上海版教材 矩阵与行列式习题（有答案）

矩阵、行列式和算法（20131224） 姓名 成绩 一、填空题

cos1.行列式

?3sincos?6sin?3?6的值是 .

2.行列式

ab（a,b,c,d?{?1,1,2}）的所有可能值中，最大的是 . cd?2x?0?3.将方程组?3y?z?2写成系数矩阵形式为 .

?5x?y?3?4.若由命题A:“

2x>0”能推出命题B:“x?a”，则a的取值范围是 ．

31-x2开始 ?a1x?b1y?c15.若方程组?的解为x?1,y?2，则方程组

ax?by?c?222?2b1x?5a1y?3c1?0的解为x? ，y? . ??2b2x?5a2y?3c2?016.方程1输入x1,x2,x3,x4 i?1,x?0 24xx2?0的解集为 . 1?39x?x?xii?i?1i?4?是 否 x?x 47.把

x2 y2x3 y3?2x1 y1x3 y3?4x1 y1x2 y2

表示成一个三阶行列式为 . 8.若?ABC的三个顶点坐标为A(1,?2),B(?2,3),C(?4,?5)， 其面积为 .

2x9.在函数f?x???x1?x2?1x中x3的系数是 . x输出x 1结束 图1 10.若执行如图1所示的框图，输入x1?1,x2?2,x3?4,x4?8,则输出的数等于 .

11.矩阵的一种运算???ab??x??ax?by??ab????????该运算的几何意义为平面上的点在矩阵的作用下(x,y)??,????????cd??y??cx?dy??cd??1a?

??的作用下变换成曲线x?y?1?0，则a?b的b1??

变换成点(ax?by,cx?dy)，若曲线x?y?1?0在矩阵??值为 .

12.在集合?1,2,3,4,5?中任取一个偶数a和奇数b构成以原点为起点的向量???a,b?.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m，则

m? n二.选择题

13.系数行列式D?0是三元一次方程组无解的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 14.下列选项中错误的是（ ）. A.

abcd??cdababdb B. ?cdcaa?3cb?3dabC. ?

cdcdD.

开始 ab?a?b ??cd?c?di?0 S?0 15.若a,b,c表示?ABC的三边长，

aa22且满足bbcc2a?b?ca?b?c?0， a?b?cS?S?2i?1 i?i?2 否 则?ABC是（ ）.

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 16. 右边（图2）的程序框图输出结果S?（ ） A．20 B. 35 C. 40 D .45

三、解答题：

i?8 是 输出S 结束 图2

1?|x|?5?1??m2x?217. 已知P： 矩阵?|x|?1的某个列向量的模不小于， 行列式Q：??01?2???余子式的值不小于2.若P是Q成立的充分条件，求实数m的取值范围. ．．．．

18.已知等比数列{an}的首项a1?1，公比为q， （1）求二阶行列式

?140?3中元素?1的代数?21a1a2a3a4的值；

（2）试就q的不同取值情况，讨论二元一次方程组?

?a1x?a3y?3何时无解，何时有无穷多解？

?a2x?a4y??2119.已知函数f(x)?0sinx3cosxsinx0sinx2m0的定义域为?0,

???

，最大值为4.试求函数g(x)?msinx?2cosx?2??

（x?R）的最小正周期和最值．

20. 将等差数列an?2n?1(n?N)中n个项依次排列成下列n行n列的方阵,在方阵中任取一个元素,记为x1,

*2划去x1所在的行与列,将剩下元素 按原来得位置关系组成(n-1)行(n-1)列方阵,任取其中一元素x2,划去x2所在的行与列

,将最后剩下元素记为xn,记Sn?x1?x2?xn，求limn??Sn的值。 322n?n35?1?2n?32n?5?2n?1?4n?14n?34n?5???2n2?2n?12n2?2n?3?

2n?1??4n?1?6n?1??? 2n2?1??

21.按程序框图3，可以打印出一个数列，设这个数列为{xn}， 开始 （1）写出这个数列{xn}的前4项，并建立数列{xn}的递推公式； （2）设an?xn?1?xn，证明：{an}是等比数列； （3）求数列{xn}的通项公式.

i?1,a?0,b?1xi?(a?b)/2a?b,b?xi?1 输出xi i?i?1 i?100 否 结束 图3

是 矩阵、行列式和算法（20131224）答案 姓名 成绩 一、行列式概念及运算 1.用记号

a1a2b1b2表示算式a1b2?a2b1,即

a1a2b1b2=a1b2?a2b1,

2.二元一次方程组的解 二元一次方程组?a1?a1x?b1y?c1(其中a1,a2,b1,b2不全为零);记

a2?a2x?b2y?c2a1a2c1c2b1b2叫做方程组的系数行列式;记

Dx?c1c2b1b2,Dy?即用常数项分别替换行列式D中x的系数或y的系数后得到的.

(1) 若D?0,则方程组有唯一一组解,x?DyDx,y? ; DD(2) 若D?0,且Dx,Dy中至少有一个不为零,则方程组无解; (3) 若D?Dx?Dy?0,则方程组有无穷多解. 3。三阶行列式及对角线法则

a1用a2b1b2b3a1c1c2表示算式;其结果是a1b2c3?a2b3c1?a3b1c2?a3b2c1?a2b1c3?a1b3c2. c3b1b2b3c1c2叫做三阶行列式; c3a3我们把a2a3a1b2c3?a2b3c1?a3b1c2?a3b2c1?a2b1c3?a1b3c2叫做三阶行列式的展开式.其计算结果叫做行列式的

值;ai,bi,ci(i?1,2,3)都叫做三阶行列式的元素. 4． 三阶行列式按一行(或一列)展开

把行列式中某一元素所在的行和列去后,剩下的元素保持原来的位置关系组成的二阶行列式叫做该元素的余子式;

i?j余子式前添上相应的正负号叫做该元素的代数余子式;其中第i行与第j列的代数余子式的符号为(?1).

三阶行列式可以按其一行或一列)展开成该行(或该列)元素与其对应的代数余子式的乘积之和.三阶行列式有有两种展开方式:(1)按对角线法则展开,(2)按一行(或一列)展开. 5.三元一次方程组的解

?a1x?b1y?c1z?d1?三元一次方程组?a2x?b2y?c2z?d2(其中(ai,bi,ci(i?1,2,3)不全为零);

?ax?by?cz?d333?3

a1记D?a2b1b2b3b1b2b3c1d1b1b2b3c1a1d1d2d3c1c2 c3a3a1Dz?a2a3c2为方程组的系数行列式;记Dx?d2c3d3d1c2,Dy?a2c3a3d2,即用常数项分别替换行列式D中x或y或z的系数后得到的.

d3??x???(1) 当D?0时,方程组有惟一解?y???z???DxDDyDDzD

(2) 当D?0时,方程组有无穷多组解或无解.

二、顺序结构：

1．依次进行多个处理的结构称为顺序结构。

2、选择结构： 先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为选择结构。 3、循环结构：在算法中，像这种需要重复执行同一操作的结构称为循环结构。

矩阵、行列式和算法（20131224）作业答案 姓名 成绩 二、填空题

cos1.行列式

?3sincos?6sin?3?6的值是 0 .

2.行列式

abcd（a,b,c,d?{?1,1,2}）的所有可能值中，最大的是 6 .

?2x?0?3.将方程组?3y?z?2写成系数矩阵形式为

?5x?y?3??200??x??0??031??y???2? . ????????510????z????3??2x>0”能推出命题B:“x?a”4.若由命题A:“，则a的取值范围是 (-∞,-2] ． 231-x?a1x?b1y?c15.若方程组?的解为x?1,y?2，则方程组

?a2x?b2y?c2?2b1x?5a1y?3c1?0的解为x? -3 ，y? -5/3 . ?2bx?5ay?3c?022?216.方程1开始 输入x1,x2,x3,x4 i?1,x?0 24xx2?0的解集为 [-3,2] .

1?39x?x?xii?i?1i?4?是 7.把

x2 y2x3 y3?2x1 y1x3 y3?4x1 y1x2 y2

?x1?表示成一个三阶行列式为 x2???x3y1y2y31??2? . ??4??否 x?x 48.若?ABC的三个顶点坐标为A(1,?2),B(?2,3),C(?4,?5)， 其面积为 17 .

输出x 2x9.在函数f?x???x1?x2?1x中x3的系数是 -2 . x结束 图1 110.若执行如图1所示的框图，输入x1?1,x2?2,x3?4,x4?8,则输出的数等于 . 11.矩阵的一种运算???ab??x??ax?by??ab????????(x,y)该运算的几何意义为平面上的点在矩阵的作用下??,????????cd??y??cx?dy??cd??1a?

??的作用下变换成曲线x?y?1?0，则a?b的b1??

变换成点(ax?by,cx?dy)，若曲线x?y?1?0在矩阵??值为 2 .

解析：若P(x,y)是变换后得到的曲线上任一点。与P对应的点为Q(x0,y0)且Q点在直线x+y-1=0上,则

?x0?ay0?x?x0?(x?ay)/(1?ab)x?ayy?bx??1?0 ?代入直线x+y-1=0???1?ab1?ab?bx0?y0?y?y0?(y?bx)/(1?ab)?

1?b1?ax?y?1?0，

1?ab1?ab此曲线与变换后得到的曲线x-y-1=0是同一条曲线。故有：

?1?b?1?a?2??a+b=2. ???1?a??1?b?012.在集合?1,2,3,4,5?中任取一个偶数a和奇数b构成以原点为起点的向量???a,b?.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m，则

m? 1/3 . n解析：在集合?1,2,3,4,5?中任取一个偶数a和奇数b构成以原点为起点的向量???a,b?，这些向量为： (2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5)共六个向量。依次记为α1,α2,α3,α4,α5,α6.

若从原点出发的向量α=(x1,y1)与β=(x2,y2)，由它们构成的平行四边形面积为：

0x201S=|x1y21|=|x1y2-x2y1|。而S≤4的向量对为(α1,α2), (α1,α4), (α1,α5), (α3,α4), (α3,α6),

y21即m=5,而n=C62?15,从而m/n=1/3.

二.选择题

13.系数行列式D?0是三元一次方程组无解的（ B ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件

14.下列选项中错误的是（D ）. A.

开始 i?0 S?0 abcd??cdab B.

S?S?2i?1 i?i?2 否 abdb ?cdcaC.

i?8 a?3cb?3dab ?

cdcdab?a?b ??cd?c?d是 输出S D.

结束 图2

15.若a,b,c表示?ABC的三边长，

aa2a?b?c且满足bb2a?b?c?0， cc2a?b?c则?ABC是（ A ）.

解A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 解析：由行列式计算得：（a+b+c）(a-b)(b-c)(c-a)=0 从而：a=b或b=c或c=a,即?ABC是等腰三角形。 16. 右边（图2）的程序框图输出结果S?（ ） A．20 B. 35 C. 40 D .45

三、解答题：

?1?117. 已知P： 矩阵?|x|?5x|?11??|?2x?2m0??的某个列向量的模不小于，Q： 行列式?0?2??1?2余子式的值不小于2.若P是Q成立的充分条件．．．．

，求实数m的取值范围. ?|x|?5解析：矩阵?1??|x|?1???的某个列向量的模为：|x|?5?0?2??|x|?1，而另一个向量的模为3 其中模不小于2只可能为|x|?5|x|?1?2?|x|≤3?-3≤x≤3;

-1的代数余子式(?1)1?2x?2m?311??(x?2m?3)

2m?x?5

由P是Q成立的充分条件．．．．知：．．2．m．≥．(5+x)．．．．．max．．．=8．．

?．m．≥．3.．．

18.已知等比数列{an}的首项a1?1，公比为q， （1）求二阶行列式

a1a3a2a的值；

44?3中元素?1的代数

1 （2）试就q的不同取值情况，讨论二元一次方程组??a1x?a3y?3何时无解，何时有无穷多解？

?a2x?a4y??2解：（1）

a1a2a3a43

a3a4=

1q2qq3=0

（2）D=

a1a2=0

Dx=

3a32a4a1a232=3q-2q=0?q=2/3;

2

Dy==3q-2=0?q=2/3;

1当q=2/3时，方程有无穷多组解； ○

2当q≠2/3且q≠0时，方程无解； ○

119.已知函数f(x)?0sinx3cosxsinx0sinx2m0的定义域为?0,

???

，最大值为4.试求函数g(x)?msinx?2cosx??2?

（x?R）的最小正周期和最值．

解析：f(x)=2m(sinx-3sin x?cos x)=m-2msin(2x+π/6);

2

0≤x≤π/2 ? π/6 ≤ (2x+π/6) ≤ 7π/6; 1m>0 ○

由fmax=2m=4?m=2;

g(x)?msinx?2cosx=2sinx?2cosx=22sin(x?T=2π,gmin=-22,gmax=22;

2m<0 ○

由fmax=-m=4?m=-4;

?4)（x?R）

g(x)??4sinx?2cosx=25sin(??x)（x?R），其中??arctanT=2π,gmin=-25,gmax=25;

1 220. 将等差数列an?2n?1(n?N)中n个项依次排列成下列n行n列的方阵,在方阵中任取一个元素,记为x1,划去x1所在的行与列,将剩下元素 按原来得位置关系组成(n-1)行(n-1)列方阵,任取其中一元素x2,划去x2所在的行与列

,将最后剩下元素记为xn,记Sn?x1?x2*2?xn，求limn??Sn的值。

2n3?n2 ?

解析：a11=1, a12=1+2?1, a13=1+2?2, a14=1+2?4,????, a1n=1+2?(n-1); a21=1+2n?1; a31=1+2n?2, a41=1+2n?3, a51=1+2n?4, ????, an1=1+2n?(n-1); 从而知: aij=1+2n?(i-1)+2(j-1);

记经x1?ai1j1,x2?ai2j2,?????,xn?ainjnx?aij?2n?32n?5?2n?1?4n?14n?34n?5???2n2?2n?12n2?2n?3?1352n?1??4n?1?6n?1???22n?1??

显然每次划去xi所在行所在列，故i1,i2,?,in是1-n的某一个全排列，同样j1,j2,?,jn也是1-n的一个全排列。

x1?x2???xn?[1?2n(i1?1)?2(j1?1)]?[1?2n(i2?1)?2(j2?1)]+????+[1?2n(in?1)?2(jn?1)]

=n+2n(1+2+3+?????+n-n)+ 2(1+2+3+?????+n-n)=n

3

Snn3lim3?3=1/2 2n??2n?n22n?n21.按程序框图3，可以打印出一个数列，设这个数列为{xn}， 开始 （1）写出这个数列{xn}的前4项，并建立数列{xn}的递推公式； （2）设an?xn?1?xn，证明：{an}是等比数列； （3）求数列{xn}的通项公式. 解析：（1）x1?i?1,a?0,b?113511，x2?，x3?，x4?； 24816xi?(a?b)/2a?b,b?xi?1 输出xi 11n?1a1（2）n??；a1?,an?(?)

42an?12(3)xn?1?xn?(?)12n?1

i?i?1 xn?(xn?xn?1)?(xn?1?xn?2)???(x2?x1)?x1

=

i?100 否 结束 图3

是 221n?1211n?(?)??(?) (n=1,2,3,???,100). 332332

?

解析：a11=1, a12=1+2?1, a13=1+2?2, a14=1+2?4,????, a1n=1+2?(n-1); a21=1+2n?1; a31=1+2n?2, a41=1+2n?3, a51=1+2n?4, ????, an1=1+2n?(n-1); 从而知: aij=1+2n?(i-1)+2(j-1);

记经x1?ai1j1,x2?ai2j2,?????,xn?ainjnx?aij?2n?32n?5?2n?1?4n?14n?34n?5???2n2?2n?12n2?2n?3?1352n?1??4n?1?6n?1???22n?1??

显然每次划去xi所在行所在列，故i1,i2,?,in是1-n的某一个全排列，同样j1,j2,?,jn也是1-n的一个全排列。

x1?x2???xn?[1?2n(i1?1)?2(j1?1)]?[1?2n(i2?1)?2(j2?1)]+????+[1?2n(in?1)?2(jn?1)]

=n+2n(1+2+3+?????+n-n)+ 2(1+2+3+?????+n-n)=n

3

Snn3lim3?3=1/2 2n??2n?n22n?n21.按程序框图3，可以打印出一个数列，设这个数列为{xn}， 开始 （1）写出这个数列{xn}的前4项，并建立数列{xn}的递推公式； （2）设an?xn?1?xn，证明：{an}是等比数列； （3）求数列{xn}的通项公式. 解析：（1）x1?i?1,a?0,b?113511，x2?，x3?，x4?； 24816xi?(a?b)/2a?b,b?xi?1 输出xi 11n?1a1（2）n??；a1?,an?(?)

42an?12(3)xn?1?xn?(?)12n?1

i?i?1 xn?(xn?xn?1)?(xn?1?xn?2)???(x2?x1)?x1

=

i?100 否 结束 图3

是 221n?1211n?(?)??(?) (n=1,2,3,???,100). 332332

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