12.1椭圆

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本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 12、圆锥曲线与方程

12．1椭圆

【知识网络】

1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质．

2．了解椭圆简单应用．

3．进一步体会数形结合思想． 【典型例题】

[例1]（1）到两定点（2，1），（－2，－2）的距离之和为定值5的点的轨迹是 ( )  A．椭圆 Ｂ．双曲线 Ｃ．直线 Ｄ．线段

x2y2??1的离心率是（ ） （2）椭圆

9164A．

5

3

B．

5

C．7 4 D．7 3（3）已知椭圆的焦点为F1（-1，0）和F2（1，0），P是椭圆上的一点，且F1F2是PF1 与

PF2的等差中项，则该椭圆的方程为（ ）

x2y2x2y2x2y2x2y2??1 B．??1 C．??1 D．??1 A．

16916124334x2y2??1的准线方程是 ． （4）椭圆37x2y25?1（5）设椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为，F、A分别是它的左焦点和右顶

2ab点，B是它的短轴的一个端点，则∠ABF等于 ． [例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（１） 离心率为

2，准线方程为x??8； 2（２） 长轴与短轴之和为２０，焦距为45

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x2y2

[例3] 已知F1、F2分别为椭圆 + =1 的左、右焦点，椭圆内一点M的坐标为（2，

10064－6），P为椭圆上的一个动点，试分别求：

5

（1）|PM|＋|PF2|的最小值；

3（2）|PM|＋|PF2|的取值范围．

[例4] 已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过→→

椭圆中心O，且AC ·BC =0，|BC|=2|AC|. (1)求椭圆方程；

→

(2)如果椭圆上两点P、Q，使?PCQ的平分线垂直AO，是否总存在实数?，使PQ →

=λAB ？请给出说明．

【课内练习】

1．如果方程x?my?2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数m的取值范围是（ ） A．（0，+?） B．（0，2） C．（1，+?） D．（0，1）

22x2y2?2?1过点（－2，3）2．若椭圆，则其焦距为（ ） 16bA.25 B.23 C. 43 D. 45

x2y2??1的一个焦点，椭圆上至少有21个点P1，P2，P3，…，P21，使得3．设F是椭圆

1115数列{PiF}(i=1,2,…,21)成公差为d的等差数列，则d的一个可取值是 （ ）

1111A． B．－ C． D．－

2345

2?x2y?5)的光线1)在椭圆2?2?1(a?b?0)的左准线上，过点P且方向为a?(2，4．点P(?3，ab七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载

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经直线y??2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）

1132 B． C． D．

23325．一个中心在原点的椭圆，其一条准线的方程是x=4，对应的焦点F（2，0），则椭圆的方程是 ．

A．4x2?y2?1左焦点F1的弦，且|AF2|＋|BF2|=4，其中F2为椭圆的右焦6．已知AB是过椭圆9点，则弦AB的长是 ．

x2?y2?1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另7．已知△ABC的顶点B、C在椭圆3外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是 ．

x2y2??1的长轴AB分成8等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分8．把椭圆

2516于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，求|PF1|＋|PF2|＋…＋|PF7|的值．

9．在直角坐标平面内，已知两点A（－3，0）及B（3，0），动点P到点A的距离为8，线段BP的垂直平分线交AP于点Q． （1）求点Q的轨迹T的方程；

（2）若过点B且方向向量为（－1，3）的直线l，与（1）中的轨迹T相交于M、N两点，

试求△AMN的面积．

1

10．已知椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点是F（－m,0）(m是大于0的常数).

2 (1)求椭圆的方程；

(2)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M. 若MQ?2QF，求直

线l的斜率．

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12．1椭圆 A组

1．椭圆x2?my2?1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（ ）

A．

11 B． C．2 D．4 42x22

2．设F1、F2为椭圆+y＝1的两焦点，P在椭圆上，当△F1PF2面积为1时，PF1?PF2 的

4值为 （ ） A．0 B．1 C．2 D．

1 2x2y25

3．已知椭圆 + 2 = 1 与直线y=－ x的一个交点P在x轴上的射影恰好是这个椭圆

9 m6

的左焦点F1，则m的值为（ ）

A． 5 B． －5 C．±5 D．±5

4．已知椭圆中心在原点，一个焦点是F（－23 ，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．

x2y2215．椭圆2?2?1(a?b?0)且满足a?3b，若离心率为e，则e?2的最小值为 ．

eabx2y26．设F1、F2为椭圆+＝1的两个焦点，P在椭圆上，已知P，F1，F2是一个直角三角

94形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求

7．以定点A(2,8)和动点B为焦点的椭圆经过点P（－4,0）、Q(2,0)． (1)求动点B的轨迹方程；

(2)是否存在实数k，使直线y=kx+2与上述B点轨迹的交点Ｃ，Ｄ恰好关于直线l：y=2x对称？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

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|PF1|的值． |PF2|七彩教育网 http://www.7caiedu.cn

y2x28．过椭圆C：2?2?1(a?b?0)上一点P引圆O：x2?y2?b2的两条切线PA、PB，

ab切点为A、B，直线AB与x轴、y轴分别相交于M、N两点 （1）设P(x0,y0)，且x0y0?0，求直线AB的方程；

a2b225（2）若椭圆C的短轴长为8，且，求此椭圆的方程； ??2216|OM||ON|→→

（3）试问椭圆C上是否存在满足PA ·PB =0的点P，说明理由．

B组

x2y2?1．椭圆＝１的焦点Ｆ１和Ｆ２，点P在椭圆上，如果线段PＦ１的中点在y轴上，123那么｜ＰＦ１｜∶｜ＰＦ２｜的值为（ ）

A．７∶１ B．５∶１ C．９∶２ D．８∶３

2．方程y＝ax2＋b与y2＝ax2－b表示的曲线在同一坐标系中的位置可以是（ ）

3．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2 ，焦点到相应的准线的距离为1，则该椭圆的离心率是 （ ）

122 C． D． 2244．已知椭圆的长轴的长是短轴的长的５倍，且经过点（１０，－５）则椭圆的标准方程

A．2

B．七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载

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为 ．

????????x22?y?1的左右焦点，5．F1,F2分别是椭圆AB为其过点F2且斜率为1的弦，则F1A?F1B4的值为 ．

x2y26．已知椭圆C：2?2＝１（a＞b＞0)，设斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，A，

abB的中点为M，证明当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上．

x2y27．椭圆C：2?2＝１（a＞b＞0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，

ab414|PF1|= ，|PF2|= ．

33

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l过圆x2＋y2＋4x－2y=0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．

8．椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率e?2,过点C（－1，0）的直线l与3椭圆E相交于A、B两点，且C分有向线段AB的比为2. （1）用直线l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面积； （2）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程．

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12．1椭圆

【典型例题】

[例1] （1）D．提示：距离之和恰好等于两定点间的距离。 （2）C．提示：运用离心率的计算公式。 （3）C．提示：用椭圆定义．

7

（4）y=± ．提示：椭圆的焦点在y轴上。

2（5）90°．提示：数形结合，用勾股逆定理．

例2、（１）由准线方程为x??8，可知椭圆的焦点在x轴上

x2y2设所求椭圆的方程为2?2?1(a?b?0)

ab由题意，得 e?c2 ?a2a2?8 解得a?42 c?4 c所以b?a?c?32?16?16

222x2y2??1 因此，所求椭圆的方程为

3216x2y2（２）当焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为2?2?1(a?b?0)

ab 2a?2b?20 a?b?10 由题意，得 2c?45 即 a?b?20 解得a?6 b?4

22x2y2??1 所以焦点在x轴上的椭圆的方程为

3216x2y2??1 同理可求当焦点在y轴上椭圆的方程为

1636x2y2x2y2??1和??1 因此，所求的椭圆的方程为

32161636七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载

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例3、（1）椭圆右准线l：x= 定义知

|PF2| 3

= e = ，于是， |PN| 5

50

，过点P作PN⊥l于点N，如图所示则由椭圆的第二3

5

|PN| = |PF2|

3

5

所以，|PM| + |PF2| = |PM| + |PN|≥d(M，l)，

3其中d(M，l)表示点M到准线l的距离 易求得 d(M，l)=

44 3

544

所以，|PM| + |PF2|的最小值为 （此时点P为过点M且垂直于l的线段与椭圆的交

33点）

（2）由椭圆的定义知

|PF2|+|PF1|=2a=20， 故 |PM|+|PF2| = |PM|-|PF1|+20 1? |PM|-|PF1|≤|MF1| =10，

故 |PM|+|PF2|≤30（当且仅当P为有向线段MF1的延长线与椭圆的交点时取“=”）； 2? |PF1|-|PM|≤|MF1| =10，

故 |PM|+|PF2|=20-（|PF1|-|PM|）≥10（当且仅当P为有向线段MF1的反向延长线与椭圆的交点时取“=”）

综上可知，|PM|+|PF2|的取值范围为[10，30]

例4、(1)以O为原点，直线OA为x轴建立直角坐标系，则A(2,0)，由已知设椭圆方程

x2y2?2?1 4b∵AC?BC?0，∴AC?BC，又|BC|=2|AC| 又BC过椭圆中心O，∴C(1,1) 将C(1,1)代入椭圆方程得b2?，即椭圆方程为(2)依题意可设PC：y=k(x-1)+1，QC：y=-k(x-1)+1

∵C(1,1)在椭圆上，x=1是方程(1+3k2)x2-6k(k-1)x+2k2-６k-1=0的一个根 ∴xp?1? ∴kPQ?3k2?6k?11?3k2?43x232?y?1 44，用-k代换xp中的k得xQ?xp?xQ?1 33k2?6k?11?3k2

yp?yQxp?xQk(xp?xQ)?2k七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载

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又∵B(-1,-1)， ∴kAB?

→→→→ ∴PQ ∥AB ，因此总存在实数?，使PQ =λAB ．

【课内练习】

1．D．提示：将方程化成标准形式．

2．C．提示：将点的坐标代入，求b． 3．D．提示：考虑特殊情况．

4．A．提示：求出入射光线所在直线方程及椭圆焦点坐标准线方程．

13x2y2??1．提示：直接用公式． 5．

1646．2．提示：数形结合用定义． 7．43 ．提示：用椭圆定义．

8．35．提示：用焦半径公式：|PFi|= a＋exi． 9．（1）由于QB=QP，故AQ+BQ=AP＞AB，Q点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆． 其中2a=8,a=4,a2=16, c=3,c2=9, b2=a2－c2=7

x2y2??1 椭圆方程为

167（2）∵l过点B且方向向量为（－1，3），∴l的方程为y=－3（x－3） 将直线方程代入椭圆方程化简得：55x2－288x＋320=0

288320,x1x2=

55551122|x1－x2|=(x1?x2)?4x1x2=

552242|MN|=1?(?3)|x1－x2|=

55x1+x2=

A到MN的距离d?631?3?33

S△AMN=

13363 dMN?255x2y2??1 10．（1）

4m23m2（2）k??26或0

提示：（1）直接求出a、b，用m表示；（2）F是MQ的中点．

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12．1椭圆 A组

1．A．提示：直接化成标准方程． →→

2．A．提示：可以求出PF1 与PF2 ．

5

3．C．提示：（c,－ c)在椭圆上，且c可以用m表示．

6

x2y2??1．提示：注意利用a、b、c之间的关系． 4．

164132125． ．提示：e2∈[ ，1），而f(x)=x＋ 在[ ，1）上是减函数．

63x3

7

6． ，或2．注意分两种情况讨论，在两种情况下，都可以用勾股定理和椭圆定义求解． 27．⑴设B(x,y)，依题设及椭圆定义有：

|PA|+|PB|=|QA|+|QB|

22∴|QB|－|PB|=|PA|－|QA|＝(2?4)?8?8?2

∴B的轨迹是以P，Q为焦点的双曲线的左支 由2a＝2，2c＝6，得b2=c2－a2=32－12＝8

y2故所求的轨迹方程为(x+1)－=1(x≤－2)

82

⑵若存在，设交点为C(x1，y1)，D(x2，y2)∵C、D关于l:y=2x对称，∴CD中点在l上，y1+y2＝2(x1+x2)…①．又C、D在直线y=kx+2上，∴y1+y2=k(x1+x2)+4…②，由①、②得

?y?kx?24?222x1+x2=……③由?得(8－k)x+4(2－k)x－4＝0 y22?k?1?(x?1)?8?4（?4?k）44(4?k)8?……④．由③、④得 解得k= 222?k38?k8?k816但kCD·k＝?2?≠－1，故直线CD与l垂直∴这样的实数k不存在

33∴x1+x2=－

8．（1）直线AB的方程：x0x?y0y?b(x0y0?0)

2x2y2??1(xy?0) （2）椭圆C的方程：

1625七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载

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→→

（3）假设存在点P(x0,y0)满足PA ·PB =0，连结OA、OB，由|PA|=|PB|，知四边形PAOB

22为正方形， |OP|=2|OA| ∴x0?y0?2b2 ①又P在椭圆上

22∴a2x0?b2y0?a2b2 ②

b2(a2?2b2)a2b22由①②得x?，y0?2 222a?ba?b2022∵a?b?0 ∴a?b

∴当a?2b?0即a?当a?2b即b?a?22222b时，椭圆C上存在点P满足题设条件；

2b时，椭圆C上不存在满足题设的点P.．

B组

1．A．提示：用椭圆定义．

2．D．提示：函数图象一个是椭圆，则a＜0,b＜0,那么二次函数的图象必然是开口向下的抛物线．

3．B．提示：设出标准方程，利用几何性质求出基本量．

x2y2x2y2??1和??1．提示：设标准方程，用待定系数法． 4．

7252910125255．

46．提示：可以考虑用坐标法求解． 56．设直线方程后与椭圆方程联列方程组，再用韦达定理得中点坐标为

a2kmb2m(?2,2)，故AB中点M在过原点的直线b2x＋a2ky=0上． 2222b?akb?akx2y2??1； 7．（1）用椭圆定义及基本量法可以求得椭圆方程为94（2）设A(x1,y1)、B(x2,y2),直线l过点M（－2，1），设直线方程为y=k(x＋2)＋1，代入椭圆方程得（4＋9k2)x2＋(36k2＋18k)x＋36k2＋36k－27=0,由已知得A，B关于M（－2，1）对称，故

x1?x2818k2?9k????2，解得k= ，所求直线方程为8x－9y＋25=0,经检验所求直线方

924?9k2程符合题意．

x2y2c28．（1）设椭圆E的方程为2?2?1(a＞b＞0)，由e=?

aba3∴a2=3b2

故椭圆方程x2+3y2=3b2

设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C（－1，0）分有向线段AB的比为2．

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?x1?2x2??1??3∴? ?y1?2y2?0??3?x1?1??2(x2?1)即?

y??2y2?1①

②

?x2?3y2?3b2由?消去y整理并化简得 ?y?k(x?1)(3k2+1)x2+6k2x+3k2－3b2=0

由直线l与椭圆E相交于A（x1,y1）,B(x2,y2)两点

??Δ?36k4?4(3k2?1)(3k2?2b2)?0?6k2? ?x1?x2??23k?1??3k2?3b2?x1x2?3k2?1?而S△OAB?③

④ ⑤

11333 |y1?y2|?|?2y2?y2|?|y2|?|k(x2?1)|?|k||x2?1| ⑥

2222223|k|(k?0). 由①④得:x2+1=－2，代入⑥得：S△OAB=23k?13k?1（2）因S△OAB=

3|k|?23k?133|k|?1|k|?323?33,S△OAB取得最,当且仅当k??32大值．

此时x1+x2=－1,又∵∴x1=1,x2=－2 将x1,x2及k2=

x1?2x2=－1 31代入⑤得3b2=5 3∴椭圆方程x2+3y2=5．

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