机械工程测试技术基础课后习题答案

目录

第一章习题…………………………………………………………………………2参考答案…………………………………………………………………………7典型例题…………………………………………………………………………10第二章习题…………………………………………………………………………22参考答案…………………………………………………………………………25典型例题…………………………………………………………………………26第三章习题…………………………………………………………………………40参考答案…………………………………………………………………………43典型例题…………………………………………………………………………44第四章习题…………………………………………………………………………52参考答案…………………………………………………………………………57典型例题…………………………………………………………………………58第五章习题…………………………………………………………………………66参考答案…………………………………………………………………………70典型例题…………………………………………………………………………71

第一章习题

一、选择题

1.描述周期信号的数学工具是（.A.相关函数

B.傅氏级数

）。C.傅氏变换

D.拉氏变换）。D.频率

2.傅氏级数中的各项系数是表示各谐波分量的（A.相位

B.周期

C.振幅）。C.δ函数

3.复杂的信号的周期频谱是（A．离散的

B.连续的

D.sinc函数

）。

4.如果一个信号的频谱是离散的。则该信号的频率成分是（A.有限的

B.无限的

C.可能是有限的，也可能是无限的）是周期信号。

5.下列函数表达式中，（A.x(t)=

5cos10ππ 当t≥0

0 当t≤0

B.x(t)=5sin20πt+10cos10πt ( ∞<t<+∞)C.x(t)=20e

at

cos20πt ( ∞<t<+∞)

）。

C.随机性的）。C.傅氏变换

D.傅氏级数D.周期性的

6.多种信号之和的频谱是（

A.离散的

B.连续的

７.描述非周期信号的数学工具是（

A.三角函数８.下列信号中，（

B.拉氏变换

）信号的频谱是连续的。

A.x(t)=Asin(ωt+ 1)+Bsin(3ωt+

2)B.x(t)=5sin30t+3sinC.

x(t)=e at sinω0t

）。

C.连续非周期的

D.连续周期的）。D.变化不定

B.离散、非周期的

９.连续非周期信号的频谱是（

A.离散、周期的

10.时域信号，当持续时间延长时，则频域中的高频成分（

A.不变

B.增加

C.减少

11.将时域信号进行时移，则频域信号将会（

A.扩展

B.压缩

C.不变

）。

D.仅有移项

∞

12.已知x(t)=12sinωt,δ(t)为单位脉冲函数，则积分∫ ∞x(t) δ(t 的函数值为（

A．6

）。B.0

C.12

D.任意值

π

dt2ω

13.如果信号分析设备的通频带比磁带记录下的信号频带窄，将磁带记录仪的重放速度（

），则也可以满足分析要求。A.放快

B.放慢

C.反复多放几次

）性质，则有δ(t t0) e

C.相似

D.对称

）。

jωt0

14.如果δ(t) 1，根据傅氏变换的（

A.时移

B.频移

。

15.瞬变信号x（t），其频谱X（f），则∣X（f）∣²表示（

A.信号的一个频率分量的能量B.信号沿频率轴的能量分布密度C.信号的瞬变功率

16.不能用确定函数关系描述的信号是（

A.复杂的周期信号17.两个函数（

）。A.自相关函数

B.互相关函数

C.卷积

）。

B.瞬变信号

∞ ∞

）。

C.随机信号

x1(t)和x2(t)，把运算式∫

x1(t) x2(t τ)dτ称为这两个函数的

18.时域信号的时间尺度压缩时，其频谱的变化为（

A.频带变窄、幅值增高.频带变窄、幅值压低19.信号x(t)=1 e

A.周期信号20.数字信号的特性是（

B.频带变宽、幅值压低D.频带变宽、幅值增高

，则该信号是(B.随机信号）。

B.时间、幅值上均离散D.时间上连续、幅值上量化

).

C.瞬变信号

t

τ

A.时间上离散、幅值上连续C.时间、幅值上都连续

二、填空题

1.信号可分为2.确定性信号可分为频谱特点是＿＿＿＿。

3.信号的有效值又称为＿＿＿＿，有效值的平方称为＿＿＿＿，它描述测试信号的强度（信号的平均功率）

4.绘制周期信号x（t）的单边频谱图，依据的数学表达式是＿＿＿＿，而双边频谱图的依据数学表达式是＿＿＿＿。

5.周期信号的傅氏三角级数中的n是从＿＿＿＿到＿＿＿＿展开的。傅氏复指数级数中的n是从＿＿＿＿到＿＿＿＿展开的。

6.周期信号x（t）的傅氏三角级数展开式中：an表示＿＿＿，bn表示＿＿＿，a0表示＿＿＿，An表示＿＿＿， n表示＿＿＿,nω0表示＿＿＿。

7.工程中常见的周期信号，其谐波分量幅值总是随谐波次数n的增加而＿＿＿的，因此，没有必要去那些高次的谐波分量。8.周期方波的傅氏级数：x1(t)=A+

和

两大类。和

两类，前者的频谱特点是＿＿＿＿。后者的

2A1

(cosω0t+cos3ω0t+ )周期三角波的傅氏级π3

数：x2(t)=

A4A11

+2(cosω0t+cos3ω0t+cos5+ )，它们的直流分量分别是＿2π925

＿＿和＿＿＿。信号的收敛速度上，方波信号比三角波信号＿＿＿。达到同样的测试精度要求时，方波信号比三角波信号对测试装置的要求有更宽的＿＿＿。

τ

9.窗函数ω（t）的频谱是τ sincπfτ，则延时后的窗函数ω(t 的频谱应是＿＿＿。

2

10.信号当时间尺度在压缩时，则其频带＿＿＿其幅值＿＿＿。例如将磁带记录仪＿＿＿即是例证。

11.单位脉冲函数δ(t)的频谱为＿＿＿，它在所有频段上都是＿＿＿，这种信号又称＿＿＿。

12.余弦函数只有＿＿＿谱图，正弦函数只有＿＿＿谱图。

13.因为lim∫x2(t)dt为有限值时，称x(t)为＿＿＿信号。因此，瞬变信号属于＿＿

T→∞ T

T

＿，而周期信号则属于＿＿＿。

14.计算积分值：

∫

∞ ∞

δ(t+5) etdt=＿＿＿。

15.两个时间函数x1(t)和x2(t)的卷积定义式是＿＿＿。

16.连续信号x（t）与单位脉冲函数δ(t t0)进行卷积其结果是：x(t) δ(t t0)=＿＿＿。其几何意义是：＿＿＿。

17.单位脉冲函数δ(t t0)与在t0点连续的模拟信号f(t)的下列积分：

∫

∞ ∞

f(t) δ(t t0)dt=＿＿＿。这一性质称为＿＿＿。

j2πf0te18.已知傅氏变换对1 δ(f)，根据频移性质可知的傅氏变换为＿＿＿。

19.已知傅氏变换对：x1(t) X1(f)和x2(t) X2(f)当x(t)=x1(t) x2(t)时，则X(f)=＿＿＿。

，频域为X(f)，它们之间的傅氏变换与逆变换关系式分20.非周期信号，时域为x（t）

别是：X(f)=＿＿＿，x（t）=＿＿＿。

三、计算题

1.三角波脉冲信号如图1-1所示，其函数及频谱表达式为

ττ 2A

t +当 ≤t≤0 τ22

ττ 2A

x(t)= t +当 0≤t ≤

22 τ

τ

0 当 t 2

X(f)=

τAπfτ sinc2()22

求：当

x1(t)=

dx(t)

dt时，求x1(t)及X1(

f)的表达式。

2.一时间函数f（t）及其频谱函数F（ω）如图1-2所示已知函数

x(t)=f(t) cosω0t (设ω0 ωm)，示意画出x（t）和X（ω）的函数图形。当

ω0<ωm时，X（ω）的图形会出现什么情况？（ω

m为f（t）中的最高频率分量的

角频率）

图1-2

3.图1-3所示信号a（t）及其频谱A（f）。试求函数f(t)=a(t) (1+cos2πf0t)的傅氏变换

F（f）并画出其图形。

图1-3

4.求图1-4

所示三角波调幅信号的频谱。

图1-4

参考答案

一、选择题

1.B13.B

2.C14.A

3.A15.B

4.C16.C

5.B

6.C

7.C18.B

8.C19.C

9.C20.B

10.C

11.D

12.C

17.C

二、填空题

1.确定性信号；随机信号

2.周期信号；非周期信号；离散的；连续的3.均方根值；均方值

4.傅氏三角级数中的各项系数（a0,an,bn,An等）傅氏复指数级数中的各项系数（cn,c n,

cn）。

5.0；+∞；–∞；+∞

6.an—余弦分量的幅值；bn—正弦分量的幅值；a0—直流分量；An--n次谐波分量的幅值； n--n次谐波分量的相位角；nω0--n次谐波分量的角频率7.衰减

8.A；A/2；更慢；工作频带

jπfττ e sincπfτ9.

10.展宽；降低；慢录快放11.1；等强度；白噪声12.实频；虚频

13.能量有限；能量有限；功率有限14.e 515.∫

∞ ∞

x1(t) x2(t τ)dτ

位置处

16.x(t t0)；把原函数图象平移至17.f(t0)；脉冲采样

18.δ(f f0)19.X1(f) X2(f)20.X(f)=

∫

∞

∞

X(f) ej2πtdf

三、计算题

τ 2A

τ当 ≤t≤01.解：x=dx(t)

2 2Aτ1(t)dt= 当0≤t≤函数图形见图1-5 τ

2所示。

0 当

t >τ2图1-5

X1(f)=(j2πf) X(f) = j2πf τAπfτ

2sinc2(2

)

2.解：见图1-6所示。图（a）为调幅信号波形图，图（b）为调幅信号频谱图。当两边图形将在中间位置处发生混叠，导致失真。

时，

3.解：由于

f(t)=a(t) (1+cos2πf0t) =a(t)+a(t) cos2πf0t

a(t) A(f)并且

1 cos2πf0t [δ(f+f0)+δ(f f0)]

2

1

F(f)=A(

f)+A(f) [δ(f+f0)+δ(f f0)]

2所以

11

=A(f)+A(f+f0)+A(f f0)

22

F（f）的频谱图见图1-7所示：

对：

τπfτ

sinc2(22

1

余弦信号频谱为[δ(f+f0)+δ(f f0)]

2

τπfτ1

卷积为sinc2( [δ(f+f0)+δ(f f0)]

222

πτ(f+f0)πτ(f f0)τ

=[sinc2+sinc2422

典型例题

例1.判断下列每个信号是否是周期的，如果是周期的，确定其最小周期。

π

（1）f(t)=2cos(3t+4（3）f(t)=

[cos(2πt)] u(t)2

解：（1）是周期信号，Tmin=π；

3（2）是周期信号，Tmin=π；

π

（2）f(t)=[sin(t 2

6（4）f(t)=sinω0t+sin0t

（3）是非周期信号，因为周期函数是定义在( ∞,∞)区间上的，而f(t)=[cos2πt]u(t)是单边余弦信号，即t>0时为余弦函数，t<0无定义。属非周期信号；

，非有理数，两分量找不到共同的重复周期。但是该类信号仍具有离散频谱的特点（在频域中，该信号在ω=ω0

和ω=0处分别有两条仆线）故称为准周期信号。

例2.粗略绘出下列各函数的波形（注意阶跃信号特性）（1）f1(t)=u( t+3)

（2）f2(t)=u( 2t+3)

（3）f3(t)=u( 2t+3) u( 2t 3)

解：（1）f1(t)是由阶跃信号u(t)经反折得u( t)，然后延时得u[ (t 3)]=u( t+3)，其图形如下(a)所示。

3

（2）因为f2(t)=u( 2t+3)=u[ 2(t 。其波形如下图(b)所示。（这里应注意

2

u(2t)=u(t)）

3

（3）f3(t)是两个阶跃函数的叠加，在t< 时相互抵消，结果只剩下了一个窗函数。

2见下图(c)所示。

例3.粗略绘出下列各函数的波形（注意它们的区别）（1）f1(t)=sinω(t t0) u(t)；（3）f2(t)=sinω(t t0) u(t t0)

解：（1）具有延时的正弦函数与单位阶跃函数的乘积。其波形如下图(a)所示。（2）正弦函数与具有延时的单位阶跃函数的乘积。其波形如下图(b)所示。

（3）具有延时的正弦信号与延时相同时间的阶跃信号的乘积。其波形如下图(c)所示

。

（2）f2(t)=sinωt u(t t0)

例4.从示波器光屏中测得正弦波图形的“起点”坐标为（0，-1），振幅为2，周期为4π，求该正弦波的表达式。解：已知幅值X=2，频率ω0=

2π2π

==0.5，而在t=0时，x=-1，则将上述参数代入一T4π

般表达式x(t)=X sin(ω0t+ 0)得 1=2sin(0.5t+ 0)

0= 30o

所以x(t)=2sin(0.5t 30 )

例5.设有一组合复杂信号，由频率分别为724Hz，44Hz，500Hz，600Hz的同相正弦波叠加而成，求该信号的周期。

解：合成信号的频率是各组成信号频率的最大公约数则：

244, 724, 500, 600222 362 250 300 11 181 125 150

而

T=

11

==0.25(s)f4

所以该信号的周期为0.25s。

例6．利用δ函数的抽样性质，求下列表示式的函数值：（1）（3）（5）

f(t)=e 3t 1δ(t);f(t)=

d t

[e δ(t)];dt

（2）f(t)=2u(4t 4)δ(t 1);（4）f(t)=∫∞ ∞f(t0 t) δ(t t0)dt;

2

f(t)=∫∞δ(t 4)dt; ∞

π

（6）f(t)=∫∞(1 cost) δ(t dt; ∞

2

解：δ函数是一类应用广泛的重要函数。在卷积运算、傅立叶变换及测试系统分析中，利用它可以简化许多重要结论的导出。本例题的目的在于熟悉并正确应用δ函数的性质。

（1）由于f(t) δ(t) =f(0) δ( t) f(t)=e 3t 1δ(t)=e 1δ(t)

则f(t)=e 3t 1δ(t)=e 1δ(t)

f(t)=2u(4t 4)δ(t 1)（2）

=2u(0)iδ(t 1)=δ(t 1)

11

这里应注意：u(0)=[u(0 )+u(0+)]=

22

f(t)=∫

∞

∞∞

f(t0 t) δ(t0 t)dtf(0) δ(t t0)dt=f(0)

= ∫

∞

d t

[eδ(t)]dt

（3）

d

=[δ(t)]=δ'(t)

dt

f(t)=

∞

（4）

f(t)=∫

∞∞

f(t0 t) δ(t0 t)dtf(0) δ(t t0)dt=f(0)

= ∫（5）

∞

f(t)=∫δ(t2 4)dt

∞

∞

=∫[ δ(t+2) + δ(t 2) ]dt=2

∞

∞

这里应注意信号δ(t2 4)的含义，由于δ(t)表示t=0时有一脉冲，而在t≠0时为零。所以δ(t2 4)就表示当t=±2时各有一脉冲，即δ(t2 4)=δ(t+2)+δ(t 2)。

∞πf(t)=∫(1 cost)δ(t dt

∞2（6）

∞π

=∫( t )dt=1

∞2

t

例7.已知一连续时间信号x（t）如下图(a)所示，试概括的画出信号x

(2 的波形图。

3

解

：

t

x(2 是x（t）经反折，尺度变换并延时后的结果。不过三种信号运算的次序可以任

3

意编排，因此该类题目有多种解法。以下介绍其中的两种求解过程。方法一

（1）（2）

信号x（t）经反折→尺度变换→延时

反折：将x（t）反折后得x（-t），其波形如图(b)所示。

t

尺度变换：将x（-t）的波形进行时域扩展的x( 。其波形如图(c)所

3示。

（3）方法二（1）（2）（3）

tt

延时：将x( 中的时间t延时6，得x[ (t 6)]其波形如图(d)所示。

33信号x（t）经尺度变换→反折→延时。

t

尺度变换：将x（t）在时域中扩展，得x()。其波形如图(e)所示。

3

tt

反折：将x(反折，得x( ，其波形如图(f)所示。

33tt

延时：将x( 中的时间t延时6，即将原波形向右平移6，得x[ (t 6)]。

33

t

同样可得变换后的信号x(2 。其波形如图(g)所示。

3

例8.已知e(t)和h(t)的波形图如下图(a),(b)所示，试计算e(t)与h(t)的卷积积分。

e(t) h(t)=∫e(τ)h(t

τ)dτ

∞

∞

解：（1）反折：将e(t)与h(t)的自变量t用τ替换。然后将函数h(τ)以纵坐标为轴线进行反折，得到与h(τ)对称的函数。见图(c)所示。（2）平移：将函数h(t τ)

沿τ轴正方向平移时间t，得函数h(t τ)。（注意，这里

的t是参变量），见图(d)所示。

（3）相乘并取积分：将h(t τ)连续地沿τ轴平移。对于不同的t的取值范围，确定积分上、下限，并分段计算积分结果。以下进行分段计算：

1

（a）当 ∞<t< 时，h(t τ)的位置如图(e)所示。这时h(t τ)与没有重合部分。

2所以

e(t) h(t)=0（b）

1

<t<1时，的位置如图(f)所示。这时h(t τ)与e(τ)的图形重叠区间为2

1

至t。把它作为卷积积分的上、下限，得：2

1t2t1

e(t) h(t)=∫11×(t τ)dτ=++

244162

t

（c）1<t<

31

时（即t>1，并且t 2< 时），则的位置如图(g)所示，这时的图22

1

形重叠区间为（ ，1），把它作为卷积积分的上、下限，得：

2

133

e(t) h(t)=∫11×(t τ)dτ=

24162

t

（d）得

31

<t<3时，（即t 2> ，同时t 2<1），由图(h)可知积分区间为（t-2，1）。22

1t2t3

e(t) h(t)=∫1×(t τ)dτ= ++

t 22424

1

（e）3<t<∞时，h(t τ)与e(τ)无重叠部分，见图(i)所示，这时

e(t) h(t)=0

1 0 当 ∞ <t< 2 2

t+t+1当 1<t<1 44162

3 3t3

归纳以上结果得e(t) h(t)= 当1<t< 2 416

t2t33 ++当<t< 3

2 424

0 当t> 3 卷积结果见图（j）所示。

例9.求下图所示锯齿波信号的傅立叶级数展开式。

ω0=

由公式得

2πT

1T

a0=∫2Tf(t)dt

T 21Tt1∫=

T0T2

2Tt

cosnω0tdt=0

T∫0T2Tt1

bn=∫sinnω0tdt=

T0Tnπ11111

所以f(t)= (sinω0t+sin2ω0t+sin3ω0t+ +sinnω0t)

2π23n2π

式中ω0=

T

an=

例10.周期性三角波信号如下图所示，求信号的直流分量、基波有效值、信号有效值及

信号的平均功率。

解：先把信号展开为傅立叶级数三角形式为

1TE222

Tf(t)dt=∫ T23

1102221T222

=[∫TE(1+)dt+∫2E(1 t)dt]2

T 2TT0T==0.577EE4E11

f(t)=+2(cosω1t+2cos3ω1t+cos5ω1t+ )

2π35

E

显然，信号的直流分量为a0=

2

信号的有效值为

4E

2=

0.287Eπ

1

1T22

[∫Tf(t)dt]2T 2

10221=[∫TE(1+)2dt+T 2TT==0.577E2

1TE2

信号的平均功率为∫2Tf(t)dt=

T 23

∫

T

20

221

E(1 t)dt]2

T

2

例11.周期矩形脉冲信号f（t）的波形如下图所示，并且已知τ=0.5μs，T=1μs，A=1V，则问；该信号频谱中的谱线间隔Δf

为多少？信号带宽为多少？

解：（1）谱线间隔：：

ω=ω1=

2π2π

= 6=2π×106T110

或

（2）信号带宽

f=f1=

11

= 6=1000(kHz)T110

或

2π2π==4π×106

6

τ0.5×1011

B(f)===2000(kHz)

τ0.5×10 6

B(ω)=

例12.求指数衰减振荡信号f(t)=(e atsinω0t) u(t)的频谱。

解：由于(e atsinω0t) u(t)=

1 atjω0t jω2j

e(e e0t

) u(t)并且F[e at u(t)]=1a+jω

于是可得

F[e atejω0t u(t)]=

1

a+j(ω ω0)F[e ate jω0t u(t)]=

1

a+j(ω+ω0)

利用傅立叶变换的线形性质可得

F[e atsinω0t u(t)]=12j[1a+j(ω ω 10)a+j(ω+ω0)

=

ω0

(a+jω)2+ω2

0例13.已知F(ω)=δ(ω ω0)，试求f（t）。

解：利用傅立叶变换的对称性可求得f（t）。将题中给定的F（ω）改写为f（t），F(t)=δ(t ω0)根据定义

F[F(t)]=F[δ(t ω0)] =∫∞

∞δ(t ω0)ejωt dt

= e jωt (δ函数抽样性质）

即

于是

F[F(t)]=2πf( ω) (对称性质） = e jωω0

将上式中的（-ω）换成t可得2πf(t) = e jω0t 所以有f(t) =

1jω0t

e 2π

π

例14.已知f(t)= cos(4t+，试求其频谱F（ω）

3解：因为

π jπ1jπ1j4t

cos(4t+e3 e+e3 e j4t

322

利用频移性质可得

F(ej4t)=2πδ(ω 4)F(e j4t)=2πδ(ω+4)

ππ

j jπ3

于是F[ cos(4t+π e(ω 4)+πe3(ω+4)

3

例15.求下图（a）所示三角脉冲信号的频谱。三角脉冲的分段函数表示为

ττ 2A(t+ 当 ≤t ≤0 τ22

ττ 2A

x(t)= (t 当

0≤t ≤

22 τ

τ

0 当t > 2

解：方法一、按傅氏变换的定义求解。因为x（t）是偶函数，傅氏变换为：

X(f)=∫x(t) cos2πftdt

∞

∞

2Aτ

(t 2πftdtτ24Aτ2ττ2

= [∫tcos2πftdt ∫tcos2πftdt]

τ020

τττ

4A1τ222

= [sin2πft sin2πftdt sin2πft ]0 0∫0τ2πf4πf

4A1τ

= (cos2πft 1)2

τ(2πf)24A12

= (1 2sin 1)2

τ(2πf)τΑπfτ

=sinc(22 =2∫

x（t）的幅值频谱如图(b)所示。方法二、

利用卷积定理求解。

τ20

三角脉冲x（t）可以看成两个等宽矩形脉冲x1(t)和x

2(t)的卷积。如下图所示。

因为

τπfτ

X1(f)=sinc(22τ2Aπfτ

X2(f)= sinc()

2τ2

根据时域两函数的卷积对应频域函数的乘积：

X

(f)=X1(f) X2(f)

x(t)=x1(t) x2(t)τA2πfττA2πfτXf=sinc()()所以X(f)=sinc(2222

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/g3b4.html