数学分析答案

第2，3，11章 习题解答

习题2-1

1. 若自然数n不是完全平方数.证明n是无理数. 证明 反证法. 假若n?pq(p,q?N,且p,q互质)，于是由nq2?p2可知,q2是

p2的因子，从而得q2?1即p2?n,这与假设矛盾.

2. 设a,b是两个不同实数.证明在a和b之间一定存在有理数.

证明 不妨设a0, 所以存在正整数n,使得0<

1

mm综上可得 na

nn3. 设x为无理数.证明存在无穷多个有理数

pq(p,q为整数，q?0)使得x?pq?1q2.

证明 反证法. 假若只有有限个有理数满足不等式,即

x?令

piqi<

1qi2 , (i?1,2,3?,m)

??p??min?x?ii?1,2,3,?,m?

qi??取 N:N?1, 且选取整数p,q(0?q?N), 使得 ?p111, x??N?2

qqqNp1??N???, qqq qx?p?但因q是正整数，故又有x?从而可知

习题2-2

ppi? (i?1,2,3,?m), 这与假设矛盾. qqi1．求下列数集的上、下确界. （1）?1???1??1? n?N?, （2）?(1?)nn?N?, nn???

（3）?(?1)???n1?1??(?1)n?1n?N?, （4）?y|y?x2, x?(?1, )?. n2???答案： (1) 上确界1,下确界0; (2) 上确界e,下确界2; (3) 上确界1,下确界-1； (4) 上确界1,下确界0. 2．设E?x|x?2,x?Q，验证infE??2. 证 ?x?E,由x?2得x??2??2是E的一个下界.

另一方面，设?1??2也是E的下界，由有理数集在实数系中的稠密性，在(?2,?1)2区间中必有有理数x?，则x??2?x??E且x???1??1不是E的下界.按下确界定义，

2?2?infE??2.

3．用定义证明上（下）确界的唯一性.

证明 设?为数集E的上确界，即??supE.按定义，?x?E有x??.若??也是E的上确界且????.不妨设????，则对???????0,?x0?E有x0????(????)即

x0??, 矛盾.

下确界的唯一性类似可证.

4．试证收敛数列必有上确界和下确界，且上下确界中至少有一个属于该数列.趋于??的数列必有下确界，趋于??的数列必有上确界.

证法1 设{xn}为收敛数列，则{xn}非空有界，由确界存在原理，存在

??sup{xn}, ??inf{xn}.若???，则{xn}为常数数列，于是，?,??{xn}；若???

?k}使xnk??, xn?k??(k??)，这与 且??{xn},??{xn}，则存在两个子列{xnk},{xn{xn}收敛相矛盾.由此可得，?与?至少有一个属于{xn}.

证法2 设limxn?a，若{xn}为常数列，则结论显然成立；若{xn}不是常数列，

n??不妨设x1?a，对??x1?a2,?N0，当n?N0时，xn?U(a,?0)，而在邻域U(a,?0)外，

只有{xn}的有限多项.在这有限项中必存在{xn}的最大项或最小项，于是，{xn}的上下确界中至少有一个属于{xn}.

若xn???, 则{xn}有下界，所以必有下确界；若xn???，则{xn}有上界，所以必有上确界.

5．证明：单调减少有下界的数列必有极限.

证 设数列{xn}单调减少且有下界，根据确界存在原理{xn}有下确界，记

??inf{xn}.

由

(1) xn?? (n?1,2,?)；

(2) ???0,?xN?{xn} 使xN????.

因为{xn}单调减少，所以当n?N时，有xn?xN????. 于是有 0?xn????，故得 limxn??.

n?? 习题2-3

1．用区间套定理证明：有下界的数集必有下确界.

证 设a是E的一个下界，b不是E的下界，则a?b. 令c1?

1(a?b)，若c1是E的下界，则取a1?c1, b1?b； 2若c1不是E的下界，则取a1?a, b1?c1. 令c2?1(a1?b1)，若c2是E的下界，则取a2?c2, b2?b1； 2若c2不是E的下界，则取a2?a1, b2?c2；……，

按此方式继续作下去，得一区间套{[an,bn]}，且满足：an是E的下界，bn不是E的下界(n?1,2,?). 由区间套定理???[an,bn] n?1,2,?，且liman?limbn??.

n??n?? 下证??infE：

an?x??(1)?x?E 都有x?an (n?1,2,?)，而??limn??，即?是E的下界.

从而当n充分大以后，有bn???.而bn不是E的下界???不(2)?????,由于limbn??，

n??是E的下界，即?是最大下界.

2. 设f(x)在[a,b]上无界. 证明必存在x0?[a,b],使得f(x)在x0的任意邻域内无界.

证明 由条件知，f(x)在[a, (a?b)2]上或[(a?b)2, b]上无界，记使f(x)在其上无界的区间为[a1,b1]；再二等分[a1,b1]，记使f(x)在其上无界的区间为[a2,b2]，……，继续作下去，得一区间套{[an,bn]}，满足f(x)在[an,bn](n?1,2,?)上无界.根据区间套定理，

?x0?[an,bn] n?1,2,?，且liman?limbn?x0.

n??n??

因为对任意的??0，存在N，当n?N时，有[an,bn]?(x0??,x0??)，从而可知f(x) 在(x0??,x0??)上无界.

3. 设f(x),g(x)在[0,1]上满足f(0)?0,f(1)?0,若g(x)在[0,1]上连续, f(x)?g(x)在[0,1]上单调递增.证明存在??[0,1],使f(?)?0.

11,b1?1;若f()?0,22a?bn1则记a2?0,b2?.类似地,对已取得的[an,bn]二等分,若f(n)?0，则记

22a?bna?bna?bnan?1?n,bn?1?bn；若f(n)?0，则记an?1?an,bn?1?n.按此方式继续

222 证明 记a1?0,b1?1且二等分[0,1].若f()?0，则记a2?下去，得一区间套{[an,bn]}，其中f(an)?0,f(bn)?0.

根据区间套定理可知，???[an,bn],n?1,2,3?,且有 liman???limbn.

n??n??12因为g(x)在[0,1]上连续，所以g(an)?g(?),g(bn)?g(?)(n??). 注意到 g(an)?f(an)?g(an)?f(bn)?g(bn)?g(bn) 可得 g(?)?lim[f(an)?g(an)]?lim[f(bn)?g(bn)]，

n??n??

再由 f(an)?g(an)?f(?)?g(?)?f(bn)?g(bn) 可知 g(?)?f(?)?g(?)?g(?) ， f(?)?0.

习题2-4

1. 证明下列数列发散 (1) xn?(2) yn?121n?(?1)n?2n?3nn2n?1, n?1,2,?;

???(?1)n?1nn, n?1,2,?.

证 (1) 因为x2n?(2) 因为y2n12n12n?1??1, x2n?1???0，(n??) 所以{xn}发散. 24n?124n?3n1n?11????, y2n?1??, (n??) 所以{yn}发散.

2n22n?122．证明:单调数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列.

证明 必要性显然成立.

充分性. 不妨设数列? xn?单调增加且存在 xnk?? xn?，有limxnk?a，

k????现证limxn?a.因为limxnk?a，所以?K,当k?K时有xnk?a??.注意到

n??k??

? xn?单调增加且xn?a，取N?nk，则当n?N时，有 xn?xN于是有 xn?a?xnk?a??.

3. 设极限lim(asinn?bcosn)存在,证明a?b?0.

n???xnk

证明 (1) 假若 a?0, b?0或 a?0, b?0，显然题设极限不存在，矛盾. (2) 假若

a?0, b?0，设 lim(asinx?bcosn)?A

n??令cos??aa2?b2, sin??Aa?b22ba2?b2，由nsi(，则有asinx?bcosn?a2?b2sin(n??)

从而得 sin(n??)?n?2??)?nsi(n??)?2nsi1?cos(n?1??)可知

cos(n??)?0 (n??). 又由sin(2n?2?)?2sin(n??)cos(n??)可知 sin(2n?2?)?0 (n??).

再

由

s2(in?2)n?2?][?s2ni?2?n)?2s(2?ci2n(on?1)s?2?][可知

cos(2n?2?)?0 (n??). 此结果与等式sin2(2n?2?)?cos2(2n?2?)?1矛盾.

4. 设在x0的某个邻域内有g(x)?f(x)?h(x),且limg(x)?limh(x)?A.证明

x?x0x?x0x?x0limfx(?)A.

证明 因为

x?xlimg(x)?limh(x)?A，根据海涅归结原理，?{xn}:xn?x0且

x?xxn?x0，都有limg(xn)?limh(xn)?A.

n??n??又因为 g(x)?f(x?)h(，x) 所以 g(xn)?f(xn)?h(xn) n?1,2,?.

x?x0根据数列极限的夹逼准则 limf(xn)?A， 从而limf(x)?A.

n??5. 设f(x)在x0的一个邻域(x0??,x0??)内有定义.若对任意满足下列条件的数列

?xn??(x0??,x0??),xn?x0明limf(x)?A.

x?x0(n??),0?xn?1?x0?xn?x0都有limf(xn)?A.证

n??证明 反证法. 假若limf(x)?A，则??0?0,???0,?x??(x0??,x0??)使得

x?x0f(x?)?A??0.

取

?1?1,?x1?(x0??1,x0??1)使得

f(x1)?A??0取

2. 设f(x),g(x)在有限开区间(a,b)内均一致连续.证明f(x)?g(x)也在(a,b)内一致连续.若(a,b)换为无限区间,结论还成立吗?

证明 易知f(x),g(x)在(a,b)有界，设f(x)?M1, g(x)?M2，则?x?,x???(a,b)有

f(x??)g(x??)?f(x?)g(x?)?g(x??) f(x??)?f(x?)?f(x?) g(x??)?g(x?) ?M2f(x??)?f(x?)?M1g(x??)?g(x?)

由此可知，f(x)?g(x)在(a,b)内一致连续.

若(a,b)换为无限区间,结论不一定成立. 例如f(x)?g(x)?x在[1,??)一致连续，而

f(x)?g(x)?x2在[1,??)不一致连续. 又如f(x)?x,g(x)?sinx,x?[a,??).

3. 设f(x)在有限开区间(a,b)内连续. 证明f(x)在(a,b)内一致连续的充要条件是:极限

x?a?limf(x)和lim?f(x)均存在.

x?b 证明 必要性. 由f(x)在(a,b)内一致连续可知，???0，???0，当

x??x???? , x?,x???(a,b)时，f(x?)?f(x??)??. 于是，对(a,b)中满足

x??a??2, x???a??2的任意两点，可知 x??x???x??a?x???a??，

从而有 f(x?)?f(x??)??.

根据柯西收敛准则，极限lim?f(x)存在. 类似证明 lim?f(x)存在.

x?ax?b?f(a?), x?a,?充分性. 作函数 F(x)??f(x), x?(a,b),

?f(b?), x?b.?显然，F(x)在[a,b]上连续，由康托定理F(x)在[a,b]上一致连续，当然在(a,b)内也一致连续.又因为F(x)?f(x),x?(a,b)，所以f(x)在(a,b)内一致连续. 4. 设f(x)在有限开区间(a,b)内一致连续.证明f(x)在(a,b)内有界.

证明 由3题直接可得.

5. 设f(x)在有限区间I上有定义,证明f(x)在I上一致连续的充要条件是f(x)把柯西列映射成柯西列,即对任何柯西列?xn??I,?f(xn)?也是柯西列. 证明 必要性. 设f(x)在I上一致连续，则???0, ???0，使得

f(x?)?f(x??)??, x??x????, x?,x???I.

??xn????， ??xn??)?0，于是对上述?，?N,?n?N,xn??,? xn??? 满足lim(xn设? xnn???)?f(xn??)??. 从而有 f(xn??,?xn????I,xn??xn???充分性 反证法.假若f(x)在I上不一致连续，于是??0?0,?xn1， n?)?f(xn??)??0.由致密性定理，? xn?k??xn?? , xn?k?? (k??)；因为但f(xn?k?xn??k?0xn因

而

是

????k??. 数列xn?1,xn??1,xn?2,xn??2?,xn?k,xn??k,?收敛于?， ，故limxnk??柯西列.但由

?k)?f(xn??k)??0f(xn，可知

??1),f(xn?2),f(xn??2),?,f(xn?k),f(xn??k)?不是柯西列，与假设矛盾. f(x?n1),f(xn习题11-1

1. 求下列函数项级数的收敛域. (1)

?1?xn?1?xn2n； (2)

1(x??). ?1?(3x)n3n?1xn (n?1,2,?)，

?2n?xn 解 (1) 设 un(x)?1?x2nn当 x?1时，因为un(x)?x ，所以级数绝对收敛； 又因为un()?un(x)，令 t?得un(t)? t ，所以，当 t ?1即 x ?1时，级数也绝对收敛. 当 x ?1时， 有un(x)?n1x1，x1，故级数发散.综合以上结果，该级数的收敛域为(??,??)\\??1,1?. 2n(2) 当x?0时，有un(0)?2，此时级数发散；

2n1)?n2?x3x3，故x?2时级数发散. 当x?0时，有un(x)??131?3nxn1?nn3x22所以，级数的收敛域为(??, ?)?(, ??).

33nn(2. 讨论函数项级数?n?1?xnn?an(a?0)的敛散域.

解 如果0?a?1，由于limnn??xnnn?a?x?lim1n?ann??n?x，

xn1所以，当?1?x?1时，级数收敛；当x?1时，由可知级数发散； ??nn?1n?1n?a当x??1时，由

?xnxnnn?a???(n??)可知级数也发散；当x??1时，由Abel判别法可

知级数?(?1)nnn?1n?a收敛.

如果a?1，从?xn1?()可知， 当x?a时，级数绝对收敛?n?n1?nan?1n?an?1a?xn?（Cauchy判别法）；当x??a时，由

习题11-2 1. 证明函数项级数?n?1?ann?an?1 (n??)知级数发散.

x[1?(n?1)x](1?nx)n在[1,??)上一致收敛.

证明 因为?x?[1,??), sn(x)??[k?1111?]?1??1 (n??)

1?(k?1)x1?kx1?nx而且 sn(x)?s(x)?

11??0 ( n ??)， 故结论成立. 1?nx1?n2. 设?fn(x)?在区间I上一致收敛于f(x),且对任意x?I有f(x)?A.试问是否存在N,使当n?N时,对任意x?I有fn(x)?A? 解 否. 例如：fn(x)?narctyx在(1,??)内一致收敛于arctyx，且n?1?x?(1,??), arctyx?x0?ty?4.但是对任何正整数N，存在n0?N?1?N和

nN?1(2N?3)??(2N?3)??? ?1， 使0arctyx0?n0?1N?28N?848N?83. 设fn(x)在[a,b]上收敛于f(x),且f(x)在[a,b]上连续.

(1)若fn(x)(n?1,2,?)在[a,b]上单调递增. 证明fn(x)在[a,b]上一致收敛于f(x); (2) 证明fn(x)在[a,b]上一致收敛于f(x)的充要条件是:对[a,b]中任一收敛点列

xn?x0(n??)有limfn(xn)?f(x0).

n??

证明 (1) 由f(x)的连续性可知，对任给的??0，存在分割a?x0?x1???xn?b 使得 f(xi)?f(xi?1)?? (i?1,2,?n)

又存在N，使当n?N时，有 fn(xi)?f(xi)?? (i?1,2,?) 从而可知，对任意的x:xi?1?x?xi，有fn(xi?1)?fn(x)?fn(xi).

注意到f(x)是递增的，故有fn(xi?1)???f(xi?1)?f(x)?f(xi)?fn(xi)??. 从而得到 fn(x)?f(x)?? (a?x?b).

(2) 证明 必要性. 由一致收敛性可知，???0, ?N1,当n?N1时，有 fn(x)?f(x)??2 (a?x?b)

又由f(x)的连续性知，存在N2?N1，当n?N2时，有 f(xn)?f(x0)??2

从而得到 fn(xn)?f(x0)?fn(xn)?f(xn)?f(xn)?f(x0)??.

充分性. 反证法.假定fn(x)不一致收敛于f(x)，则??0?0以及xnk?[a,b]，

(k?1,2,?)，使得 fnk(xnk)?f(xnk)??0 （?）

且不妨假定xnk?x0，由f(x)的连续性及题设可知，?K，当k?K时，有

f(xnk)?f(x0)??02， fnk(xnk)?f(x0)??02.

从而得到 fnk(xnk)?f(xnk)?fnk(xnk)?f(x0)?f(x0)?f(xnk)??0，

这与（?）式矛盾.

习题11-3

1. 在定理11.3.1 (定理11.3.1')和定理11.3.3(定理11.3.3')中,若将区间改为开区间或无限区间,结论是否仍然成立?

2. 在定理11.3.3 (定理11.3.3)的条件下,能否推出Sn(x)(?un(x))一致收敛?

'

n?1?

3. 在定理11.3.3 (定理11.3.3) 中将条件(2)减弱为: Sn(x)(?un(x))在[a,b]中某一点处收

'

n?1?敛.其结论不变,试给出证明.

4. 利用定理11.3.1'证明下列函数项级数不一致收敛. (1)

?(1?x)xn?0?n,x?[0,1], (2)

??(1?xn?0?x22n),x?[0,1].

证明 (1) 0?x?1,s(x)?(1?x)?x?1, s(0)?s(1)?0，s(x)在[0,1]上不连续，

nn?0所以级数不一致收敛.

(2)

?(1?xn?0?x22n)?x2?(1?xn?0?12n)，

?1?x2, x?0 在x?0不连续，所以级数不一致收敛. s(x)??0, x?0?

5. 设Sn(x)?x1?nx22?(x)?在(??,??)上是否一致收敛?是否有(例11.2.3),试问?Sn?(limSnx)?n???n???,x?(??,??)? limSnx()? 证明 （1）

?(x)?sn?1, x?01?, ?(x)?lims(x)?. 取 x??nn222n??(1?nx)2n?0, x?01?n2x2?(xn)??(xn)?则sn12?(x)?在(??,??)上不一致收敛 不趋于0, (n??)，故?Sn25n??n???(x)?1 （2） 由于在x?0处，(limsn(x))??0, ?(x)?limsn?(x)?limSn(x)不成立. 所以，在x?0处limSnn??n?????

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