2013.5.17-不等式

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高一下学期期末复习 不等式的基本知识

（一）不等式与不等关系

1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质：

(1)对称性：a?b?b?a (2)传递性：a?b,b?c?a?c

(3)加法法则：a?b?a?c?b?c；a?b,c?d?a?c?b?d(同向可加) (4)乘法法则：a?b,c?0?ac?bc； a?b,c?0?ac?bc;

a?b?0,c?d?0?ac?bd(同向同正可乘) (5)倒数法则：a?b,ab?0?11? ab(6)乘方法则：a?b?0?an?bn(n?N*且n?1) (7)开方法则：a?b?0?na?nb(n?N*且n?1)

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）

3、应用不等式性质证明不等式

（二）解不等式

1、一元二次不等式的解法

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一元二次不等式ax2?bx?c?0或ax2?bx?c?0?a?0?的解集：

设相应的一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的两根为x1、x2且x1?x2，??b2?4ac，则不等式的解的各种情况如下表： ??0 ??0 ??0 y?ax2?bx?c 二次函数 y?ax2?bx?c y?ax2?bx?c y?ax2?bx?c （a?0）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 x1?x2??b 2a 无实根 ax2?bx?c?0?a?0?的根ax2?bx?c?0(a?0)的解集ax2?bx?c?0(a?0)的解集

x1,x2(x1?x2) ?xx?x或x?x? 12?b??xx??? 2a?? ? R ?xx1?x?x2? ? 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是：

（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； （2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；

(3)根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。

?x?1??x?1? 如：2?x?2?3?0

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3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

f(x)?0?f(x)g(x)?0;g(x)?f(x)g(x)?0f(x) ?0??g(x)?g(x)?04、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式f?x??A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?min?A 若不等式f?x??B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?max?B

（三）线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式Ax?By?C?0在平面直角坐标系中表示直线Ax?By?C?0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax?By?C?0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入

Ax?By?C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0?By0?C的正负即可判断Ax?By?C?0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条

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件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数：

关于x、y的一次式z?ax?by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解(x、y)叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： （1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）依据线性目标函数作参照直线ax+by＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解

（四）基本不等式ab?a?b 21．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号. 2．如果a,b是正数，那么

a?b?ab(当且仅当a?b时取\?\号). 22?a?b? 变形：有:a?b?2ab；ab???,当且仅当a=b时取等号.

?2?3．如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值2P;

S2 如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值.

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注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”

4.常用不等式有：

22a?b?a?b?ab?2(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （1）221?1ab（2）a、b、c?R，a2?b2?c2?ab?bc?ca（当且仅当a?b?c时，取等号）； （3）若a?b?0,m?0，则

bb?m?（糖水的浓度问题）。 aa?m

不等式主要题型讲解

（一） 不等式与不等关系 题型一：不等式的性质

1. 对于实数a,b,c中，给出下列命题：

①若a?b,则ac2?bc2； ②若ac2?bc2,则a?b； ③若a?b?0,则a2?ab?b2； ④若a?b?0,则 ⑤若a?b?0,则11?； abba?； ⑥若a?b?0,则a?b； abab11? ⑦若c?a?b?0,则； ⑧若a?b,?，则a?0,b?0。 c?ac?bab其中正确的命题是______

题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式） 2. 设a?2，p?a?

21，q?2?a?4a?2，试比较p,q的大小 a?2

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3. 比较1+logx3与2logx2(x?0且x?1)的大小

4. 若a?b?1,P?lga?lgb,Q?是 .

（二） 解不等式 题型三：解不等式 5. 解不等式

6. 解不等式(x?1)(x?2)2?0。 解不等式

7. 不等式ax2?bx?12?0的解集为{x|-1＜x＜2}，则a=_____, b=_______

5?x??1 2x?2x?31a?b(lga?lgb),R?lg()，则P,Q,R的大小关系22

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8. 关于x的不等式ax?b?0的解集为(1,??)，则关于x的不等式

9. 解关于x的不等式ax2?(a?1)x?1?0

题型四：恒成立问题

10. 关于x的不等式a x2+ a x+1＞0 恒成立，则a的取值范围是_____________ 11. 若不等式x2?2mx?2m?1?0对0?x?1的所有实数x都成立，求m的取值范围.

1912. 已知x?0,y?0且??1，求使不等式x?y?m恒成立的实数m的取值范围。

xyax?b?0的解集为 x?2

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（三）基本不等式ab?题型五：求最值

13. （直接用）求下列函数的值域 （1）y＝3x 2＋

14. （配凑项与系数） （1）已知x? （2）当

x2?7x?10(x??1)的值域。 15. （耐克函数型）求y?x?15，求函数y?4x?2?1的最大值。 44x?5a?b 2 （2）y＝x＋ 2x 2x11

时，求y?x(8?2x)的最大值。

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注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)?x?单调性。

16. （用耐克函数单调性）求函数y?

17. （条件不等式）

（1） 若实数满足a?b?2，则3a?3b的最小值是 .

19（2） 已知x?0,y?0，且??1，求x?y的最小值。

xya的xx2?5x?42的值域。

（3） 已知x，y为正实数，且x 2＋

（4） 已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝

1

的最小值.

y 22

＝1，求x1＋y 2 的最大值.

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题型六：利用基本不等式证明不等式

18. 已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a?b?c?ab?bc?ca

222

19. 正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

?1??1??1?20. 已知a、b、c?R?，且a?b?c?1。求证：??1???1???1??8

?a??b??c?

题型七：均值定理实际应用问题：

21. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），

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如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。

（四）线性规划

题型八：目标函数求最值

?2x?y?3?022. 满足不等式组??7x?y?8?0，求目标函数k?3x?y的最大值

??x,y?0

23.已知实系数一元二次方程x2?(1?a)x?a?b?1?0的两个实根为x1、0?x1?2,xb2?2．则a?1的取值范围是

x2,并且

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?x?022?x?y?2x的最小值是 23. 已知x,y满足约束条件：?3x?4y?4,则

?y?0?

?x?2y?3?0?24. 已知变量x,y满足约束条件?x?3y?3?0.若目标函数z?ax?y（其中a>0）仅在点

?y?1?0?（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为 。

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?y?1，?25. 已知实数x，y满足?y?2x?1，如果目标函数z?x?y的最小值为?1，则实数m等于

?x?y?m．?( )

题型九：实际问题

26. 某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？

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复习――不等式的基本知识参考答案 高中数学必修内容练习---不等式

1. ②③⑥⑦⑧； 2. p?q； 3. 当0?x?1或x?x?44时，1+logx3＞2logx2；当1?x?时，1+logx3＜2logx2；当334时，1+logx3＝2logx2 34. ∵a?b?1 ∴

lga?0,lgb?0Q?1（lga?lgb)?lga?lgb?p 2a?b1R?lg()?lgab?lgab?Q ∴R>Q>P。

225.

6. {x|x?1或x??2}； 7. (?1,1)?(2,3)）；

8. 不等式ax2?bx?12?0的解集为{x|-1＜x＜2}，则a=___-6____, b=__6_____ 9. (??,?1)?(2,??)）.

10. 解：当a＝0时，不等式的解集为?xx?1?； 2分

当a≠0时，a(x－)(x－1)＜0；当a＜0时，原不等式等价于(x－)(x－1)＞0

1?不等式的解集为?6分 ?xx?1或x??；...............................................................

?a?1a1a11?当0＜a＜1时，1＜，不等式的解集为?............................... 8分 ?x1?x??；

a?a?当a＞1时，＜1，不等式的解集为??x1a1??x?1?； ................................... 10分 a??当a＝1时，不等式的解为φ． ................................................................... 12分 11. _____0≤x＜4________ 12. m??1） 213. m????,16?

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14. 解：（1）y＝3x 2＋

1

2x 2

≥21

3x 2·

1

2x 2

＝6 ∴值域为[6 ，+∞）

（2）当x＞0时，y＝x＋ ≥2

x

1

1

1

x· ＝2； x

1

x· =－2 x

当x＜0时， y＝x＋ = －（－ x－ ）≤－2

xx∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

15. （1）解?x?5,?5?4x?0，?y?4x?2?411?????5?4x???3??2?3?1 4x?55?4x??当且仅当5?4x?1，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。 5?4x（2）当

，即x＝2时取等号 当x＝2时，y?x(8?2x)的最大值为8。

16. 解析一：

当

,即

时,y?2（x?1)?4?5?9（当且仅当x＝1时取“＝”号）。 x?1解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

(t?1)2?7(t?1）+10t2?5t?44y?=?t??5

ttt当,即t=时,y?2t?4?5?9（当t=2即x＝1时取“＝”号）。 t1?t?(t?2)

tx2?41217. 解：令x2?4?t(t?2)，则y?x?5?x2?4?x2?411因t?0,t??1，但t?解得t??1不在区间?2,???，故等号不成立，考虑单调性。

tt15因为y?t?在区间?1,???单调递增，所以在其子区间?2,???为单调递增函数，故y?。

t2?5?所以，所求函数的值域为?,???。

?2?18. （条件不等式）

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（1） 解： 3a和3b都是正数，3a?3b≥23a?3b?23a?b?6

当3a?3b时等号成立，由a?b?2及3a?3b得a?b?1即当a?b?1时，3a?3b的最小值是6．

19?y9x（2） 解：?x?0,y?0,1?9?1，?x?y??x?y????????10?6?10?16

xy?xy?xy当且仅当

19y9x?时，上式等号成立，又??1，可得x?4,y?12时，?x?y?min?16

xyxy1＋y 2 ＝x

1＋y 2

2· ＝

2

2 x·

1y 2 ＋ 22

（3） 解：x下面将x，

1y 2

＋ 分别看成两个因式： 22x 2＋(

1y 2y 21

＋ )2x 2＋ ＋ 22223

＝ ＝

2241

3 ＋ ≤ 224

x·

12

＋

y 22

≤

即x1＋y 2 ＝2 ·x

y 2

2

30－2b－2 b 2＋30b（4） 解：法一：a＝ ，ab＝ ·b＝

b＋1b＋1b＋1 由a＞0得，0＜b＜15

－2t 2＋34t－3116

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝ ＝－2（t＋ ）＋34

30－2btt16 ∵t＋ ≥2

tt·

16

t ＝8

1

∴ ab≤18 ∴ y≥

当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。 18

2 ab ∴ 30－ab≥2

2 ab

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2 令u＝

ab 则u2＋22 u－30≤0， －52 ≤u≤32

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∴ab ≤32 ，ab≤18，∴y≥

18

2221

19. 已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a?b?c?ab?bc?ca 20. 正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

?1??1??1?21. 已知a、b、c?R?，且a?b?c?1。求证：??1???1???1??8

?a??b??c?12ac11?ab?c2bc证明：?a、b、c?R?，a?b?c?1。??1?。同理?1?，??bbaaaa12ab。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 ?1?cc1?1??1??1?2bc2ac2aba?b?c?。当且仅当时取等号。 ?1?1?1????8??????3abcabc??????22. 解：若设污水池长为x米，则宽为 （米）

水池外圈周壁长： （米）

中间隔墙长： （米）

池底面积：200（米2）

目标函数：

≥ 23. 4

1 (?3,?)

224.

25. 1

126. (,??) 。

227. 5

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28. 解：设一盒內放入x个豆沙月饼，y个凤梨月饼，利润为z元

则x，y必须满足 目标函数为z＝15x＋10y

，

在可行区內的顶点附近z＝f ( x，y ) 的最大值，

所以，一盒内装2个豆沙月饼8个凤梨月饼或4个豆沙月饼5个凤梨月饼，可得最大利润110元。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/g2vw.html