1997年全国高中数学联合竞赛试卷一试

http://gaoyun63.go.163.com

1997年全国高中数学联合竞赛试卷

(10月5日上午8:00?10:00)

一、选择题(每小题6分，共36分)

1．已知数列{xn}满足xn?1?xn?xn?1(n≥2)，x1?a, x2?b, 记Sn?x1+x2+?+xn，则下列结论正确的是

(A)x100??a,S100=2b?a (B)x100??b,S100?2b?a (C)x100??b,S100=b?a (D)x100??a,S100?b?a

2．如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得

AE?CF??(0?????)， AEBFD记f(?)??????其中??表示EF与AC所成的角，

??表示EF与BD所成的角，则 (A)f(?)在(0,??)单调增加 (B)f(?)在(0,??)单调减少

(C)f(?) 在(0,1)单调增加,而在(1，+?)单调减少 (D)f(?)在(0,+?)为常数

EBFCD3. 设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有

(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个

4．在平面直角坐标系中，若方程m(x2?y2?2y?1)?(x?2y?3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为

(A)(0,1) (B)(1,+?) (C)(0,5) (D)(5,+?)

?1),??arcctg(?5),则 5．设f(x)?x2??x,? ? arcsin1,??arctg5,??arccos(3434(A)f(?)?f(?)?f(?)?f(?) (B)f(?)?f(?)?f(?)?f(?) (C)f(?)?f(?)?f(?)?f(?) (D)f(?)?f(?)?f(?)?f(?)

6．如果空间三条直线a,b,c两两成异面直线，那么与a,b,c都相交的直线有 (A) 0条 (B) 1条 (C)多于1 的有限条 (D) 无穷多条

二、填空题(每小题9分，共54分)

(x?1)??1?(x?1)3?19971．设x,y为实数，且满足?，则x+y ? . 3(y?1)?1997(y?1)?1?y22?1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数?使2．过双曲线x?2得|AB| ??的直线l恰有3条，则?= .

3．已知复数z满足|2z?1|?1，则z的幅角主值范围是 ．

z第 1 页 共 2页

http://gaoyun63.go.163.com

4．已知三棱锥S?ABC的底面是以AB为斜边的等腰三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为 ．

5．设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种．

6．设a ?lgz+lg[x(yz)?1+1]，b ?lgx?1+lg(xyz+1)，c ?lgy+lg[(xyz)?1+1]，记a,b,c中最大数为M，则M的最小值为 ． 三、（本题满分20分） 设x≥y≥z≥?，且x+y+z ??，求乘积cosx siny cosz的最大值和最小值．

122四、(本题满分20分)

设双曲线xy?1的两支为C1,C2(如图)，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上． (1)求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；

(2)设P(?1,?1)在C2上， Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标．

y C1

x O

P(?1,?1)

C2

五、(本题满分20分)

设非零复数a1,a2,a3,a4,a5满足

?a2?a3?a4?a5?a1a2a3a4 ?11111?a1?a2?a3?a4?a5?4(????)?Sa1a2a3a4a5?其中S为实数且|S|≤2．

求证：复数a1,a2,a3,a4,a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．

第 2 页 共 2页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/g5e7.html