数学思维训练导引 - 图文
更新时间:2023-11-27 21:10:01 阅读量:1 教育文库 文档下载
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数学思维训练导引
主要面向在学校学有余力的学生,希望能激发学生进一步学习数学的兴趣,因此对知识的范围和难度有所控制,目的是让数学能力突出的学生接受系统化的训练,其难度上符合大多数竞赛的要求,且具有较深厚竞赛数学功底的学生,这里给学生提出了更高的要求,更大的挑战,激励学生进一步探索和思考。
第1讲 整数计算综合
内容概述
熟练运用已学的各种方法解决复杂的整数四则运算问题;学会利用加减抵消、分组计算方法处理各种数列的计算问题。学会处理“定义新运算”的问题,初步体会用字母表示数。
典型问题 兴趣篇
1. 计算:(1) 121×32÷8; (2) 4×(250÷8) (3) 25×83×32×125 2. 计算:(1) 56×22+56×33+56×44 (2) 222×33+889×66. 3. 计算:(1) 37×47+36×53 (2) 123×76-124×75。 4. 计算:100-99+98-97+96-95+?+12-11+10.
5. 计算:50+49-48-47+46+45-44-43+?-4-3+2+1. 6. 计算:(1+3+5+7+?+199+201) -(2+4+6+8+?+198+200). 7. 计算:1+2+3+4+?+48+49+50+49+48+?+4+3+2+1.
8. 下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。游戏规则是:对一个给定的数,按照由若干个7和8组成的口令进行一连串的变换。口令“7”是指在这个数中插入一个数字,使得新生成的数尽量大;口令“8”是指将这个数中的一个数字去掉,也要使新生成的数尽量大。例如:给出的数是1995,口令是“8→7,”在第一个口令“8”发出后变成995,在第二个口令“7”发出后变成9995。 如果给出数“6595”以及口令“8→7→8→7→8→8”,问:变换后依次得到的6个数的和是多少? 9. 规定运算“?”为:a?b= (a+1) ×(b-1), 请计算:(1)8?10; (2) 10?8. 10. 规定运算“?”为:a?b=a×b-(a+b), 请计算:
(1) 5?8; (2) 8?5; (3) (6?5)4; (4)6? (54) 拓展篇
1. 计算:(1)72×27×88÷(9×11×12); (2) 31×121-88×125÷(1000÷121). 2. 计算:(1) 555×445-556×444; (2) 42×137-80÷15+58×138-70÷15. 3. 计算:20092009×2009-20092008×2008-20092008. 4. 计算:1+2-3+4+5-6+7+8-9+??+97+98-99.
5. 计算:100×99-99×98-98×97-97×96-96×95-95×94+?+4×3-3×2-2×1.
6. 在不大于1000的自然数中,A为所有个位数字为8的数之和,B为所有个位数字为3的数之和. A与B的差是多少?
7. 求图1-1中所有数的和.
8. 已知平方差公式:a2?b2?(a?b)?(a?b),计算:
202?192?182?172?162?152???22?12
9. 计算:951×949-52×48.
10. 规定运算“?”为:a?b=a+2b-2, 计算:(1) (8?7) ?6; (2) 8?(7?6)
11. 规定运算“?”为:a?b=(a+1) ×(b-2). 如果6? (??5)=91, 那么方格内应该填入什么数?
12. 规定:符号“?”为选择两数中较大的数的运算,“?”为选择两数中较小的数的运算,例如:3?5=5,3?5=3请计算:1?2?3?4?5?6?7???100.(运算的顺序是从左至右)
超越篇
1. 观察下面算式的规律:
2000+1991-1988-1982+1976+1970-1964-1958+1952+1946-1940-1934+??一直这样写下去,那么最后4个自然数分别是哪4个?符号分别是加还是减?算式最终的结果为多少?
2. 从1, 2, ??, 9, 10 中任意选取一个奇数和一个偶数,并将两数相乘,可以得到一个乘积,把所有这样的乘积全部加起来,总和是多少?
3. 计算:1-3+6-10+15-21+28-??+4950.
4. 已知平方差公式:a?b?(a?b)?(a?b), 计算:
221002?992?982?972?962?952?942?932???42?32?22?12
5. a?b表示从a开始依次增加的b个连续自然数的和,例如:4?3=4+5+6=15, 5?4=5+6+7+8=26, 请计算:(1) 4?15 (2) 在算式(?7)?11=1056中,方框里的数应该是多少?
6. 定义两种运算:a?b=a-b+1, a?b=a×b+1, 用“?”、“?”和括号填入下面的式子,使得等式成立(不能用别的计算符号):7 3 4 5=2
7.现定义四种操作的规则如下: ①“一分为二”:如果一个自然数是偶数,就把它除以2;如果是奇数,就先加上1, 然后除以2. 例如从16可以得到8,从27可以得到14. ②“丢三落四”:如果一个自然数中包含数字 “3”或“4”,就将其划掉,例如从5304可以得到50,从408可以得到8. (不含数字3和4的自然数不能进行“丢三落四”操作) ③“七上八下”:如果一个自然数中包含数字“7”,就将所有“7”移到最左边;如果一个自然数中包含数字“8”,就将所有“8”移到最右边。例如从98707可以得到77908,从802可以得到28. (不含数字7和8的自然数不能进行“七上八下”操作) ④“十全十美”:将一个自然数的个位数字换成0. 例如从111可以得到110,从905可以得到900. (个位是0的自然数不能进行“十全十美”操作)
(1) 请写出对4176依次进行③①③②④操作后的结果: (2) 从655687开始,最少经过几次操作以后可以得到0?
(3) 一个三位数除了“丢三落四”外,其他三个操作各进行一次之后得到的结果是
8. 求有多少个这样的三位数.
图1-2是同学们都很熟悉的九九乘法口诀表,表中所有乘积的总和是多少?
第2讲 和差倍问题三
内容概述
数量关系复杂,需要深入分析的和差倍问题;由于数量大小改变,而产生倍数关系变化的问题;需要利用比较或分组的方法进行分析的问题。 典型问题
兴趣篇
1. 有长、短两根竹竿,长竹竿的长度是短竹竿长度的3倍. 将它们插入水塘中,插入水中的长度都是40厘米,而露出水面部分的总长为160厘米. 请问:短竹竿露在外面的长度是多少厘米?
2. 李师傅某天生产了一批零件,他把它们分成了甲、乙两堆.如果从甲堆中拿出15个放到乙堆中,则两堆零件的个数相等;如果从乙堆中拿出15个放到甲堆中,则甲堆零件的个数是乙堆的3倍. 问:甲堆原来有零件多少个?李师傅这一天共生产零件多少个?
3. 一个六边形广场的边界上插有336面红旗和黄旗. 六边形的每个顶点处都插有红旗,每条边上的红旗数目一样多,并且每两面红旗间插有相同数目的黄旗. 已知每条边上黄旗比红旗的2倍还多12面,那么每两面红旗间插有几面共旗?
4. 爸爸和冬冬一起搬砖,爸爸所搬的砖头数是冬冬的3倍. 冬冬觉得自己搬的砖头太少了,又搬了24块砖头,于是爸爸所搬的砖头数是科科的2倍. 请问:最后爸爸和冬冬各搬了多少块砖?
5. 四年级三班买来单价为5角的练习本若干. 如果将这些练习本只分给女生,平均每人可得15本;如果将这些练习本只分给男生,平均每人可得10本. 请问:将这些练习本平均分给全班同学,每人可以得到多少本?此时每人应付多少钱?
6. 有甲、乙、丙三所小学的同学来参加幼苗杯数学邀请赛,其中甲校参赛人数比乙校多5人,比丙校多7人. 如果乙、丙两校一共有40人参加比赛,那么三所学校各有多少人参加比赛?
7. 有三个箱子,如果两箱两箱地称它们的重量,分别是83千克、85千克和86千克. 问:其中最轻的箱子重多少千克?
8. 小悦和妈妈一起去家具城挑选客厅的桌椅. 她们看中了两款,这两款桌椅都包含一张桌子和若干把椅子.其中桌子的价钱一样,每把椅子的价钱也一样. 第一款桌椅中有6把椅子,总价为700元;第二款桌椅中有9把椅子,总价为970元. 请问:一张桌子的价钱是多少元?
9. 小白兔与小黑兔一块去森林里采摘了一些胡萝卜,回家后它们就把胡萝卜平分了. 小白兔当天吃了4个胡萝卜,小黑兔则一口气吃了12个胡萝卜. 小白免往后每天都吃4个胡萝卜;小黑兔因为第一天吃得太多,往后每天只吃2个胡萝卜,最后它俩同时把自己的胡萝卜吃完. 小白兔与小黑兔一共采摘了多少个胡萝卜?
10. 一家汔车销售店有若干部福特汽车和丰田汽车等待销售. 福特汽车的数量是丰田汽车的3倍.如果每
周销售2辆丰田汽车和4辆福特汽车,丰田汽车销售完时还剩下30辆福特汽车. 请问:原有丰田汽车和福特汽车各多少辆?
拓展篇
1. 李师傅将甲、乙两种零件加工成产品,开始时甲零件的数量乙零件的2倍,每件产品需要5个甲零件和2个乙零件,生产30件产品后,剩下的甲、乙零件数量相等,请问:李师傅还可以生产几件产品?
2. 学校门口放有红、黄、蓝三种颜色的花. 其中黄花的盆数最多,既是红花盆数的4倍,也是蓝花盆数的3倍,如果蓝花比红花多20盆,请问:学校门口一共有多少盆花?
3. 动物园的饲养员给三群猴子分花生. 如果只分给第一群,则每只猴子可得12粒;如果只分给第二群,则每只猴子可得15粒;如果只分给第三群,则每只猴子可得20 粒,试问:现在将这些花生平均分给三群猴子,每只可得多少粒?
4. 养鸡场有东、西两院,西院鸡的只数是东院的3倍. 一天有10只鸡从西院跑到东院,这时西院鸡的数是是东院的2倍,那么现在东、西两个院子各有多少只鸡?
5. 爸爸和冬冬一起搬砖,原计划爸爸搬其中的一些,冬冬搬剩余的砖头,父子二人发现,如果爸爸帮冬冬搬10块,那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的5倍;如果冬冬帮爸爸搬10 块,那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的2倍. 请问:原计划爸爸搬多少块砖,冬冬搬多少块砖?
6. 甲班和乙班共83人,乙班和丙班共86人,丙班和丁班共88人. 问:甲班和丁班共多少人?
7. 小悦、冬冬、阿奇三人去称体重,由于秤出了点问题,只能准确称出60千克与90千克之间的重量,因此他们三人只能两个两个称重. 如果小悦和冬冬一起称,总重量是73千克;冬冬和阿奇一起称,总重量是80千克;阿奇和小悦一起称,总重量是75千克,三人的体重分别是多少千克?
8. 四年级有甲、乙、丙、丁四个班,不算甲班,其余三个数的总人数是131人;不算丁班,其余三个班的总人数是134人;乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人. 问:这四个班共有多少人?
乙车的速度为每小时40千米,请问:
(1) 从出发算起,多久后甲、乙两车第一次相距100千米? (2) 从出发算起,多久后甲、乙两车第二次相距100千米?
3. 甲、乙两架飞机同时从机场起飞,向同一方向飞行,甲每小时飞行300千米,乙每小时飞行340千米,4小时后它们相距多少千米?这时甲提高速度打算用2小时追上乙,那么甲每小时应该飞行多少千米?
4. 冬冬步行上学,每分钟行75米,冬冬离家12分钟后,爸爸发现他忘了带文具盒,马上骑自行车去追,每分钟行375米,求爸爸追上冬冬所需要的时间隔。
5. 小轿车和大货车上午9点同时同向从甲地出发,小轿车每小时开60千米,大货车每小时开48千米,请问:下午几点的时候小轿车领先大货车72千米/
6. 一辆公共汽车早上6点从A城出发,以每小时40千米的速度向B城驶去,3小时后一辆小轿车以每小时75千米的速度也从A城出发到B城,当小轿车到达B城后,公共汽车离B城还有160千米,问:公共汽车什么时候到达B城?
7. 甲、乙两车同时从东、西两地出发,相向而行,甲每小时行36千米,乙每小时行30千米,两车在距离中点9千米处相遇,求东、西两地间的距离。
8. 小悦一家开车去外地旅游,原计划每小时行驶45千米,实际上,由于高速公路堵车,汽车每小时只行驶30千米,这样就晚到了2小时,请问:小悦一家在路上实际花了几个小时?
9. 甲从A地出发去B地办事情,下午1点出发,晚上7点准时到达,如果他想下午2点出发,晚上7点准时到达,每小时就必须多行2千米,求A、B两地之间的距离.
10. 甲、乙两人分别在A、B两地同时出发,如果相向而行,1小时后两人相遇,如果同向而行,3小时后甲追上乙,问:甲的步行速度是乙的几倍?
11. 甲、乙两人分别由A、B两地同时出发,相向而行,A、B两地相距48千米,甲的速度是乙的3倍,请问:当甲、乙相遇的时候,甲走了多远?
12. 猎狗追兔子,猎狗的速度是兔子的2倍,兔子径直往兔洞里跑,猎狗则紧随其后. 现在,猎狗距离洞口还有1000米,当猎狗跑到兔子现在的位置时,兔子距离洞口将还剩100米,问:现在兔子距离洞口多少米?最终兔子会被猎狗追上吗?
超越篇
1. 小悦、冬冬骑车从甲地同时出发,同向而行,小悦的速度比冬冬的速度每小时快4千米,因此小悦比冬冬早20分钟通过途中的乙地,当冬冬到达乙地时,小悦又前进了8千米,求甲、乙两地之间的距离.
2. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,6小时后相遇在中点,如果甲延迟1小时出发,乙每小时少走4千米,两人仍在中点相遇,请问:甲、乙两地相距多少千米?
3. 冬冬平时每天上学都是先步行10分钟后再跑步2分钟,某天他步行6分钟后就开始跑步,结果比平时早到了2分钟,请问:冬冬跑步的速度是步行速度的几倍?
4. 阿奇家离学校1000米,平时他步行25分钟后准时到校,有一天他晚出发10分钟,为避免迟到,阿奇先乘公共汽车,然后步行,结果仍然准时到校,已知公共汽车的速度是阿奇步行速度的6倍,请问:阿奇这天上学步行了多少米?
5. 甲、乙两车分别从A、B两站同时出发,相向而行,已知:甲车速度是乙车的2倍,甲、乙到达途中C站的时刻依次为5:00和17:00. 问:两车是在几点相遇的?
6. 甲、乙两人分别由A、B两地同时出发,如果相向而行,1小时后两人相遇;如果同向而行,且乙先出发2小时,那么甲3小时后追上乙. 请问:甲的速度是乙的几倍?
7. 如图6-1所示,一条笔直的公路上有16个车站A1, A2, A3 ?? A16, 已知相邻两站之间的距离都相等,有一天,甲、乙、丙三人都要从第1站去第16站. 甲先出发,当甲到达第2站时,已出发,当乙到达第3站时丙出发,如果丙在第4站追上乙,甲和丙同时到达第16站,那么甲的速度是乙的速度的几倍?
8. 甲、乙两人分别从相距24千米的A、B两地同时出发同向而行,一段时间后甲在C点追上乙,如果甲每小时多走1千米,而乙每小时少走1千米,则甲追上乙的时间会少用2小时,且追上的地点与C点相距12千米,试问:如果甲、乙两人以原速度分别从A、B两地同时出发相向而行,需要几个小时相遇?
第7讲 直线形计算一
内容概述
掌握正方形,长方形,平行四边形,三角形以及梯形的面积计算公式,并能够熟练应用;计算平行四边形和三角形的面积时,学会选择适当的底和高. 典型问题 兴趣篇
1. 如图7-1,由十六个同样大小的正方形组成一个“5”字,如果这个图形的周长是102厘米,那么它的面积是多少平方厘米?
2. 如图7-2,用两块长方形纸片和一块小正方形纸片拼成了一个大正方形纸片,其中小正方形纸片面积是49平方厘米,其中一个长方形纸片的面积为28平方厘米,那么最后拼成的大正方形纸片面积是多少平方厘米?
3. 如图7-3,小、中、大三个正方形从左到右依次紧挨着摆放,边长分别是3、7、9, 图中两个阴影平行四边形的面积分别是多少?
4. 如图7-4,从梯形ABCD中分出两个平行四边形ABEF和CDFG,其中ABEF的面积等于60平方米,且AF的长度为10米,FD的长度为4米,平行四边形CDFG的面积等于多少平方米?
5. 如图7-5,把大、小两个正方形拼在一起,它们的边长分别是8厘米和6厘米,那么左图和右图中阴影部分的面积分别是多少平方厘米?
6. 如图7-6,在正方形ABCD中,对角线AC的长度为8厘米,那么正方形的面积是多少平方厘米?
7. 如图7-7,平行四边形ABCD中,AD的长度为20厘米,高CH的长度为9厘米,E是底边BC上的一点,且Be长6厘米,那么两个阴影三角形的面积之和是多少平方厘米?
8. 图7-8中,平行四边形ABCD的面积是32平方厘米,三角形CED是一个直角三角形,已知AE=5厘米,CE=4厘米,那么阴影部分的面积是多少平方厘米?
9. 如图7-9,在平行四边形ABCD中,三角形BCE的面积是42平方厘米,BC的长度为14厘米,AE的长度为9厘米,那么平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米?三角形ECD的面积又是多少平方厘米?
10. 如图7-10,小正方形ABCD放在大正方形EFGH的上面,已知小正方形的边长为4厘米,且梯形AEHD的面积是28平方厘米,那么梯形AFGD的面积是多少平方厘米?
拓展篇
1. 如图7-11,有一块长方形田地被分成了五小块,分别栽种了茄子、黄瓜、豆角、莴笋和苦瓜,其中栽种茄子的面积是16平方米,栽种黄瓜的面积是28平方米,栽种豆角的面积是32平方米,栽种莴笋的面积是72平方米,而且左上角栽种茄子的田地恰好是一个正方形,请问:剩下的栽种苦瓜的田地面积是多少?
2. 如图7-12,校园中间有个正方形花坛,花坛的四周铺了1米宽的水泥路,如果水泥路的总面积是24平方米,那么花坛的面积是多少平方米?
3. 如图7-13,八个同样大小的长方形拼成了一个大长方形,已知大长方形的周长是84厘米,那么大长方形的面积是多少?
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