21 线性赋范空间

第二章 线性赋范空间与内积空间

Normed Linear Spaces and Inner Product Spaces

前面介绍了度量空间及其性质，在那里通过定义距离的概念，引入了点列的极限，这种点列极限是微积分中数列极限在抽象空间的推广．然而只有距离结构，没有代数结构的空间在应用上受到许多限制．本章通过在线性空间中定义范数来赋予线性空间上的一种特殊距离，从而将收敛的概念引入到线性空间，由此导出线性赋范空间的概念，如果这种空间的两个向量再赋予类似欧氏空间的“内积”或“点积”的概念后，便是内积空间．因此本章的主要内容就是线性赋范空间与内积空间．

2.1 线性赋范空间的定义与极限

在学习高等代数时，我们已了解到线性空间的概念，线性赋范空间，简单地说，就是给线性空间赋予范数．

定义2.1.1 线性空间

设X为一非空集合，R表示实数域(或为复数域C)．在X中定义了元素的加法运算以及实数(或复数)与X中元素的乘法运算，且满足下列条件：

1. 关于加法“+”：?xy,X?有?x,y,z?X，

(1) x?y?y?x (交换律)；

(2) (x?y)?z?x?(y?z) (结合律)；

(3) 在X中存在唯一元素?，使得?x?X，有x???x，则称?为X中零元素； (4) ?x?X，存在唯一元素x??X，使得x?x?=?，称x?为x的负元素，记为?x. 2. 对X中每个元素x及任何实数(或复数)a，存在元素u?X与之对应，记为u=ax，称u为a与x的数乘，且满足?x,y?X，??,??R(或C)

，?u?X与之对应，记为u?x?y，称u为x与y的和，且具

(1) (???)x??x??x (分配律)；

(2) ?(x?y)??x??y (数因子的分配律)； (3) ?(?x)?(??)x (结合律)； (4) 1x?x (单位1).

则称X按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间，X中的元素称为向量.如果数乘运算只对实数(或只对复数)有意义，则称X是实(或复)线性空间. 满足上述加法和数承运算的性质，统称为线性运算．

我们知道，n维欧式空间Rn是线性空间；C[a,b]在通常加法和数乘意义下构成线性空间；n阶实矩阵在矩阵的加法和数乘意义下构成线性空间．

2.1.1 线性赋范空间的定义与举例

定义 2.1.2 线性赋范空间Normed Linear Spaces

设X是数域K上的线性空间，其中K表示R或者C．若对每个x?X，有一个确定的实数，记之为x，与之对应，并且?x,y?X，??K满足：

(1) ||x||?0，||x||?0?x?0 (正定性or非负性)；Positive definiteness or Nonnegativity (2) ||?x||?|?|?||x|| (齐次性)；Multiplicativity

(3) ||x?y||?||x||?||y|| (三角不等式). Triangle inequality

则称||x||为向量x的范数(norm)，称(X,|| ||)为线性赋范空间.简记为X．通常称定义中的(1)、 (2) 、(3)为范数公理．

注1：线性赋范空间诱导的度量空间

在线性赋范空间X中可定义距离：?x,y?X，定义

d(x,y)?||x?y||

容易验证非负性、对称性和三角不等式(X,d)为度量(距离)空间，并称d为由范数||?||导出的距离，X按导出的距离成为一个度量空间．从而在线性赋范空间X中，关于点的邻域、开集、闭集、点列的收敛、极限点、列紧、可分性以及完备性等概念都有了确定的含义．

定义 2.1.3 巴拿赫空间Banach space

设X为一线性赋范空间，如果X按照距离d(x,y)?||x?y||是完备的，则称X为巴拿赫(Banach)空间.即完备的线性赋范空间称为Banach空间.

例 2.1.1 在n维欧式空间Rn上，?x?(x1,x2,?,xn)?Rn，定义范数||?||

22． ||x||?(?|xi|)?x12?x2???xni?1n122记d为由范数||?||导出的距离d(x,y)?||x?y||，证明(Rn,d)为Banach空间.

证明 容易验证正定性和齐次性成立，由于第二章已经证明Rn上距离

d(x,y)?||x?y||?(?|xi?yi|)

i?1n122满足三角不等式，所以有

??||x?y||?d(x,?y)?d(x,0)?d(0,?y)?||x||?||y||．

同时第二章已经证明Rn是完备的度量空间，故Rn为Banach空间．□

例 2.1.2 在C[a,b]在通常加法和数乘意义下构成线性空间，定义范数||x||?max|x(t)|，此

t?[a,b]范数导出的距离为d(x,y)?||x?y||?max|x(t)?y(t)|，证明在此距离下C[a,b]是完备的，即在此

t?[a,b]范数下C[a,b]为Banach空间．

证明 容易验证正定性和齐次性成立，又

||x?y||?max|x(t)?y(t)|?max|x(t)|?max|y(t)|?||x||?||y||

t?[a,b]t?[a,b]t?[a,b]即满足三角不等式．第二章已证明C[a,b]在此范数诱导的距离意义下是完备的度量空间，故

C[a,b]为Banach空间．□

也可证明线性空间l?，lp，Lp[a,b](1?p???)为Banach空间，加之前两个例题的结果知在下列定义的范数意义下，均为Banach空间：

n维欧式空间R

nn122||x||?(?|xi|)

i?1x?(x1,x2,?,xn)?Rn

x?(x1,x2,?,xn,?)?l?有界数列空间l p次幂可和的数列空间lp

?||x||?sup|xi|

i?1

1p||x||?(?|xi|)

pi?1?x?(x1,x2,?,xn,?)?lp

x?C[a,b]

1p连续函数空间C[a,b] p次幂可积函数空间

L[a,b]

p||x||?max|x(t)|

t?[a,b]||x||?(?[a,b]|x(t)|dt)px?Lp[a,b]

b

例 1.3 在C[a,b]上定义范数||x||1??a|x(t)|dt，其导出的距离为

d1(x,y)?||x?y||1??|x(t)?y(t)|dt，

ab那么在范数||?||1下C[a,b]不是Banach空间．

证明 仿照前章证明C[0,1]在d1下不是完备的度量空间，可知(C[a,b],d1)不是完备的度量空间，又因||x?y||1??a|x(t)?y(t)|dt??a|x(t)|dt??a|y(t)|dt?||x||1?||y|||1，可知||?||1符合范数的三条公理．故在范数||?||1下C[a,b]不是Banach空间．□

如果在线性空间X上具有定义好的距离函数d(x,y)，那么(X,d)就为一度量空间，试问是否在存在X上的某范数||?||，使得d是由这个范数||?||导出的距离，即满足d(x,y)?||x?y||．答案是否定的．

例 2.1.4 设X为线性赋范空间，令

?0d(x,y)???||x?y||?1x?yx?ybbb

证明(X,d)为度量(距离)空间，但d不是由某范数||?||导出的距离．

证明 显然距离d(x,y)定义中的非负性和对称性成立，?x,y,z?X，下证三角不等式成立 当x?y时，则d(x,y)?0?d(x,z)?d(z,y)； 当x?y时分为三种情况：(1)x?z和y?z．

d(x,y)?||x?y||?1?||x?z?z?y||?1?||x?z||?||z?y||?1?d(x,z)?d(z,y)．

(2)x?z和y?z．注意到||x?z||?0和d(x,z)?0，所以有

d(x,y)?||x?y||?1?||x?z||?||z?y||?1?d(x,z)?d(z,y)．

(3)x?z和y?z．注意到||z?y||?0和d(z,y)?0，所以有

d(x,y)?||x?y||?1?||x?z||?1?||z?y||?d(x,z)?d(z,y)．

因此(X,d)是度量空间．假设d是由某范数||?||1导出的距离，即d(x,y)?||x?y||1，于是当x??及?x??时有

||x||1?d(x,?)?||x||?1； ||?x||1?d(?x,?)?|?|||x||?1；

可见

|?|||x||1?|?|d(x,?)?|?|(||x||?1)

显然|?|||x||1?||?x||1产生矛盾，故d不是由某范数导出的距离．□

问题：对于实数集R上定义的离散度量空间d(R,d0)，是否存在某范数使得离散度量d0是由该范数诱导的度量？

定义 2.1.4 线性赋范空间的子空间

设X为一线性赋范空间，如果X1是X的线性子空间，并且X1上的范数是X上的范数在X1上的限制，则称X1是线性赋范空间X的子空间．如果X1在X中是闭的，则称X1为X的闭子空间．

复习：完备度量空间X的子空间M是完备的充要条件M是X的闭子空间．

2.1.2 线性赋范空间的极限

根据范数导出的距离d(x,y)?||x?y||可以得到有关极限的概念，并且可讨论线性赋范空间中点列的收敛性．

定义 2.1.5 依范数收敛

设X为线性赋范空间，{xn}是X中的点列，x?X，如果limxn?x?0，则称{xn}依范数

n??收敛于x(简称{xn}收敛于x)，记为limxn?x或xn?x(n??)．

n??显然依范数收敛就是按范数导出的距离收敛．关于点列的极限有以下性质． 定理 2.1.1 设X为线性赋范空间，{xn}?X，

(1)范数的连续性：范数x是x的连续函数(即若xn?x，则有xn?x)． (2)有界性：若{xn}收敛于x，则{xn}有界．

(3)线性运算的连续性：若xn?x，yn?y(n??)，则xn?yn?x?y，?xn??x(n??)，其中?为常数．

证明 (1) 设f(x)?x，则f：X?R，若xn?x，即

xn?x?d(xn,x)?0，

又因为xn?xn?x?x，x?x?xn?xn，所以

f(xn)?f(x)?xn?x?xn?x?0，

因此x是x的连续函数．

(2) 根据xn?xn?x?x易得结论． (3) 根据范数、极限的定义易证结论．□

在线性赋范空间中，由于范数刻画了向量的长度，因此，赋范空间中的概念具有更强的几何直观性．

定理 2.1.2 设X为线性赋范空间，d是由范数导出的距离，则?x,y,z0?X，??K(数域) 有：

(1)平移不变性：d(x?z0,y?z0)?d(x,y)． (2)绝对齐次性：d(?x,?y)??d(x,y)．

证明 (1) d(x?z0,y?z0)?(x?z0)?(y?z0)?x?y?d(x,y)． (2) d(?x,?y)??x??y??(x?y)??x?y??d(x,y)．

2.1.3 线性赋范空间上的级数

在线性赋范空间中，既有代数运算，又有极限运算，因此可以引进无穷级数的概念． 定义 2.1.6 级数 Progression

设X为线性赋范空间，点列{xn}?X，称表达式x1?x2???xn????xn为X中的级

n?1?数．若部分和点列Sn?x1?x2???xn依范数收敛于s?X，则称级数?xn收敛于s，称s为级

n?1?数的和，记为s??xn．如果数项级数?xn收敛，则称级数?xn绝对收敛．

n?1n?1n?1???例 2.1.5 证明在Banach空间中，绝对收敛的级数必收敛．(习题)

证明 设级数?xk绝对收敛，令Sn??xk，下面证明{Sn}是X中的柯西列，当m?n时，

k?1k?1?n有

Sm?Sn?xn?1?xn?2???xm

?xn?1?xn?2???xm

?k?n?1??xk??xk??xk?0,

k?1k?1?n因此{Sn}是完备空间X中的柯西列，从而是收敛列，即级数的部分和点列收敛．

例 2.1.6 如果在线性赋范空间X中，任何级数的绝对收敛总蕴含级数收敛，那么X是完备的(即为Banach空间)．(习题课)

由上例子可知，当且仅当在Banach空间中有级数的绝对收敛蕴含着收敛． 定义2.1.6 绍德尔(Schauder)基

设X为线性赋范空间，{en}是X中的一个点列，如果对于每一个x?X，存在唯一的数列

{?n}，使得

x?(?1e1??2e2????nen)?0(n??)

则称{en}是空间X中的一组绍德尔基，称x???nen为x的展开式．

n?1?例如，p次幂可和的数列空间lp有一个绍德尔基{en}，其中en?(0,?,0,1,0,?,0,?)，en的第n个坐标等于1，其余坐标为0．可以证明，若线性赋范空间X有一组绍德尔基，则X是可分的线性赋范空间，反之不真．

2.1.4 线性赋范空间的完备化

|maxx|t(下)|是Banach空间，在范数由例2.1.3及2.1.4可知C[a,b]在范数||x|?t?[a,b]||x||2?(?|x(t)|dt)下不是Banach空间，同时知(C[a,b],?2)?L2[a,b]，而L2[a,b]是完备的空

2ab12间，即为Banach空间．

定义 2.1.7 线性等距同构

设(X1,?1)，(X2,?2)是同一数域K上的两个线性赋范空间，如果存在一一映射T：

X1?X2，满足：

(1) 线性：?x,y?X1，?,??K，T(?x??y)??T(x)??T(y)． (2) 等距：?x?X1，Tx2?x1．

则称X1和X2线性等距同构，并称映射T是线性等距同构映射．

在线性等距同构意义下，两个空间可看成“同”一个空间 定理 2.1.3 完备化定理

设X为线性赋范空间，那么存在Banach空间Y，使X和Y的一个稠密子空间Y1线性等距同构，且在线性等距同构意义下，Y是唯一的．

数学家简介

斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach，1892年3月30日－1945年8月31日），波兰数学家

1892年3月30日生于克拉科夫,1945年8月31日卒于利沃夫曾在克拉科夫的贾吉洛尼亚大学和利沃夫工业大学短期学习,但他主要靠自学1916 年结识H.斯坦豪斯后，开始科学研究,1920年获博士学位,1922年任利沃夫大学讲师，1927年为教授．成为泛函分析的开创者之一．不久在他和斯坦豪斯周围集中了一批年轻学者,发展成为利沃夫学派,并在1929年创办了第一个泛函分析杂志《数学研究》．1932年出版了他的名著《线性算子理论》．他在1936年的国际数学家大会上做了全会报告，

这表明数学界重视波兰学者对泛函分析的研究．1939年被选为波兰数学会主席．第二次世界大战中，波兰被德国占领，他在一所医学研究所做喂养昆虫的工作．苏联军队攻克利沃夫后，他才回到大学工作，不过这时他已患肺癌．

巴拿赫的主要工作是引进线性赋范空间概念，建立其上的线性算子理论，他证明的三个基本定理（哈恩—巴拿赫线性泛函延拓定理，巴拿赫－斯坦豪斯定理即共鸣定理，闭图像定理）概括了许多经典的分析结果，在理论上和应用上都有重要的价值．人们把完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间．此外,在实变函数论方面,他在1929年同K.库拉托夫斯基合作解决了一般测度问题．在集合论方面，他于1924年同A.塔尔斯基合作提出巴拿赫－塔尔斯基悖论．1945年8月31日巴拿赫因肺癌在乌克兰的利沃夫逝世，逝世后在当地被葬．1946年波兰数学协会为纪念他颁发巴拿赫奖．

线性与非线性泛函◇

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