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初一数学竞赛系列训练 (5)

一、选择题

x x x

2001的解是 ( )

1、方程 2 2 3 2001 2002 1

A 、2000

B 、 2001

C 、 2002

D 、 2003

2、关于 x 的方程 2 x 3k 5 x k 1的解是负数，则 k 的值为 () 3

1 1

1

A 、 k>

B 、 k<

C 、 k=

D 、以上解答都不是

2 2 2

x 3y 5z 0 2 2

2

3、已知 xyz ≠0，且 ，则 x y 2 z 的值为 ( )

2x 3y z 0 3x 2 2 y 2 z 2

A 、 67

B 、 23 23 D 、以上答案都不对 23 67

C 、 - 67

4、方程组 1 1 1 的整数解的个数是 ( )

x y

1987

A 、0

B 、3

C 、 5

D 、以上结论都不对。

5、如果关于 x 的不等式 2x a a 1与 x 5 同解，则 a ( ) 3 2 a

A 、不存在

B 、等于 -3 2 2

C 、等于

D 、大于

5 5

6、若正数 x 、 y 、 z 满足不等式组

11 z

x y 2z 6 3 x y z 5 x 则 x 、 y 、 z 的大小关系是 ( ) 2 3 5 y x z 11 y 2 4

A 、 x

B 、 y

C 、z

D 、不能确定

二、填空题

7、方程 x b c x c a x a b 3 其中 1 1 1 0 的解为

a b c a b c

8、关于 x 的方程 2a (x+5)=3x+1 无解，则 a= ax 2by 2

和 3ax 5by 9

有相同的解，则

9、关于 x 、 y 的两个方程组 y 7 3x y 11 2x

a= ，b=

10、不定方程 4x+7y=20 的整数解是

11、不等式 4x 1 1 3x 2 的解集为

2 5 x 5

x

12、已知有理数 x 满足： 3x 1 7 x 5 2x ，若 3 x x 2 的最小值为 a ，最大值为 b ，则 ab= 2 3 3

三、解答题 1 x 2x 10 7x

x x 3

13、解方程 1 - 3

3 2

2

14、解关于 x 的方程： x n x m m (mn 0) m n n

15、解方程组： x 1 y 1 x y

20 21 17

5x

y 3z a 16、解方程组： 5y

z 3x b 5z

x

3 y c

17、某宾馆有大小两种客房， 大房间每间能住

7 人，小房间每间能住

4 人，现有 41 人住店， 问需大小房间各多少间，

刚好使床位数不多也不少？

5x 7 y 9z

52

18、求方程组

5y 7z

的正整数解。

3x 36

19、解不等式： (1)

4x 5 8x a 4x 7 6x b

(2)

x

5

3x 2

2

20、 k 为什么数时，方程组

kx 4y 8

3x 2y 的解为正数？

6

初一数学竞赛系列训练 (8)答案

1

1

1

1

1

1 1 1

1

1 、

1 2

2

3

2001 2002

2

2

3

2001

2002

1

1 2001

，故方程化为

2001 x 2001，所以 x 2002, 故选 C

2002

2002

2002

2 、将原方程整理得， 13x

6( k

1

) ，可见，要使 x 为负数，应有 k<

1

故选 B

2

2

3 、视 x 、 y 为未知数， z 为常数，可解得 x=4z ， y= -3z

x 2 y 2 2z 2 23

，故选 B

则原式 =

3x

2

2 y

2

z 2

=

67

4 、原方程可化为 (x-1987) (y-1987)=19872，因 1987 是质数，则

①

x 1987 1

②

x 1987

19872

③

x 1987

1

1987

2

y 1987 1

1987 1987 2

y

1987

y

x

1987

19872

x 1987 1987

x 1987 1987 ④

y

1987

1

⑤

y 1987 1987

⑥

1987

1987

y

考察上述 6 个方程组的解，⑥的解 x=0， y=0 应舍去，所以原方程的整数解有 5 个。

5 、取 a=

2 ，则 2x a

a 1

即为 2x

4

5

3

2

x

即为 x

2

显然 2x>-4 与 x>-2 是同解的，故选 C

5

a

17

z x y z 3z

(1)

6

6 、由题设知 5 x

x y z 8 x

(2)

2

3

7

x y z 15

y

(3)

y

4

2

由 (1)、 (2) 得 17 z

8

x, 51 z x, z

x

6

3 48

由 (1)、 (3) 得 7 y 3z ， 7 y

z ， y

z

2

6

因此， y

7 、原方程变形为 x 1

1 1 1 1 1 a b c ，从而得： x=a+b+c

a

b c

a b c

8 、原方程整理成： (2a-3) x=1-10a. 由于方程无解，故有 2a-3=0 且 1-10a ≠ 0，∴ a=3/2

9 、由题设知方程

2x y 7 与 ax 2by 2 具有相同的解，

3x y 11 3ax 5by

9

2x y 7 的解为 x 4 代入 ax 2by 2 得 4a 2b

2 3x y

11

y

1

3ax 5by 9 12a 5b

9

解之得 a=2， b=3

10、由 4x+7y=20 整理得： x

5

7 y

4

∵ x 、 y 都是整数，又 4 与 7 互质，∴ y 为 4 的倍数，取 y=4，有 x= -2

∴原不定方程有特解

x

2

y

4

∴原不定方程的所有整数解为

x 2 7k

(k 为任意整数 )

y

4 4k

11、两边消去

1

得： 4x-2>3x+2，所以 x>4，但注意到 x ≠5，所以原不等式的解集为

x

5

x>4 且 x ≠5

12、不等式的解为 x ≥ 1，

当 x ≥3 时， 3 x x 2 =x-3-x-2= -5

当 1≤ x<3 时，

3 x x 2 =3-x-x-2=1-2x

从上知：当 x ≥3 时， a=-5；当 x=1 时， b=-1，所以 ab=5

13、化简得： 1

3x 1 x x 6x 10 7x

2x 1 x 13 x 10

9

2

6

，即 1

9

2

6

5

去分母得： 18-4x+2=9x-39x+30，∴ 26x=10，∴ x=

13

2 x

n 2 14、方程变形为 (n-m) x=n ，当 n ≠ m 时，方程有唯一解

；当 n=m 时，方程无解。

n m

x 1 y 1

x

y

15、设

21

17 =k ，则 x+1=20k ， y+1=21k ， x+y=17k

20

x

20k 1

(1)

1 由此得：

y 21k 1

(2) 将 (1)、 (2)代入 (3)得 41k-2=17k ，∴ k

x y 17 k (3)

12

1

代入 (1) 、 (2)得： x

2

3

将 k

， y

4

12

2

3

x

3

∴原方程组的解为

y

3

4

2a

b

c

16、由 (1)?2+(2) - (3)得： 14x=2a+b-c ，∴ x=

14

由 (2)?2+(3) - (1)得： 14y=2b+c-a ，∴ y=

2b

c a

14 由 (3)?2+(1) - (2)得： 14z=2c+a-b ，∴ z=

2c

a b

14

17、设需小房间 x 间，大房间 y 间，则 4x+7y=41

41

7 y 1 y ∴ x

10 2 y

4

4

∵ x 、y 均为整数，∴可取

y=3 得 x=5

∴ 4x+7y=41 的所有整数解为

x

5 7k

(k 为整数 )

y 3 4k

5 7k 0 5 3

又∵ x 、 y 均为正整数，∴

4k

0 k

4

3 7

∴ k=0，∴ 4x+7y=41 的正整数解为

x 5

y 3

答：需小房间 5 间，大房间 3 间。

18、消去 z 得： 2x+y=10，显然 x=4,y=2 是它的一组整数解

所以 2x+y=10 的所有整数解为

x 4 k

y

2 ( k 为整数 )

2k

x 4 k

代入原方程组，得原方程组的所有整数解是

y 2 2k(k 为整数 ) z 2 k

由 x>0，y>0， z>0 得 -2

x 3 x 4 y 4 y 2 z

1

z

2

x

5 a

19、 (1) 原不等式组的解为

4

b

x

7

2

当 a+2b<19，即

b

7 5

a

时，原不等式组解为

b

7 x 5 a

2

4

2 4 当 a+2b=19，即

b

7 5 a 时，原不等式组解为

x

5

a

2

4

4

当 a+2b>19，即

b

7 5

a

时，原不等式组无解

2

4

(2) 令 x+5=0 或 3x-2=0 得 x= -5 或 x=2/3

9

当 x ≤ -5 时，原不等式可化为

–x-5+3x-2≤ 2，解得 x ≤

2

所以，原不等式的解为 x ≤ -5

当 5 x

2

时，原不等式可化为

x+5+3x-2≤ 2，解得 x ≤ 1

3

1

4

所以，原不等式的解为

- 5

x -

4

当 x>

2

时，原不等式可化为

x+5-3x+2≤ 2，解得 x ≥

5

3

2

所以，原不等式的解为

x ≥

5

2

5

或 x

1

综上所述，原不等式的解集为

x

2

4

x

4

20、 k ≠ 6 时，方程组有唯一解

k

6

3 k

4

y

6

k

4

x>0， y>0，即

k

6 要使此方程组有正数解，则应满足

，解得 k<4

3 k

4 0

k

6

6x 4 y 8 k=6 时，原方程组化为

2 y

，此方程组无解

3x 6

因此，当 k<4 时，原方程组的解为正数解

17、某宾馆有大小两种客房， 大房间每间能住 7 人，小房间每间能住 4 人，现有 41 人住店， 问需大小房间各多少间，刚好使床位数不多也不少？

5x 7 y 9z 52

18、求方程组

5y

7z 36

的正整数解。

3x

19、解不等式： (1)

4x 5 8x a 4x 7 6x b

(2)

x

5

3x 2 2 20、 k 为什么数时，方程组

kx 4y 8

3x 2y

的解为正数？

6

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