dec变为 40dB/dec。而对数相频特性为：

( ) arctg arctg20 arctg0.6 arctg0.1

图5-6 对数频率特性 伯德图如图5-6所示。

[例5-5]某系统开环传递函数：

G(s)H(s)

K1

s(s 1)(s 5)

试求：（1）试绘制K1 10时的伯德图，并求 及Kg；

（2）分析开环放大倍数K的变化对系统稳定性的影响。

解：（1）K1 10时，系统开环传递函数转化为：

G(s)H(s)

2

s(s 1)(0.2s 1)

K1 5K

系统为I型系统，n 3,m 0,K 2，系统开环

传递函数可以分解为： G(s)H(s)

211

ss 10.2s 1

转折频率为： 1 1, 2 则伯德图如图5-7所示。

1

5 0.2

图5-7 对数频率特性 ①令L( c) 0，即A( c) 1,可求得 c：

由图5-7

可知： c 1

1

1，则T1

(

c

1

)2 1

c

1

c 2

1

5，则(c)2 1 1

T25

所以有： A( c)

2

c(

c

1

)2 1(

c

5

1 )2 1

2

c

c

1

2 c 1

2

c2 2, c 2 1.414

( c) 900 arctg c arctg0.2 c 900 54.70 15.80 160.50

1800 ( 0c) 180 160.50 19.50

②令 ( g) 1800，可求得 g ：

( 0g) 90 arctg g arctg0.2 g 1800 ，

arctg .2 g

g arctg0.2 g arctg

11 0.2 2

900

g

所以 1 0.2 2

g 0， 即 g 2.24

g

2g(

)2 1(g

K15

) 1

g

A( g)

1

2

3

由于 0 及Kg 1，所以闭环系统是稳定的。

（2）由于增益裕量Kg表明：若系统的开环增益K增加Kg倍，则闭环系统达到临界稳定状态，所以增大开环放大倍数K，系统的稳定性会下降，当K 2 Kg 2 3时系统达到临界稳定状态，当K1 30时系统不稳定。

[例5-6]已知某单位负反馈最小相位系统的对数幅频特性曲线如图5-8(1)写出该系统的开环传递函数；

(2)求该系统的剪切频率 c和相位裕量 。

解：(1)根据对数幅频特性曲线图可知，低频段的斜率为 40dB/dec，故系统为Ⅱ型；当率由

40dB/dec变为 20dB/dec，故6，即K1 30: 1 5时，斜T

1

1

0.2

1

所示，试

为一阶比例微分环节的时间常数；当 2 100时，斜率由

20dB/dec变为 40dB/dec，故T2

1

0.01为惯性环节的时间常数；当 1时，

2

L( ) 1 20logK 40，

图5-8 最小相位系统伯德图 即K 100，所以系统的开环传递函数为：

G(s)H(s)

K(T1s 1)100(0.2s 1)

s2(T2s 1)

s2

(0.01s 1)

(2)令L( c) 0，

2

100( c

)2 1

即 A( 100(0.2 c) 1

c)

2

5

1 c

(0.01 2

c) 1

2c(

c

100

)2 1

100

c

亦即：

5 2 1

1 c

可求得： c 20

( 0c) 1800 arctg0.2 20 arctg0.01 20 1800 84.4 12.60

1800 ( c) 1800 108.20 71.80，

由于 0 ，所以闭环系统是稳定的。

[例5-7]已知某自动控制系统如图5-9(a)所示，试：

图5-9(a) 控制系统框图 （1）写出该系统的开环传递函数； （2）绘制该系统的伯德图； （3）求出 并判断系统稳定性；

.20

108

（4）当r(t) 4 1(t)时，求系统的ess。

解：（1）该系统的开环传递函数：

G(s)H(s)

10 40 4 0.01

(0.05s 1)(0.01s 1)(0.05

（2）绘制该系统的伯德图

该系统为0型系统，低频段为一水平线，且当 1时，L( ) 1 20log16 24dB；两个惯性环节的转

折频率分别为：

1

伯德图如图5-9(b)所示。

11 20， 2 100 0.050.01

图5-9(b) 系统的伯德图 （3）求出 并判断系统的稳定性

①令L( c) 20logA( c) 0，即

A( c)

(

16

c

20

)2 1(

c

100

1， )2 1

近似后：

16

c

20

c

100

1

可求得： c 20 100 179

② ( c) arctg0.05 179 arctg0.01 179 83.60 60.80 144.40

1800 ( c) 1800 144.40 35.60

由于 0 ，所以闭环系统是稳定的。也可以用奈氏判据判断：根据系统的开环传递函数可知P 0，从系统的伯德图上可以看出N N 0，由2(N N ) Z P可以计算出Z 0，即分布在S右半平面的系统闭环极点的个数为零，也就是说系统的所有闭环极点均

位于S的左半平面，所以闭环系统是稳定的。

（4）当r(t) 4 1(t)时，求ess： 显然a 4,b c 0，则

ess

abc4

1 KpKvKa1 Kp

而 Kp limG(s)H(s) lim

s 0

16

16

s 0(0.05s 1)(0.01s 1)

所以 ess 44

1 1617

四．习题

5-1.系统的开环传递函数为

试求：①绘制系统伯德图；

②确定闭环系统的稳定性；③求幅值裕度和相位裕度。5-2.系统的开环传递函数为

试求：①绘制系统伯德图；

②确定闭环系统的稳定性；③求幅值裕度和相位裕度。5-3.设单位反馈系统开环传递函数为试计算系统的 c和相位裕量 。5-4.设某控制系统开环传递函数：试求：①绘制系统伯德图；

②确定使系统临界稳定性的5-5.已知环节的对数幅频特性渐近线如图G(s)H(s) =

500(0.0167s 1)

s(0.05s 1)(0.0025s 1)(0.001s 1)

G(s)H(s)=

75(0.2s 1)

s2

(0.025s 1)(0.006s 1)

，

G(s)

10

s(s 1)(0.2s 1)

，

G(s)

K

s(0.1s 1)(0.5s 1)

，

K值。

5-10所示，试写出它们的传递函数。

，

图5-10 对数幅频特性渐近线

5-6．已知某随动控制系统如图5-11所示，图中Gc(s)的为检测环节与串联校正环节的传递函数，现设

Gc(s)

其中k1 10,T1 0.5

s，试：

k1(T1s 1)

,

T1s

图5-11 随动控制系统框图

（1）写出该系统的开环传递函； （2）绘制该系统的伯德图； （3）求出 并判断系统稳定性； （4）当r(t) 3 4t时，求系统的ess。

5-7．设系统开环频率特性的极坐标图如图5-12所示，试判断闭环系统的稳定性。

图5-12

极坐标图

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/g5g4.html