三升四火箭班奥数暑假讲义

三升四火箭班奥数

暑 假 讲 义

目 录

一、数 列 ...................................................... 3 二、 数字谜 ...................................................... 5 三、速算与巧算 ................................................... 7 四、等差数列求和 ................................................. 9 五、巧添运算符号 ................................................ 11 六、定义新运算 .................................................. 13 七、年龄问题 .................................................... 15 八、消元问题 .................................................... 17 九、递推初步 .................................................... 19 十、简单列举 .................................................... 21 十一、数位上的数字 .............................................. 23 十二、长方形、正方形的周长 ...................................... 25 十三、巧算面积 .................................................. 28 十四、 应用题（1） .............................................. 30 十五、 应用题（2） .............................................. 32

三升四奥数训练（1）

一、数 列

1. 基本概念

按一定次序排列的一列数，叫数列。如，1，3，5，7，??；1，2，4，8??。 2. 从相邻项之间找规律。

例：找出下列各数列的规律，并按其规律在括号内填上合适的数。 (1)18, 20, 24, 30, (38), (48).

观察数列中相邻项可发现：20－18=2，24－20=4，30－24=6。说明数列是依次按加2，加4，加6，加??进行排列的。因为30＋8=38，38＋10=48. （2）1，2，4，8，16，（32），（64）。

按依次加1，加2，加4，加16，加??排列。因为16＋16=32，32＋32=64（或按依次乘2排列） (3) 2, 5, 11, 23, 47, (95), (191).

观察相邻项可发现：前项×2＋1=后项。即2×2＋1=5，5×2＋1=11，??。因为47×2＋1=95，95×2＋1=191 练：找规律，填上合适的数。

（1）56，49，42，35，（28），（21），后项比前项少7 （2）11，15，19，23，（27），（31），后项比前项多4 （3）3， 6， 12，24，（48），（96），后项是前项的2倍 3.从各项与项数间的关系找规律。

例：找出下列各数列的规律，并按其规律在括号内填上合适的数。 (1)13, 16, 18, 31, 23, 46, (28), (61).

观察：数列中基数项，可知：18－13=5，23－18=5，??（即后项比前项多5）因为23＋5=28

数列中偶数项，可知：31－16=15，46－31=15，??.（即后项比前项多15）因为46＋15=61 （2）2，8，5，6，8，4，（11）,(2)

奇数项：后项比前项多3，因为8＋3=11；偶数项：后项比前项少2，因为4－2=2. 讲与练，找出规律，再按规律填空。

观察前三个三角形的四个数的关系可知：左，右两边的数与里，下两数的和都是15。 因为15－9=6，15－5=10，?? 练：先找规律，再填空。

12－12÷4=9 9＋7=16 16＋5=21 14－14÷7=12

所以24－24÷6=4 所以4＋9=13

规律：第3数－第3数÷第二数=第一数 第一数＋第二数=第三数 三数之和为130

三升四奥数练习（1）

1. 找出下列各数列排列规律，并按其规律在括号内填入适当的数。 (1) 25, 3, 22, 3, 19, 3, (16), (3)。 (2) 8， 1， 10， 2， 12，3，（14），（4）。 (3) 2， 4， 6， 8，（10），（12）

(4) 12，14，17，21，（26），（32） 2,3,4??增加 (5) 1， 3 ，9， 17， 81， (243), (729) 逐一加3. (6) 8， 13，18，23，（28），（33） 逐一加5.

(7) 2， 5， 11，23， 47，（96），（191） 47×2=1=95.前项×2＋1 (8) 8， 24，12，36，18，（54），（27）, 18×3=54 54÷2=27 2. 先找出规律，再填空。

3. 找规律，在空白出填上两个合适的数。

4．找规律，然后在空格里填上适当的数。

5. 有数组：（1，2，3），（2，4，6），（3，6，9）（4，8，12），??问第100个数组中的三个数的和是多少？

因为第1组第1个数是1，则第100组第1个数应为100，每组第3个数是第1个数的3倍，第2个数是第1个数的2倍.

所以（100，200，300）?第100个数组。100＋200＋300=600 答：这三个数之和是600.

三升四奥数训练（2）

二、 数字谜

1.乘法数字谜。

例：下面算式是一个四位数乘9，积仍是一个四位数，式中相同字母表示相同的数字，不同字母表示不同的数字，问：各字母分别代表什么数字？

G H P L 因为一个四位数乘9积也是4位数，则G=1 1 0 8 9 × 9 所以L=9.又因为G=1，L=9.所以因数中的H × 9 L P H G 只能是0.由此可推算（或试乘）P只能是8. 9 8 0 1 练:在竖式的○里填上适当的数。

因为9×8=72所以第二因数是8，因为积的十位数是3，表示（7＋6=13），所以第一因数的十位数应是7或2.如果填2，则积的子位上不管填什么数加上8×3进，由此计算，第一因数千位上是2，积的万位上是1

.讲与练，下式中，相同汉字代表相同的数，不同汉字代表不同的数。问：各汉字分别代表什么数。 北 大 因为积的百位和十位都是京，多以北不能大于4.否则要进位，两个京

× 好 好 就不同了，又因为北大×好=北北北（相同数）想：37×3=111，37×6=222 北 北 北 经过计算确定37×99 37×9=333 北 北 北 北=3，大=7，好=9，京=6. 北 京 京 北 2.除法数字谜。

例：在下面竖式的（ ）里填上合适的数，使算式成立。

（６）（９） 据除法中除尽的原则可知：第二次积的十位和个位分别填

９（３）（６）４ １ （７） ３和７，被除数个位填７.从（）４１－５５（）＝（）３ ５ ５（８） 中可知：第一次商和除数之积为５５８.则商的最高位数只能 （８） ３ ７ 是６.由５５８÷６＝９３，可知除数为９（３），由此计算可 （８）（３）（７）完成左边计算。 ０

练：在下面的○里有填上一个合适的数，使算式成立。

据商的最高位位置可知除数十位数必大于４，第一次商与除数的积的个位是２，那么商的最高可能是７或２，计算可知是７，由此推算，除数的十位数是６.到此，可通过计算完成左边算式。

三升四奥数练习（2） 学生 1在（ ）里填上适当的数使算式成立。

（6）（6） 5 6 （8） × 3 5 × （2） 4 3 3 （0 ） （2）（2） 7 2 1 （9） 8 （1） 1 3 （6）

（2）（3）（1）（0） 1 3 6 3 （2）

2.在 里填上适当的数字。

8 （8） （1）（1） （5） 0 4 （4）（0） 0 （7）（6） 8 3 6 （4）（0）（0） 7 (6) 4 0 0 7 6 （4）（0）（0） 7 6 0 0 3.下面竖式里的“兴”和“趣”两个汉字个代表什么数？

兴 兴 1 1 趣 趣 6 6 兴 兴 兴 2 兴 11 1 2 1 趣 趣 4 3 5 趣 66 4 3 5 6 兴 兴 1 1 3 9 趣 3 9 6 兴 兴 1 1 3 9 趣 3 9 6 兴 兴 1 1 3 9 趣 3 9 6 0 0 0 0

兴=(1) 趣=（6）

4.下面算式里，不同汉字代表不同的数字，相同汉字代表相同的数字。问：每个汉字各代表什么数字？ 有 趣 的 数 学 2 1 9 7 8 思 考 再 思 考 3 7 0 3 7 × 4 × 4 × 学 × 6 学 数 的 趣 有 8 7 9 1 2 好 好 好 好 好 好 2 2 2 2 2 2 有=2，趣=1，的=9，数=7，学=8. 思=3，考=7，再=0，好=1，学=2.

三升四奥数训练（3）

三、速算与巧算

1.加、减速算与巧算。（凑整）。和位整十、整百、整千、??的两个数，叫做互为补数，如37＋63=100（37和63互为补数）

例：计算648＋863＋352＋137＋57

648＋863＋352＋137＋57=（648＋352）＋(863＋137)＋57=1000＋1000＋57=2057.

练：5678＋426＋2468＋574＋7532＋4322=（5678＋4322）＋（2468＋7532）＋（426＋574） =10000＋10000＋1000=21000

练与冲：772＋288＋40=（772＋28）＋（288＋12）=800＋300=1100（40可按需拆分28和12） 2.借乘做加。

例：计算。375＋383＋372＋376＋379＋374

=370×6＋（5＋13＋2＋6＋9＋4）=2220＋39=2259

8＋88＋888＋8888＋88888=8×（1＋11＋111＋1111＋11111）=8×12345=98760 练：83＋76＋84＋79＋89＋77=80×6（3－4＋4－1＋9－3）=480＋8=488 3.减法性质。

记住：a－(b＋c)=a－b－c, a－(b－c)=a－b＋c=a＋c－b

例：计算764－（387－136）=764－387＋136=764＋136－387=900－387=513 练：100＋99－98－97＋96＋95－94－93＋??＋8＋7－6－5＋4＋3－2－1

=（100－98）＋（99－97）＋（96－94）＋??＋（8－6）＋（7－5）＋（4－2）＋（3－1） =2×50=100（此题共100个数相加减，把每两个数组和成一组（差为2）共50个2）。 4. 乘、除巧算。

记住：2×5=10， 4×25=100， 8×125=1000， 3×37=111

例：计算25×248×5=25×（4×31×2）×5=25×4×31×（2×5）=3100×10=31000. (248可根据5、25的需要拆分成4×31×2)

记住a÷b÷c=a÷(b×c), a÷b×c=a÷(b÷c)

例：计算4256÷56=4256÷（7×8）=4256÷7÷7=608÷8=76 练：21210÷42×6=21210÷（42÷6）=21210÷7=3030

练与讲：7625÷25＋2375÷25=（7625＋2375）÷25=10000÷25=400 仿乘法分配律运算

讲与练：999×222＋333×334=333×（3×222）＋333×334=333×666＋333×334=333×（666＋334） =3330000（把999拆分位333×3，） （形成乘法分配律形式） 练：5278÷26=5200÷26＋78÷26=200＋3=203

被除数前两位是26的2倍，后两位是26的3倍。

三升四奥数练习（3） 学生 1.用简便方法计算。

25×57×4 37×48×625

=24×4×57 =37×3×（625×4×4） =100×57 =111×10000 =5700 =1110000

3842－1438－562－842 2345＋6789＋1359＋3211＋8641＋7655

=3842－842－（1438＋562） =2345＋7655＋（6789＋3211）＋（1359＋8641） =3000－2000 =10000＋10000＋10000或10000×3 =1000 =30000

8＋98＋998＋9998 7300÷25÷4

=10＋100＋1000＋10000－2×4 =7300÷（25×4）

=11110－8 =7300÷100 =11102 =73 2巧算

7＋77＋777＋7777＋77777 4444×9998÷1111

=7×1＋7×11＋7×111＋7×1111＋7×11111 =4444÷1111×9998 =7×（1＋11＋111＋1111＋11111） =4×9998 =7×12345 =4×（10000－2） =86415 =40000－8 =39992

37×75＋65×60＋225 21×219－19×221

=65×60＋37×75＋75×3 =21×（200＋19）－19×(200＋21) =3900＋75×(37＋3) =21=3900＋3000 =(21=6900 =2 =400

×200＋21×19－19×200－19×21 －19)×200 ×200 三升四奥数训练（4）

四、等差数列求和

1基本概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它前面的一项的差都相等，就称这个数列为等差数列，项、首项、末项、公差—后项与前项差。

2.基本关系式。总和=（首项＋末项）×项数÷2 ， 项数=（末项－首项）÷公差＋1 第n项=首项＋公差×（n－1）。 例1.求下列各数列各有多少项。

2，5，8，??65，68.观察此数列可知：它是等差数列，公差是3。（68－2）÷3＋1=23 答：此数

列有23项。

练：已知等差数列7，11，15，??，195。问：这个数列共有多少项？

因为公差为4. 所以（195－7）÷4＋1=48 答：此数列共有48项。 讲与练：求下面数列中各数之和。

2＋5＋8＋??＋65＋68 此数列公差为3，则：（68－2）÷3＋1=23?项数 （2＋68）×23÷2=805

练：求等差数列5，8，11??前21项之和。

5＋3×（21－1）=65?第21项（末项） （5＋65）×21÷2=735. 3. 等差数列的应用。

例：有20个朋友聚会，见面时如果每个人都和其他人握手1次，这20个人，一共握手多少次？ 想：甲和其余

19人各握手一次，共19次，乙已和甲握手，再和其它人握手1次共18次，??照此推算，第19人只能和第20人握手1次。

1＋2＋3＋??＋19=(1＋19)×19÷2=190(次) 答:一共握手19次。

练：如果参加宴会的每一个人都和其它人握手一次，宴会结束时，统计出一共握手28次，问：参加宴会的一共

有多少人？

可以这样想：从上例可知倒数第2人只主动和倒数第1人握手1次，从而从总握手次数中逐步减去握手人主

动握手次数至0，再加一人就行了。

28－1－2－3－4－5=13，13－6－7=0 5＋2＋1=8（人） 答：参加宴会的有8人

讲与练：电影院有13排座位，后一排总比前一排多4个座位，最后一排有90个座位。问：这个电影院共有多少

个座位？

90－4×（13－1）=42（个）?首排 （注意：13排座位有12个公差） (42＋90)×13÷2=858(个) 答：这个电影院共有858个座位

三升四奥数练习（4） 1.计算

（1）1＋3＋5＋??197＋199=10000 （2）81＋79＋??＋13＋11=1656

（199－1）÷2＋1=100?项数 （81－11）÷2＋1=36?项数 （1＋199）×100÷2=10000 (81＋11)×36÷2=1656

2.某市举行数学竞赛，比赛前规定，前15名可以获奖。比赛结果：第一名1人，第二名并列2人，第三名并列3人，??，第十五名并列15人。问：获奖的一共有多少人？ （1＋15）×15÷2=120（人） 答：获奖的一共有120人。

3 某电影院有25排座位，后一排总比前一排所2个座位，最后一排有70个座位。问：这个电影院一共有多少个座位？

70－24×2=22(个)?首排

（22＋70）×25÷2=1150（个）

答：这个电影院一共有1150个座位。

4数1，2，3，4，??叫做非零自然数。如果三个紧邻的自然数之和是45，那么，紧跟它们后面的三个自然数的和是多少？

因为45÷3=15 则和为45的三个紧邻自然数分别位：14，15，16 所以紧跟它们之后的三个紧邻自然数就是17，18，19， 17＋18＋19=54 答：这三个自然数的和是54. （方法不唯一）

5如果参加聚会的每个人都和其它人握手1次，聚会结束时，统计出一共握手36次。问：参加聚会的有多少人？ 36－1－2－3－4－5－6－7－8=0 8＋1=9（人） 或：借等差数列求和方法算。 设参加人数为n。

36=（n＋1）×n÷2 36×2=72 72=8×9 答：参加聚会人数是9人。

所以得数是9.

三升四奥数训练（5）

五、巧添运算符号

1方法与技巧

计算：试验、合理组和、逆推。

例：添上＋、－、×、÷、（ ）、{ }等符号，使1 2 3 4 5=1成立。

用逆推法想，从最后结果是1，可知5的前面应添除号或减号。如果添除号，则前面四个数应组成5.如果添减号前面四个数应组成6.通过试验，计算得

[(1＋2)÷3＋4]÷5=1 [(1＋2)×3－4]÷5=1 (1＋23)÷4－5=1 练：填上＋、－、×、÷、（ ），使下面等式成立。（题里数的顺序不能改变）。

（1）1＋2＋2×4－5=10 （2）（1＋2）÷3＋4＋5=10 最后一步可以是加，乘或减。 （教师可在学生独立思考，解答后，评讲或个别指导） 2.凑“24”

例：用下列各组数凑成24，（组内数的顺序可以改变）

4，3，9，12 4×（12＋3－9）=24 （9－4－3）×12=24 想：4乘6得24，就把其它三个数组成26 想：12和2相乘得24?? 练与讲：用下列各组数凑成24.

9、10、11、12. 5、5、5、5. 2、4、6、13

12＋11＋（10－9）=24 5×5－5÷5=24 13×2－6＋4=24 3.添括号。

例：在下面式子中加上括号，使等式成立。

7×9＋12÷3－2=23 （7×9＋12）÷3－2=23 四则混合运算规定，先乘除后加减，因 7×9＋12÷3－2=75 （7×9＋12）÷（3－2）=75 此添括号时着重先考虑加减符号及步骤 4.组和

例 ：在123456789的某些数字之间分别添上加号，减号，使所得式子的值等于100.

如果在每两数之间都都添上加号和才45，由此必须对数字进行组和。想8和9组成89最接近100，那么其它几个数只要组成11就行了。

12＋3＋4＋5－6－7＋89=100 或 1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9=100

练：借上例训练学生重新组和：123＋4－5＋67－89， 123＋45－67＋8－9

练与讲：下面式子中左边有12个2，在适当位置添上＋、－、×、÷、（ ）使等式成立。

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2=2000 2222－222＋（2－2）×2×2×2=2000

三升四奥数练习（5） 学生

1. 请在下面式子中相邻两数之间填上＋、－、×、÷符号，使等式成立。

1×2＋3×4＋5×6＋7=51 2＋3×4＋5×6＋7×1=51 3×4＋5×6＋7＋1×2=51 4＋5＋6×7＋1＋2－3=51

2.把下面每组数中的四个数，凑成24.

1、1、5、7 7、3、5、7

（1＋1）×（5＋7）=24 （3－1）×（5＋7）=24

2、2、8、8 5、8、11、12

（8＋8÷2）×2=24 （5＋8－11）×12=24

3.在下面（ ）中分别填入＋、－、×、÷（每种符号只能使用一次），使等式成立。 1991（×）1（＋）9（－）9（÷）1=1991

4. 在下面算式中合适的地方，添一个括号，使等式成立。 1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9=303 （1＋2×3＋4×5＋6）×7＋8×9=303

5. 在下面各数中进行组和，再添上＋、－、×、÷、（ ）等，使等式成立。

(1)5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5=1994 5555÷5＋555＋(55×5)＋55－(5＋5)÷5=1994 (2)4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4=2000 444×4＋44×4＋44＋4÷4－4=2000

三升四奥数训练（6）

六、定义新运算

1. 运算要求。

理解新定义所规定的运算本质，严格按要求进行运算。

例：设a.b都是数，规定a b=3×a－2×b,求4 3，3 4，（17 6） 2

本题规定的运算本质是：用△符号前的数的3倍减 符号后的数的2倍。

4△3=3×4－2×3=6； 3△4=3×3－2×4=1

（17 6） 2，应先算括号里的数，再算括号外的，（和四则混合运算顺序的括号一样） 17△6=3×17－2×6=39 39△2=39×3－2×2=113 所以（17△6） 2=113 练：a*b表示a的3倍减去b的一半，求10*6，7*（4*4）

运算本质是a×3－b÷2

10*6=10×3－6÷2=27 4*2=4×3－4÷2=10 7*10=7×3－10÷2=16 所以7*（4 *4）=16 练与讲：规定A*B=B×B＋A.求（2*3）*（4*1） 运算本质是：B的平方（B自乘）加A。

2*3=3×3＋2=11 4*1=1×1＋4=5 11*5=5×5＋11=36 所以 （2*）*(4*1)=36 2. 综合运用知识解题。

例：规定a△b=a＋(a＋1)＋(a＋2)＋(a＋3)＋??＋(a＋b－1)。a、b表示非0自然数。

求1△100的值

运算本质是：等差数列求和，因为1△100=（1＋100）×100÷2=5050.

讲与练：如果3△2=3＋33=36 全面观察这三个算式可知: 前的数表示组成的每 2△3=2＋22＋222=246 个加数中的每个数字的数; 后面的数表示有几个 1△4=1＋11＋111＋1111=1234 这样的数的加数及加数中最大的几位数（或有几 如果a △b=49380,求a=? b=? 个这样的数相加）

再观察上面三个算式结果，可知：和的最高位上的数与 前面的数相同． 因为４９３８０÷４＝１２３４５. 则ａ＝４，ｂ＝５．

算式是４＋４４＋４４４＋４４４４＋４４４４４＝４９３８０ 练：设ａ△ｂ表示ａ的５倍加ｂ的３倍，求（10△７）△３

运算本质ａ＊５＋ｂ＊３

１０△７＝１０×７＋７×３＝７１ ７１△３＝７１×５＋３×３＝３６４ 所以（１０△７）△３＝３６４

三升四奥数练习（６） 学生 １. 设ａ、ｂ都表示数，规定ａ△ｂ表示ａ的４倍减去ｂ的３倍。计算：

（１）５△６ （２）６△５

５△６＝４×５－３×６ ６△５＝４×６－３×５ ＝２０－１８ ＝２４－１５ ＝２ ＝９ ２. 设ａ▲ｂ＝８×ａ－１８÷ｂ，求７▲９＝？

７▲９＝８×７－１８÷９ ＝５６－２ ＝５４

３. 规定ａ?ｂ＝（ａ＋３）×（ｂ－５）．求５?（６?７）的值。

６?７＝（６＋３）×（７－５）＝１８

５?１８＝（５＋３）×（１８－５）＝１０４ ∴５?（６ ７）＝１０４ ４. 规定ａ＊ｂ＝３＊ａ－２＊ｂ，求：（１６＊８）＊４２得多少？

１６＊８＝３×１６－２×８＝３２

３２＊４２＝３×３２—２×４２＝１２ ∴（１６＊８）＊４２＝１２ ５. 规定ａ＊ｂ＝４×ａ＋３×ｂ＋１．问５＊７和７＊５相等吗？

∵５＊７＝４×５＋３×７＋１＝４２ ７＊５＝４×７＋３×５＋１＝４４ ∴５＊７和７＊５不等。 ６. 若３◎４＝３＋４＋５＋６＝１８，６◎５＝６＋７＋８＋９＋１０＝４０

计算１９９５◎５＝？

１９９５◎５＝１９９５＋１９９６＋１９９７＋１９９８＋１９９９ ＝（１９９５＋１９９９）×５÷２ ＝９９８５

三升四奥数训练（７）

七、年龄问题

１. 基础知识：（１）二人年龄之差总是保持不变（是个定数），（２）二人年龄随岁月的变化而增，减同一自

然数：（３）二人年龄的倍数随年龄增加而变化，年龄增大，倍数变小。 ２. 用“倍”概念解题。

例：哥哥今年１５岁，弟弟今年１０岁。问：当两人年龄和为５１岁时，两人各多少岁？

观察图可知：从５１岁中减去哥弟年龄差（５岁），正好相当于弟弟几年后的年龄的２倍，或在５１岁上加上哥哥弟年龄差（５岁）正好相当于哥哥几年后的年龄的２倍。 ［５１－（１５－１０）］／２＝２３（岁）??弟

２３＋（１５－１０）＝２８（岁）??哥 答：哥哥为２

８岁，弟弟为２３岁。

练：小红和小明现在的年龄和为２９岁，５年钱，小红让小明小３岁，问：５年后，小红、小明各多少岁？

（２９＋５×２＋３）

÷２＝２１（岁）??小明 ２１－３＝１８（岁）??小红

答：５年后小明２１岁，小红１８岁。

讲与练：某人４９岁时，邻居有三个孩子分别是１５岁、１１岁、７岁。问：多少年后这个人的年龄等于这三个

孩子的年龄之和？

１５＋１１＋７＝３３（岁）??某人４９岁时三孩子年龄和

４９－３３＝１６（岁）??三人与某人年龄差 １６÷（３－１）＝８（岁） 答：８年后三孩子年龄和某人相等。 ３. 和倍、差倍法的问题。

例：今年妈妈５０岁，儿子１４岁。问：几年钱妈的年龄是儿子的５倍？当妈妈的年龄是儿子的３倍时，妈妈多少岁？

从图中可知：妈妈的年龄比儿子大３６岁时，正好是儿子年龄的５倍，即多了４倍。 （５０－１４）／（５－１）＝９（岁）?儿 １４－９＝５（年）

（５０－１４）／（３－１）＝１８（岁）?儿

１８×３＝５４（岁）?妈

答：５年前妈妈年龄是儿子的５倍，当妈妈年龄是儿子的３倍时，妈５４岁。

练与讲：爷爷和孙子今年的年龄和为８３岁，４年后爷爷的年龄是孙子的６倍。问：爷爷和孙子今年的年龄各是

多少岁？

把４年后孙子的年龄看作１份，则爷爷的年龄为孙子的６倍，那么，４年后的两人年龄和应为孙子４年

后年龄的７倍。

８３＋２×４＝９１（岁）??４年后年龄和 ９１÷（６＋１）－４＝９（岁）??孙子

三升四奥数训练（10）

十、简单列举

1方法与技巧。（1）注意依次序列举，不应杂乱无章，（思维的有序性）；（2）按范围和各种情况分类考虑，做到不重复，无遗漏。（3）排除不符合条件的情况，不断缩小列举范围。 2.作图列举法：

例:明明从家到学校又两条路可走。从学校到少年宫又四条路可走。明明从家到少年宫共有几种走法？ 画示意图：

从家沿（1）号路经校到少年宫有4种

从家沿（2）号路经校到少年宫有4种

共4×2=8

（种）

答：明明从家经学校到少年宫共有8种走法。

练：从甲地到乙地有2条铁路直达，从乙地到丙地有3条公路直达。那么，从甲地经过乙地到达丙地一共有多少种不同走法？

2×3=6（种）

答：从甲地经乙地到达丙地有6种不同走法。 3．表格列举法：

例：商店有5千克重的糖果10箱，2千克重的糖4箱，1千克重的糖果6箱。一位顾客要买10千克糖果，要求不开箱，问：怎样给顾客发货，有几种发货方式？ 从箱数最少到箱数最多逐一考虑，可列表格解决。

答：从表格上可看出共有7种发货方式。 （1）发2箱5千克重的：（2）发1箱5

重，2箱2千克种，1箱1千克重的。 (3)发1箱5千克种，1箱2千克种，3 箱1千克种的。（4）发1箱5千克重， 5箱1千克重的。（5）发4箱2千克重 2箱1千克重的。（6）发3箱2千克重 4箱1千克重的。（7）发2箱2千克重

6箱1千克重的。

练与讲：两个自然数的积是96，他们的和是22。这两个自然数各是多少？ 这两个自然数之和（22）列表 由表可以看出，积是

96，和是22的两个数

6和16

答：这两个数分别是6和16。

4．组合与计算。 例：有1克、2克‘4克、8克的砝码各一只，用他们每称一次的一个重量，那么，一共可称出多少种不同的重量？

从1克算起，依次组合，计算。

1克，2克，1＋2=3克，4克，1＋4=5克，2＋4=6克，1＋2＋4=7克，8克，1＋8=9克，

2＋8=10克，1＋2＋8=11克，4＋8=12克，1＋4＋8=13克，2＋4＋8=14克，1＋2＋4＋8=15克， 答：一共可以称出15种不同的重量。

练：从1——9这9个数字中，每次取2个数字，这2个数字的和必须大于10。问:有多少种不同的取法？

从小到大组合计算：2和9（1种）；3和8（2种）：4和7，4和8，4和9（3种）：5和6，5和7，5和8，5和9，（4种）：6和7，6和8，6和9（3种）：7和8，7和9（2种）： 8和9（1种）。1＋2＋3＋4＋3＋2＋1=16(种) 答：有16种取法。

三升四奥数练习（10） 学生 １. 某班同学订阅A、B、C三种杂志，每人最多订阅两种，最少订阅一种，问：共有多少种订阅方法？ 每人最少一种：有3种订法，A或B或C 每人最多2种：有3种订法，AB或BC或CA ∴3×2=6(种)

答：共有6种订法。 ２. 从甲到乙有3条不同的路可走，从乙到丙有4条不同的路可走，求从甲经过乙到达丙有多少条不同的路可走？ 可画图分析： 4×3=12（条）

答：从甲经乙到丙有12条路可行。

3有红色、黄色、蓝色的小旗各一面，从中选用一面、两面或三面升上旗杆，表示不同的信号，那么，一共可以表示多少种不同信号？

选一面旗可表示3种 红或黄或蓝

选两面旗可表示6种 红黄或红蓝或黄蓝，或黄红或蓝红或蓝黄

选三面旗可表示6种 红黄蓝、红蓝黄、黄红蓝、黄蓝红、蓝红黄、蓝黄红 3＋6＋6=15（种）

答：一共可以表示15种不同信号。 ３. 从3，6，7，8四张数字卡片中，任取3张，排成三位数。能排成多少个不同的三位数？其中最大的是多少？

最小的是多少？

如果取3，6，7三张卡片则有：

3 6 7 其中最小367，最大876. 3 7 6

6 3 7 共6个三位数，∴6×4=24（个） 6 7 3 7 3 6

7 6 3 答：能排成24个三位数，其中最小是367最大是876 5.两个自然数的和是21，它们相乘的积是98，这两个自然数分别是多少？ 加数 1 2 3 4 5 6 7?? 加数 20 19 18 17 16 15 14??

积 20 38 54 68 80 90 98??

答：通过列举可知这两个自然数是7和14. 6.本周自学天天练，书P50—53做一做。

三升四奥数训练（11）

十一、数位上的数字

１. 基本概念：数和数字是两个不同概念，数字只有十个即0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 用数字按一定的数位排列就组成了数。（即数是由数字组成的） ２. 列举算试法。

例:一个两位数，个数数字是十位数字的4倍。如果这个数加上5，则和的两个数字相同。求这个两位数是多是？ 先列举出符合个位数字是十位数字的4倍的两位数：14，28 再对这两个数分别加5，看和的两位数是不是数字相同。 14＋5=19 28＋5=23（符合要求） 答：这个两位数是28.

练：有一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，这个数加8，则和的两位数字相同，这个两位数是多少？ 列举：12 ，24 ，36 ，48 尝试：12＋8=20 36＋8=44 24＋8=32 48＋8=56 答：这个两位数是36。

讲与练：从1985到4891的整数中，十位数字与个位数字相同的数有多少个？ 从1985——4891的整数中，千位上的数字有1，2，3，4四种

列举：千位是1的有：1988和1999 共2个 千位是2的有：2000，2011，2022，??，2999 共100个 千位是3的有：3000，3011，3022，??，3999 共100个 千位是4的有：4000，4011，4022，??，4888 共89个 ∴2＋100＋100＋89=291（个） 答：这样的数一共有291个。

练：在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数一共有多少个？ 列举：两位数的十位数字有1，2，3，??，9九种

十位数字是1的：10 一个 十位数字是2的：20，21 2个 十位数字是3的：30，31，32 3个 ??

十位数字是8的：80，81，82，83，84，85，86，87。 8个 十位数字是9的：90，91，92，93，94，95，96，97，98。 9个 ∴1＋2＋3＋??＋9=45（个） 答：有45个。

练与讲：在四位数中，数字和是34的数有多上个？

想：最大的四位数是9999，它的数字和是36，可求的数的数字和比它少2.

列举： 9997 9988 ，8989

9799 9898 ，8899 2个数字共少2有6个 9979 一个数字少2有4个 9889 ，8998 7999

∴4＋6=10 答：有10个。

三升四奥数练习（11） 学生 １. 有一个六位数，个位数字是8，十位数字是6，任意相邻的三个数字的和都是21.这个六位数是多少？ 21—（18＋6）=7?百位数 21—（7＋6）=8?千位数

21—（8＋7）=6?万位数 21—（6＋8）=7?十万位数

∴次数为768768.

答：这个六位数是768768。 ２. 有一个三位数，十位数的数字比百位上的数字大2，个数上的数字比百位上的数字大5，这个三位数在450和

500之间。问：这个数是多少？

∵这个数在450——500之间 ∴百位上必定是4。 4＋5=9?个位数 4＋2=6?十位数 ∴次数为469 答：这个五位数是469 ３. 有一个五位数，最低位数字是8，最高位数字是3，个位上的数字是十位数字的2倍，前三位数字的和与后三

位数字的和都是19，这个五位数是多少？

8÷2=4?十位数 19—8—4=7...百位数. 19—7—3=9?个位数 ∴此数为39748.

答：这个五位数是39748.

４. 有一个三位数，百位数字是个位数字的一半，十位数字是百位数字与个位数字之和，而且这个数除以9余数

是0。这个数是多少？

∵三位数中最大的被9除余0的数是999。因此，只需把百位数上和个位上的9按题的要求，调整为3和6就行了。

∴此数为396 答：这个数是396. ５. 有一个偶数（双数），他是三位数，若把它的个位数字和百位数字互换，数值不变，符合这个条件的数最大

是多少？它的数字和是多少？

∵最大的偶数数字是8， ∴此数的个位和百位数都是8（符合条件2） 再考虑十位数最大应是9

∴此数为898 8×3＋1=25

答：这个三位数是898，它的数字和是25. ６. 本周自学天天了，数P54—58做一做。

三升四奥数训练（12）

十二、长方形、正方形的周长

１. 基本公式：长方形的周长=（长＋宽）×2；正方形的周长=边长×4 ２. 等长转换法

例：下图是一块试验地的平面图形，已知条件如图所示，这块地的周长是多少？

把这个六边形的两条短边分别向上和向右平移至上边和右边的

线段同一直线内使图行转北为一个规范的长方形，虽然原来的 面积增大了，但周长未变仍与原图周长相等。 ∴（50＋90）×2=280（米）

答：这块试验地的周长是280米。

练与讲：求下图阴影部分的周长，（四个角都是边上10厘米的正方形）。

如果不改变此图形状则它的周长应有2条120厘米的边，2条80厘米的，边和8条10厘米的边，即：120×2＋80×2＋10×8=480（厘米）如果像上例那样把它转化为周长相等的长方形，则

（120＋10×2＋80＋10×2）×2=480（厘米）

答：阴影部分的周长是480厘米。

练：下图的长方形中有一些由小正方形组成的图案（小正方形的边长是1厘米），求这个长方形的周长是多少厘

米？

由图中小正方形的边长可知长方形长9厘米，宽5厘米 ∴（9＋5）×2=28（厘米）

答：这个长方形的周长是28厘米。

例：一个正方形被分成3个大小，形状完全一样的长方形（如图），每个长方形的周长都是24厘米，求这个正

方形的周长？

24×3=72（厘米）?三个长方形周长和

∵三个长方形共有6条长和6条宽，每条长等于正方形的边长，6 条宽等于2条正方形边长 ∴72厘米正好是8条正方行的边长。 则：72÷8×4=36（厘米）

答：这个正方形的周长是36厘米。

练与讲：下周是由4个一样大的形状完全相同的长方形和一个周长是4分米的小正方形拼成的一个边长是11分

米的大正方形。求每个长方形的周长？

4÷4=1（分米）?小正方形边长

在图中添一条虚线（见图）后，观察这条线可知：大正方形的边长 （11厘米），正好等于小正方形的边长加长方形的两条宽∴长方形 的宽是（11－1）÷2=5（分米）?长方形宽

而长方形的长正好等于小正方形边长加长方形的宽，则1＋5=6（分米）?长方形长 ∴（6＋5）×2=22（分米）

答：每个长方形的周长是22分米。

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