2014高考数学理二轮专题突破文档：4.2空间中的平行与垂直

河北饶阳中学2014年数学理二轮复习专题

第2讲 空间中的平行与垂直

来源中国教育出版网zzstep.com]【高考考情解读】 高考对本节知识的考查主要是以下两种形式：1.以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．

1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理

线面平行的判定定理 线面平行的性质定理 线面垂直的判定定理 a∥b??b?α??a∥α a?α?? a∥α??a?β??a∥b α∩β＝b?? a?α，b?α?a∩b＝O???l⊥α l⊥a，l⊥b??a⊥α????a∥b ?b⊥α?来源中§国教§育出§版网 线面垂直的性质定理 2． 面面平行与垂直的判定定理、性质定理 面面垂直的判定定理 a⊥α????α⊥β ?a?β? 面面垂直的性质定理 面面平行的判定定理 α⊥βa?αa⊥cα∩β＝c????a⊥β ?? ??b?β??α∥β a∩b＝O?a∥α，b∥α?a?β 第 1 页 共 16 页

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面面平行的性质定理 α∥β??α∩γ＝a??a∥b β∩γ＝b?? 提醒 使用有关平行、垂直的判定定理时，要注意其具备的条件，缺一不可． 3． 平行关系及垂直关系的转化示意图

考点一 空间线面位置关系的判断

来源中§教§网§§§tep]例1 (1)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是

A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面

( )

(2)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 A．若l⊥m，m?α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m?α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m 答案 (1)B (2)B

( )

解析 (1)对于A，直线l1与l3可能异面、相交；对于C，直线l1、l2、l3可能构成三棱柱的三条棱而不共面；对于D，直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面，如正方体一个顶点的三条棱．所以选B.

(2)A中直线l可能在平面α内；C与D中直线l，m可能异面；事实上由直线与平面垂直的判定定理可得B正确．

解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、

空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何

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中的结论不能完全移植到立体几何中．

(1)(2013·广东)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列

命题中正确的是

( )

A．若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n B．若α∥β，m?α，n?β，则m∥n C．若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β (2)平面α∥平面β的一个充分条件是 A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

来源:z*zs*tep.com] ( )

B．存在一条直线a，a?α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α 答案 (1)D (2)D

解析 (1)A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若α∥β，仍然满足m⊥n，m?α，n?β，故C错误；故D正确． (2)若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，则a∥α，a∥β，故排除A. 若α∩β＝l，a?α，a∥l，则a∥β，故排除B.

若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D. 考点二 线线、线面的位置关系

例2 如图，在四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝

∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB. (1)若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF； (2)求证：EC∥平面PAB.

证明 (1)由题意得PA＝CA，∵F为PC的中点， ∴AF⊥PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC， ∴CD⊥PC.∵E为PD的中点，F为PC的中点， ∴EF∥CD，∴EF⊥PC.

∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF. (2)方法一

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如图，取AD的中点M， 连接EM，CM. 则EM∥PA.

∵EM?平面PAB，PA?平面PAB，

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∴EM∥平面PAB.

在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，MC＝AM， ∴∠ACM＝60°.而∠BAC＝60°，∴MC∥AB. ∵MC?平面PAB，AB?平面PAB， ∴MC∥平面PAB.∵EM∩MC＝M， ∴平面EMC∥平面PAB. ∵EC?平面EMC， ∴EC∥平面PAB. 方法二

如图，延长DC、AB，设它们交于点N，连接PN. ∵∠NAC＝∠DAC＝60°， AC⊥CD，∴C为ND的中点． ∵E为PD的中点，∴EC∥PN. ∵EC?平面PAB，PN?平面PAB， ∴EC∥平面PAB.

(1)立体几何中，要证线垂直于线，常常先证线垂直于面，再用线垂直于面的

性质易得线垂直于线．要证线平行于面，只需先证线平行于线，再用线平行于面的判定定理易得．

来源中国教育出版网zzstep.com]

(2)证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用．

如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，D

为AC的中点．

(1)求证：B1C∥平面A1BD；

(2)若AC1⊥平面A1BD，求证：B1C1⊥平面ABB1A1； (3)在(2)的条件下，设AB＝1，求三棱锥B－A1C1D的体积． (1)证明 如图所示，连接AB1交A1B于E，连接ED. ∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，且AB＝BB1， ∴侧面ABB1A1是正方形，

∴E是AB1的中点，又已知D为AC的中点， ∴在△AB1C中，ED是中位线， ∴B1C∥ED，∴B1C∥平面A1BD.

(2)证明 ∵AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B. ∵侧面ABB1A1是正方形，∴A1B⊥AB1. 又AC1∩AB1＝A，

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∴A1B⊥平面AB1C1，∴A1B⊥B1C1. 又∵ABC－A1B1C1是直三棱柱， ∴BB1⊥B1C1， ∴B1C1⊥平面ABB1A1.

(3)解 ∵AB＝BC，D为AC的中点，

来源中教网z,s,tep]∴BD⊥AC，∴BD⊥平面DC1A1. ∴BD是三棱锥B－A1C1D的高． 由(2)知B1C1⊥平面ABB1A1， ∴BC⊥平面ABB1A1.

∴BC⊥AB，∴△ABC是等腰直角三角形． 又∵AB＝BC＝1，∴BD＝∴AC＝A1C1＝2.

112121

∴三棱锥B－A1C1D的体积V＝·BD·S△A1C1D＝××A1C1·AA1＝×2×1＝.

3322126考点三 面面的位置关系

例3 如图，在几何体ABCDE中，AB＝AD＝2，AB⊥AD，AE⊥

平面ABD.M为线段BD的中点，MC∥AE，AE＝MC＝2. (1)求证：平面BCD⊥平面CDE；

(2)若N为线段DE的中点，求证：平面AMN∥平面BEC. 证明 (1)∵AB＝AD＝2，AB⊥AD，M为线段BD的中点， 1

∴AM＝BD＝2，AM⊥BD.

2∵AE＝MC＝2，

1

∴AE＝MC＝BD＝2，∴BC⊥CD.

2∵AE⊥平面ABD，MC∥AE， ∴MC⊥平面ABD. ∴平面ABD⊥平面CBD，∴AM⊥平面CBD. 又MC綊AE，

∴四边形AMCE为平行四边形， ∴EC∥AM，

∴EC⊥平面CBD，∴BC⊥EC， ∵EC∩CD＝C，∴BC⊥平面CDE，

来源中国教育出版网2， 2

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∴平面BCD⊥平面CDE.

(2)∵M为BD中点，N为ED中点， ∴MN∥BE且BE∩EC＝E， 由(1)知EC∥AM且AM∩MN＝M， ∴平面AMN∥平面BEC.

(1)证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平

面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行． (2)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中线、高线或添加辅助线解决．

如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点． 求证：(1)AF∥平面BCE； (2)平面BCE⊥平面CDE.

证明 (1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG. 1∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝DE.

2∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

来源:zzstep.com]∴AB∥DE，∴GF∥AB. 1

又AB＝DE，∴GF＝AB.

2

∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG. ∵AF?平面BCE，BG?平面BCE， ∴AF∥平面BCE.

(2)∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点， ∴AF⊥CD.

∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF. 又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE. ∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.

∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE. 考点四 图形的折叠问题

例4 (2012·北京)如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F

为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．

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(1)求证：DE∥平面A1CB； (2)求证：A1F⊥BE；

(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．

折叠问题要注意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些量没有变化．第(1)问证

明线面平行，可以证明DE∥BC；第(2)问证明线线垂直转化为证明线面垂直，即证明A1F⊥平面BCDE；第(3)问取A1B的中点Q，再证明A1C⊥平面DEQ. (1)证明 因为D，E分别为AC，AB的中点， 所以DE∥BC.

来源中&国教&育出&版网

又因为DE?平面A1CB，BC?平面A1CB， 所以DE∥平面A1CB.

(2)证明 由已知得AC⊥BC且DE∥BC， 所以DE⊥AC.

所以DE⊥A1D，DE⊥CD. 所以DE⊥平面A1DC. 而A1F?平面A1DC， 所以DE⊥A1F. 又因为A1F⊥CD， 所以A1F⊥平面BCDE， 所以A1F⊥BE.

(3)解 线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下： 如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC. 又因为DE∥BC， 所以DE∥PQ.

所以平面DEQ即为平面DEP. 由(2)知，DE⊥平面A1DC， 所以DE⊥A1C.

又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点， 所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.

来源中教网从而A1C⊥平面DEQ.

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故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.

(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情

况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．

(2013·广东)如图(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，

AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝2

. 2

(1)证明：DE∥平面BCF； (2)证明：CF⊥平面ABF；

2

(3)当AD＝时，求三棱锥F－DEG的体积VF－DEG.

3(1)证明 在等边△ABC中，AD＝AE，∴立．∴DE∥BC，

又DE?平面BCF，BC?平面BCF，∴DE∥平面BCF. (2)证明 在等边△ABC中，F是BC的中点，∴AF⊥CF. ∵在三棱锥A－BCF中，BC＝

2， 2

ADAE

＝在折叠后的三棱锥A－BCF中也成DBEC

111

∴BC2＝BF2＋CF2＝＋＝，∴CF⊥BF.

442又BF∩AF＝F，∴CF⊥平面ABF.

111111331

(3)解 VF－DEG＝VE－DFG＝××DG×FG×GE＝×××?×?×＝. 32323?32?3324

1． 证明线线平行的常用方法

(1)利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行； (2)利用平行四边形进行转换； (3)利用三角形中位线定理证明；

来源:zzstep.com](4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明．

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2． 证明线面平行的常用方法

(1)利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行； (2)利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行． 3． 证明面面平行的方法

证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行． 4． 证明线线垂直的常用方法

(1)利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；

(2)利用勾股定理逆定理；

(3)利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可． 5． 证明线面垂直的常用方法

(1)利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直； (2)利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；

(3)利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等．

6． 证明面面垂直的方法

证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决．

1． 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点

1

E，F，且EF＝，则下列结论中错误的是

2A．AC⊥BE

来源中。国教。育出。版网 ( )

B．EF∥平面ABCD

C．三棱锥A－BEF的体积为定值 D．△AEF的距离与△BEF的面积相等 答案 D

解析 ∵AC⊥平面BB1D1D，又BE?平面BB1D1D， ∴AC⊥BE，故A正确．

∵B1D1∥平面ABCD，又E、F在线段B1D1上运动， 故EF∥平面ABCD.故B正确．

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C中由于点B到直线EF的距离是定值，故△BEF的面积为定值， 又点A到平面BEF的距离为定值，故VA－BEF不变．故C正确．

由于点A到B1D1的距离与点B到B1D1的距离不相等，因此△AEF与△BEF的面积不相等，故D错误．

2． 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中

点．

(1)证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；

(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你 的结论．

(1)证明 如图，因为ABCD－A1B1C1D1为正方体， 所以B1C1⊥面ABB1A1. 因为A1B?面ABB1A1， 所以B1C1⊥A1B.

来源:z+zs+tep.com]又因为A1B⊥AB1，B1C1∩AB1＝B1， 所以A1B⊥面ADC1B1.

因为A1B?面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE. (2)解 当点F为C1D1中点时，可使B1F∥平面A1BE. 证明如下：

1

易知：EF∥C1D，且EF＝C1D.

2

1

设AB1∩A1B＝O，则B1O∥C1D且B1O＝C1D，

2所以EF∥B1O且EF＝B1O， 所以四边形B1OEF为平行四边形． 所以B1F∥OE.

又因为B1F?面A1BE，OE?面A1BE. 所以B1F∥面A1BE.

(推荐时间：60分钟)

一、选择题

1． 已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，下列命题中正确的是

( )

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A．若α⊥β，l⊥β，则l∥α

B．若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β D．若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β答案 C

解析 当α⊥β，l⊥β时，l可以在α内，∴选项A不正确； 如果α过l上两点A，B的中点，则A，B到α的距离相等， ∴选项B不正确；

当α⊥β，α⊥γ时，可以有β∥γ，∴选项D不正确，∴正确选项为C. 2． 已知直线m，n和平面α，则m∥n的必要不充分条件是

A．m∥α且n∥α C．m∥α且n?α 答案 D

解析 m∥n不能推出m∥α且n∥α，m∥α，n∥α时，m，n可能相交或异面，为即不充分也不必要条件，A不正确；m⊥α，n⊥α时，m∥n，为充分条件，但m∥n不能推出m⊥α，n⊥α，故B不正确；m∥n不能推出m∥α且n?α，m∥α，且n?α时，m和n可能异面，为即不充分也不必要条件，故C不正确；m∥n时，m，n与α成等角，必要性成立，但充分性不成立，故选D.

3． 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB

沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是

( )

B．m⊥α且n⊥α D．m，n与α成等角

( )

来源中国教育出版网

A．平面ABD⊥平面ABC C．平面ABC⊥平面BDC 答案 D

解析 ∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD， 又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD， 所以CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，

又AD⊥AB，AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ADC， 又AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC，故选D.

来源中教网

B．平面ADC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC

4． 下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．

①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.

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正确的命题是 A．①③ 答案 C

( )

B．②③ C．①④ D．②④

解析 ②平面α与β可能相交，③中m与n可以是相交直线或异面直线．故②③错，选C.

5． 一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，

使截面平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为( ) a2

A. 2a2

C. 4答案 C

解析 如图，在面VAC内过点P作AC的平行线PD交VC于点D，在 面VAB内作VB的平行线交AB于点F，过点D作VB的平行线交BC于 点E.连接EF，易知PF∥DE，故P，D，E，F共面，且面PDEF与VB aa2

和AC都平行，易知四边形PDEF是边长为的正方形，故其面积为，故选C.

246． 在正三棱锥S－ABC中，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，

若侧棱SA＝23，则正三棱锥S－ABC外接球的表面积是 ( ) A．12π C．36π 答案 C

来源中国教育出版网zzstep.com]

a2

B. 3a2D. 5

B．32π D．48π

解析 由MN⊥AM且MN是△BSC的中位线得BS⊥AM， 又由正三棱锥的性质得BS⊥AC，所以BS⊥面ASC.

即正三棱锥S－ABC的三侧棱SA、SB、SC两两垂直，外接球直径为3SA＝6. ∴球的表面积S＝4πR2＝4π×32＝36π.选C. 二、填空题

7． 设x，y，z是空间中的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则

x∥y”为真命题的是________(填出所有正确条件的代号)．

①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z为直线． 答案 ③④

解析 因为垂直于同一个平面的两条直线平行，所以③正确；因为垂直于同一条直线的两个平面平行，所以④正确；若直线x⊥平面z，平面y⊥平面z，则可能有直线x在平面y内的情况，所以①不正确；若平面x⊥平面z，平面y⊥平面z，则平面x与平面y

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可能相交，所以②不正确；若直线x⊥直线z，直线y⊥直线z，则直线x与直线y可能相交、异面、平行，所以⑤不正确．

8． 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC

为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F 在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF. 答案 a或2a

解析 由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF. 要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可． 令CF⊥DF，设AF＝x，则A1F＝3a－x. 易知Rt△CAF∽Rt△FA1D， 得

ACAF2a3a－x

＝，即＝， A1FA1Dxa

整理得x2－3ax＋2a2＝0， 解得x＝a或x＝2a.

来源中教网z*z*s*tep]

9． 如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂

直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题： ①PA∥平面MOB； ②MO∥平面PAC； ③OC⊥平面PAC； ④平面PAC⊥平面PBC.

其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)． 答案 ②④

解析 ①错误，PA?平面MOB；②正确；③错误，否则，有OC⊥AC，这与BC⊥AC矛盾；④正确，因为BC⊥平面PAC. 三、解答题

10．(2013·重庆)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝23，

πBC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝. 3(1)求证：BD⊥平面PAC；

(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P－BDF的体积． (1)证明 因为BC＝CD，所以△BCD为等腰三角形， 又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC. 因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.

从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直， 所以BD⊥平面PAC.

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(2)解 三棱锥P－BCD的底面BCD的面积

来源中国教育出版网zzstep.com]

S112π

△BCD＝2BC·CD·sin∠BCD＝2×2×2×sin 3＝3.

由PA⊥底面ABCD，得

V11

P－BCD＝3·S△BCD·PA＝3×3×23＝2.

由PF＝7FC，得三棱锥F－BCD的高为1

8PA，

故V11111

F－BCD＝3·S△BCD·8PA＝3×3×8×23＝4，

所以V17

P－BDF＝VP－BCD－VF－BCD＝2－4＝4

. 11．(2012·广东)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝1

2AB，PH为△PAD中AD边上的高． (1)证明：PH⊥平面ABCD；

(2)若PH＝1，AD＝2，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积； (3)证明：EF⊥平面PAB.

(1)证明 因为AB⊥平面PAD，PH?平面PAD， 所以PH⊥AB.

因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.

因为PH?平面ABCD，AB∩AD＝A，AB，AD?平面ABCD， 所以PH⊥平面ABCD.

(2)解 如图，连接BH，取BH的中点G，连接EG. 因为E是PB的中点， 所以EG∥PH，

来源中教网z_z_s_tep]

且EG＝11

2PH＝2.

因为PH⊥平面ABCD， 所以EG⊥平面ABCD.

因为AB⊥平面PAD，AD?平面PAD， 所以AB⊥AD，所以底面ABCD为直角梯形， 所以V1

E－BCF＝3S△BCF·EG

＝13·12·FC·AD·EG＝212

. (3)证明 取PA中点M，连接MD，ME.

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河北饶阳中学2014年数学理二轮复习专题

因为E是PB的中点，所以ME綊1

2AB.

又因为DF綊1

2

AB，所以ME綊DF，

所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF∥MD. 因为PD＝AD，所以MD⊥PA. 因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB. 因为PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB， 所以EF⊥平面PAB.

12．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC＝4，∠ABC＝120°，E，M分别为AB，DE的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，F为A′C的中点，A′C＝4. (1)求证：平面A′DE⊥平面BCD； (2)求证：FB∥平面A′DE.

来源中§国教§育出§版网

证明 (1)由题意，得△A′DE是△ADE沿DE翻折而成的， ∴△A′DE≌△ADE.

∵∠ABC＝120°，四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝60°. 又∵AD＝AE＝2，

∴△A′DE和△ADE都是等边三角形． 如图，连接A′M，MC， ∵M是DE的中点， ∴A′M⊥DE，A′M＝3.

在△DMC中，MC2＝DC2＋DM2－2DC·DMcos 60° ＝42＋12－2×4×1cos 60°， ∴MC＝13.

在△A′MC中，A′M2＋MC2＝(3)2＋(13)2＝42＝A′C2. ∴△A′MC是直角三角形，∴A′M⊥MC. 又∵A′M⊥DE，MC∩DE＝M， ∴A′M⊥平面BCD. 又∵A′M?平面A′DE， ∴平面A′DE⊥平面BCD. (2)取DC的中点N，连接FN，NB.

∵A′C＝DC＝4，F，N分别是A′C，DC的中点，来源中国教育出版网zzstep.com]

∴FN∥A′D.

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又∵N，E分别是平行四边形ABCD的边DC，AB的中点， ∴BN∥DE.

又∵A′D∩DE＝D，FN∩NB＝N， ∴平面A′DE∥平面FNB. ∵FB?平面FNB， ∴FB∥平面A′DE.

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