椭圆综合测试题（含答案）.doc

椭圆综合测试题

1．离心率为

2，长轴长为6的椭圆的标准方程是（ ） 3x2y2x2y2x2y2 （A）??1 （B）??1或??1

959559x2y2x2y2x2y2 （C）??1 （D）??1或??1

3620362020362.动点P到两个定点F1（- 4，0）.F2（4，0）的距离之和为8，则P点的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.不能确定

y2?1，则椭圆的焦点坐标为（ ） 3.已知椭圆的标准方程x?102A.(?10,0) B.(0,?10) C.(0,?3) D.(?3,0)

x2y24.已知椭圆??1上一点P到椭圆的一焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离是（ ）

59A.25?3 B.2 C.3 D.6

x2y25.如果2??1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围为（ ）

aa?2A.(?2,??) B.??2,?1???2,??? C.(??,?1)?(2,??) D.任意实数R

????????x2y2??1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP?FP的最大值6. 若点O和点F分别为椭圆43为（ ）

A.2 B.3 C.6 D.8

x2y2x2y27.方程 ?2?1（a＞b＞0,k＞0且k≠1)与方程2?2?1（a＞b＞0)表示的椭圆（ ）. 2kakbabA.有相同的离心率；B.有共同的焦点；C.有等长的短轴.长轴； D.有相同的顶点.

x2y238 （12）已知椭圆C:2?2?1(a＞b＞0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线与C相

2ab????????交于A、B两点．若AF?3FB，则k?( )

（A）1 （B）2 （C）3 （D）2

9 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.

4321 B. C. D. 5555第 1 页 共 4 页

????????x2y210 若点O和点F分别为椭圆??1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP?FP的最大

43值为( ) A．2

B．3 C．6

D．8

x2y211 椭圆2?2?1?a＞b＞0?的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A．在椭圆上存在点P满足线

ab段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是( )

（A）（0，211] （B）（0，] （C）[2?1，1） （D）[，1） 222212 若直线y?x?b与曲线y?3?4x?x有公共点，则b的取值范围是( ) A.[1?22,1?22] C.[-1,1?22]

B.[1?2,3] D.[1?22,3] 二、填空题：（本大题共4小题，共16分.）

13 若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是

x2y214 椭圆??1上一点P与椭圆两焦点F1, F2的连线的夹角为直角，则Rt△PF1F2的面积为 .

492415 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D， 且

BF?2FD，则C的离心率为 . 2x0x222?1,则|PF1|+PF2|的取值范16 已知椭圆c:?y?1的两焦点为F1,F2,点P(x0,y0)满足0??y022围为____ ___。

三、解答题：(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

x2y2??1上，MP'垂直于椭圆焦点所在的直线，垂直为P'，并且M为线17.（12分）已知点M在椭圆

259段PP的中点，求P点的轨迹方程

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'

x2y2518.(12分)椭圆过中心O作直??1(0?m?45)的焦点分别是F1和F2，已知椭圆的离心率e?345m线与椭圆交于A，B两点，O为原点，若?ABF2的面积是20，求：（1）m的值（2）直线AB的方程

x2y219（12分）设F1，F2分别为椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C 相交

ab?于A,B两点，直线l的倾斜角为60，F1到直线l的距离为23.

（Ⅰ）求椭圆C的焦距；

??????????（Ⅱ）如果AF2?2F2B,求椭圆C的方程.

x2y220（12分）设椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，

ab????????直线l的倾斜角为60,AF?2FB.

o

(I) (II)

求椭圆C的离心率； 如果|AB|=

15，求椭圆C的方程. 4第 3 页 共 4 页

21（12分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于?1. 3(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；

(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

x2y2322 （14分）已知椭圆2?2?1（a>b>0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为

2ab4.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）.

|= （i）若|AB42，求直线l的倾斜角； 5（0，y0） （ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且QA?QB?4.求y0的值.

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椭圆综合测试题参考答案

1.选择题： 题号 答案 1 B 2 B 3 C 4 C 5 B 6 C 7 A 8 B 9 B 10 C 11 D 12 D x02y023x0226、选C，设P?x0,y0?，则，又因为F??1,0? ??1即y0?3?434???????112?OP?FP?x0??x0?1??y02?x02?x0?3??x0?2??2，2,2又x0???44????????所以 OP?FP????????， ?OP?FP??2,6?，

????max?6.

8【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.

【解析】设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为垂足，过

B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，

，由，得，

∴即k=9

，故选B.

x02y02x02210【解析】由题意，F（-1，0），设点P(x0,y0)，则有??1,解得y0?3(1?)，

434????????????????2因为FP?(x0?1,y0)，OP?(x0,y0)，所以OP?FP?x0(x0?1)?y0

????????x02x02)=?x0?3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0??2，因为=OP?FP?x0(x0?1)?3(1?44????????22?2?x0?2，所以当x0?2时，OP?FP取得最大值?2?3?6，选C。

4【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值

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等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。

11 解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，

即F点到P点与A点的距离相等

a2b2而|FA|＝?c?

cc |PF|∈[a－c,a＋c]

b2于是∈[a－c,a＋c]

c即ac－c2≤b2≤ac＋c2

222??ac?c?a?c∴?2 22??a?c?ac?c?c?1??a??

cc1???1或??a2?a又e∈(0,1)

?故e∈??,1?

1?2?答案：D

12（2010湖北文数）9.若直线y?x?b与曲线y?3?4x?x有公共点，则b的取值范围是 A.[1?22,1?22] C.[-1,1?22]

B.[1?2,3] D.[1?22,3] 2

二、填空题：（本大题共4小题，共16分.）

13 若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是

x2y2??1上一点P与椭圆两焦点F1, F2的连线的夹角为直角，则Rt△PF1F2的面积为 . 14 椭圆

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15 （2010全国卷1文数）(16)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交Cuuruur于点D， 且BF?2FD，则C的离心率为 . 3【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程3与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.

【解析1】如图，|BF|?b?c?a,

22y B O D1 F D xuuruur作DD1?y轴于点D1,则由BF?2FD，得 |OF||BF|233??,所以|DD1|?|OF|?c,

|DD1||BD|322a23c3c23c即xD?,由椭圆的第二定义得|FD|?e(?)?a?

c22a23c23又由|BF|?2|FD|,得a?2a? ,?e?3ax2y2【解析2】设椭圆方程为第一标准形式2?2?1，设D?x2,y2?，F分 BD所成的比为2，

abxc?3y?b3?0?b0?2x2b?2y233b?x2?xc?c;yc??y2?c???，代入 1?2221?22229c21b23?e???1，

34a24b22x0x222?1,则16（2010湖北文数）15.已知椭圆c:?y?1的两焦点为F1,F2,点P(x0,y0)满足0??y022|PF1|+PF2|的取值范围为_______。 【答案】

?2,22,0?

【解析】依题意知，点P在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当P在原点处时(|PF1|?|PF2|)max?2 ，当P在椭圆顶点处时，取到(|PF1|?|PF2|)max为

x2x?x02?y?1?y?y0?1?2,22(2?1)?(2?1) =22 ，(x,y)2200故范围为.因为在椭圆的内部，则直线

?第 7 页 共 4 页

上的点（x, y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.

二.填空题： 13

33?2,2?2,0 14 24 15 16

35三.解答题：

17.解：设p点的坐标为p(x,y)，m点的坐标为(x0,y0)，由题意可知

?x0?x?x?x0?y?2y0??y??y0?2x2y2 ① 因为点m在椭圆??1上，所以有

25922x0y0x2y2??1 ② ， 把①代入②得??1，所以P点的轨迹是焦点在y轴上，标准方程为2592536x2y2??1的椭圆. 253618.解：（1）由已知e?2c5?，a?45?35，得c?5， a322所以m?b?a?c?45?25?20

（2）根据题意S?ABF2?S?F1F2B?20，设B(x,y)，则S?FFB?1?F1F2122y，F1F2?2c?10，所

x2y2??1，得x??3，所以B点的坐标为以y??4，把y??4代入椭圆的方程，所以直线（?3，?4）4520AB的方程为y?44x或y??x 3319（2010辽宁文数）（20）（本小题满分12分）

x2y2设F1，F2分别为椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C 相交于A,Bab?两点，直线l的倾斜角为60，F1到直线l的距离为23. （Ⅰ）求椭圆C的焦距；

??????????（Ⅱ）如果AF2?2F2B,求椭圆C的方程.

解：（Ⅰ）设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离3c?23,故c?2.

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所以椭圆C的焦距为4.

（Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知y1?0,y2?0,直线l的方程为y?3(x?2).

?y?3(x?2),?得(3a2?b2)y2?43b2y?3b4?0. 联立?x2y2?2?2?1b?a

?3b2(2?2a)?3b2(2?2a),y2?. 解得y1?22223a?b3a?b??????????因为AF2?2F2B,所以?y1?2y2.

3b2(2?2a)?3b2(2?2a)?2?. 即22223a?b3a?b得a?3.而a?b?4,所以b?5.

22

x2y2故椭圆C的方程为??1.

9520（2010辽宁理数）(20)（本小题满分12分）

x2y2设椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l

ab????????的倾斜角为60,AF?2FB.

o

(III) (IV) 解：

求椭圆C的离心率； 如果|AB|=

15，求椭圆C的方程. 4设A(x1,y1),B(x2,y2)，由题意知y1＜0，y2＞0. （Ⅰ）直线l的方程为 y?223(x?c)，其中c?a?b.

?y?3(x?c),?22224联立?x2y2得(3a?b)y?23bcy?3b?0

?2?2?1b?a?3b2(c?2a)?3b2(c?2a),y2?解得y1? 22223a?b3a?b????????因为AF?2FB，所以?y1?2y2.

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即

3b2(c?2a)?3b2(c?2a)?2? 22223a?b3a?b得离心率 e?c2?. ??6分 a31243ab215?2?. （Ⅱ）因为AB?1?y2?y1，所以23433a?b由

5515c2a.所以a?，得a=3，b?5. ?得b?344a3x2y2椭圆C的方程为??1. ??12分

9521（2010北京理数）（19）（本小题共14分）

在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于?1. 3(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；

(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

（I）解：因为点B与A(?1,1)关于原点O对称，所以点B得坐标为(1,?1). 设点P的坐标为(x,y) 由题意得

y?1y?11??? x?1x?1322 化简得 x?3y?4(x??1).

故动点P的轨迹方程为x?3y?4(x??1)

（II）解法一：设点P的坐标为(x0,y0)，点M，N得坐标分别为(3,yM),(3,yN). 则直线AP的方程为y?1?22y0?1y?1(x?1)，直线BP的方程为y?1?0(x?1) x0?1x0?1令x?3得yM?4y0?x0?32y0?x0?3，yN?.

x0?1x0?1于是?PMN得面积

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