河南省商丘市2015届高三第一次模拟考试数学(理)试题
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·1·
河南省商丘市2015届高三第一次模拟考试数学(理)试题
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的)
1.已知集合A ={x |0<x <2},B ={x ||x |>1},则A ∩B =
A .(0,1)
B .(1,2)
C .(-∞,-1)∪(0,+∞)
D .(-∞,-1)∪(1,+∞)
2.若复数z 满足(1+i )z =2-z ,则|z +i |=
A .12
B
. C .2 D
3.已知命题p :x ?∈R ,x -2>lgx ,命题q :x ?∈R , 2x >0,则
A .命题p ∨q 是假命题
B .命题p ∧q 是真命题
C .命题p ∨(?p )是假命题
D .命题p ∧(?p )是真命题
4.已知向量a ,b 满足|a |=1,a ⊥b ,则a -2b 在a 方向上的投影为
A .1 B
. C .-1 D
5.已知锐角α的终边上一点P (sin40°,1+cos40°),则α
等于
A .10°
B .20°
C .70°
D .80°
6.若某程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的B 等于
A .63
B .31
C .127
D .15
7.已知抛物线2
y =4x 与双曲线22
221x y a b -=(a >0,b >0)有 相同的焦点F ,点A ,B 是两曲线的交点,若(OA uu r +OB uu u r )·AF uuu r =0,则双曲线的
离心率为
A
. 2 B
. 1 C
+1 D
+1
8.已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球的表面积为
A .4π
B .8π
C .12π
D .16π
·2· 9.设变量x ,y 满足约束条件:,4,2,y x x x ?????
≥+3y ≤≥-则z =|x -3y |
的最大值为
A .10
B .8
C .6
D .4
10.等比数列{n a }的前n 项和为n S ,2n S =4(a 1+a 3+…+21n a -),a 1a 2a 3=27,则a 6=
A .27
B .8l
C .243
D .729
11.给出下列四个结论:
①若a ,b ∈[0,1],则不等式22a b +≤1成立的概率为4π
;
②由曲线y =3x 与y
0.5;
③已知随机变量ξ服从正态分布N (3,2σ),若P (ξ≤5)=m ,则P (ξ≤1)=
1-m ;
④8的展开式中常数项为358
. 其中正确结论的个数为
A .1
B .2
C .3
D .4
12.已知函数f (x )满足f (x )=f (1x ),当x ∈[1,3]时,f (x )=lnx ,若在区间[13
,3]内,曲线g (x )=f (x )-ax 与x 轴有三个不同的交点,则实数a 的取值范围是
A .(0,1e )
B .(0,12e )
C .[ln 33,1e )
D .[ln 33,12e
) 第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题.每个试题考生都必须做答。第22题-第24题为选考题,考生根据要求做答。
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,
则不同的赠送方法共有_______种.
14.若圆C :22x y ++2x -4y +3=0关于直线2ax +by +6=0对称,则由点(a ,b )向圆所作的切
线长的最小值是_____________。
15.已知函数y =f (x -1)+2x 是定义在R 上的奇函数,且f (0)=-1,若g (x )=1-
f (x +1),则
g (-3)=______________
·3·
16.已知数列{n a }通项公式为n a =-n +p ,数列{n b }通项公式为n b =52n -,设n c =(),(),
n n n n n n a a b b a b ??
?≤>若在数列{n c }中,8c >n c (n ∈N ﹡,n ≠8),则实数p 的取值范围是_______. 三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)
在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且sinA +sinB =2sinC ,a =2b . (Ⅰ)证明:△ABC 是钝角三角形;
(Ⅱ)若ABC S ?c 的值. 18.(本小题满分12分)
(Ⅰ)求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率;
(Ⅱ)已知每吨该商品的销售利润为2千元,X 表示该种商品某两天销售利润的和(单位:千元),
求X 的分布列和数学期望.
19.(本小题满分12分)
如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,已知AB ⊥侧面
BB 1C 1C ,AB =BC =1,BB 1
=2,∠BCC 1=60°。
(Ⅰ)求证:C 1B ⊥平面ABC ;
(Ⅱ)设CE uur
=λ1CC uuu r (0≤A ≤1),且平面AB
1E 与BB 1E
所成的锐二面角的大小为30°,试求λ的值.
20.(本小题满分12分)
已知直线l 的方程为y x -l 过椭圆C :22
221x y a b
+=
(a >b >0)的 (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)过点D (0,1)的直线与椭圆C 交于点A ,B ,求△AOB 的面积的最大值.
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