青岛理工大学概率论练习册第1章答案

习题1-2

1. 选择题

(1) 设随机事件A，B满足关系A?B,则下列表述正确的是( ). (A) 若A发生, 则B必发生. (B) A , B同时发生. (C) 若A发生, 则B必不发生. (D) 若A不发生，则B一定不发生.

解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D).

(2) 设A表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销. 解 设B表示“甲种商品畅销”，C表示“乙种商品滞销”，根据公式本题应选(D).

2. 写出下列各题中随机事件的样本空间:

(1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色;

(2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数； (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}；

(4) 设在生产第10件正品前共生产了n件不合格品，则样本空间为{10?n|n?0,1,2,?}.

3. 设A, B, C是三个随机事件, 试以A, B, C的运算关系来表示下列各事件：

(1) 仅有A发生；

(2) A, B, C中至少有一个发生; (3) A, B, C中恰有一个发生; (4) A, B, C中最多有一个发生; (5) A, B, C都不发生;

(6) A不发生, B, C中至少有一个发生. 解 (1) ABC; (2) A?B?C; (3) ABC?ABC?ABC;

(4) ABC?ABC?ABC?ABC; (5) ABC; (6) A(B?C).

4. 事件Ai表示某射手第i次(i=1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件： (1) A1∪A2; (2) A1∪A2∪A3; (3)A3; (4) A2－A3; (5)A2?A3； (6)A1A2. 解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标.

习题1-3

B?C?B?C,

1. 选择题

(1) 设A, B为任二事件, 则下列关系正确的是( ).

(A)P(A?B)?P(A)?P(B). (B)P(A?B)?P(A)?P(B). (C)P(AB)?P(A)P(B). (D)P(A)?P(AB)?P(AB).

解 由文氏图易知本题应选(D).

(2) 若两个事件A和B同时出现的概率P(AB)=0, 则下列结论正确的是 ( ).

(A) A和B互不相容. (B) AB是不可能事件. (C) AB未必是不可能事件. (D) P(A)=0或P(B)=0. 解 本题答案应选(C).

2. 设P(AB)=P(AB), 且P(A)＝p，求P(B).

解 因 P(AB)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)?P(AB), 故P(A)?P(B)?1. 于是P(B)?1?p.

3. 已知P(A)?0.4,P(B)?0.3,P(A?B)?0.4, 求P(AB). 解 由公式P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)知P(AB)?0.3. 于是

P(AB)?P(A)?P(AB)?0.1.

4. 设A, B为随机事件,P(A)?0.7,P(A?B)?0.3, 求P(AB).

解 由公式P(A?B)?P(A)?P(AB)可知,P(AB)?0.4. 于是P(AB)?0.6. 5. 设A, B是两个事件, 且P(A)?0.6, P(B)?0.7.问: (1) 在什么条件下P(AB)取到最大值, 最大值是多少？ (2) 在什么条件下P(AB)取到最小值, 最小值是多少？ 解 P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)=1.3?P(A?B).

(1) 如果A?B?B, 即当A?B时, P(A?B)?P(B)=0.7, 则P(AB)有最大值是0.6 .

(2) 如果P(A?B)=1，或者A?B?S时, P(AB)有最小值是0.3 .

6. 已知P(A)?P(B)?P(C?),P(AB)?0, P(AC)?P(BC)?411, 12求A, B, C全不发生的概率.

解 因为ABC?AB,所以0≤P(ABC)≤（=0, 即有P(ABC)=0. PAB）由概率一般加法公式得

P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)?7.12 由对立事件的概率性质知A ,B, C全不发生的概率是

P(ABC)?P(A?B?C)?1?P(A?B?C)? 习题1-4

1. 选择题

512.

在5件产品中, 有3件一等品和2件二等品. 若从中任取2件, 那么以0.7

为概率的事件是( )．

(A) 都不是一等品. (B) 恰有1件一等品. (C) 至少有1件一等品. (D) 至多有1件一等品.

解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品, 其中只含有一件一等品的概率为

C3?C2C5211, 没有一等品的概率为

C3?C2C5202, 将两者加起即为0.7.

答案为（D）.

2. 从由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件. 求: (1) 恰有1件次品的概率; (2) 恰有2件次品的概率; (3) 至少有1件次品的概率; (4) 至多有1件次品的概率; (5) 至少有2件次品的概率.

12C5C45解 (1) 恰有1件次品的概率是;(2) 恰有2件次品的概率是3C5013C52C45C50C45; (3 )至少有1件次品的概率是1-; (4) 至多有1件次品的概率是33C50C50123130C5C45C50C45C52C45C5C45+; (5) 至少有2件次品的概率是+. 3333C50C50C50C503. 袋中有9个球, 其中有4个白球和5个黑球. 现从中任取两个球. 求： (1) 两个球均为白球的概率；

(2) 两个球中一个是白的, 另一个是黑的概率； (3）至少有一个黑球的概率.

解 从9个球中取出2个球的取法有C9种，两个球都是白球的取法有C4种，一黑一白的取法有C5C4种，由古典概率的公式知道

2C4(1) 两球都是白球的概率是2;

C911C5C4(2) 两球中一黑一白的概率是;

C921122C42(3) 至少有一个黑球的概率是1?2.

C94. 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 求下列事件的概率:(1) 两数之和小于

61;(2) 两数之积小于;(3) 以上两个条件同时满足;(4) 两数之差的绝对值小541于的概率. 2解 设X, Y为所取的两个数, 则样本空间S = {(X, Y)|0

1441???6255?17?0.68; (1) P{X+Y<}=5125111111(2) P{XY<}=?1??1dx??ln4?0.6;

444444x61(3) P{X+Y<, XY<}

540.26860.9321116=?1??1(?x)dx??dx??(?x)dx≈0.593.

0.2684x0.9325555(4) 解 设x, y为所取的两个数, 则样本空间Ω = {(x, y)|0

1}. 参见图1-1. 2

图1-1 第2题样本空间

1111?2???S222?3, 故 P(A)?A?S?14其中 SA, SΩ分别表示A与Ω的面积.

习题1-5

1. 选择题

(1) 设随机事件A, B满足P(A|B)=1, 则下列结论正确的是( )

(A) A是必然事件. (B) B是必然事件.

(C) AB?B. (D)P(AB)?P(B). 解 由条件概率定义可知选(D).

(2) 设A, B为两个随机事件, 且0?P(A)?1, 则下列命题正确的是( ).

(A) 若P(AB)?P(A), 则A, B互斥. (B) 若P(BA)?1, 则P(AB)?0.

(C) 若P(AB)?P(AB)?1, 则A, B为对立事件. (D) 若P(B|A)?1, 则B为必然事件. 解 由条件概率的定义知选（B）．

2. 从1,2,3,4中任取一个数, 记为X, 再从1,2,?,X中任取一个数, 记为Y,求P{Y=2}.

解 解 P{Y=2}=P{X=1}P{Y=2|X=1}+P{X=2}P{Y=2|X=2}

+P{X=3}P{Y=2|X=3}+P{X=4}P{Y=2|X=4} =

111113×(0+++)=. 4234483. 口袋中有b个黑球、r个红球, 从中任取一个, 放回后再放入同颜色的球a个. 设Bi={第i次取到黑球}, 求P(B1B2B3B4).

解 用乘法公式得到

P(B1B2B3B4)?P(B1)P(B2|B1)P(B3|B1B2)P(B4|B1B2B3)

?bb?arr?a???. b?rb?r?ab?r?2ab?r?3a注意, a = 1和a = 0分别对应有放回和无放回抽样. 4. 甲、乙、丙三人同时对某飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7. 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2, 被两人击中而被击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落. 求该飞机被击落的概率.

解 目标被击落是由于三人射击的结果, 但它显然不能看作三人射击的和事件. 因此这属于全概率类型. 设A表示“飞机在一次三人射击中被击落”, 则Bi(i?0,1,2,3)表示“恰有i发击中目标”. Bi为互斥的完备事件组. 于是

没有击中目标概率为P(B0)?0.6?0.5?0.3?0.09, 恰有一发击中目标概率为

P(B1)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36,

恰有两发击中目标概率为

P(B2)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.4?0.5?0.7?0.41,

恰有三发击中目标概率为

P(B3)?0.4?0.5?0.7?0.14. )?0,P(A1|B?)又已知 P(A|B00.P2,A2(B?|)0P.6A,?B(, 3|)1所以由全概率公式得到

P(A)??P(Bi)P(A|Bi)?0.36?0.2?0.41?0.6?0.14?1?0.458.

i?035. 在三个箱子中, 第一箱装有4个黑球, 1个白球; 第二箱装有3个黑球,

3个白球; 第三箱装有3个黑球, 5个白球. 现任取一箱, 再从该箱中任取一球. (1) 求取出的球是白球的概率；(2) 若取出的为白球, 求该球属于第二箱的概率.

Hi表示解 (1)以A表示“取得球是白球”，“取得球来至第i个箱子”,i=1,2,3. 则P(Hi)=

1115, i=1,2,3, P(A|H1)?,P(A|H2)?,P(A|H3)?. 3528由全概率公式知

P(A)=P(H1)P(A|H1)?P(H2)P(A|H2)?P(H3)P(A|H3)?53. 120P(AH2)P(H2)P(A|H2)20 (2) 由贝叶斯公式知 P(H2|A)= ??P(A)P(A)536. 某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 其产量分别占全厂总产量的

40%, 38%, 22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取一件进行检查.

(1) 求这件产品是次品的概率;

(2) 已知抽得的一件是次品, 问此产品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是多少？

解 设A表示“取到的是一件次品”, Bi(i=1, 2, 3)分别表示“所取到的产品来自甲、乙、丙工厂”. 易知, B1,B2,B3是样本空间S的一个划分, 且

P(B1)?0.4,P(B2)?0.38,P(B2)?0.22，P(A|B1)?0.04,P(A|B2)?0.03,P(A|B3)?0.05.

(1) 由全概率公式可得

P(A)?P(A|B1)P(B1)?P(A|B2)P(B2)?P(A|B3)P(B3)

?0.4?0.04?0.38?0.03?0.22?0.05 .

?0.0384.(2) 由贝叶斯公式可得

P(A|B1)P(B1)0.4?0.045P(B1|A)???,

P(A)0.038412 P(B2|A)? P(B3|A)?1. 选择题

P(A|B2)P(B2)P(A)P(A|B3)P(B3)?0.38?0.030.03840.22?0.050.0384??196455, .

?P(A)习题1-6

192 (1) 设随机事件A与B互不相容, 且有P(A)>0, P(B)>0, 则下列关系成立的是( ).

(A) A, B相互独立. (B) A, B不相互独立. (C) A, B互为对立事件. (D) A, B不互为对立事件. 解 用反证法, 本题应选(B).

(2) 设事件A与B独立, 则下面的说法中错误的是( ). (A) A与B独立. (B) A与B独立. (C) P(AB)?P(A)P(B). (D) A与B一定互斥.

与B,A与B及A与B也相互独立. 因此本题 解 因事件A与B独立, 故A应选(D).

(3) 设事件A与 B相互独立, 且0

(A) P(A|B)?P(A). (B) P(AB)?P(A)P(B). (C) A与B一定互斥. (D)

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B).

与B也相互独立, 于是(B)是正确的. 再由条解 因事件A与B独立, 故A件概率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的. 从而本题应选(C).

2．设A, B是任意两个事件, 其中A的概率不等于0和1, 证明

P(B|A)=P(BA)是事件A与B独立的充分必要条件.

证 由于A的概率不等于0和1, 故题中两个条件概率都存在.

充分性. 因事件A与B独立, 知事件A与B也独立, 因此

P(BA)?P(B),P(BA)?P(B),

从而 P(BA)?P(BA).

必要性. 已知P(BA)?P(BA), 由条件概率公式和对立事件概率公

式得到

P(AB)P(A)?P(AB)P(A)?P(B)?P(AB)1?P(A),

移项得 P(AB)?1?P(A)??P(A)P(B)?P(A)P(AB),

化简得 P(AB)=P(A)P(B), 因此A和B独立.

3. 设三事件A , B和C两两独立, 满足条件：

19ABC??,P(A)?P(B)?P(C)?, 且P(A?B?C)?,

216求P(A).

解 根据一般加法公式有

P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AC)?P(AB)?P(BC)?P(ABC). 由题设可知 A, B和C 两两相互独立, ABC??, P(A)?P(B)?P(C)?因此有 P(AB)?从而

12,

P(AC)?2P(B?C)[P(A)],P(A?BC)?P?( )0,P(A?B?C)?3P(A)?3[P(A)]2?于是P(A)?916,

344244． 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率为p(0

解 “第4次射击恰好第2次命中” 表示4次射击中第4次命中目标, 前3

122次射击中有一次命中目标. 由独立重复性知所求概率为 C3p(1?p).

5. 甲、乙两人各自向同一目标射击, 已知甲命中目标的概率为 0.7, 乙命中目标的概率为0.8. 求：

(1) 甲、乙两人同时命中目标的概率； (2) 恰有一人命中目标的概率； (3) 目标被命中的概率.

解 甲、乙两人各自向同一目标射击应看作相互独立事件. 于是

(1) P(AB)?P(A)P(B)?0.7?0.8?0.56;

(2) P(AB)?P(AB)?0.7?0.2?0.3?0.8?0.38;

(3) P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?0.7?0.8?0.56?0.94.

总 习 题 一

1. 选择题：设A,B,C是三个相互独立的随机事件, 且0?P(C)?1, 则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( ).

(A)A?B与C. (B)AC与C.

(C) A?B与C. (D) AB与C.

解 由于A, B, C是三个相互独立的随机事件, 故其中任意两个事件的和、

或P(A)?1, 再根据题设P(A)?1, 故P(A)?1.

差、交、并与另一个事件或其逆是相互独立的, 根据这一性质知(A), (C), (D)三项中的两事件是相互独立的, 因而均为干扰项, 只有选项(B)正确..

2. 一批产品由95件正品和5件次品组成, 先后从中抽取两件, 第一次取出后不再放回.求: (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率; (2) 抽得一件为正品, 一件为次品的概率.

95?519解 (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率为. ?100?9939695?5?5?9519(1) 抽得一件为正品，一件为次品的概率为?.

100?991983. 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的. 已知其中有第一家工厂生产的, 其它二厂各生产

1的产品是21. 又知第一、第二家工厂生产的产品中4有2%是次品, 第三家工厂生产的产品中有4%是次品. 现从此箱中任取一件 产品, 求取到的是次品的概率.

解 从此箱中任取一件产品, 必然是这三个厂中某一家工厂的产品. 设 A={取到的产品是次品}, Bi={取到的产品属于第i家工厂生产}, i=1, 2, 3. 由于BiBj=?(i≠j, i, j=1, 2, 3)且B1∪B2∪B3=S, 所以B1, B2, B3是S的一个划分. 又 P(B1)=

111, P(B2) =, P(B3)=, 244224P(A| B1)=, P(A| B2)=, P(A| B3)=,

100100100由全概率公式得

P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A| B3)

=

121214=0.025. ?????2100410041004. 某厂自动生产设备在生产前须进行调整. 假定调整良好时, 合格品为90%; 如果调整不成功, 则合格品有30%. 若调整成功的概率为75%, 某日调整后试生产, 发现第一个产品合格. 问设备被调整好的概率是多少？

解 设A={设备调整成功}, B={产品合格}. 则全概率公式得到

P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.75?0.9?0.25?0.3?0.75.

由贝叶斯公式可得

P(A|B)?P(AB)P(B)?P(A)P(B|A)0.75?0.9??0.9.

P(B)0.755. 将两份信息分别编码为A和B传递出去. 接收站收到时, A被误收作B

的概率为0.02, 而B被误收作A的概率为0.01, 信息A与信息B传送的频繁程度为2:1. 若接收站收到的信息是A, 问原发信息是A的概率是多少？

解 以D表示事件“将信息A传递出去”，以D表示事件“将信息B传递出去”，以R表示事件“接收到信息A”,以R表示事件“接收到信息B”.已知

21P(RD)?0.02,P(RD)?0.01,P(D)?,P(D)?.

33由贝叶斯公式知

P(DR)?P(RD)P(D)P(DR)196??.

P(R)P(RD)P(D)?P(RD)P(D)197

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