21 - 30届全国物理竞赛力学部分复赛试题

(第20届全国中学生物理竞赛复赛题)有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想．其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图所示．在通道的两个出口处A和B，分别将质量为M的物体和质量为m的待发射卫星同时自由释放，只要M比m足够大，碰撞后，质量为m的物体，即待发射的卫星就会从通道口B冲出通道；设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口B时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小．这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星．若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？己知M＝20m，地球半径R0＝6400 km．假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的．

(第20届全国中学生物理竞赛复赛题)有一半径为R的圆柱A，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触．现有另一质量与A相同，半径为r的较细圆柱B，用手扶着圆柱A，将B放在A的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手．

己知圆柱A与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30．若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱B与墙面间的静摩擦系数和圆柱B的半径r的值各应满足什么条件？

(第20届全国中学生物理竞赛复赛题)如图所示，将一铁饼状小物块在离地面高为h处沿水平方向以初速

v0抛出．己知物块碰地弹起时沿竖直方向的分速度的大小与碰前沿竖直方向的

分速度的大小之比为e（＜1）．又知沿水平方向物块与地面之间的滑动摩擦系数为?（≠0）：每次碰撞过程的时间都非常短，而且都是“饼面”着地．求物块沿水平方向运动的最远距离．

(第21届全国中学生物理竞赛复赛题)二、(20分) 两颗人造卫星绕地球沿同一椭圆轨道同向运动，它们通过轨道上同一点的时间相差半个周期．已知轨道近地点离地心的距离是地球半v?3GM4R径R的2倍，卫星通过近地点时的速度，式中M为地球质量，G为引力常量．卫星上装有同样的角度测量仪，可测出卫星与任意两点的两条连线之间的夹角．试设计一种测量方案，利用这两个测量仪测定太空中某星体与地心在某时刻的距离．（最后结果要求用测得量和地球半径R表示）

(第21届全国中学生物理竞赛复赛题)如图所示，三个质量都是m的刚性小球A、B、C位于光滑的水平桌面上（图中纸面），A、B之间，B、C之间分别用刚性轻杆相连，杆与A、B、C的各连接处皆为“铰链式”的（不能对小球产生垂直于杆方向的作用力）．已知杆AB与BC的夹角为 ，< /2．DE为固定在桌面上一块挡板，它与AB连线方向垂直．现令A、B、C一起以共同的速度v沿平行于AB连线方向向DE运动，已知在C与挡板碰撞过程中C与挡板之间无摩擦力作用，求碰撞时当C沿垂直于DE方向的速度由v变为0这一极短时间内挡板对C的冲量的大小．

(第22届全国中学生物理竞赛复赛题)图中的AOB是游乐场中的滑道模型，它位于竖直平面内,由两个半径都是R的1/4圆周连接而成，它们的圆心O1、O2与两圆弧的连接点O在同一竖直线上．O2B沿水池的水面．一小滑块可由弧AO的任意点从静止开始下滑． 1．若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中，在两个圆弧上滑过的弧长相等，则小滑块开始下滑时应在圆弧AO上的何处？（用该处到O1的连线与竖直线的夹角表示）．

2．凡能在O点脱离滑道的小滑块，其落水点到O2的距离如何？

D BA ???? C

E A O1 O O2 B

(第22届全国中学生物理竞赛复赛题) 如图所示，在一个劲度系数为 k的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为 m 的小球A和质量为 2m的小球B．A用细线拴住悬挂起来，系统处于静止状态，此时弹簧长度为l．现将细线烧断，并以此时为计时零点，取一相对地面静止的、竖直向下为正方向的坐标轴Ox，原点O与此时A球的位置重合如图．试求任意时刻两球的坐标．

(第23届全国中学生物理竞赛复赛题)有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管，管内为真空，管内有一小球自某处自由下落（初速度为零），落到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞．以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动。现用支架固定一照相机，用以拍摄小球在空间的位置。每隔一相等的确定的时间间隔T拍摄一张照片，照相机的曝光时间极短，可忽略不计。从所拍到的照片发现，每张照片上小球都处于同一位置。求小球开始下落处离玻璃管底部距离（用H表示）的可能值以及与各H值相应的照片中小球位置离玻璃管底部距离的可能值。

O A k C x l B

(第23届全国中学生物理竞赛复赛题)如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l，两端和中心处分别固连着质量为m的小球B、D和C，开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为M的小球A，以一给定速度

v0沿垂直于杆DB的方间与右端小球B作弹性碰

撞。求刚碰后小球A,B,C,D的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。

(第24届全国中学生物理竞赛复赛题)如图所示，一块长为L?1.00m的光滑平板PQ固定在轻质弹簧上端，弹簧的下端与地面固定连接。平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间（图中未画出竖直导轨），从而只能地竖直方向运动。平板与弹簧构成的振动系统的振动周期

T?2.00s。一小球B放在光滑的水平台面上，台面的右侧边缘正好在平板P端的正上方，

到P端的距离为h?9.80m。平板静止在其平衡位置。水球B与平板PQ的质量相等。现给小球一水平向右的速度

?0，使它从水平台面抛出。已知小球B与平板发生弹性碰撞，碰撞

时间极短，且碰撞过程中重力可以忽略不计。要使小球与平板PQ发生一次碰撞而且只发生

2?g?9.8m/s0一次碰撞，的值应在什么范围内？取

(第24届全国中学生物理竞赛复赛题)图中所示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成的平面连杆结构图。AB 和CD杆可分别绕过A、D的垂直于纸面的固定轴转动，A、D两点位于同一水平线上。BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。当AB杆绕A轴以恒定的角速度?转到图中所示的位置时，AB杆处于竖直位置。BC杆与CD杆都与水平方向成45°角，已知AB杆的长度为l，BC杆和CD杆的长度由图给定。求此时C点加速度

(第25届全国中学生物理竞赛复赛题)嫦娥1号奔月卫星与长征3号火箭分离后，进入绕地

2H?2.05?10km，远地点离地面高n运行的椭圆轨道，近地点离地面高

ac的大小和方向（用与CD杆之间的夹角表示）

Hf?5.09?304k1m0，周期约为16小时，称为16小时轨道（如图中曲线1所示）。随后，

为了使卫星离地越来越远，星载发动机先在远地点点火，使卫星进入新轨道（如图中曲线2所示），以抬高近地点。后来又连续三次在抬高以后的近地点点火，使卫星加速和变轨，抬

高远地点，相继进入24小时轨道、48小时轨道和地月转移轨道（分别如图中曲线3、4、5

3所示）。已知卫星质量m?2.350?10kg，地球半径R?6.378?10km，地面重力加速度

3g?9.81m/s2，月球半径r?1.738?103km。

1、试计算16小时轨道的半长轴a和半短轴b的长度，以及椭圆偏心率e。

2、在16小时轨道的远地点点火时，假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同，而且点火时间很短，可以认为椭圆轨道长轴方向不变。设推力大小F=490N，要把近地点抬高到600km，问点火时间应持续多长？

3、试根据题给数据计算卫星在16小时轨道的实际运行周期。

4、卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度Hm约为200km，周期Tm=127分钟，试据此估算月球质量与地球质量之比值。

(第26届全国中学生物理竞赛复赛题)图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角A、B、C、D处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生弹性微小形变。现于桌面中心点O至角A的连线OA上某点P施加一竖

OP?c直向下的力F，令OA，求桌面对桌腿1的压力F1。

(第26届全国中学生物理竞赛复赛题)若不考虑太阳和其他星体的作用，则地球-月球系统可看成孤立系统。若把地球和月球都看作是质量均匀分布的球体，它们的质量分别为M和m，月心-地心间的距离为R，万有引力恒量为G。学生甲以地心为参考系，利用牛顿第二定律

和万有引力定律，得到月球相对于地心参考系的加速度为

am?GMR2；学生乙以月心为参

考系，同样利用牛顿第二定律和万有引力定律，得到地球相对于月心参考系的加速度为

ae?GmR2。这二位学生求出的地-月间的相对加速度明显矛盾，请指出其中的错误，并分

别以地心参考系（以地心速度作平动的参考系）和月心参考系（以月心速度作平动的参考系）求出正确结果。

(第27届全国中学生物理竞赛复赛题)蛇形摆是一个用于演示单摆周期与摆长关系的实验仪器（见图）．若干个摆球位于同一高度并等间距地排成一条直线，它们的悬挂点在不同的高度上，摆长依次减小．设重力加速度 g = 9 . 80 m/ s2 ,

1 ．试设计一个包含十个单摆的蛇形摆（即求出每个摆的摆长），要求满足： ( a ）每个摆的摆长不小于 0 . 450m ，不大于1.00m ; ( b ）初始时将所有摆球由平衡点沿 x 轴正方向移动相同的一个小位移 xo ( xo <<0.45m ) ，然后同时释放，经过 40s 后，所有的摆能够同时回到初始状态． 2 ．在上述情形中，从所有的摆球开始摆动起，到它们的速率首次全部为零所经过的时间为________________________________________.

(第27届全国中学生物理竞赛复赛题)如图，一质量均匀分布的刚性螺旋环质量为m，半径为 R ，螺距H =πR ，可绕竖直的对称轴OO′，无摩擦地转动，连接螺旋环与转轴的两支撑杆的质量可忽略不计．一质量也为 m 的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦地滑动,首先扶住小球使其静止于螺旋环上的某一点 A ，这时螺旋环也处于静止状态．然后放开小球，让小球沿螺旋环下滑，螺旋环便绕转轴 OO′，转动．求当小球下滑到离其初始位置沿竖直方向的距离为 h 时，螺旋环转动的角速度和小球对螺旋环作用力的大小．

(第28届全国中学生物理竞赛复赛试题)如图所示，哈雷彗星绕太阳S沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T为76.1年，1986年它过近日点P0时与太阳S的距离r0=0.590AU，AU是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离，经过一段时间，彗星到达轨道上的P点，SP与SP0的夹角θP=72.0°。已知：1AU=1.50×1011m，引力常量G=6.67×10－11Nm2/kg2，太阳质量mS=1.99×1030kg，试求P到太阳S的距离rP及彗星过P点时速度的大小及方向（用速度方向与SP0的夹角表示）。

(第28届全国中学生物理竞赛复赛试题)（20分）质量均匀分布的刚性杆AB、CD如图放置，A点与水平地面接触，与地面间的静摩擦系数为μA，B、D两点与光滑竖直墙面接触，杆AB和CD接触处的静摩擦系数为μC，两杆的质量均为m，长度均为l。

1、已知系统平衡时AB杆与墙面夹角为θ，求CD杆与墙面夹角α应该满足的条件（用α及已知量满足的方程式表示）。

2、若μA=1.00，μC=0.866，θ=60.0°。求系统平衡时α的取值范围（用数值计算求出）。

(第28届全国中学生物理竞赛复赛试题)三、（25分）在人造卫星绕星球运行的过程中，为了保持其对称转轴稳定在规定指向，一种最简单的办法就是让卫星在其运行过程中同时绕自身的对称轴转，但有时为了改变卫星的指向，又要求减慢或者消除卫星的旋转，减慢或者消除卫星旋转的一种方法就是所谓消旋法，其原理如图所示。 一半径为R，质量为M的薄壁圆筒，，其横截面如图所示，图中O是圆筒的对称轴，两条足够长的不可伸长的结实的长度相等的轻绳的一端分别固定在圆筒表面上的Q、Q′（位于圆

m筒直径两端）处，另一端各拴有一个质量为2的小球，正常情况下，绳绕在圆筒外表面上，

两小球用插销分别锁定在圆筒表面上的P0、P0′处，与卫星形成一体，绕卫星的对称轴旋转，卫星自转的角速度为ω0。若要使卫星减慢或者停止旋转（消旋），可瞬间撤去插销释放小球，让小球从圆筒表面甩开，在甩开的整个过程中，从绳与圆筒表面相切点到小球的那段绳都是拉直的。当卫星转速逐渐减小到零时，立即使绳与卫星脱离，解除小球与卫星的联系，于是卫星转动停止。已知此时绳与圆筒的相切点刚好在Q、Q′处。 1、求当卫星角速度减至ω时绳拉直部分的长度l； 2、求绳的总长度L；

3、求卫星从ω0到停转所经历的时间t。

(第29届全国中学生物理竞赛复赛试题)设有一湖水足够深的咸水湖，湖面宽阔而平静，初始时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放，释放时物块的下底面和湖水表面恰好相接触。已知湖水密度为

；物块边长为，密度为

，且

。在只考虑

物块受重力和液体浮力作用的情况下，求物块从初始位置出发往返一次所需的时间。

(第29届全国中学生物理竞赛复赛试题)设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯，电梯顶端可超过地球的同步卫星高度

（从地心算起）延伸到太空深处。这

种所谓的太空电梯可用于低成本地发射绕地人造卫星，其发射方法是将卫星通过太空电梯匀速地提升到某高度，然后启动推进装置将卫星从太空电梯发射出去。

1、设在某次发射时，卫星在太空电梯中极其缓慢地匀速上升，该卫星在上升到0.80

处意

外地和太空电梯脱离（脱离时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零）而进入太空。 （1）论证卫星脱落后不会撞击地面。

（2）如果卫星脱落后能再次和太空电梯相遇，即可在它们相遇时回收该卫星。讨论该卫星从脱落时刻起，在0~12小时及12~24小时两个时间段内被太空该电梯回收的可能性。 2、如果太空电梯地点位于东经110度处，在太空电梯上离地心距离为

处有一卫星从电

梯脱落（脱落时卫星相对于太空电梯上脱落处的速度可视为零），脱落后该卫星轨道刚好能和赤道某处相切，而使卫星在该点着地，试求卫星着地点的经度。提示：此问要用数值方法求解高次方程。 已知：地球质量

，半径

；地球自转周期

设卫星与太空电梯脱落后只受地球引力作用。

的球体；引力恒量

小时；假

(第29届全国中学生物理竞赛复赛试题)如图所示，两根刚性轻杆接在一起，的

、

和

延长线与

的夹角

为锐角，杆

长为，杆

和在长为

段牢固粘。在杆

三点各固连一质量均为的小球，构成一刚性系统。整个系统放在光滑水

延长线与挡板垂直。现使该系统以大

与挡板碰撞，碰撞结束时球

碰撞后，球

先于球

平桌面上，桌面上有一固定的光滑竖直挡板，杆小为

、方向沿

的速度向挡板平动。在某时刻，小球

在垂直于挡板方向的分速度为零，且球与挡板相碰，求夹角

应满足的条件。

与挡板不粘连。若使球

(第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题)一半径为R、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为v0(v0?0). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为g.

O?P

(第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题)二、（20分）一长为2l的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m的小物块D和一质量为?m（?为常数）的小物块B，杆可绕通过小物块B所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动. 一质量为m的小环C套在细杆上（C与杆密接），可沿杆滑动，环C与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原长为l，劲度系数为k，两端分别与小环C和物块B相连. 一质量为m的小滑块A在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短. 碰撞 时滑块C恰好静止在距轴为r（r>l）处. 1. 若碰前滑块A的速度为

v0，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量；

v0应满足的条件.

2. 若碰后物块D、C和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A的速度

(第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题)三、（25分）一质量为m、长为L的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴O在竖直平面内自由转动. 杆在水平状态由静止开始下摆，

1. 令

??mL表示细杆质量线密度. 当杆以角速度?绕过其一端的光滑水平轴O在竖直平

???E?k??L式中，k为待定的没有单位的纯常数. 已k面内转动时，其转动动能可表示为

知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相等时才相等. 由此求出?、?和?的值.

2. 已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数k的值.

3. 试求当杆摆至与水平方向成?角时在杆上距O点为r处的横截面两侧部分的相互作用力. 重力加速度大小为g.

提示：如果X(t)是t的函数，而Y(X(t))是X(t)的函数，则Y(X(t))对t的导数为

dY(X(t))dYdX?dtdXdt

例如，函数cos?(t)对自变量t的导数为

dcos?(t)dcos?d??dtd?dt

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