专题17.1 勾股定理

第十七章勾股定理

17.1 勾股定理

1．勾股定理

勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的__________等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．

【注意】（1）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是__________；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．

（2）如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．

2．勾股定理的证明

在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理．

对于勾股定理的证明，现在世界上已找出很多种运用图形的割、移、补、拼构造特殊图形，并根据面积之间的关系进行推导的方法，著名的证法有赵爽“勾股圆方图”（“赵爽弦图”）、刘徽（“青朱出入图”）、加菲尔德总统拼图、毕达哥拉斯拼图等．

3．勾股定理的应用

勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”

的关系．利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题．其主要应用如下：

（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；

（2）已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；

（3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题；

（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题．

参考答案：

1．平方和a2+c2=b2

一、勾股定理

已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先明确所求边是斜边还是直角边，再决定用勾股定理的原式还是变式．

二、勾股定理的证明

勾股定理的证明是通过拼图法或割补法完成的，探索时利用面积关系，将“形”的问题转化为“数”的问题．

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