应用泛函分析教案2

§4 柯西点列和完备度量空间 教学内容(或课题)：

目的要求： 掌握柯西点列、完备度量空间的概念，学会使用概念和完备度量空间的充要条件判别完备度量空间. 教学过程：

? 设?xn?n?1是R1中的点列，若???0，?N?N?????，s.t.当m,n?N时，有d?xn,xm?=xn?xm??，则称?xn?n?1是R1中的柯西点列.

? Def 1 设X=(X，d)是度量空间，?xn?n?1是X中的点列. 若

????0,?N?N?????，s.t.当m,n?N时，有d?xn,xm???，则称?xn?n?1?是X中的柯西点列或基本点列. 若度量空间(X，d)中每个柯西点列都收敛，则称(X，d)是完备的度量空间.

有理数的全体按绝对值距离构成的空间不完备，如点列1, 1.4, 1,41,

1.412,? 在R1中收敛于2，在有理数集中不收敛.

但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列.

实因若xn?x，则???0, ?N?N?????，s.t.当m,n?N时，都有d?xn,x???2.因此当n，m?N时，有

d?xn,xm??d?xn,x?+d?x,xm???2+

?2. 所以?xn?n?1是柯西点列.

?例2 l?(表有界实或复数列全体)是完备度量空间.

?? 证明 设?xm?m?1是l中的柯西点列，其中xm=??1,?2,??.???0,

?N?N?????，s.t.当m,n?N时，都有

d?xm,xn?=sup?j?m?j???n?j?? (1)

因此对每个固定的j，当m,n?N时，成立

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??jm????jn??? (2) 于是??jk?，k?1,2,?是柯西数列. 由于实数集或复数集按差的绝对值定义距离是完备的，故存在实或复数?j，s.t. ??jn???j(n??)令

?x=??1,?2,??，往证x?l且xm?x.

在(2)中，令n??，得?m?N时，成立

??jm???j?? (3) 因为xm=??1?m?,?2?m?,?,??jm?,???l?，所以?Km?0，s.t.?j?? ，成立

??m?j?Km(不同的数列，界可能不一样). 所以 ?j??j???jm???+Km.

所以x?l?. 由(3)知，?m?N时，成立d?xm,x所以xm?x. 所以l?是完备度量空间.

??sup?j?m?j??j??.

例2 令C表示所有收敛的实或复数列的全体，?x=??1,?2,???C，

?y=??1,?2,???C，令 d?x,y?=sup?j??j. 则 10d?x,y??0且x=yj时，d?x,y?=0. 又?j??j?sup?j??j=d?x,y?=0 ? ?j=?j(j??).

j于是d?x,y?=0 ? x=y. 20?z=??1,?2,???C，则由于对?j??，成立 ?j??j??j??j+?j??j?sup?j??jj+sup?j??j=

jd?x,z?+d?y,z?. 所以sup?j??jj?d?x,z?+d?y,z?. 即

d?x,y??d?x,z?+d?y,z?. 所以d?x,y?可定义为C中?两点间的距离. 于

是C按距离d?x,y?成为度量空间(实际上是l?的一个子空间). 欲证C是完备度量空间，先证

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Th 1 完备度量空间X的子空间M是完备度量空间 ? M是X中的闭子空间.

? 证明 设M是完备子空间，对每个x?M?，?M中点列?xn?n?1，

使xn?x. 所以?xn?n?1是M中柯西点列. 所以它在M中收敛. 由极限的

?唯一性，所以x?M. 所以M??M. 即M是X中的闭子空间. 反之，若?xn?n?1是M中柯西点列，因X是完备度量空间，则在X中收

?敛. 即?x?X，s.t. xn?x.因为M是X中的闭子空间，所以x?M，所以?xn?n?1在M中收敛. 于是M是完备度量空间.

? 例2的证明 由Th 1 只证C是l?中的闭子空间即可. ?x=??1,?2,???C?(要证?j??k??，从而x?C)，

?n??n??xn=??1,?2,???C(n?1,2,?)，s.t. xn?x. 所以???0，

?N??，s.t.当n?N时，成立

?3 ??jn???j?sup??jn???j=d?xn,x??j.

?3特别取n?N，则对?j??，成立 ??jN???j?.因为xN?C,

所以当j??时，??jN?收敛. 故?N1??，s.t. ?j,k?N1时，成立

??N?j??k?N???3. 所以?j,k?N1时，成立

?3 ?j??k??j???jN?+??jN???k?N?+?k?N???k??++=?.

33??所以??j?j?1是柯西数列，因而收敛. 所以x=??1,?2,???C. 所以C是l?中的闭子空间. 由Th 1，C是完备度量空间. 证毕. 作业： P206. 14. 15中的S,B?A?.

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?N??， 作业题解： 14 ?=1，s.t.当m,n?N时，有d?xn,xm??1,

特别当n?N时，有d?xn,xN?1??1. 又n?N时，d?xn,xN?1?只有有限个值故?M?0,s.t. d?xn,xN?1??M. 因此?n,m??，成立

d?xn,xm??d?xn,xN?1?+d?xN?1,xm??max?2,1?M,2M?. 所以?xn?n?1是

?有界点列.

?15设?xn?n?1是S中的柯西点列，xn=??1?n?,?2?n?,??. 即???0,

?N??， s.t.?m,n?N时，成立

? d?xn,xm?=?k?11k?k?n???k?m??m??m??m?21??k?n???k?? (?)

所以?k??，成立 ?m,n?N时，对于每个固定的k，??：0????N??1?k?n???k1??k?n???k?2?k. 因为?给??0，

?21??k，然后由这个?，按不等式(?)，

?k?n?. 所以?m,n?N时，对这个固定的k，成立

???k?m??m?1??k?n???k??1??.

所以 ?k?n???k?m??? (m,n?N). 所以??j?j?1是实(复)数集中的柯西点列. 而实(复)数集完备, 所以??k?n??n?1收敛，设?k?n???k(n??). 记

?x=??1,?2,??，则xn?x. 而x?S，所以S完备.

? 设?xn?n?1是B?A?中的柯西点列，xn=fn?t?，t?A.

???0，?N???m,n?N，s.t.当?m,n?N时，成立supfn?t??fm?t???. 所以

t?A及t?A，成立

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fn?t??fm?t???. (??) 因此在集A上，函数列?fn?t??n?1收敛，设fn?t??f?t?. 由(??)式，令

?m??得n?N时，fn?t??f?t???. 所以n?N时，

f?t??fn?t??fm?t?+fn?t???+M(由于?fn?t??n?1收敛，从而M存在).

?所以f?t??B?A?，又已证fn?t??f?t?所以B?A?是完备度量空间.

柯西点列和完备度量空间(续)

教学内容(或课题)：

目的要求： 再次巩固上次课学习的概念与定理，进一步掌握使用概念及定理判别完备度量空间的常用方法. 教学过程：

C?a,b?是完备的度量空间.

证明 设 xn，n?1,2,? 是C?a,b?中的柯西点列. ???0，

?N??，s.t.当?m,n?N时，成立

a?t?b maxxm?t??xn?t???. (4) 所以?t??a,b?，有xm?t??xn?t???. 于是当t固定时，?xn?t??n?1

?是柯西数列.由实(复)数集的完备性，?x?t?，s.t.xn?t??x?t?. 往证

x?t??C?a,b?，xn?x实因在(4)中令m??，得知n?N时，成立

maxxn?t??x?t???a?t?b. (5)所以xn?t?在?a,b?上一致收

24

?,yn??. limd?xn,yn?=limd?xnn??n??00 最后证明 d?~x,~y? 满足关于距离条件1及2：

~ 显然 d?~x,~y?=limd?xn,yn??0. 又d?~x,~y?=0 ? limd?xn,yn?=0

n??n??~~x?~~???~=~z=?zn?n?1?X， 则 y. ?x=?xn?n?1，~y=?yn?n?1，~?d?xn,zn??d?xni,zn??lm~d?xn,yn?d?yn,zn?，故

ln??d?xni,yn??ml~~n??n?? d?yi,zn?，mn~即 d?~x,~z??d?~x,~y??d?~y,~z?. 所以X按d成度量空间. (2)作X的稠密子空间W及X到W的等距映照T

? ?b?X，令b=?bn?n?1，其中bn=b，显然b?X. 令n?1,2,??，

~~~~~Tb~?=limd?b,a?，所以T是=b，W=TX. 因为 d?Tb,Ta?=d?b,an??~~~~X到W上的等距映照.

~ 在X与W等距同构之下往证W是X中的稠密子集.

~?xxn=?xj?，其中xj=xn，j?1,2,??，则~xn?W. =?xn?n?1?X, 令~j?1???~xn=?xj?是X中的柯西点列，故???0，?N??，s.t. ?n?N时，因~j?1有 d?xn,xN???2. 于是

~d?~x,~xN?=limd?xn,xNn?????2??x,??中必有W中的点， . 即在 ?U?~故W在X中稠密.

(3)证明X是完备的度量空间

~~ 30

?n??n? 设?~x?n?1是X中的柯西点列，因为W在X中稠密，所以对每个~x，

?~~zn?W?~?n?，s.t. d?~x,~zn??1n. (4)

~1m??m??n??m?~?n?所以 d?~x,x??d?~zm,~zn??d?~zm,~x??d?~x,~zn??~~~

1~?m?~?n?d~x,x?n???n?，所以?~x?n?1是W中柯西点列. 因为T是X到W上的

?x=?zm?m?1，x?X. 等距映照，所以?zm?m?1是X中柯西点列. 令~则~由(4)

??~?n??n?式，有 d?~x,~x??d?~x,~zn??d?~zn,~x?

~~~~1zn,~x?=?limd?zn,zm??0 (n??). ?d?~n??nn~?n?~~所以 limd?~x,x?=0，所以X是完备度量空间.

?1n?? (4) 证明X的唯一性

??是另一个完备度量空间，且X与?X??中稠密子集W?等?,d?,d 设?X~?到X上映照T如下： 距同构. 作X??在X?中点列?x?，由于W?中稠密，?W??X??n??n?1， 对?x~?与X等距同构，W也与X等距同构，从而W?与W?.但由于W??n??xs.t.x~?到W上等距同构映照，?知???n???n?1是X??n??x也等距同构. 设?为W由x??x?~~?=~??n???~x. x?X，s.t.??xx. 令Tx中柯西点列，由X完备性，?~?，??n??W??n??n?1，y??n??n?1无关， 即若另有?y 首先，这样定义的T与?x??n?1,2,????n??. 实因 ??n??~??n??=lim??yx，则 lim??x，yn??n??~??n?,lim?y??n?dlim?xn?????n?????=limn??~??n?,?y??n?d?x????????=limd??xn??n??,y?n??,x??=0. ?=d??x 31

??n??. ??n??=lim??y所以lim??xn??n??~~~x?X，由于W是X的稠密 下证T是X到X上的等距同构映照, 对?~?n??n?子集，所以存在W中点列?~x?n?1，s.t.~x?x. 同前证明可知

??????~x???1n?n?1?n??中的柯西点对，有x?，s.t.??1?~??X?. 易知为Xx??x?Txn??中点列?x?到X上. 又对?x?，有W?,y??X??n??n?1和x，即T映照X=~?n?1?????y??n??y?. 所以 ??n??x?，y， s.t. x~~??x?,y??=limd??n?,y??n??=limd??(x??n?),?(y??n?)?=d?Tx?,Ty??， d??xn??n???与X等距同构. 证毕. 所以T是一个等距同构映照. 所以X~ 若将彼此等距同构的度量空间视为同一空间，则有

Th1? 设X=?X,d?是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间

~X=?X,d?使X为X的稠密子空间.

~~~ 作业：P206.16.证明l?与C?0,1?的一个子空间等距同构. 作业提示：

作l?到C?0,1?内的映照T：??1,?2,?,?k,???x?t?，其中x?tk?=?k，

k?1,2,??; t取?0,1?的其它值时，x?t?是线性的. 后面证明略.

§6压缩映照原理及其应用(1) 教学内容(或课题)：

目的要求： 掌握压缩映照概念，掌握不动点概念，掌握压缩映照定理的证明方法，学会用压缩映照定理解决隐函数存在性、微分方程解之存在性的方法.

教学过程： Def 1. 设X是度量空间，T是X到X中的压映照，若存在一个数?：

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0???1，s.t. ?x、y?X，成立

d?Tx,Ty???d?x,y? (1) 则称T是X到X中的压缩映照(简称压缩映照).

Th 1.(压缩映照定理) 设X是完备度量空间，T是X上的压缩映照，则T有且只有一个不动点(即方程Tx?x有且只有一个 解).

证： 固定?x0?X，令 x1=Tx0，x2=Tx1=T2x0，

??，xn=Txn?1=Tx0，??n， 则?xn?n?1是X中的柯西点列， 实因

?d?xm?1,xm?=d?Txm,Txm?1???d?xm,xm?1?

=?d?Txm?1,Txm?2???2d?xm?1,xm?2??????md?x1,x0?. (2) 由三点不等式，当n?m时，

d?xm,xn??d?xm,xm?1??d?xm?1,xm?2?????d?xn?1,xn?

?(?m??m?1?????n?1)d?x1,x0?=??m1??n?m1???d?x1,x0?.

因为0???1，所以1??n?m?1，所以 d?xm,xn???m1??d?x1,x0? (n?m) (3)

?所以当m??，n??时，d?xm,xn??0. 所以?xn?n?1是X中的柯西点

列.

由X完备性， 存在x?X，s.t. xm?x. 由三点不等式和条件(1)，有 d?x,Tx??d?x,xm??d?xm,Tx?

?d?x,xm???d?xm?1,x??0 (m??). 所以d?x,Tx?=0，所以 x=Tx.

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x?X，s.t. T~x?~x，则由条件(1)，得 往证唯一性. 若又有~d?x,~x?=d?Tx,T~x???d?x,~x?，?1???d?x,~x??0. 又因为1???0，所以

~d?x,~x?=0，所以x=x. 证毕.

Th 2. 设函数f?x,y?在带状域a?x?b，???y???中处处连续，且处处有关于y的偏导数fy??x,y?，若存在常数m和M， 满足 m?M，0?m?fy??x,y??M， 则方程 f?x,y?=0 在区间?a,b?上必有唯一的连续函数y???x?作为解：f?x,??x???0，x??a,b?.

证 在完备度量空间C?a,b?中作映照A，s.t.???x?? C?a,b?，有

?A???x?=??x??1Mf?x,??x??. 因为f?x,y?连续，所以?A???x?也连续，

所以A??C?a,b?. 所以A是C?a,b?到自身的映照. ?取?1,?2?C?a,b?，?A?2??x???A?1??x?=

?2?x??1Mf?x,?2?x????1?x??1Mf?x,?1?x??=

?2?x???1?x??1M1Mfy??x,?1?x?????2?x???1?x?????2?x???1?x??

=1?0?fy??x,?1?x?????2?x???1?x?????2?x???1?x?1Mfy??x,?1?x?????2?x???1?x????mMMM(0???1)，

mM?=1.

令?=1-Sup

x??a,b?，则0???1，且 A?2?A?1???2??1. 所以

x??a,b?A?2?A?1??Sup?2??1，所以d?A?2,A?1???d??2,?1?. 所

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