2019版北师大版数学必修四：《单位圆与诱导公式》导学案（含解析）

2019版数学精品资料（北师大版） 第4课时 单位圆与诱导公式

1.借助单位圆,利用点的对称性推导出“-α,π+α,π-α,α+”的诱导公式,并会应用公式求任意角的三角函数值.

2.会应用公式进行简单的三角函数的化简与求值.

3.通过公式的运用,学会从未知到已知,复杂到简单的转化方法.

我们已经学习了任意角的正弦、余弦函数的定义,以及终边相同的角的正弦、余弦函数值也相等,即sin(2kπ+α)=sin α(k∈Z)与cos(2kπ+α)=cos α(k∈Z),公式体现了求任意角的正弦、余弦函数值转化为求0°~360°的角的正弦、余弦函数值,那么我们能否将0°~360°间的角的正弦、余弦函数值转化为锐角的正弦、余弦函数值呢?

问题1:将任意角转化成0°~360°间的角的几种情况

因为任意角都可以通过终边相同的角转化成0°~360°间的角,对于任意0°~360°的角β,只有四种可能(其中α为锐角),则有

β=

问题2:(1)角α与-α的正弦函数、余弦函数关系

如图,在单位圆中对任意角∠MOP=α,作∠MOP'=-α,这两个角的终边与单位圆的交点分别为P和P',可知OP与OP'关于 轴对称,设P点的坐标为(a,b),则点P'的坐标为(a,-b),所以sin(-α)=-b,cos α=a.即sin(-α)= ,cos(-α)= .

(2)角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系

如图,在直角坐标系的单位圆中,对任意角∠MOP=α,其终边与单位圆的交点为P,当点P按逆(顺)时针方向旋转π至点P'时,点P'的坐标为:(cos(α+π),sin(α+π))或(cos(α-π),sin(α-π)),此时点P与点P'关于原点对称,横、纵坐标都互为 ,故sin(α+π)= ,cos(α+π)= ;sin(α-π)= ,cos(α-π)= .

(3)角α与π-α的正弦函数、余弦函数关系

如图,在单位圆中,当∠MOP=α是锐角时,作∠MOP'=π-α,不难看出,点P和点P'关于y轴对称,则有sin(π-α)= ,

cos(π-α)= .

(4)角α与+α的正弦函数、余弦函数关系

在

单

位

圆

中

,

仿

照

上

面

的

方

法

,

可

以

得

出,sin(α+)= ,cos(α+)= .

问题3:任意角的正弦函数与余弦函数的诱导公式 (1)sin(2kπ+α)= ;cos(2kπ+α)= ; (2)sin(-α)= ;cos(-α)= ; (3)sin(2π-α)= ;cos(2π-α)= ; (4)sin(π-α)= ;cos(π-α)= ; (5)sin(π+α)= ;cos(π+α)= ; (6)sin(α+)= ;cos(α+)= ; (7)sin(-α)= ;cos(-α)= . 问题4:讨论几组诱导公式的共同点与规律

(1)2kπ±α,-α,π±α的三角函数值等于α的 三角函数值,前面加上一个把α看作 角时原三角函数值的符号;

(2)±α的正弦(余弦)函数值分别等于α的 ( )函数值,前面加上一个把α看作 角时原三角函数值的符号.

1.下列等式不正确的是( ).

A.sin(α+180°)=-sin α B.cos(-α+β)=-cos(α-β) C.sin(-α-360°)=-sin α D.cos(-α-β)=cos(α+β) 2.函数f(x)=cos(x∈Z)的值域为( ).

A.{-1,-,0,,1} B.{-1,-,,1}

C.{-1,-,0,,1} D.{-1,-,,1}

3.若sin(-θ)=,则sin(-θ)= .

4.已知sin(π+α)+sin(-α)=-m,求sin(3π+α)+2sin(2π-α)的值.

利用诱导公式化简 求特殊角的三角函数值. (1)sin 1320°;

(2)cos(-π).

诱导公式在三角函数中的综合运用 已知f(θ)=(1)化简f(θ);

.

(2)若sin(-θ)=,求f(θ)的值.

利用诱导公式对三角函数式化简、求值或证明恒等式 化简:sin(

求sin(-π)cosπ+cos(-π)·sin(π)的值.

π-α)+cos(

π-α)(n∈Z).

已知f(x)=

已知cos(π+α)=-,且α是第四象限角,计算

(n∈Z)的值.

·

,求f(-)的值.

1.sin(-π)的值等于( ).

A.- B.- C. D.

2.已知sin(α-)=,则cos(+α)的值为( ).

A. B.- C. D.-

3.5sin 90°+2cos 0°-3sin 270°+10cos 180°= .

4.化简

.

(2009年·全国Ⅰ卷)sin 585°的值为( ).

A.- B. C.- D.

考题变式(我来改编):

第4课时 单位圆与诱导公式

知识体系梳理

问题1:一 二 三 四

问题2:(1)x -sin α cos α (2)相反数 -sin α -cos α -sin α -cos α (3)sin α -cos α (4)cos α -sin α

问题3:(1)sin α cos α (2)-sin α cos α (3)-sin α cos α (4)sin α -cos α (5)-sin α -cos α (6)cos α -sin α (7)cos α sin α

问题4:(1)同名 锐 (2)余弦 正弦 锐 基础学习交流

1.B 由诱导公式可知,A正确;对于B,cos(-α+β)=cos[-(α-β)]=cos(α-β),故B不正确;对于C,sin(-α-360°)=sin(-α)=-sin α,故C正确;对于D,cos(-α-β)=cos[-(α+β)]=cos(α+β),故D正确. 2.B 对x依次赋值0,1,2,3,4,…,很容易选出. 3.- sin(-θ)=sin[π+(-θ)]=-sin(-θ)=-.

4.解:∵sin(π+α)+sin(-α)=-sin α-sin α=-2sin α=-m,∴sin α=,而

sin(3π+α)+2sin(2π-α)=sin[2π+(π+α)]-2sin α=sin(π+α)-2sin α=-sin α-2sin α=-3sin α,故

sin(3π+α)+2sin(2π-α)=-m.

重点难点探究

探究一:【解析】(1)sin 1320°=sin(3×360°+240°) =sin 240°

=sin(180°+60°)=-sin 60°=-.

(2)cos(-π)=cos(-10π-)=cos(-)=cos=.

【小结】熟记正弦函数、余弦函数的诱导公式,将其转化为锐角的正弦或余弦值,是解答此类题型的关键,同时要牢记一些特殊角的三角函数值.

探究二:【解析】(1)f(θ)==-cos θ.

(2)∵sin(-θ)=-cos θ=,

∴f(θ)=-cos θ=.

【小结】熟记诱导公式,并注意总结规律,有助于理解和记忆,如涉及2kπ±α,-α,π±α的

三角函数值,其三角函数的名不变,若涉及±α,则正弦变余弦、余弦变正弦,另外,要注意符号的变化.

探究三:【解析】原式=sin[nπ-(+α)]+cos[nπ+(-α)]

=sin(+α)-cos(-α) =sin[-(-α)]-cos(-α) =cos(-α)-cos(-α)=0.

[问题]以上化简过程正确吗?

[结论]不正确,在化简过程中未对n加以讨论而导致错误. 于是,正确解答如下:

原式=sin[nπ-(+α)]+cos[nπ+(-α)].

①当n=2k+1(k∈Z)时,

原式=sin[2kπ+π-(+α)]+cos[2kπ+π+(-α)]

=sin(+α)-cos(-α) =cos(-α)-cos(-α)=0.

②当n=2k(k∈Z)时,

原式=sin[2kπ-(+α)]+cos[2kπ+(-α)]

=-sin(+α)+cos(-α)=0.

综上可得,原式=0.

【小结】在对sin(α+kπ),cos(α+kπ)进行化简时,一般要分两种情况讨论:当k为偶数时,sin(α+kπ)=sin α,cos(α+kπ)=cos α;当k为奇数时,sin(α+kπ)=-sin α,cos(α+kπ)=-cos α.

思维拓展应用

应

用

一

:

原

式

=-sin(6π+)cos(6π+π)+cos(4π+π)·sin(4π+π)=-sin(π-)cos(π+)+cos(2π-)sin(2π-)=sincos-cossin=·-·=.

应用二:∵f(x)=·=-sin x,

∴f(-)=-sin(-)=sin=sin(10π+)

=sin=.

应用三:∵cos(π+α)=-,∴-cos α=-,cos α=,

∴

=

=

==

=-=-4.

基础智能检测

1.C ∵sin(-π)=sin(-4π+π)=sin π=sin(π-)=sin=,故选C.

2.D cos(+α)=sin[-(+α)]=-sin(α-)=-.

3.0 5sin 90°+2cos 0°-3sin 270°+10cos 180°=5×1+2×1-3×(-1)+10×(-1)=0. 4.解:原式=

=-=-1.

全新视角拓展

A sin 585°=sin(360°+225°)=sin 225°=sin(180°+45°)=-. 思维导图构建

sin α -cos α -cos α cos α -sin α

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