浅谈正定二次型的判定方法

浅谈正定二次型的判定方法

摘 要 二次型与其矩阵具有一一对应关系,可以通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性

及其应用.本文主要通过正定二次型的定义，实矩阵的正定性的定义，特征值法，矩阵合同以及相应的推导性质来判定二次型的正定性。

关键词 二次型 矩阵 正定性 应用

1 引 言

在数学中，二次型的理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题.

现在二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，下面将用二次型的性质来求函数的最值和证明不等式因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义.

2 二次型的相关概念 2.1 二次型的定义

设p是一个数域，aij?p，n个文字x1,x2,…，xn的二次齐次多项式

nn f(x1,x2,?,xn)?ax?2a12x1x2?2a13x1x3???ax?21112nnn??axxijii?1j?1j

(aij?aji,i,j?1,2,...,n)称为数域上p的一个n元二次型，简称二次型.当aij为实数时，f称

为实二次型.当aij 为复数时,称 f为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即

f(x1,x2,...,xn)=d1x12?d1x22?...?dnxn2称f为标准型.

定义1 在实数域上，任意一个二次型经过适当的非退化线性替换可以变成规范性

2222f的正惯性指数，负平方z1?z2?……?z2p?zp?1?……?zr,其中正平方项的个数p称为

项的个数称为的f负惯性指数.

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2.2 二次型的矩阵形式

二次型f(x1,x2,...,xn)可唯一表示成f(x1,x2,...,xn)=xTAx，其中x?(x1,x2,...,xn)T，

A?(aij)n?n为对称矩阵，称上式为二次型的矩阵形式，称A为二次型的矩阵（必是对称矩阵），

称A的秩为二次型f的秩.

2.3 正定二次型与正定矩阵的概念

定义2.3.1 设f(x1,x2,...,xn)=xTAx是n元实二次型（A为实对称矩阵），如果对任意不全为零的实数c1,c2,...,cn都有f(c1,c2,...cn)?0，则称f为正定二次型,称A为正定矩阵；如果f(c1,c2,...cn)?0，则称f为半正定二次型，称A为半正定矩阵;如果f(c1,c2,...cn)?0，则称f为负定二次型，称A为负定矩阵;如果f(c1,c2,...cn)?0，称f 为半负定二次型，称A为半负定矩阵；既不是正定又不是负定的实二次型称为不定的二次型，称A为不定矩阵.

定义2 另一种定义 具有对称矩阵A的二次型f?XTAX,

(1) 如果对任何非零向量X, 都有XTAX?0 （或XTAX?0）成立，则称f?XTAX为正定（负定）二次型，矩阵A称为正定矩阵（负定矩阵）. (2) 如果对任何非零向量X, 都有XTAX?0 （或XTAX?0）

T成立，且有非零向量X0，使X0AX0?0，则称f?XTAX为半正定（半负定）二次型，矩阵

A称为半正定矩阵（半负定矩阵）.

注:二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定

性的二次型及其矩阵称为不定的.

二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.

定义3 n阶矩阵A?(aij)的k个行标和列标相同的子式

ai1i1ai2i1?aiki1称为A的一个k阶主子式.而子式

ai1i2ai2i2?aiki2?ai1ik?ai2ik???aikik(1?i1?i2???ik?n)

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a11a|Ak|?21?ak1a12a22?ak2?a1k?a2k???akk(k?1,2,?,n)

称为A的k阶顺序主子式.

3 实二次型正定的判别方法及其性质

定理1 实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型的充要条件是它的

正惯性指数等于n

证明 设实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX经线形替换X?PY化为标准形

22 (1) f?d1y12?d2y2???dnyn其中di?R,i?1,2,?,n.由于p为可逆矩阵,所以x1,x2,?,xn不全为零时y1,y2,?,yn也不全为零,反之亦然.

(?)如果f是正定二次型,那么当x1,x2,?,xn不全为零,即y1,y2,?,yn不全为零时,有

222 f?d1y1?d2y2???dnyn?0 (2)

若有某个di(1?i?n),比方说dn?0.则对y1?y2???yn?1?0,yn?1这组不全为零的数,代入(1)式后得f?dn?0.这与f是正定二次型矛盾.因此,必有

di?0.(i?1,2,?,n)

即f的正惯性指数等于n

(?)如果f的正惯性指数等于n,则di?0,(i?1,2,?,n)于是当x1,x2,?,xn不全为零,即当y1,y2,?,yn不全为零时(2)式成立,从而f是正定型

定理2 实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型的充要条件是对任

AX?0 何n维实的非零列向量X必有X?证明 (?)由假设f是正定二次型,故存在实的非退化的线形替换X?QY,使

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22 (1) X?AX?y12?y2???ynAX?0 对X?0,因Q非奇异,故Y?0,于是由(1)可知X?(?)设X?AX的秩与正惯性指数分别为r与p,先证r?p,如p?r,则由惯性定理,

存在非退化的线形替换X?QY,使得

22X'AX?y12???y2p?yp?1???yr (2)

AX?0,但对列向量 由假设,对任何X?0,X? X?Q(0,?,0,1,0,?,0)??0 （因Q是非奇异阵,1是X的第p?1个分量）却有

AX??1?0 X?这与假设矛盾.故r?p.再证r?n.如果r?n,则(2)式应化为

XAX?y1?y2???yr,r?n (3) 于是取

X?Q(0,?,0,1)??0

'222AX?0,又与假设矛盾,故r?n?p,即f是正定二次型 由(3)即得X?定理3 实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型的充要条件是f的

222规范形为f(x1,x2,?,xn)?y1 ?y2???yn证明 (?)实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型,则由定理1可知

f的正惯性指数为n，则二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX可经过非退化实线形替换成

222 f(x1,x2,?,xn)?y1 ?y2???yn22(?)f的规范形为f(x1,x2,?,xn)?y12?y2,则f的正惯性指数为n,由定???yn理1可知f为正定二次型

定理4 实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型的充要条件是矩阵

A与单位矩阵合同

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证明 (?)实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型,则由定理3,可

222知f的规范形为f(x1,x2,?,xn)?y1 ?y2???yn此即存在非退化线形替换X?CY(其中C可逆),使得

22 f(x1,x2,?,xn)?X?AX?(CY)?A(CY)?Y?C?ACY?y12?y2???yn所以C?AC?E,因此矩阵A单位矩阵合同

(?)矩阵A单位矩阵合同,则存在可逆矩阵C,使得C?AC?E，令X?CY则

22 f(x1,x2,?,xn)?X?AX?(CY)?A(CY)?Y?C?ACY?y12?y2???yn因此,由证明4,可知f是正定二次型

定理5 实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型的充要条件是矩阵

A的主子式全大于零

证明 (?)实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型,以Ak表示A的

左上角k阶矩阵,下证Ak?0,(k?1,2,?,n),考虑以Ak为矩阵的二次型

g(x1,x2,?,xk)???ai?1j?1kkijxixj

由于g(x1,x2,?,xk)?f(x1,x2,?,xk,0,?,0)所以当x1,x2,?,xk不全为零时,由f正定二次型可知g?0,从而g为正定二次型,故Ak?0.

(?)对二次型的元数n作数学归纳法

2当n?1时,f(x1)?a11x1,因为a11?0,所以f正定,假设n?1,且对n?1元实二次型结

论成立

由于a11?a11?0,用?a1ia乘A的第1列到第i列,再用?1i乘第A的第1行到第i行a11a11(i?2,3,?,n),经此合同变换后,A可变为以下的一个矩阵

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?a110?0????0? ???B ?A1???0???因为矩阵A与B合同,所以B是一个n阶对称矩阵.从而A1

也是对称矩阵.上述的变换不改变A的主子式的值,因此,B的主子式也全大于零,而B的

k(2?k?n)阶主子式等于A1的k?1阶主子式乘以a11,并且a11?0于是A1的主子式全大于

零,由归纳假设,A1与In?1合同,所以A与单位矩阵合同,此即f是正定二次型

定理6 实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型的充要条件是矩阵

A的顺序主子式全都大于零

证明 (?)实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型,则由定理5可知

A的主子式全大于零,所以A的顺序主子式也全大于零.

(?)对二次型的元数n作数学归纳法

2当n?1时,f(x1)?a11x1,由条件知a11?0,所以f(x1)是正定的.

假设充分性的判断对于n?1元的二次型已经成立,现在来证n元的情形.

?a11?令A1=??a?n?1,1????a1n?a1,n?1????? ?????

?a?an?1,n?1???n?1,n?于是矩阵A可以分块写成：

A=???A1???? ?ann???则A1的顺序主子式也全大于零,由归纳法假定,A1是正定矩阵 则存在可逆的n?1阶矩阵G,使得G?AG?En?1 令C1=???G?0?0?? ?1?0??A1???1????????ann???0?G?于是C1AC1???0????G0??En?1????1?????GG???? ann??

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?E再令C2=?n?1?0??G'a?? 1??0??

ann???GG?????En?1???CCACC?则有2112?0?令 C?C1C2 ann???GG???d

?1??就有C?AC?????两边取行列式,C21????? ?d??A?d,则由条件A?0,因此d?0.

?1??1????????????11?????d??????1??1????????????1??1??????d?1????????? ?d??所以矩阵A与单位矩阵合同,因此A是正定矩阵即f是正定二次型

定理7 实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型的充要条件是矩阵

A?T?T(T是实可逆矩阵)

证明 (?)实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型,则由定理4可知

存在可逆矩阵C,使得C?AC?E 则 A?(C?)C令T?C?1?1?1?(C?1)?C?1

,则A?T?T

(?)若A?T?T,

则 f(x1,x2,?,xn)?X?AX?X?AX?X?T?TX?(TX)?(TX) 令Y?TX

22则 f(x1,x2,?,xn)?Y? Y?y12?y2???yn所以f为正定二次型.

定理8 实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型的充要条件是T?AT

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正定矩阵(其中T是实可逆矩阵)

证明 (?)实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型,则A是正定阵,

令T?1X?Y(其中T可逆)

则 f(x1,x2,?,xn)?(TY)?A(TY)?Y?T?ATY 又因非退化线性替换不改变正定性,则

f(x1,x2,?,xn)?Y?T?ATY

是正定二次型,所以T?AT是正定阵

(?)T?AT是正定阵,令g(y1,y2,?,yn)?Y?T?ATY,则g(y1,y2,?,yn)是正定二次型

令X?TY

则g(y1,y2,?,yn)?f(x1,x2,?,xn)?X?AX是正定二次型

定理9 实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型的充要条件是矩阵

A的全部特征值都是正的

证明 (?)实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型,则A是正定阵,

'?1又对于任意一个n阶实对称矩阵A,都存在一个n阶正交矩阵T,使得TAT?TAT成

为对角形

??1?'?1令TAT?TAT=??????? ?n??则?i?0,(i?1,2,?,n)否则与f为正定二次型相矛盾， 则T?1AT特征值为?1,?2,?,?n均大于零,即为正的.

又相似矩阵有相同特征值，则A的特征值也均为正

(?) A的全部特征值均为正的,则存在一个n阶正交矩阵T,使得

??1?'?1 TAT?TAT=??????? ?n??其中?i(i?1,2,?,n)为A的特征值,此由相似矩阵有相同的特征值得到.

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令X?TY,

22则 f(x1,x2,?,xn)?X? AX?Y?T?ATY??1y12??2y2????nyn所以f为正定二次型

定理10 实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型的充要条件是矩阵

A是正定阵

证明 (?)实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型, 则由正定阵的

定义可知A是正定阵.

(?) A是正定阵,则A的顺序主子式全都大于零.由定理6可知f是正定二次型.

性质：若A为n阶实正定阵，显然

A，A也是正定阵

注 (1) 若A是负定矩阵，则?A为正定矩阵.

(2) A是负定矩阵的充要条件是：(?1)k|Ak|?0,(k?1,2,?,n).

其中Ak是A的k阶顺序主子式.

(3) 对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个结论等价:

a.对称矩阵A是半正定（半负定）的; b.A的所有主子式大于（小于）或等于零； c.A的全部特征值大于（小于）或等于零.

T?1 例 1 考虑二次型f?x12?4x22?4x23?2?x1x2?2x1x3?4x2x3,问?为何值时，f为正定二次型.

?1??1??? 解 利用顺序主子式来判别,二次型f的矩阵为A??42，A的顺序主子式为 ????124????1?1?0；

?2?1?4??4??2；

1??12?1??4?2?4??8??4(??1)(??2).

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?3??4?12

2于是，二次型f正定的充要条件是：?2?0,?3?0，有?2?4???0，可知，?2???2；

由?3??4(??1)(??2)?0, 可得?2???1,

所以，当?2???1时, f正定.

例 2 已知A?E是n阶正定矩阵，证明E?A?1为正定矩阵.

分析：只要证明E?A的特征值全大于零即可 证明 由A?E正定知A是实对称矩阵，从而

?1(E?A)?E?(AT)?1?E?A?1

即E?A也是实对称矩阵.设A的特征值为?k(k?1,2?,n),则A?E的特征值为

?1?1TT?k?1(k?1,2?,n),

而E?A的特征值为1??11?k(k?1,2?,n),

因为A?E是正定矩阵，所以,?k?1?0(,从而

1?k?1，

故，1?1?k?0(k?1,2?,n)即，E?A?1的特征值全大于零，故，E?A?1为正定矩阵.

例 3 设有n元二次型f(x1,x2,?xn)?(x1?a1x2)2?(x2?a2x3)2???(xn?anx1)2其中ai(i?1,2,?,n)为实数，试问：当a1,a2,?,an满足何种条件时，二次型f(x1,?,xn)为正定二次型.

解 令

?1??y1??0???y2?0???

?????????yn??0?a?na110?000?0a2?01?00?0?0?1?00??0??x1???0??x2?? 0??????an?1??xn??1??

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100当

?0ana110?000?0a2?01?00?0?0000=1?(?1)n?1a1a2?an?0，即当a1a2?an?(?1)n时，原0?1an?1?01二次型为正定二次型.

?A0? 例 4 设A,B分别是m,n阶正定阵，试判定分块矩阵C???是否为正定矩

0B??阵

解 因为A,B都是实对称阵，从而C也是实对称阵.且?X?Rm?n,X?0,令

?X1?X????X2?

则X1?Rm,X2?Rn，且至少一个不为零向量.于是

XTCX??X1T故C为正定阵.

0??X1?T?AX2??0B??X??X1TAX1?X2TBX2?0 ???2? 例 5 若A是n阶实对称阵，证明：A半正定的充要条件是对任何?>0，

B??E?A正定.

证 A是实对称阵，从而存在正交阵T，使

??1???,其中?,?,?为的全部实特征值.

A?T'?A1n??T??n???先证必要性 若A半正定，则?i?0,(i?1,2,?,n).又因为

????1???B??E?A?T'???T????n? ??

所以B的全部特征值为???i?0(i?1,2,?,n) 又B?B'?R

m?n，?B为正定阵.

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再证充分性 若A不是正定阵，则存在?k?0，此时可令????k2，则??0，但

????1?????k B??E?A?T'?2????即B中有一个特征值为

?????T ??????n???k2?0，这与B为正定阵的假设矛盾，从而得证A是半正定的.

例 6 设A?(aij)是阶正定阵，证明：

（1）对任意i?j，都有

aij?(aiiajj); （2）A的绝对值最大元素必在主对角线上.

证 （1）?A正定，从而A的一切2阶主子式均大于0，当i?j时

12 移项后，开方即证

aiiaijaijajj2?aiiajj?aij?0

aij?(aiiajj)(i?j,i,j?1,2,?,n).

（2）设的主对角线上最大元素为akk（由于A正定，akk?0).再由第一问结论可知

2 aij?(aiiajj)?akk?akk(i?j)

1212由此即证

aij?akk(i,j?1,2,?,n) 即A中绝对值最大元素必在主对角线上.

结束语

二次型的研究起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的理论，二次型的理论在数学和物

理的许多分支都有着广泛的应用.用二次型来解决初等数学、微积分中的一些问题，有时会起到意想不到的效果.

本文通过研究二次型的性质，借助例子说明二次型在求多元函数的的极值、最值、证明不等式、及判断二次曲线的形状等方面的应用.将多元元函数求极值问题化为一个二次型问 第 12 页 共 12 页

题.在三元及三元以上多元函数求极值时，这个方法比一般工科高等数学教材中介绍的求极值方法好用，而且能够确定是极大值还是极小值.

参考文献

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