常微分方程第三版课后答案
更新时间:2023-05-16 02:30:01 阅读量: 实用文档 文档下载
常微分方程 习题2.2
求下列方程的解 1.
dy
dx
=y sinx 解: y=e dx( sinxe dx
dx c)
=ex[-
12e x
(sinx cosx)+c] =c ex-1
2
(sinx cosx)是原
方程的解。 2.
dx
dt
+3x=e2t 解:原方程可化为:
dx
=-3x+e2tdt
所以:x=e 3dt
(
e
2t
e
3dt
dt c) =e 3t (1
e5t5+c)
=c e 3t+1
e2t5
是原方
程的解。
3.
ds
dt
=-scost+12sin2t
解:s=e costdt( 1
2
sin2te 3dtdt c )
=e sint( sintcostesintdt c) = e sint(sintesint esint c) =ce sint sint 1 是原方程的解。 4.
dydx x
n
y exxn , n为常数. 解:原方程可化为:dydx x
n
y exxn
n
n
y e
xdx
( exxn
e
xdx
dx c)
xn(ex c) 是原方程的解.
5.
dydx+1 2x
x
2y 1=0 解:原方程可化为:dydx=-1 2x
x
2y 1
x 1 2xy e
2x
2
dx
(e
1x2
dx
dx c)
2 e
(lnx 1
2
)
( e
lnx2
1
x
dx c)
1=
x2
(1 cex
)是原方程的解.
7.dydx 2yx 1 (x 1)3dydx 2yx 1
(x 1)3
P(x) 2,Q(x) (x 1)3
x 1
P(2
e x)dx
e x 1dx (x 1)2
方程的通解为:
y=e P(x)dx( e P(x)dx
Q(x)dx c)
=(x+1)(2
13
(x 1)
2
*(x+1)dx+c) =(x+1)(2
(x+1)dx+c)
2
(x 1)2 =(x+1)(2 c)
即:2y=c(x+1)2+(x+1)为方程的通解。4
dydx =
yx y3
dxdy x+y3y 1y
x y2
则P(y)=1
,Q(y) y2
y
1
e P(y)dy e ydy y
方程的通解为: x=e
P(y)dy
( e P(y)dy
Q(y)dy c)
=y( 1
y
*y2dy c)
y3
=2
cy
y3即 x=2
9.
dydx ayx x 1
x
,a为常数解:(Px) ax,Q(x)
x 1
xa
e P(x)dx
e xdx xa
方程的通解为: y=e
P(x)dx
(e P(x)dx
Q(x)dx c)
=xa(
1x+1
xax
dx+c)
当 a 0时,方程的通解为 y=x+ln/x/+c 当 a 1时,方程的通解为 y=cx+xln/x/-1 当 a 0,1时,方程的通解为 y=cxa+x1
1-a-a
10.x
dy
y x3dxdy 1
x
y x3
dxP(x) 1
x,Q(x) x3
1e P(x)dx e xdx
1x
方程的通解为: y=e
P(x)dx
( e P(x)dxQ(x)dx c)
=1
x( x*x3dx c)
=x3c4 x方程的通解为: y=x3c4
x
11.
dy
xy x3y3dxdy
xy x3y3
dx两边除以y3dy
xy 2 x33ydx
dy-2
2( xy 2 x3)dx令y 2 z
dz
2( xz x3)dx
P(x) 2x,Q(x) 2x3e dx e
p x
2xdx
13
2xydy (2y2 x)dxdy2y2 xy1 dx2xyx2y这是n=-1时的伯努利方程。 两边同除以
1
, y
ex
2
dyy21y dxx2
方程的通解为:
p x p x
z= e dx( e dxQ(x)dx c)
令y2 z
dzdy 2y dxdx
=ex( e x( 2x3)dx c) =x2 cex 1
故方程的通解为:y2(x2 cex 1) 1,且y 02
2
22
dz2y22z
1 1 dxxx
clnx1
12.(ylnx 2)ydx xdyx2
424
dylnx22y y dxxx
2
两边除以ydylnx2y
y2dxxx
1
1
P(x)=
2
Q(x)=-1 x
由一阶线性方程的求解公式
dx dx
z e x( e xdx c)
2
2
=x x2c
dylnx2y
dxxx 令y 1 zdz2lnx z dxxx
2lnxP(x) ,Q(x)
xx方程的通解为:z e
P(x)dx
P(x)dx( e Q(x)dx c)
1
y2 x x2c
dyey 3x
14 2dxx
2
dy(ey) 3xey
两边同乘以e e dxx2
y
y
令ey z
dzydy e dxdx
22
22dx dxlnx1lnx 2xxdzz 3xz3zzz e( e( )dx c) x( 2( )dx c 2 这是n=2时xxx2
dxxxx
c2lnx1 x 424
的伯努利方程。
c2lnx1
方程的通解为:y(x ) 1,424
两边同除以z2
1dz31
22
dz2y
3=3
zdxxz令1
z T dT1dzdT dx zdx 3Tdxx 12 x
2 P(x)= 3x Q(x)= 1
x
2
由一阶线性方程的求解公式
3T e xdx3
( 1 xdxx
2dx c)
=x 3( 1
x22 c)
= 1
2x 1 cx 3
z( 1
x 1 cx 32) 1
ey( 1
2x 1 cx 3) 1
1
2x2ey cey x3 1x2
x3e y2
c 15
dydx 1xy x3y3
dx
dy
yx y3x3 这是n=3时的伯努利方程。
1dxx3
dy y
x
2 y3 令x 2 z dzdy 2x 3ddxdy 2x
2y 2yz 2yP(y)=-2y Q(y)= 2y3 由一阶线性方程的求解公式 z e
2ydy
( 2y3e 2ydy
dy c)
=e y2
( 2y3ey2
dy c) = y2
1 ce
y2
x2( y2 1 ce y2
) 1 x2ey2
( y2 1 ce y2
) ey2
ey2
(1 x2 x2y2) cx2
16 y=ex+ x
0y(t)dt
dy
dx ex y(x) dy
dx
y ex P(x)=1 Q(x)=ex 由一阶线
性方程的求解公式
y e 1dx( exe 1dx
dx c)
x3
=ex( exe xdx c) =ex(x c)
ex(x c) ex x
ex(x c)dx
c=1 y=ex(x c)
x y
y211x2[ ]dx [ ]dy 0 22
xy(x y)(x y)
解:
习题2.3
1、验证下列方程是恰当方程, M2y(x y)2 2y2(x y)( 1)2xy
y(x y)4(x y)3
并求出方程的解。
1. (x2 y)dx (x 2y)dy 0 解: M
y
1, N x=1 .
则
M N
y x
所以此方程是恰当方程。 凑
微分
,
x2dx 2y
(yd xd) y0 dx
得 :1
3
x3 xy y2 C
2. (y 3x2)dx (4y x)dy 0
解: M
N y
1, x 1 . 则
M y N
x
. 所以此方程为恰当方程。
凑
微
分
,
ydx xdy 3x2dx 4ydy 0
得 x3 xy 2y2 C 3
.
N x 2x(x y)2 2x2(x y)2xy
(x y)4 (x y)3
则
M N
x y
. 因此此方程是恰当方程。
uy21
x (x y)2 x
(1)
u1x2
y y
(x y)2
(2)
对(1)做x的积分,则
y2u(x y)2
dx 1
xdx (y) =
y2 x y
lnx (y) (3) 对(3)做y的积分,则
u ( 1)y2
(x y)2y d (y) y(x y)2
dy
y
=
2xy y2(x y)
2
d (y)
dy =
1x2
y (x y)
2
则
d (y)1x2y2 2xy1x2 2xy y21
dy y (x y)2 (x y)2 y (x y)2 y
1
(y) (1
y
1)dy lny y
u y2yy2 xy y2yx y lnx lny y lnxyx x y lnx x y
故此方程的通解为
ln
yx xy
x y
C 4
、2(3xy2 2x3)dx 3(2x2y y2)dy 0
解:
M
y
12xy, N
x
12xy . M y N
x
. 则此方程为恰当方程。 凑
微分,
6xy2dx 4x3dx 6x2ydy 3y2dy 0
3d(x2y2) d(x4) d(x3) 0
得 :x4 3x2y2 y3 C
5.(
1ysinx
y-yy1x
2cosx+1)dx+(x
cosy
xx-
y2
sinx1y+y2)dy=0
解: M=1ysinx
y-yyx
2cosx+1 N=1
yxx
cos-y2
sinxxy+1y2
M y=-1
xxx1y
2 siny-y3cosy-x2 cosy+
yyxx3
sinx Nxxx x=-1
y
siny-12y3cosy-x2 cosyx
+yx3
siny
x 所以, M y
= N x,故原方程为恰当方程
因为
1x
yy1ysiny
dx-x2cosxdx+dx+x
cosy
dy-
xxxy2 sinydy+1y
2
dy=0 d(-cosx
y
)+d
y1
(sin)+dx+d(-)=0
xy
x3y2=C
8. 2xydx+( x2+1)dy=0
x
y
1y
所以,d(sin-cos+x -)=0
yx故所求的解为sin-cos+x
y
x
解:2xydx+ x2dy+dy=0
d( x2y)+dy=0 xy
-1y
=C
求下列方程的解:
6.2x(yex2
-1)dx+ex2
dy=0
解:
M
2 y
= 2xex , N
=2xex2 x
所以, M y
= N
x,故原方程为恰当方程
又2xyex2dx-2xdx+ex2
dy=0 所以,d(yex2
-x2)=0 故所求的解为yex2
-x2=C 7.(ex+3y2)dx+2xydy=0 解:exdx+3y2dx+2xydy=0 exx2dx+3x2y2dx+2x3ydy=0 所以,d ex
( x2
-2x+2)+d( x3y2
)=0
即d [ex( x2-2x+2)+ x3y2]=0 故方程的解为ex( x2-2x+2)+
即d(x2y+y)=0 故方程的解为x2y+y=C 9、ydx xdy x2 y2 dx 解:两边同除以 x2 y2 得
ydx xdyx2 y2 dx
即,d arctgx
y
dx
故方程的通解为
argtg x y
x c
10、ydx x y3 dy 0 解:方程可化为:
ydx xdy
y2
ydy 即, d x
y
ydy
故方程的通解为:
xy 12
y2
c 即:2x y y2 c
同时,y=0也是方程的解。11、 y 1 xy dx xdy 0
解:方程可化为:
ydx xdy 1 xy dx
d xy 1 xy dx
即:
d xy 1 xy
dx
故方程的通解为:
ln xy x c
12、 y x2 dx xdy 0
解:方程可化为:ydx xdy
x
2
dx d y
x
dx 故方程的通解为 :
y
x
c x 即:y x c x 13、 x 2y dx xdy 0
解:这里M x 2y,N x ,
M y N
x
M N
y x1
N x
方程有积1
分因子 e
x
dx x
两边乘以 得:方程
x x 2y dx x2dy 0是恰当方
程
故方程的通解为:
x
2
2xy dx x2
y x2 2xy
dx
dy c
x3
3
x3y c 即:x3 3x2y c
14、
xcos x y sin x y dx xcos x y dy 0
解
:这里
M xc
x y o s x sy i,N xcn x y o
s
因
为
M N
y x
c x y xs x y
oi
故方程的通解为:
xcos x y sin x y dx
xcos x y
y
xcos x y sin x y dx
dy c 即:xsin x y c
15
、
ycosx xsinx dx ysinx xcosx dy o
解
:
这
里
M yc
x xsox,N isysx nxcix
on
s
M N y x
M y N
x
M
1 方程有积分因子: e dy
ey 两边乘以
得:
方
程
ey ycx xsx dx ey ysx xocx dyi 0
为恰当方程
故
通
解
为
:
ey
ycosx xsinx dx y N y e ycosx xsinx dx
dy c
即:eysinx y 1 eycosx c 16
、
x 4ydx 2xdy y3 3ydx 5xdy 0
解:两边同乘以x2y得:
4x3y2
dx 2x4
ydy 3x2y5
dx 5x3
ydy 0
d x4y2 d x3y5
0
故方程的通解为:
x4y2 x3y5 c
习题2.5
2.ydx xdy x2
ydy
解:
x2,得:
ydx xdy
x2
ydy dy1
x 2y2 c 即yx 12
2
y c 4.
dyy
dx
x xy
解:两边同除以x,得
y dyos
dx
1
y
nx
令
y
x u 则dydx u xdudx
即
dydx u xdu
udx 1 u
得到
1u c 1
2
lny 2,
2
即x y c 12lny
另外y 0也是方程的解。
6. xy 1 ydx xdy 0 解:ydx xdy xydx 0
ydx xdy
y2
xdx
得到d
x y
12x2
c 即
x12
y 2
x c i
另外y 0也是方程的解。 dydu 则 1
8.
dydx yx y2
x
3 解:令
y
x
u 则
:
dy u xdudx u 1
x
u2dx 即x
du12
dx xu 得到dudx
u2 x2
故 1u 1x
c 即
1c1y x x2
另外y 0也是方程的解。2
10. x
dydx 1 dy
dx
解:令dy
dx
p 即x 1 p2
p
而
dy
dx p故两边积分得到 y 12
2
p lnp c
因此原方程的解为
x 1 p2p
,y 12p2 lnp c。
12.e y
dy dx 1
xex 解:
dy
1 xex ydx
令 x y u
dxdx
dy du 1 xeudxdx 1 即du
e
u xdx
e u
12
x2 c
故方程的解为
e
x y
12
x2
c 14.
dy
dx
x y 1 解: 令x y 1 u
则1
dydudx dx 那么
dydx dudx 1 u
du
u 1
dx 求得: ln u 1 x c 故方程的解为
ln x y 1 x c
或
可
写
为
x y 1 cex
16. x 1
dy
1 2e ydx
解:令e y
u 则
y lnu
x 1
1du
udx
2u 1 11
u2u 1du x 1dx
2u 11
u x 1`
c
即方程的解为
ey x y 2x c
18
.
dyxp2 4xx2xpxdp22xdp p,则y p ,两边对x求导得p dx2p2p22dxpp2dxp2x2xdpp2x2x( ) ( ),( )dx ( )dp 0,(p3 4p)dx ( xp2 4x)dp 02p2pdx2p2pp(p2 4)dx x(p2 4)dp 0 p2 4或pdx xdp 0,当p2 4时y 2x,当pdx xdp 0时,
x
4x2y2dx 2x3y 1dy 0
解: 将方程变形后得
dy4x2y2
3
dx2xy 1
x2x2
4x 42xc2
p ,y c,2yc c2x2 4.
c
ccdy
20.y2 1 ()2 1
dx dy1dydy1sin d 2
解:令 p sin ,则y21 (sin ) 1,y ,dx d
dxcos psin sin cos2 cos2d
x c sec2 d c tg c所以方程的解为y2 (x c)2 1,另外由p 0得y 1也
2
dx2x3y 1x1
dy 4x2y2
2y
4x2y2 同除以x2得:
x2
dxx31dy 2y 4y
2 令z x
3
则
dz3zdy 2y 3
4y
2 3 z 3
2
2
y2 cy
即原方程的解为
3
x3
3
2
y2 cy2
19.X(dydx)2 2y(dy
dx
) 4x 0 解
:
方
程
可
化
为
x(
dy2y(
dy) x(dy
)2 4x,y )2
4xdxdx
2(dydx
) 令
cos
xx21.(1 ey)dx ey
(1
x
y
)dy 0解:令x z则x yz,dx z ydz
方程为(1 ez)dx (z 1)ezydydydy,
dxdy (z 1)ez1 ez zez z z ez1 ez z z ez1 ez z ydz1 ezdydy,z ezdz ylnz ez lny,y(z ez) c,y(x
x
x
ey) c所以方程的解为x yeyy
c22.
2xy2 3y3dx x2
y4
dy 0解:2xydx (y2 3x2)dy 0
M M N
y 2x, N x 6x, y x
2xy 8x4 4
dy 2xy y
所以方程有积分因子e y 42xy 3dx (y 2
3x2y4
)dy 0,dx21x21
y3 dy 0所以方程的解为y
3 y c即x2 y2 cy323.ydx (1 x y2)dy 0
解:ydx xdy (1 y2)dy,两边同除以y2得ydx xdy1 y2x1 y2
y2 y2dy,dy y2
dy
所以方程的解为
xy 1
y c即(x 1) y(y c),另外y 0也是解。24.
y x(x2 y2)
y
xdy 0解:方程可化为
ydx xdyxx2 y2
,darctgy xdx所以方程的解为arctgxx2
xdxy 2 c.
25.
dy
dy
dx
edx x 0dy p t,x t et由dy pdx得y t(1 et)dt c t2
解:令 ett etdx2
c
t2
所以方程的解为x t et 2 ett et c
dy
dy
25.
dx
edx x 0dydx p t则x t et由dy pdx得y t(1 et)dt c t2
解:令2
ett et c
2所以方程的解为:x t et,y t(1 et)dt c t
2
ett et c
326(.2xy x2y y
)dx (x2 y23
)dy 0
M N
M
2 y x y 2x x y2, N x 2x,x2 y 1所以方程有积分因子ex方程两边同乘ex2得d3exx2y dexy3 0所以方程的解为:3exx2y exy3 c
27.
dy2x 3y dx 44x 6y 5
解: 令
u 2x 3y
,
1x4
1 2ce
u
即
dudyu 4 2 3 2 3,则 dxdx2u 5
为方程的解。
, dy y
xydu7u 22
dx2u 5
x2 y2 cy2ex
4
2u 57u 22du dx
, 1
9114u 22=7
2dx7
, 两
边积分得 9ln2x 3y 227 14(3y 3
2
x) c
即为方程的通解。
另外,7u 22 0,即2x 3y 22
7
0也是方程的解。
28. x
dy
dx
y 2x2y(y2 x2) 解: 两边同除以x,方程可化为:
dydx y
x 2xy(y2 x2) 令y
x
u,则
x
du
dx
u u 2ux2(u2x2 x2) 即
du
dx
2x3(u3 u), du3
u3
u
2xdx
(
1u 1) 12(u 1) 1u
)du 2x32(dx
两
边
积
分
得 29.
dx x
e 解: 令exy
u,则 y lnux
,
xdu
dy lnu
dx x2
,
那
么 1dulnulnuxdx x u
2x
2 u 即
du
u2
xdx 两
边
积
分
得 12
x2 e xy
c 即为方程的解。
30. dydx 4x3 2xy3 2x3x2y2
6y5 3y
2
解
:
(4x3 2xy3 2x)d x(32x2
y 65y 32y)d y0
d(x4 x2) (y3dx2 x2dy3) d(y6 y3) 0
两
边
积
分
得
x4 x2 y6 y3 x2y3 c
即
x4 x6 c (x2 1)(y3 1)
为方程的解。
31. y2
(xdx ydy) x(ydx xdy) 0
解 : 方
程
可
化
为
y2xdx y3dy xydx x2dy 0
两
边
同
除
以
d(xy)dy(x y)(x2y2 1)
x y dxdx1 x3y
,
得
y2
xdx ydx x(ydx xdy)
y2
0
即
12d(x2 y2) xdx
dy
0 令x cos ,y sin ,则
d cos dctg 0
即
d
dsin
sin2
0 两
边
积
分
得
1sin c.将1 sin y
代入得,
y
c
即
2(y 1)2 c2y2
故
(x2 y2)(y2 1)2 c2y2 32. dydx 1 xy3
1 x3y
0
解
:
方
程
可
化
为 dydx 1 xy3
1 x3
y
两边同加上1,得 d(x y)dx xy(x2 y2)
1 x3y
(*)
再由d(xy) xdy ydx,可知
(**) 将(*)/(**
)
得
d(x y)d(xy) xy(x y)
x2y2
1
即
dudv uv
v2 1
整
理
得 duu vv2 1
dv 两
边
积
分
得 cu
即 c(x y)
另外, x y 0 也是方程的解。
33. 摩托艇以 5米/秒的速度在静水运动,全速时停止了发动机,过了20秒钟后,艇
的速度减至v1 3米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动
速度成正比例。 解:F ma m
dv
dt
,又F k1v,由此
m
dv
dt
k1v 即
dv
dt
kv 其中 k k
1 m
,解之得
lnv kt c
又
t 0 时, v 5 ; t 2时,v 3。 故
得 k
120ln3
5
,c ln5
从而方程可化
为 n n 1
t
320
v 5()
5
dxdx
at an t x 1
dtndtn 1
f1 t
当
t 2 60 120
时,
(1)
有
3120
v(20) 5 ()20 0.23328米/秒
5
即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速
dnxdn 1x
a1 t n 1 an t x f2 t n
dtdt
(2)
习题4.1
1. 设x t 和y t 是区间a t b上的连
续函数,证明:如果在区间a t b上有
x t y t yt 常数或
xt常数,则x t 和y t 在区间a t b上线形无关。
证明:假设在x t ,y t 在区间a t b上线形相关
则存在不全为零的常数 , ,使
得 x t y t 0
那么不妨设x t 不为零,则有
y t xt
显然
为常数,与题矛盾,即假设不成立x t ,y t 在区间a t b上线形无关
2. 证明非齐线形方程的叠加原理:设
x1 t ,x2 t 分别是非齐线形方程
的解,则x1 t +x2 t 是方程
dnxdtn
adn 1x
1 t dt
n 1 an t x f1 t +f2 t 的解。
证明:由题可知x1 t ,x2 t 分别是方程(1),(2)的解
则
:
dnx1 t dtn adn 1x1 t
1 t dt
n 1
an t x1 t f1 t (3)
dnx 12 t dtn a dnx2 t
1 tdt
n 1
an t x2 t f2 t (4)
那么由(3)+(4)得:
dn x1 t x2 t dtn adn 1 x1 t x2 t
1 t dt
n 1
an t x1 t x2 t f1 t +f2 t
即
x1 t +x2 t 是方程是
dnxdn 1dtn
ax
1 t dt
n 1 an t x f1 t +f2 t 的解。
3. 试验证d2x
dt
2
x 0的基本解组为
et
,e t,并求方程d2x
dt
2 x cost的通
解。
证明:由题将et
代入方程d2x
dt
2 x 0得:
et-et=0,即et是该方程的解,
同理求得e t
也是该方程的解 又显然et,e t线形无关,故et,e t
是d2x
dt
2
x 0的基本解组。 c 1 t et c 2
t e t 0 c 1
t et c 2 t e t cost由题可设所求通解为:
x t c1 t et c2 t e t,则有:
解
之
得
:
c 11 t4e t ct sot c1i;cs2
t n14et
ct sot c2i
故
所
求
通
解
为
:
x t ctt1e c2e
12
cto s
4. 试验证d2xtdxdt
2
1 tdt 1
1 tx 0有基本解组t,et
,并求方程
d2xtdx1
dt2 1 tdt 1 t
x t-1的通解。 解:由题将
t
代入方程
d2xtdx1
dt
2
1 tdt 1 tx 0得:
d2tdt2 tdt1 tdt 11 t
t tt
1 t 1 t 0
,即t为该方程的解
同理et
也是该方程的解,又显然t,
et线形无关,故t,et是方程
d2xdt2 tdx1 tdt 1
1 t
x 0的基本解组 由题可设所求通解为
x t c1 t t c2 t et,则有:
c 1 t t c 2 t et 0 c c t1 t 2 t e t 1解
之
得
:
c1 t t c1,c2 t te t e t
c2
故
所
求
通
解
为
x t cct2
1t 2e t 1
5. n以知方程d2xdt
2
x 0的基本解组为et,e t,求此方程适合初始条件x 0 1,x 0 0及x 0 0,x 0 1
的基本解组(称为标准基本解组,即有
w 0 1)并求出方程的适合初始条件
x 0 x
0,x 0 x0的解。
解:et
,e t
时间方程d2x
dt
2 x 0的基本解
组,故存在常数c1,c2使得:
x t c1et c2e t
s
于是:x t c1et ct2e
令t=0,则有方程适合初始条件
x 0 1,x 0 0,于是有:
0
c1e c2e 1 c0e01e c2 0
解得:
c11
2,c111
2 2 故x t 2et 2
e t 又该方程适合初始条件
x 0 0,x 0 1,于是:
c0
1e c2e 0 解
得
:
c001e c2e 1c12,c1111
2 2 故x t 2et 2
e t 显然x1 t ,x2 t 线形无关,所以此
方程适合初始条件的基本解组为:
x t 1et 1e t
22, x t 112et 2e t
而此方程同时满足初始条件
x 0 xx 0 x
0,0,于是:
c0 1e c0
2e x0解
得
:
c0
c0
1e 2e x0
cxx 0 0x0 x0
1 2,c2
2
故x t x
0 x0tx0 x2e 0 t
2
e
满足要求的解。
习题4.2
1. 解下列方程
(1)
x(4)
5x 4x 0 解:特征方程
4 5 2 4 0有根 1 2, 2 2, 3 1, 4 1
故
通
解
为
x=c2t
2t
t
e t
1e c2e c3e c4
(2)
x 3ax 3a2x a3x 0
解
:
特
征
方
程
3 3a 2 3a2 a3 0
有三重根
a
.故通解为
x=c1eat c2teat c23teat
(3)x
(5)
4x 0
解:特征方程 5 4 3 0,有三重根 0, 4 2, 5 -2
故
通
解
为
x c2t
c 2t
2
1e2e c3t c4t c5
(4)x 2x 10x 0 解:特征方程 2 2 10 0有
复数根 1 -1+3i, 2 -1-3i
故
通
解
为
x ct t1e cos3t c2esin3t
(5) x x x 0
解:特征方程 2 1 0有复数根 3i i1 1 2, 12 2,
故
通
解
为
x c 1
12
tc 1e
cost 2e
2
tsin3
22
t (6)
s a2s t 1
解:特征方程 2 a2 0有根
1 a, 2 -a
当a 0时,齐线性方程的通解为s=cat1e c2e at
~s A Bt
代入原方程解得
A B
1
a2
故通
解为
s=cat
1e
c at
2e
-1a
2(t 1) 当a=0时,~s t2( 1t 2)代入原方程解得 11 6
, 2 12
故通解为s=c1 c2t-16
t2
(t 3) (7)
x 4x 5x 2x 2t 3
解:特征方程 3 4 2 5 2 0有根 1 2,两重根 1 齐线性方程的通解为x=c2t1e c2et ct3te
又因为 0不是特征根,故
可以取特解行如x~
A Bt代入原方程解得A=-4,B=-1
故
通
解
为
x=c1e2t ct2e c3tet-4-t (8) x(4) 2x x t2 3
解
:特征方程
4 2 2 1 0有2重根 1,2重根 1
故齐线性方程的通解为x=c t1et ct2te c3e c t4te
取特解行如x~
At2 Bt c代入原方程解得A=1,B=0,C=1 故
通
解
为
x=c1et c t2tet c3e c t4te+t2 1 (9)x x cost
解:特征方程 3 1 0有复数根
1 3i1
2, 1 i
22
, 3 1 故齐线性方程的通解为
1
x c 1
t
1e
2
tcos2t c t2e2sin2
t c3e
取特解行如x~
Acost Bsint代入原方程解得A=12
,B 12
故
通解
为
x c 1
1e
2
tcos2t c 1
tsin2e22
t c3et
1
2
(cost sint) (10) x x 2x 8sin2t
解:特征方程 2 2 0有根
1 -2, 2 1
故齐线性方程的通解为x=c1et c 2t2e
因为+-2i不是特征根
取特解行如x~
Acos2t Bsin2t代入原方程解得A= 25
,B 65
故
通解为
x=c 2t1et c2e 25
cos2t 65
sin2t
(11)x x et
解:特征方程 3 1 0有复数根
1 i1
2, 1 3i
22
, 3 1 故齐线性方程的通解为
1
x c 1
1e
2
tcost c tsin3
2e22
t ct
23e 1是特征方程的根,故
~x Atet代入原方程解得
A=13
故
通解
为
x c 1
1e
2
tcos2t c 1
t3
2e2sin2
t c3et
+13
tet
(12)s 2as a2s et 解:特征方程 2 2a a2 0有2重根 -a
当a=-1时,齐线性方程的通解为s=c1et
c2tet,
1
是特征方程的2重根,
故x~
At2et代入原方程解得
A=12
通解为s=ct
1e c2tet
12
t2, 当a -1时,齐线性方程的通解为s=cat
1e c at2te,
1
不是特征方程的根,故~x Aet
代入原方程解得A=1(a 1)2
故通
解
为
s=cat
c1t
1e 2te at+
(a 1)
2
e (13)x 6x 5x e2t 解:特征方程 2 6 5 0有根
1 -1, 2 -5
故齐线性方程的通解为x=c t
1e c2e 5t
2
不是特征方程的根,故
~x Ae2t代入原方程解得A=121
故通解为x=ct1e c2e 5t+1e2t21
(14)x 2x 3x e tcost 解:特征方程 2 2 3 0有根
1 -1+2i, 2 -1-2i
故齐线性方程的通解为
x ct1ecos2t ct2esin2t
1 i 不是特征方程的根,
取
特解行如
~x (Acost Bsint)e t
代入原方程解得A=541,B 4
41
故
通解为x c1etcos2t c2etsin2t
+
(
541cost 4
41
sint)e t (15)
x x sint cos2t
解:特征方程 2 1 0有根
1 i, 2 - i
故齐线性方程的通解为
x c1cost c2sint
x x sint
, 1 i,是方程的解~x t(Acost Bsint)
代入原方程
解得
A= 1 B=0 故x~2
1
2
tcost x x cos2t
~x Acos2t Bsin2t
代入原方程
解得
A=1 B=0 故x~
3
1
3
cos2t 故通解为
x c1cost c2sint
1
2
tcost 1
3
cos2t 习题5.1
1.给定方程组 x
‘
= 01 x1 -10
x x= x 2
(*)
a)
试
验
证
u(t)= cost sint ,v(t)= sint
cost 分别是方
程组(*)的满足初始条件u(0)= 1
0
0 , v(0)= 1
的解.
b)试验证w(t)=c1u(t)+c2v(t)是方程组(*)的满足初始条件
w(0)= c1
c 的解,其中c1,c2是任意
2
常数.
解:a) u(0)= cos0 1 sin0
=
0
u
'
(t)=
sint
cost
=
01 cost 01
10 sint 10
u(t) 又 v(0)= sino cos0 = 0
1
v
'
(t)= cost sint
= 01 sint 01
-10 cost = -10
v(t) 因此 u(t),v(t)分别是给定初值问题的解.
b) w(0)=c1u(0)+c2u(0)=
c 1
1 0 c1 0
+c2
1 = c 2
w'(t)= c1 u'(t)+ c2 v'(t)
=
c sint
+c 2 cost 1 cost
sint
= - c1sint c2cost c 1cost c
2sint =
01 -10 c1cost c2sint
c1sint c2cost
=
01
-10
w(t) 因此 w(t)是给定方程初值
问题的解.
2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题: a) x‘’+2x‘+7tx=e-t
其中 x= 1 .
x
2
x
b) 令x1=x x2=x' x3=x''
x4=x''' 则得:
,x(1)=7,
x‘(1)=-2 b)
x
(4)
+x=te
t
,x(0)=1,
x‘(0)=-1,x‘’(0)=2,x‘‘’
(0)=0 x‘’
+5y’-7x+6y=etc) y‘’-2y+13y‘
-15x=cost
x(0)=1, x‘
(0)=0,y(0)=0,y‘
(0)=1
解:a)令 x1=x, x2= x‘, 得
x'1 x' x2
x' x'' 7tx t
21 2x2 e
即
'
x1 01 x1 x 7t 2 x 0
e t
2
2 又 x1=x(1)=7 x2
(1)=
x‘(1)=-2
于是把原初值问题化成了与
之等价的一阶方程的初值问题: x‘= 01 -7-2
x+ 0 e t ,
x(1)=
7
2
x'1 x' x2
x'
2 x'' x3 x'x'''
x 3 4
x't xt4 x te 1 te
且
x1
(0)=x(0)=1,
x'2=x(0)=-1, x3(0)= x''(0)=2,
x''4(0)= x'(0)=0 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题:
0100 x'
=
0010 0
0 0001 x+ 0 -1000 tet
1
x1 x(0)= -1
x 2
, 其中 x= 2 x .
3 0 x 4
c) 令w1=x, w2=x',w3=y,w4=y‘,则原初值问题可化为:
w'
1 x' w2 w'''t
2 x 5w4 7w1 6w3 e
w'3 y'
w4 w'4 y'' 2w3 13w4 15w1 cost
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