2014届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测理科数学试卷(带解析)

2014届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测理科数学试卷（带解

析）

一、选择题 1.已知复数A．

表示复数的共轭复数，则 D．6

（ ）

B．5 C．

【答案】B． 【解析】 试题分析：

考点：1．共轭复数的概念；2．复数模长的计算． 2.设集合

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A． 【解析】 试题分析：①当

时，若，则

“

．综上得“

”是“”是“

”的充分条件；②”的充分不必要条件．

则“

”是“

”的 （ ）

，故选B．

或

考点：1．充分条件和必要条件的判断；2．一元二次不等式的解法；3．集合的包含关系． 3.过坐标原点O作单位圆使得（A．点B．点C．点

的两条互相垂直的半径

），则以下说法正确的是（ ）

，若在该圆上存在一点，

一定在单位圆内 一定在单位圆上 一定在单位圆外

时，点

在单位圆上

D．当且仅当【答案】B． 【解析】

试题分析：使用特殊值方法求解．设

在单位圆上，故选B．

．在圆上，

考点：1．平面向量基本定理；2．点和圆的位置关系． 4.过双曲线

的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于

两点，若线段

的长

度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（ ） A．

B．

C．

D．

【答案】A． 【解析】 试题分析：

，又

．

考点：双曲线的标准方程及其几何性质（离心率的求法）． 5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C． 【解析】

试题分析：由三视图还原该几何体得它是一个直四棱柱等的等腰梯形，棱平面（如图），

，其中

为全

梯形的高，，故选C．

考点：1．几何体的三视图；2．几何体表面积的计算． 6.已知函数A．B．

，则一定在函数

图象上的点是（ ）

C．D．

【答案】C． 【解析】

试题分析：根据的解析式，求出断四个选项是否在图象上．

为奇函数，考点：函数的奇偶性．

，判断函数的奇偶性，由函数

．

的奇偶性去判

在图象上．故选C．

7.执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C． 【解析】

试题分析：由程序框图运算得

的输出值为7，故选C．

考点：算法初步与程序框图． 8.在

中，已知

，

，则

为（ ）

A．等边三角形

B．等腰直角三角形 C．锐角非等边三角形 D．钝角三角形 【答案】B． 【解析】 试题分析：由已知

及正弦定理，得

，

，得．

三角形，故选B．

考点：综合应用正余弦定理及三角恒等变换判断三角形的形状．

，

．由

为等腰直角

9.已知满足时，的最大值为1，则的最小值为（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D． 【解析】

试题分析：由线性规划将图画出，

由的最大值为 1，找出的最大值时图上的点，进而求得在

处有最大值．

与

矛盾，故不能用均值不等式求最值．设

时，

的最小值．由图象知

，当

且仅当，即

．由对勾函数性质得，

考点：线性规划参数最值问题．

有最小值，．

10.对于函数，若为某一三角形的三边长，则称为“可构造三

角形函数”．已知函数A．

B．

C．

是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（ ） D．

【答案】D． 【解析】

试题分析：由已知得

当

时，

，由；当

数”；当

时，

，则

． ，得时，

显然是“可构造三角形函．综上所述：

，故选D．

考点：函数的性质（有界性、最大值和最小值）． 二、填空题 1.若随机变量【答案】0．8413． 【解析】

试题分析：由题意可知正态分布密度函数的图象关于

． 考点：正态分布密度函数的图象及其性质． 2.已知数列

满足

且

，则

．

对称，得

，且

，则

__________．

【答案】2012． 【解析】

试题分析：由题意可知

．

考点：等差数列、等比数列通项公式的求法．

3.某办公室共有6人，组织出门旅行，旅行车上的6个座位如图所示，其中甲、乙两人的关系较为亲密，要求在同一排且相邻，则不同的安排方法有 种．

是以为首项，2为公比的等比数列，

【答案】144． 【解析】

试题分析：由题意可知满足条件的不同安排方法分两类：一类是并排坐在第二排，有

种；一类是并排坐在第三排，有种，故共有种． 考点：有限制条件的排列组合问题． 4.若

展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中项的系数为_____________．

【答案】－15． 【解析】 试题分析：

，得

展开式的各项系数绝对值之和与

．设

．令

考点：二项式定理的应用． 5.已知直线：出下列命题： ①当

时，中直线的斜率为；

（

为给定的正常数，为参数，

）构成的集合为，给

展开式中含的项为第，得

展开式的各项系数和相等，令项，则

．

，含项的系数为

②中所有直线均经过一个定点； ③当④当

时，存在某个定点，该定点到中的所有直线的距离均相等； 时，中的两条平行直线间的距离的最小值为；

⑤中的所有直线可覆盖整个平面．

其中正确的是 （写出所有正确命题的编号）． 【答案】③④． 【解析】 试题分析：且把直线圆

既满足直线

的方程代入椭圆

的切线．①当时，点

在圆

时，

的方程，也满足椭圆

的方程可得

直线

的方程，为椭

①错；②为椭圆切线不经过定点，②错；③当上，圆心到圆上的距离相等，∴③正确；④当

时，

为椭圆切线，当中两直线分别与椭圆相切于的短轴两端点时，它们间的距离

为，∴④正确；⑤为椭圆切线，不可覆盖整个平面．综上所述：③④正确． 考点：1．椭圆的几何性质；2．直线和椭圆的位置关系．

三、解答题 1.已知（1）（2）【答案】（1）【解析】

试题分析：（1）利用两角和与差的余弦公式将已知式开化简，即可求得

的值，再利用平方关系求

的值，最后将

拆成

展

；

．

；（2）

． 求：

，利用两角和与差的正弦公式求得的值，可先求出

的值，再利用商关系将

的值．

的值；（2）利用平方关系，由（1）中

中的正切化为正余弦，将

，

的值，代将入即可求得试题解析：（1）即

，注意到

2分

，故

，从而

． 7分

5分

（2）． 12分

（或者，，

=

=）．

，，=

考点：1．三角恒等变换；2．两角和与差的三角函数公式；3．三角函数基本关系式． 2.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且AD=DC=CB=AB．直角梯形ACEF中，

，

是锐角，且平面ACEF⊥平面ABCD．

（1）求证：；

的余弦值．

（2）若直线DE与平面ACEF所成的角的正切值是，试求【答案】（1）详见试题解析；（2）【解析】

．

试题分析：（1）证明线线垂直，可转化为证明线面垂直．要证，只要证平面

，由已知平面ACEF⊥平面ABCD，故由面面垂直的性质定理知，只要证．在等腰梯形ABCD中，由已知条件及平面几何相关知识易得；（2）连结交于，再连结EM，FM，易知四边形为菱形，∴DM⊥AC，注意到平面平面，故DM⊥平面．于是，即为直线DE与平面ACEF所成的角．在中由锐角三角函数可求得的长，再在中由锐角三角函数即可求得的余弦值． 试题解析：（1）证明：在等腰梯形ABCD中，∵AD=DC=CB=AB，∴AD、BC为腰，取AB得中点H，连CH，易知，四边形ADCH为菱形，则CH=AH=BH,故△ACB为直角三角形，

． 3分 平面，故

平面，且平面平面

． 6分

，

平面

，而

平面

（2）连结交于，再连结EM，FM，易知四边形平面平面，故DM⊥平面．于是，角． 9分

为菱形，∴DM⊥AC，注意到即为直线DE与平面ACEF所成的

设AD=DC=BC=,则MD=

中，，

，．依题意，，∵

，，在

=AM，四边形AMEF为平行四边形，． 12分

，

考点：1．空间垂直关系的证明；2．空间角的计算． 3.已知函数（1）若函数

的极小值是

在，求

处取得极小值． ；

在

上单调递

（2）若函数的极小值不小于，问：是否存在实数，使得函数减？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）【解析】

试题分析：（1）对列出方程组实数k，使得函数

．由

得

解这个方程组，可得在

求导，得的值，从而求得

；（2）存在实数

，满足题意．

，结合已知条件可以的解析式；（2）假设存在=0两根为

，由

，解得

，则

，

上单调递减．设，

的递减区间为

的递减区间为在

．由条件有有这个条件组可求得，即可求得的值．

的值．利用函数

上单调递减，列出不等式组

试题解析：（1），由知，

解得 4分

． 6分

在得

上单调递减．设，．

的递减区间为

，由

=0两根为

，

检验可知，满足题意．

（2）假设存在实数，使得函数

，则

解得

，

．由

的递减区间为

由条件有，解得 10分

函数在上单调递减．由．∴存在实数，满足题

意． 12分

考点：1．导数与函数的极值；2．导数与函数的单调性；3．含参数的探索性问题的解法． 4.已知椭圆

，如图．

的右焦点为

，设左顶点为A，上顶点为B且

（1）求椭圆的方程； （2）若

，过的直线交椭圆于

两点，试确定；（2）

的取值范围．

．

【答案】（1）椭圆的方程为【解析】

的取值范围为

试题分析：（1）首先写出，，，由运算，可得方程，又由椭圆中关系得及向量数量积的坐标

，解这个方程组得的值，从

，此时

，

，

而得椭圆的标准方程；（2）先考虑直线斜率不存在的情况，

＝

；若直线斜率存在，设

，代入椭圆方程消去得关于的一元二次

的取值

方程，利用韦达定理，把范围．

试题解析：（1）由已知，∵

，∴

表示成斜率的函数，求此函数的值域，即得

，

，解得

，，∴，此时

，则由

，∴椭圆，

，

得：． 4分 ＝

；

．

（2）①若直线斜率不存在，则

②若直线斜率存在，设

，∴

，

，

，则由

，∴

消去得：

＝

，∴

．

．∵，∴，∴

综上，的取值范围为． 13分

考点：1．椭圆的标准非常及其几何性质；2．直线和椭圆的位置关系；3．利用向量的数量积运算解决椭圆中的取值范围问题．

5.某市质监部门对市场上奶粉进行质量抽检，现将9个进口品牌奶粉的样品编号为1，2，3，4， ，9；6个国产品牌奶粉的样品编号为10，11，12，15，按进口品牌及国产品牌分层进行分层抽样，从其中抽取5个样品进行首轮检验，用表示编号为的样品首轮同时被抽到的概率． （1）求

的值；

的和．

；（2）所有的

的和为10．

（2）求所有的【答案】（1）【解析】

试题分析：（1）由分层抽样可知：首轮检验从编号为1，2，3， ，9的洋品牌奶粉的样品中抽取3个，从编号为10，11， ，15的国产品牌奶粉的样品中抽取2个，从而可求得的值；（2）采用分类讨论思想，分别求满足①当时，②当时，③当

时的的值，最后求和即得所有的的和． 试题解析：（1）由分层抽样可知：首轮检验从编号为1，2，3， ，9的洋品牌奶粉的样品中抽取3个，从编号为10，11， ，15的国产品牌奶粉的样品中抽取2个，故＝． 4分 （2）①当②当③当∴所有的

时，时，时，

＝＝的和为

＝

＝

，而这样的

有

有

=36个；

＝

，而这样的＝，而这样的×36＋

=15个； 有

=54个．

×15＋×54＝10． 13分

考点：1．分层抽样的基本思想；2．古典概型的概率计算． 6.已知函数，记函数（1）求； （2）求证：＜（3）设为数列

；

的前项和，求证：＜．来 ，（＞0，图象与三条直线

，以点

为切点作函数

图象的切线

所围成的区域面积为．

【答案】（1）【解析】

试题分析：（1）先对

；（2）详见试题分析；（3）详见试题分析．

求导，根据切点坐标及导数的几何意义，求出切线的斜率，

计算

图象与三条直线

写出切线的方程，最后利用定积分

所围成的区域面积，可求得数列（≥0），求导可得

递减，故

，从而证得当＞0时，，∴=

＜

＜

的通项公式；（2）构造函数

，从而函数成立，故

（≥0）单调＜

，由放缩法得＜

；（3）由（2）：＜

，再结合裂项相消法即可证明来＜．

试题解析：（1）易知即

（2）构造函数

，∴

（≥0），则

，（≥0）单调递减，而

∴当＞0时，

＜

＜．

成立，∴知

＜，∴

，等号在，∴=

，切点为

，则方程为

=

，即函数时取得，

（3）＜＜

＜

，∴当时，=＜；当

＜．

时，

方法二：

（1）（2）同方法一； （3）由（2）知＜

，

（

），

，又

综上所述：对一切

，都有＜．

，，∴

考点：1．导数的几何意义；2．定积分的计算；3．利用导数证明不等式；4．利用放缩法和裂项相消法证明不等式．

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